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12.5: Las leyes de velocidad integradas

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    1897
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    3habilidades para desarollar

    • Explicar la forma y función de una ley de tasa integrada.
    • Realizar cálculos de ley de tasa integrada para reacciones de cero, primer y segundo orden
    • Definir la vida media y realizar cálculos relacionados.
    • Identificar el orden de una reacción a partir de los datos de concentración / tiempo.

    Las leyes de velocidad que hemos visto hasta ahora relacionan la velocidad y las concentraciones de los reactivos. También podemos determinar una segunda forma de cada ley de velocidad que relacione las concentraciones de los reactivos y el tiempo. Estas se llaman las leyes de tasas integradas. Podemos usar una ley de velocidad integrada para determinar la cantidad de reactivo o producto presente después de un período de tiempo o para estimar el tiempo requerido para que una reacción proceda en cierta medida. Por ejemplo, se usa una ley de velocidad integrada para determinar el período de tiempo que un material radiactivo se debe almacenar para que su radiactividad decaiga a un nivel seguro.

    Usando el cálculo, la ley de velocidad diferencial para una reacción química se puede integrar con respecto al tiempo para dar una ecuación que relacione la cantidad de reactivo o producto presente en una mezcla de reacción con el tiempo transcurrido de la reacción. Este proceso puede ser muy sencillo o complejo, dependiendo de la complejidad de la ley de tasa diferencial. Para nuestros propósitos, nos centraremos en las leyes de tasa integrada resultantes para las reacciones de primer, segundo y orden cero.

    Reacciones de primer orden

    Una ecuación que relaciona el constante de velocidad k con la concentración inicial [A]0 y la concentración [A]presente después de un tiempo dado t puede derivarse para una reacción de primer orden y demostrarse que es:

    \[\ln\left(\dfrac{[A]_t}{[A]_0}\right)=−kt\]

    o

    \[\ln\left(\dfrac{[A]_0}{[A]_t}\right)=kt\]

    o

    \[[A]=[A]_0e^{−kt}\]

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\): LA LEY INTEGRADA DE velocidad PARA UNA REACCIÓN DE PRIMER ORDEN

    El constante de velocidad para la descomposición de primer orden del ciclobutano, C4H8 a 500 °C es 9.2 × 10−3 s−1:

    \[\ce{C4H8⟶2C2H4}\]

    ¿Cuánto tiempo tomará en descomponerse el 80.0% de una muestra de C4H8?

    Solución

    Usamos la forma integrada de la ley de velocidad para responder preguntas sobre el tiempo:

    \[\ln\left(\dfrac{[A]_0}{[A]}\right)=kt\]

    Hay cuatro variables en la ley de tasas y sabemos tres de ellas, podemos determinar la cuarta. En este caso, sabemos [A]0, [A] y k, y necesitamos encontrar t.

     

    No se proporciona la concentración inicial de C4H8[A]0,, pero la provisión de que el 80.0% de la muestra se ha descompuesto es suficiente información para resolver este problema. Deje que x represente la concentración inicial, en cuyo caso la concentración después de una descomposición del 80.0% es 20.0% de x o 0.200x. Reorganizando la ley de velocidad para aislar t y sustituyendo los rendimientos de cantidades proporcionadas nos da:

    \(\begin{align*}
    t&=\ln\dfrac{[x]}{[0.200x]}×\dfrac{1}{k}\\
    &=\mathrm{\ln\dfrac{0.100\:mol\: L^{−1}}{0.020\:mol\: L^{−1}}×\dfrac{1}{9.2×10^{−3}\:s^{−1}}}\\
    &=\mathrm{1.609×\dfrac{1}{9.2×10^{−3}\:s^{−1}}}\\
    &=\mathrm{1.7×10^2\:s}
    \end{align*}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    El yodo-131 es un isótopo radiactivo que se usa para diagnosticar y tratar algunas formas de cáncer de tiroides. El yodo-131 se descompone en xenón-131 de acuerdo con la siguiente ecuación:

    \[\textrm{I-131 ⟶ Xe-131 + electron}\]

    La desintegración es de primer orden con un constante de velocidad de 0.138 d−1. Toda la desintegración radiactiva es de primer orden. ¿Cuántos días le tomará al 90% del yodo-131 en una solución de 0.500 M de esta sustancia para descomponerse a Xe-131?

    Respuesta

    16.7 dias

    Podemos usar las leyes de velocidad integradas con datos experimentales que consisten en información de tiempo y concentración para determinar el orden y la velocidad constante de una reacción. La ley de velocidad integrada se puede reorganizar a un formato estándar de ecuación lineal:

    \[\begin{align*}
    \ln[A]&=(−k)(t)+\ln[A]_0\\
    y&=mx+b
    \end{align*}\]

    Una gráfica de ln[A] versus t para una reacción de primer orden es una línea recta con una pendiente de −k y una intersección de ln[A]0. Si un conjunto de datos de velocidad se traza de esta manera, pero no da como resultado una línea recta, la reacción no es de primer orden en A.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\): Determinación del orden de la reacción usando un gráfico

    Muestre que los datos en esta Figura se pueden representar usando una ley de tasa de primer orden graficando ln[H2O2] versus tiempo. Determine el constante de velocidad para la descomposición del H2O2 a partir de estos datos.

    Solución

    Los datos de esta figure esta Figura con la adición de valores de ln[H2O2] se dan en la Figura \(\PageIndex{1}\).

    Figura \(\PageIndex{1}\): La relación lineal entre el ln[H2O2] y el tiempo muestra que la descomposición del peróxido de hidrógeno es una reacción de primer orden.

    Prueba Tiempo (h) [H2O2] (M) ln[H2O2]
    1 0 1.000 0.0
    2 6.00 0.500 −0.693
    3 12.00 0.250 −1.386
    4 18.00 0.125 −2.079
    5 24.00 0.0625 −2.772

    La gráfica de ln[H2O2] versus tiempo es lineal, por lo tanto, hemos verificado que la reacción se puede describir mediante una ley de velocidad de primer orden.

    El constante de velocidad para una reacción de primer orden es igual al negativo de la pendiente de la gráfica de ln[H2O2] versus el tiempo donde:

    \[\ce{slope}=\dfrac{\textrm{change in }y}{\textrm{change in }x}=\dfrac{Δy}{Δx}=\dfrac{Δ\ln[\ce{H2O2}]}{Δt}\]

    Para determinar la pendiente de la línea, necesitamos dos valores de ln[H2O2] a diferentes valores de t (es preferible uno cerca de cada extremo de la línea). Por ejemplo, el valor de ln[H2O2] cuando t es 6.00 h es −0.693; el valor cuando t = 12.00 h es −1.386:

    \[\begin{align*}
    \ce{slope}&=\mathrm{\dfrac{−1.386−(−0.693)}{12.00\: h−6.00\: h}}\\
    &=\mathrm{\dfrac{−0.693}{6.00\: h}}\\
    &=\mathrm{−1.155×10^{−2}\:h^{−1}}\\
    k&=\mathrm{−slope=−(−1.155×10^{−1}\:h^{−1})=1.155×10^{−1}\:h^{−1}}
    \end{align*}\]

    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Grafica los siguientes datos para determinar si la reacción \(A⟶B + C \) es de primer orden.

    Prueba Tiempo (s) [A]
    1 4.0 0.220
    2 8.0 0.144
    3 12.0 0.110
    4 16.0 0.088
    5 20.0 0.074
    Respuesta

    La gráfica de ln[A] vs. t no es una línea recta. La ecuación no es de primer orden:

    A graph, labeled above as “l n [ A ] vs. Time” is shown. The x-axis is labeled, “Time ( s )” and the y-axis is labeled, “l n [ A ].” The x-axis shows markings at 5, 10, 15, 20, and 25 hours. The y-axis shows markings at negative 3, negative 2, negative 1, and 0. A slight curve is drawn connecting five points at coordinates of approximately (4, negative 1.5), (8, negative 2), (12, negative 2.2), (16, negative 2.4), and (20, negative 2.6).

     

    Reacciones de segundo orden

    Las ecuaciones que relacionan las concentraciones de reactivos y el constante de velocidad de las reacciones de segundo orden son bastante complicadas. Nos limitaremos a las reacciones de segundo orden más simples, especificamente, aquellas con tasas que dependen de la concentración de un solo reactivo y descritas por la ley de tasa diferencial:

    \[\ce{Rate}=k[A]^2\]

    Para estas reacciones de segundo orden, la ley de tasa integrada es:

    \[\dfrac{1}{[A]}=kt+\dfrac{1}{[A]_0}\]

    donde los términos en la ecuación tienen sus significados habituales como se definió anteriormente.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\): LA LEY INTEGRADA DE TARIFAS PARA UNA REACCIÓN DE SEGUNDO ORDEN

    La reacción del gas butadieno (C4H6) consigo mismo produce gas C8H12 en la siguiente manera:

    \[\ce{2C4H6}(g)⟶\ce{C8H12}(g)\]

    La reacción es de segundo orden con una velocidad constante igual a 5.76 × 10−2 L / mol / min bajo ciertas condiciones. Si la concentración inicial del butadieno es de 0.200 M, ¿Cuál es la concentración restante después de 10.0 min?

    Solución

    Usamos la forma integrada de la ley de tarifas para responder preguntas sobre el tiempo. Para una reacción de segundo orden, tenemos:

    \[\dfrac{1}{[A]}=kt+\dfrac{1}{[A]_0}\]

    Sabemos tres variables en esta ecuación: [A]0 = 0.200 mol / L, k = 5.76 × 10−2 L/mol/min, y t = 10.0 min. Por lo tanto, podemos resolver para [A], la cuarta variable:

    \[\begin{align*}
    \dfrac{1}{[A]}&=\mathrm{(5.76×10^{−2}\:L\: mol^{−1}\:min^{−1})(10\:min)+\dfrac{1}{0.200\:mol^{−1}}}\\
    \dfrac{1}{[A]}&=\mathrm{(5.76×10^{−1}\:L\: mol^{−1})+5.00\:L\: mol^{−1}}\\
    \dfrac{1}{[A]}&=\mathrm{5.58\:L\: mol^{−1}}\\
    [A]&=\mathrm{1.79×10^{−1}\:mol\: L^{−1}}
    \end{align*}\]

    Por lo tanto, quedan 0.179 mol/L de butadieno al final de 10.0 min, en comparación con los 0.200 mol /L que estaban originalmente presentes.

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Si la concentración inicial de butadieno es 0.0200 M, ¿Cuál es la concentración restante después de 20.0 min?

    Respuesta

    0.0196 mol/L

    La ley de velocidad integrada para nuestras reacciones de segundo orden tiene la forma de la ecuación de una línea recta: 

    \[\begin{align*}
    \dfrac{1}{[A]}&=kt+\dfrac{1}{[A]_0}\\
    y&=mx+b
    \end{align*}\]

    Un gráfica de \(\dfrac{1}{[A]}\) versus t para una reacción de segundo orden es una línea recta con una pendiente de k y una intersección de \(\dfrac{1}{[A] _0 }\). Si la trama no es una línea recta, entonces la reacción no es de segundo orden.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\): DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE LA REACCIÓN USANDO LOS GRÁFICOS

    Pruebe los datos dados para mostrar si la dimerización de C4H6 es una reacción de primer o segundo orden.

    Solución

    Prueba Tiempo (s) [C4H6] (M)
    1 0 1.00 × 10−2
    2 1600 5.04 × 10−3
    3 3200 3.37 × 10−3
    4 4800 2.53 × 10−3
    5 6200 2.08 × 10−3

    Para distinguir una reacción de primer orden de una reacción de segundo orden, graficamos ln[C4H6] versus t y lo comparamos con una gráfica de \(\mathrm{\dfrac{1}{[C_4H_6]}}\) versus t. Los valores necesarios para estas parcelas siguen.

    Tiempo (s) \(\dfrac{1}{[\ce{C4H6}]}\:(M^{−1})\) ln[C4H6]
    0 100 −4.605
    1600 198 −5.289
    3200 296 −5.692
    4800 395 −5.978
    6200 481 −6.175

    Los gráficos se muestran en la Figura \(\PageIndex{2}\). Como puede ver, la gráfica de ln[C4H6] versus t no es lineal, por lo tanto, la reacción no es de primer orden. La gráfica de \(\dfrac {1}{[\ce{C4H6}]} \) versus t es lineal, lo que indica que la reacción es de segundo orden.

    Two graphs are shown, each with the label “Time ( s )” on the x-axis. The graph on the left is labeled, “l n [ C subscript 4 H subscript 6 ],” on the y-axis. The graph on the right is labeled “1 divided by [ C subscript 4 H subscript 6 ],” on the y-axis. The x-axes for both graphs show markings at 3000 and 6000. The y-axis for the graph on the left shows markings at negative 6, negative 5, and negative 4. A decreasing slightly concave up curve is drawn through five points at coordinates that are (0, negative 4.605), (1600, negative 5.289), (3200, negative 5.692), (4800, negative 5.978), and (6200, negative 6.175). The y-axis for the graph on the right shows markings at 100, 300, and 500. An approximately linear increasing curve is drawn through five points at coordinates that are (0, 100), (1600, 198), (3200, 296), and (4800, 395), and (6200, 481).

    Figura \(\PageIndex{2}\): Estos dos gráficos muestran gráficos de primer y segundo orden para la dimerización de C4H6. Como el gráfico de primer orden (izquierda) no es lineal, sabemos que la reacción no es de primer orden. La tendencia lineal en el gráfico de segundo orden (derecha) indica que la reacción sigue una cinética de segundo orden.

    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    ¿Los siguientes datos se ajustan a una ley de tasa de segundo orden?

    Prueba Tiempo (s) [A] (M)
    1 5 0.952
    2 10 0.625
    3 15 0.465
    4 20 0.370
    5 25 0.308
    6 35 0.230
     
    Respuesta:

    Si. La gráfica de \(\dfrac{1}{[A]}\) vs. t es lineal:

     A graph, with the title “1 divided by [ A ] vs. Time” is shown, with the label, “Time ( s ),” on the x-axis. The label “1 divided by [ A ]” appears left of the y-axis. The x-axis shows markings beginning at zero and continuing at intervals of 10 up to and including 40. The y-axis on the left shows markings beginning at 0 and increasing by intervals of 1 up to and including 5. A line with an increasing trend is drawn through six points at approximately (4, 1), (10, 1.5), (15, 2.2), (20, 2.8), (26, 3.4), and (36, 4.4).

    Reacciones de orden cero

    Para las reacciones de orden cero, la ley de tasa diferencial es:

    \[\ce{Rate}=k[A]^0=k\]

    Por lo tanto, una reacción de orden cero exhibe una velocidad de reacción constante, independientemente de la concentración de sus reactivos

    La ley de velocidad integrada para una reacción de orden cero también tiene la forma de la ecuación de una línea recta:

    \(\begin{align*}
    [A]&=−kt+[A]_0\\
    y&=mx+b
    \end{align*}\)

    Una gráfica de [A] versus t para una reacción de orden cero es una línea recta con una pendiente de −k y una intersección de [A]0. La Figura \(\PageIndex{3}\) muestra una gráfica de [NH3] versus t para la descomposición del amoníaco en un alambre de tungsteno caliente y para la descomposición del amoníaco en cuarzo caliente (SiO2). La descomposición de NH3 en tungsteno caliente es de orden cero; la trama es una línea recta. La descomposición de NH3 en el cuarzo caliente no es de orden cero (es de primer orden). A partir de la pendiente de la línea para la descomposición de orden cero, podemos determinar el constante de la velocidad:

    \[\ce{slope}=−k=\mathrm{1.3110^{−6}\:mol/L/s}\]

    Figura \(\PageIndex{3}\): La descomposición de NH3 en una superficie de tungsteno (W) es una reacción de orden cero, mientras que en una superficie de cuarzo (SiO2), la reacción es de primer orden.

    La vida media de una reacción

    La vida media de una reacción (t1/2) es el tiempo requerido para consumir la mitad de una cantidad dada de reactivo. En cada semivida subsiguiente, se consume la mitad de la concentración restante del reactivo. Usando la descomposición del peróxido de hidrógeno como un ejemplo, encontramos que durante la primera vida media (de 0.00 horas a 6.00 horas), la concentración de H2O2 disminuye de 1.000 M a 0.500 M. Durante la segunda vida media (de 6.00 horas a 12.00 horas), la concentración de H2O2 disminuye de 0.500 M a 0.250 M; durante la tercera vida media, disminuye de 0.250 M a 0.125 M. La concentración de H2Odisminuye por la mitad durante cada período sucesivo de 6.00 horas. La descomposición del peróxido de hidrógeno es una reacción de primer orden y, como se puede mostrar, la vida media de una reacción de primer orden es independiente de la concentración del reactivo. Sin embargo, las vidas medias de las reacciones con otros órdenes dependen de las concentraciones de los reactivos.

    Reacciones de primer orden

    Podemos derivar una ecuación para determinar la vida media de una reacción de primer orden a partir de la forma alternativa de la ley de velocidad integrada de la siguiente manera:

    \[\begin{align*}
    \ln\dfrac{[A]_0}{[A]}&=kt\\
    t&=\ln\dfrac{[A]_0}{[A]}×\dfrac{1}{k}
    \end{align*}\]

    Si establecemos el tiempo t que sea igual a la vida media, \(t_{1/2}\), la concentración correspondiente de A en este momento es igual a la mitad de su concentración inicial. Por lo tanto, cuando \(t=t_{1/2}\), \([A]=\dfrac{1}{2}[A]_0\).

    Por lo tanto:

    \[\begin{align*}
    t_{1/2}&=\ln\dfrac{[A]_0}{\dfrac{1}{2}[A]_0}×\dfrac{1}{k}\\
    &=\ln 2×\dfrac{1}{k}=0.693×\dfrac{1}{k}
    \end{align*}\]

    En consecuencia:

    \[t_{1/2}=\dfrac{0.693}{k}\]

    Podemos ver que la vida media de una reacción de primer orden es inversamente proporcional al constante de velocidad k. Una reacción rápida (vida media más corta) tendrá una valor de k más grande; una reacción lenta (vida media más larga) tendrá una valor de k más bajo.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\): CÁLCULO DE UN CONSTANTE DE TASA DE PRIMER ORDEN USANDO LA MEDIA VIDA

    Calculate the rate constant for the first-order decomposition of hydrogen peroxide in water at 40 °C, using the data given in Figure \(\PageIndex{4}\).

    Figura \(\PageIndex{4}\): Se ilustra la descomposición del H2O \(\ce{(2H2O2⟶2H2O+O2)}\) a 40 °C. La intensidad del color simboliza la concentración de H2O en los tiempos indicados; H2O2 es en realidad incoloro.

    Solución 

    La vida media para la descomposición del H2O2 es 2.16 × 104 s:

    \[\begin{align*}
    t_{1/2}&=\dfrac{0.693}{k}\\
    k&=\dfrac{0.693}{t_{1/2}}=\dfrac{0.693}{2.16×10^4\:\ce s}=3.21×10^{−5}\:\ce s^{−1}
    \end{align*}\]

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    La descomposición radiactiva de primer orden del yodo-131 exhibe un constante de velocidad de 0.138 d−1. ¿Cuál es la vida media de esta descomposición?

    Respuesta

    5.02 d.

     

    Reacciones de segundo orden

    Podemos derivar la ecuación para calcular la vida media de una reacción de segundo orden de la siguiente manera:

    \[\dfrac{1}{[A]}=kt+\dfrac{1}{[A]_0}\]

    o

    \[\dfrac{1}{[A]}−\dfrac{1}{[A]_0}=kt\]

    Si

    \[t=t_{1/2}\]

    luego

    \[[A]=\dfrac{1}{2}[A]_0\]

    y podemos escribir:

    \(\begin{align*}
    \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}[A]_0}−\dfrac{1}{[A]_0}&=kt_{1/2}\\
    2[A]_0−\dfrac{1}{[A]_0}&=kt_{1/2}\\
    \dfrac{1}{[A]_0}&=kt_{1/2}
    \end{align*}\)

    Así:

    \[t_{1/2}=\dfrac{1}{k[A]_0}\]

    Para una reacción de segundo orden, \(t_{1/2}\) es inversamente proporcional a la concentración del reactivo, y la vida media aumenta a medida que avanza la reacción porque la concentración del reactivo disminuye. En consecuencia, encontramos que el uso del concepto de vida media es más complejo para las reacciones de segundo orden que para las reacciones de primer orden. A diferencia de las reacciones de primer orden, el constante de velocidad de una reacción de segundo orden no se puede calcular directamente a partir de la vida media a menos que se conozca la concentración inicial de reactivo. 

    Reacciones de orden cero

    Podemos derivar una ecuación para calcular la vida media de una reacción de orden cero de la siguiente manera:

    \[[A]=−kt+[A]_0\]

    Cuando se ha consumido la mitad de la cantidad inicial del reactivo \(t=t_{1/2}\) and \([A]=\dfrac{[A]_0}{2}\). En consecuencia:

    \[\begin{align*}
    \dfrac{[A]_0}{2}&=−kt_{1/2}+[A]_0\\
    kt_{1/2}&=\dfrac{[A]_0}{2}
    \end{align*}\]

    y

    \[t_{1/2}=\dfrac{[A]_0}{2k}\]

    La vida media de una reacción de orden cero aumenta a medida que aumenta la concentración inicial de reactivo. Las ecuaciones para las leyes de tasa diferencial e integrada y las semividas correspondientes para las reacciones de cero, y también de primer y segundo orden se resumen en la Tabla \(\PageIndex{1}\).

    Tabla \(\PageIndex{1}\): Summary of Rate Laws for Zero-, First-, and Second-Order Reactions
      Orden cero Primer orden Segundo orden
    ley de tasas tasa = k tasa = k[A] tasa = k[A]2
    unidades de tasa constante M s−1 s−1 M−1 s−1
    ley de tasa integrada [A] = −kt + [A]0 ln[A] = −kt + ln[A]0 \(\dfrac{1}{[A]}=kt+\left(\dfrac{1}{[A]_0}\right)\)
    gráfico necesario para ajustar lineal de datos de velocidad [A] vs. t ln[A] vs. t \(\dfrac{1}{[A]}\) vs. t
    relación entre la pendiente del gráfico lineal y la tasa constante k = −slope k = −slope k = +slope
    media-vida \(t_{1/2}=\dfrac{[A]_0}{2k}\) \(t_{1/2}=\dfrac{0.693}{k}\) \(t_{1/2}=\dfrac{1}{[A]_0k}\)

    Resumen

    Las leyes de tasas diferenciales se pueden determinar por el método de tasas iniciales u otros métodos. Medimos valores para las velocidades iniciales de una reacción a diferentes concentraciones de reactivos. A partir de estas mediciones, determinamos el orden de la reacción en cada reactivo. Las leyes de tasa integrada se determinan mediante la integración de las leyes de tasa diferencial correspondientes. Los constantes de velocidad para esas leyes de velocidad se determinan a partir de las mediciones de la concentración en diversos momentos durante una reacción.

    La vida media de una reacción es el tiempo requerido para disminuir la cantidad de un reactivo dado a la mitad. La vida media de una reacción de orden cero disminuye a medida que disminuye la concentración inicial del reactivo en la reacción. La vida media de una reacción de primer orden es independiente de la concentración, y la vida media de una reacción de segundo orden disminuye a medida que aumenta la concentración.

    Ecuaciones Clave

    • ley de tasa integrada para reacciones de orden cero: \([A]=−kt+[A]_0\), \(t_{1/2}=\dfrac{[A]_0}{2k}\)
    • ley de tasa integrada para reacciones de primer orden: \(\ln[A]=−kt+[A]_0\), \(t_{1/2}=\dfrac{0.693}{k}\)
    • ley de tasa integrada para reacciones de primer orden: \(\dfrac{1}{[A]}=kt+\dfrac{1}{[A]_0}\), \(t_{1/2}=\dfrac{1}{[A]_0k}\

    Glosario

    vida media de una reacción (t 1/2)
    tiempo requerido para consumir la mitad de una cantidad dada de reactivo
    ley de tasa integrada
    ecuación que relaciona la concentración de un reactivo con el tiempo transcurrido de la reacción

    Contribuyebtes

    • Paul Flowers (Universidad de Carolina del Norte - Pembroke), Klaus Theopold (Universidad de Delaware) y Richard Langley (Stephen F. Austin Universidad del Estado) con autores contribuyentes. Contenido del libro de texto producido por la Universidad de OpenStax tiene licencia de Atribución de Creative Commons Licencia 4.0 licencia. Descarge gratis en http://cnx.org/contents/85abf193-2bd...a7ac8df6@9.110)."

    • Ana Martinez (amartinez02@saintmarys.edu) contribuyó a la traducción de este texto.