18.4: La estructura y las propiedades generales de los no metales
Habilidades para desarrollar
- Describir la estructura y las propiedades de los no metales.
Los no metales son elementos ubicados en la parte superior derecha de la tabla periódica. Sus propiedades y comportamiento son bastante diferentes a los de los metales del lado izquierdo de la tabla periódica. En condiciones normales, más de la mitad de los no metales son gases, uno es líquido y el resto incluye algunos de los sólidos más blandos y duros. Los no metales exhiben una gran variedad de comportamientos químicos. Incluyen los elementos más reactivos y menos reactivos, y forman muchos diferentes compuestos iónicos y covalentes. Esta sección presenta una descripción general de las propiedades y los comportamientos químicos de los no metales, así como la química de elementos específicos. Muchos de estos no metales son importantes en los sistemas biológicos.
En muchos casos, las tendencias en la electronegatividad nos permiten predecir el tipo de enlace y los estados físicos en los compuestos que involucran a los no metales. Sabemos que la electronegatividad disminuye a medida que nos movemos hacia abajo en un grupo dado y aumenta a medida que nos movemos de izquierda a derecha a lo largo de un período. Los no metales tienen electronegatividades más altas que los metales, y los compuestos formados entre los metales y los no metales son generalmente iónicos debido a las grandes diferencias de electronegatividad entre ellos. Los metales forman cationes, los no metales forman aniones y los compuestos resultantes son sólidos en condiciones normales. Por otro lado, los compuestos formados entre dos o más no metales tienen pequeñas diferencias en la electronegatividad entre los átomos, y el resultado es un enlace covalente (intercambio de electrones). Estas sustancias tienden a tener un carácter molecular y son gases, líquidos o sólidos volátiles a temperatura y presión ambiente.
En los procesos químicos normales, los no metales no forman iones positivos monoatómicos (cationes) porque sus energías de ionización son demasiado altas. Todos los iones monoatómicos no metálicos son aniones; los ejemplos incluyen el ion cloruro, Cl − , el ion nitruro, N 3− y el ion seleniuro, Se 2− . Las oxidaciones comunes que los no metales exhiben en sus compuestos iónicos y covalentes se muestran en la Figura \(\PageIndex{1}\). Recuerde que un elemento exhibe un estado de oxidación positivo cuando se combina con un elemento más electronegativo y que exhibe un estado de oxidación negativo cuando se combina con un elemento menos electronegativo.
Figura \(\PageIndex{1}\) : Los no metales exhiben estos estados de oxidación comunes en compuestos iónicos y covalentes.
El primer elemento de cada grupo no metálico exhibe comportamientos diferentes, en muchos aspectos, de los otros miembros del grupo. Las razones por esto incluyen un tamaño más pequeño, una mayor energía de ionización y (lo más importante) el hecho de que el primer miembro de cada grupo tiene solo cuatro orbitales de valencia (uno 2s y tres 2p ) disponibles para el enlace, mientras que otros miembros del grupo tienen orbitales d vacíos. en sus capas de valencia, haciendo posible cinco, seis o incluso más enlaces alrededor del átomo central. Por ejemplo, el nitrógeno forma solo NF 3 , mientras que el fósforo forma tanto PF 3 como PF 5 .
Recuerde que un elemento exhibe un estado de oxidación positivo cuando se combina con un elemento más electronegativo y que exhibe un estado de oxidación negativo cuando se combina con un elemento menos electronegativo.
Otra diferencia entre el primer miembro del grupo y los miembros subsiguientes es que el primer miembro de cada grupo tiene una capacidad mayor para formar enlaces π. Esto es principalmente una función del tamaño más pequeño del primer miembro de cada grupo, lo que permite una mejor superposición de los orbitales atómicos. Los no metales, además del primer miembro de cada grupo, rara vez forman enlaces π con los no metales que son el primer miembro de un grupo. Por ejemplo, los enlaces π de azufre-oxígeno son bien conocidos, mientras que el azufre normalmente no forma enlaces π estables consigo mismo.
La variedad de estados de oxidación mostrados por la mayoría de los no metales significa que muchas de sus reacciones químicas involucran cambios en el estado de oxidación a través de las reacciones de oxidación-reducción. Hay cinco aspectos generales de la química de oxidación-reducción:
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Los no metales oxidan la mayoría de los metales. El estado de oxidación del metal se vuelve positivo cuando se oxida y el del no metal se vuelve negativo cuando se reduce. Por ejemplo:
\[4 \underset{0}{\ce{Fe}} \left( s \right) + 3 \underset{0}{\ce{O_2}} \left( g \right) \rightarrow 2 \underset{+3}{\ce{Fe_2}} \underset{-2}{\ce{O_3}} \left( s \right)\] - Con la excepción del nitrógeno y el carbono, que son agentes oxidantes malos, un no metal más electronegativo oxida un no metal menos electronegativo o el anión del no metal:
\[\underset{0}{\ce{S}} \left( s \right) + \underset{0}{\ce{O_2}} \left( g \right) \rightarrow 2 \underset{+4}{\ce{S}} \underset{-2}{\ce{O_2}} \left( s \right)\]
\[\underset{0}{\ce{Cl_2}} \left( g \right) + 2 \ce{I^-} \left( aq \right) \rightarrow \underset{0}{\ce{I_2}} \left( s \right) + 2 \ce{Cl^-} \left( aq \right)\]
- El flúor y el oxígeno son los agentes oxidantes más fuertes dentro de sus respectivos grupos; cada uno oxida todos los elementos que se encuentran debajo de el en el grupo. Dentro de cualquier período, el agente oxidante más fuerte está en el grupo 17. A veces, un no metal oxida un elemento que se encuentra a su izquierda en el mismo período. Por ejemplo:
\[2 \underset{0}{\ce{As}} \left( s \right) + 3 \underset{0}{\ce{Br_2}} \left( l \right) \rightarrow 2 \underset{+3}{\ce{As}} \underset{-1}{\ce{Br_3}} \left( s \right)\]
- Lo más fuerte que es un no metal como un agente oxidante lo más difícil que es oxidar el anión formado por el no metal. Esto significa que los iones negativos más estables están formados por los elementos en la parte superior del grupo o en el grupo 17 del período.
- El flúor y el oxígeno son los elementos oxidantes más fuertes que se conocen. El flúor no forma compuestos en donde tiene un estado de oxidación positivo; el oxígeno exhibe un estado de oxidación positivo solo cuando se combina con el flúor. Por ejemplo: \[2 \underset{0}{\ce{F_2}} \left( g \right) + 2 \ce{OH^-} \left( aq \right) \rightarrow \underset{+2}{\ce{O}} \underset{-1}{\ce{F_2}} \left( g \right) + 2 \ce{F^-} \left( aq \right) + \ce{H_2O} \left( l \right)\]
Con la excepción de la mayoría de los gases nobles, todos los no metales forman compuestos con el oxígeno, produciendo los óxidos covalentes. La mayoría de estos óxidos son ácidos, es decir, reaccionan con el agua para formar los oxiácidos. Recuerde del capítulo ácido-base que un oxiácido es un ácido que consiste en hidrógeno, oxígeno y algún otro elemento. Las excepciones notables son el monóxido de carbono, CO, el óxido nitroso, N 2 O y el óxido nítrico, NO. Hay tres características de estos óxidos ácidos:
- Los óxidos como SO 2 y N 2 O 5 , en los que el no metal exhibe uno de sus estados de oxidación comunes, son anhídridos de ácido y reaccionan con el agua para formar los ácidos sin cambios en el estado de oxidación. El producto es un oxiácido. Por ejemplo: \[\ce{SO2}(g)+\ce{H2O}(l)⟶\ce{H2SO3}(aq)\] \[\ce{N2O5}(s)+\ce{H2O}(l)⟶\ce{2HNO3}(aq)\]
- Los óxidos como el NO 2 y el ClO 2 , en los que el no metal no presenta uno de sus estados de oxidación comunes, también reacciona con el agua. En estas reacciones, el no metal se oxida y se reduce. Por ejemplo: \[3 \underset{+4}{\ce{N}} \ce{O_2} \left( g \right) + \ce{H_2O} \left( l \right) \rightarrow 2 \ce{H} \underset{+5}{\ce{N}} \ce{O_3} \left( aq \right) + \underset{+2}{\ce{N}} \ce{O} \left( g \right)\] Reactions in which the same element is both oxidized and reduced are called disproportionation reactions .
- La fuerza del ácido aumenta a medida que aumenta la electronegatividad del átomo central. Para obtener más información, consulte la discusión en el capítulo sobre la química de ácido-base.
Los compuestos binarios de hidrógeno de los no metales también exhiben un comportamiento ácido en el agua, aunque solo el HCl, HBr y HI son ácidos fuertes. La fuerza ácida de los compuestos de hidrógeno no metálicos aumenta de izquierda a derecha a lo largo de un período y hacia abajo de un grupo. Por ejemplo, el amoníaco, NH 3 , es un ácido más débil que el agua, H 2 O, que es más débil que el fluoruro de hidrógeno, HF. El agua, H 2 O, también es un ácido más débil que el sulfuro de hidrógeno, H 2 S, que es más débil que el seleniuro de hidrógeno, H 2 Se. Un carácter ácido más débil implica más carácter básico.
Las estructuras de los no metales
Las estructuras de los no metales difieren dramáticamente de las de los metales. Los metales cristalizan en matrices muy compactas que no contienen moléculas ni enlaces covalentes. Las estructuras no metálicas contienen enlaces covalentes y muchos no metales consisten en moléculas individuales. Los electrones en los no metales están localizados en los enlaces covalentes, mientras que en un metal, hay una deslocalización de los electrones en todo el sólido.
Los gases nobles son todos monoatómicos, mientras que los demás gases no metálicos (hidrógeno, nitrógeno, oxígeno, flúor y cloro) existen normalmente como moléculas diatómicas: H 2 , N 2 , O 2 , F 2 y Cl 2 . Los otros halógenos también son diatómicos; El Br 2 es líquido y el I 2 existe como un sólido en condiciones normales. Los cambios de estado que ocurren al descender en la familia de los halógenos ofrecen excelentes ejemplos de la fuerza creciente de las fuerzas intermoleculares de Londres con una masa molecular creciente y una polarizabilidad creciente.
El oxígeno tiene dos alótropos: O 2 , dioxígeno y O 3 , ozono. El fósforo tiene tres alótropos comunes, comúnmente conocidos por sus colores: blanco, rojo y negro. El azufre tiene varios alótropos. También hay muchos alótropos de carbono. La mayoría de la gente sabe del diamante, el grafito y el carboncillo, pero pocas personas saben del reciente descubrimiento de los fullerenos, los nanotubos de carbono y el grafeno.
A continuación, se describen las propiedades físicas de tres no metales que son característicos de los sólidos moleculares.
El carbón
El carbono se presenta en un estado no combinado (elemental) en varias formas, como el diamante, grafito, carboncillo, coque, negro de humo, grafeno y fullereno.
El diamante, que se muestra en la Figura \(\PageIndex{2}\), es un material cristalino muy duro que es incoloro y transparente cuando está puro. Cada átomo forma cuatro enlaces sencillos con otros cuatro átomos en las esquinas de un tetraedro (hibridación sp 3 ); esto hace que el diamante sea una molécula gigante. Los enlaces simples de carbono-carbono son muy fuertes y, debido a que se extienden por todo el cristal para formar una red tridimensional, los cristales son muy fuertes y tienen altos puntos de fusión (~4400 °C).
Figura \(\PageIndex{2}\) : (a) El diamante y (b) el grafito son dos formas de carbono. (c) En la estructura cristalina del diamante, los enlaces covalentes forman tetraedros tridimensionales. (d) En la estructura cristalina del grafito, cada capa plana está hecha por anillos de seis miembros. (crédito a: modificación del trabajo de "Fancy Diamonds" / Flickr; crédito b: modificación del trabajo de http://images-of-elements.com/carbon.php )
El grafito, que también se muestra en la Figura \(\PageIndex{2}\), es un sólido blando, resbaladizo, de color negro grisáceo que conduce la electricidad. Estas propiedades se relacionan con su estructura, que consiste en capas de átomos de carbono, con cada átomo rodeado por otros tres átomos de carbono en una disposición planar trigonal. Cada átomo de carbono en el grafito forma tres enlaces σ, uno para cada uno de sus vecinos más cercanos, por medio de orbitales híbridos sp 2 . El orbital p no hibridado de cada átomo de carbono se superpone en los orbitales no hibridados de los átomos de carbono adyacentes en la misma capa para formar enlaces π. Se necesitan muchas formas de resonancia para describir la estructura electrónica de una capa de grafito; La figura \(\PageIndex{3}\) ilustra dos de estas formas.
Figure \(\PageIndex{3}\): (a) Los átomos de carbono en el grafito tienen orbitales p no hibridados. Cada orbital p esta perpendicular al plano de los átomos de carbono. (b) Estas son dos de las muchas formas de resonancia del grafito necesarias para describir su estructura electrónica como un híbrido de resonancia.
Los átomos dentro de una capa de grafito están unidos apretadamente por los enlaces de σ y π; sin embargo, las fuerzas entre las capas son débiles. Las fuerzas de dispersión de Londres mantienen las capas unidas. Para obtener más información sobre las fuerzas débiles, consulte la discusión en el capítulo sobre los líquidos y los sólidos. Las fuerzas débiles entre las capas le dan al grafito su carácter blando y escamoso que lo hace útil como plomo en los lápices y el carácter resbaladizo que lo hace útil como un lubricante. Los electrones sueltos en los enlaces de π resonantes se pueden mover por todo el sólido y son responsables por la conductividad eléctrica del grafito.
Otras formas de carbono elemental incluyen el negro de humo, carboncillo y coque. El negro de humo es una forma amorfa del carbón preparada por la combustión incompleta del gas natural, CH 4 . Es posible producir el carboncillo y el coque mediante la calentamiento de la madera y el carbón, respectivamente, a altas temperaturas en ausencia del aire.
Figura \(\PageIndex{4}\) : La estructura molecular de C 60 , el buckminsterfullereno, es icosaédrica.
Recientemente, se han identificado nuevas formas de moléculas de carbono elemental en el hollín generado por una llama humeante y en el vapor producido cuando el grafito se calienta a temperaturas muy altas en el vacío o en el helio. Una de estas nuevas formas, aislada por primera vez por el profesor Richard Smalley y sus compañeros de trabajo en la Universidad de Rice, consiste en moléculas icosaédricas (en forma de balón de fútbol) que contienen 60 átomos de carbono, C 60 . Esto es el buckminsterfullereno (a veces se llama bucky balls) en honor al arquitecto Buckminster Fuller, quien diseñó estructuras abovedadas, que tienen una apariencia similar (Figura \(\PageIndex{4}\)).
Los nanotubos y el grafeno
El grafeno y los nanotubos de carbono son dos alótropos de carbono recientemente descubiertos. Ambas formas tienen alguna relación con el grafito. El grafeno es una sola capa de grafito (un átomo de espesor), como se ilustra en la Figura \(\PageIndex{2}\), mientras que los nanotubos de carbono enrollan la capa en un tubo pequeño, como se ilustra en la Figura \(\PageIndex{5}\).
Figura \(\PageIndex{5}\): (a) El grafeno y (b) los nanotubos de carbono son alótropos del carbono.
El grafeno, que fue descubierto en el ano 2003 es muy fuerte, ligero, y un conductor eficiente del calor y la electricidad. Como en el grafito, los átomos de carbono forman una capa de anillos de seis miembros con átomos de carbono con hibridación de sp 2 en las esquinas. La resonancia estabiliza el sistema y conduce a su conductividad. Diferentemente al grafito, no hay apilamiento de las capas para producir una estructura tridimensional. Andre Geim y Kostya Novoselov de la Universidad de Manchester ganaron el Premio Nobel de Física 2010 por su trabajo pionero en la caracterización del grafeno.
El procedimiento más fácil para preparar el grafeno es mediante el uso de un trozo de cinta adhesiva para eliminar una sola capa de grafeno de la superficie de un trozo de grafito. Este método funciona porque solo hay fuerzas de dispersión de Londres débiles entre las capas de grafito. Los métodos alternativos son depositar una sola capa de átomos de carbono en la superficie de algún otro material (rutenio, iridio o cobre) o se puede sintetizar en la superficie del carburo de silicio mediante la sublimación del silicio.
Actualmente no existen aplicaciones comerciales del grafeno. Sin embargo, sus propiedades inusuales, como su alta movilidad de los electrones y su conductividad térmica, deberían hacer el grafeno adecuado para la fabricación de muchos dispositivos electrónicos avanzados y para soluciones de gestión térmica.
Los nanotubos de carbono son alótropos de carbono que tienen una estructura cilíndrica. Como el grafito y el grafeno, los nanotubos consisten en anillos de átomos de carbono con hibridación sp 2 . Diferentemente al grafito y el grafeno, que ocurren en capas, las capas se envuelven en un tubo y se unen para producir una estructura estable. Las paredes del tubo pueden ser de un átomo o de múltiples átomos de espesor.
Los nanotubos de carbono son materiales muy fuertes y son más duros que el diamante. Dependiendo de la forma del nanotubo, puede ser un conductor o un semiconductor. Para algunas aplicaciones, es preferible la forma conductora, pero para otras aplicaciones se usa la forma semiconductora.
El fundamento para la síntesis de los nanotubos de carbono es la generación de los átomos de carbono en el vacío. Es posible producir átomos de carbono mediante una descarga eléctrica a través del grafito, la vaporización del grafito con un láser y la descomposición de un compuesto de carbono.
La fuerza de los nanotubos de carbono eventualmente conducirá a algunas aplicaciones muy interesantes, un filamento producido a partir de varios nanotubos soportará un peso enorme. Sin embargo, las aplicaciones actuales solo emplean nanotubos a granel. La adición de nanotubos a los polímeros mejora las propiedades mecánicas, térmicas y eléctricas del material a granel. Actualmente hay nanotubos en algunas partes de bicicletas, esquís, bates de béisbol, cañas de pescar y tablas de surf.
El fósforo
La palabra fósforo proviene de las palabras griegas que significan traer luz . Cuando se aisló por primera vez el fósforo, los científicos notaron que brillaba en la oscuridad y se quemaba cuando se exponía al aire. El fósforo es el único miembro de su grupo que no se encuentra en un estado no combinado en la naturaleza; existe en muchas formas alotrópicas. Consideraremos dos de esas formas: el fósforo blanco y el fósforo rojo.
El fósforo blanco es un sólido blanco ceroso que se funde a 44.2 °C y hierve a 280 °C. Es insoluble en el agua y es muy soluble en el disulfuro de carbono y explosa en llamas en el aire. Como sólido, líquido y gas y en solución, el fósforo blanco existe como moléculas P 4 con cuatro átomos de fósforo en las esquinas de un tetraedro regular (Figura \(\PageIndex{5}\)). Cada átomo de fósforo se une covalentemente a los otros tres átomos de la molécula mediante enlaces covalentes simples. El fósforo blanco es el alótropo más reactivo y es muy tóxico.
Figura\(\PageIndex{5}\): (a) Debido a que el fósforo blanco explota en llamas en el aire, se almacena en el agua. (b) La estructura del fósforo blanco consiste en moléculas de P 4 dispuestas en un tetraedro. (c) El fósforo rojo es mucho menos reactivo que el fósforo blanco. (d) La estructura del fósforo rojo consiste en redes de tetraedros P 4 unidos por enlaces simples P-P. (crédito a: modificación del trabajo de http://images-of-elements.com/phosphorus.php )
Calentar el fósforo blanco a 270–300 °C en ausencia del aire produce el fósforo rojo. El fósforo rojo es más denso y tiene un punto de fusión más alto (~600 °C), es mucho menos reactivo y también es esencialmente no tóxico, es más fácil y seguro de manipular que el fósforo blanco. Su estructura es muy polimérica y parece contener redes tridimensionales de tetraedros P 4 unidos por enlaces simples de P-P. El fósforo rojo es insoluble en solventes que disuelven el fósforo blanco. Cuando se calienta el fósforo rojo, las moléculas de P 4 se subliman del sólido.
El azufre
La alotropía del azufre es mucho mayor y más compleja que la de cualquier otro elemento. El azufre es el fuego del infierno al que se refería en la Biblia y en otros lugares, y las referencias al azufre ocurren a lo largo de la historia, hasta el descubrimiento relativamente reciente de que es un componente de las atmósferas de Venus y de Io, una luna de Júpiter. El alótropo de azufre más común y estable es el azufre de color amarillo, o el azufre rómbico. Se llama así por la forma de sus cristales. El azufre rómbico es la forma a la que todos los demás alótropos revierten a una temperatura ambiente. Los cristales de azufre rómbico se funden a 113 °C. Al enfriar este líquido, se obtienen cristales largos de azufre monoclínico. Esta forma es estable desde 96 °C hasta el punto de fusión, 119 °C. A temperatura ambiente, vuelve gradualmente a la forma rómbica.
Tanto el azufre rómbico como el azufre monoclínico contienen moléculas S 8 en las que los átomos forman anillos fruncidos de ocho miembros que se parecen a coronas (Figura \(\PageIndex{6}\)). Cada átomo de azufre está unido a cada uno de sus dos vecinos en el anillo mediante los enlaces sencillos covalentes de S-S.
Figura \(\PageIndex{6}\): Estos cuatro alótropos de azufre muestran anillos fruncidos de ocho miembros. Cada átomo de azufre se une a cada uno de sus dos vecinos en el anillo mediante los enlaces simples covalentes de S-S. Aquí están (a) anillos S 8 individuales, (b) cadenas S 8 formadas cuando los anillos se abren, (c) cadenas más largas formadas al agregar átomos de azufre a las cadenas S 8 , y (d) parte de las cadenas de azufre muy largas formadas a temperaturas más altas.
Cuando el azufre rómbico se derrite, el líquido de color pajizo es bastante móvil; su viscosidad es baja porque las moléculas de S8 son esencialmente esféricas y ofrecen relativamente poca resistencia cuando se mueven unas moléculas sobre otras. Cuando la temperatura aumenta, los enlaces de S-S en los anillos se rompen y se forman cadenas poliméricas de átomos de azufre. Estas cadenas se combinan de un extremo a otro, formando cadenas aún más largas que se enredan entre sí. El líquido se oscurece gradualmente y se vuelve tan viscoso que finalmente (a unos 230 °C) no se vierte fácilmente. Los átomos que cuelgan en los extremos de las cadenas de átomos de azufre causan el color rojo oscuro porque su estructura electrónica difiere de la de los átomos de azufre que tienen enlaces a dos átomos de azufre adyacentes. Esto hace que absorban la luz de manera diferente y resulta en un color visible diferente. El enfriamiento rápido del líquido produce una masa amorfa parecida al hule, llamada el azufre plástico.
El azufre hierve a 445 °C y forma un vapor que consiste en moléculas de S 2 , S 6 y S 8 ; a aproximadamente 1000 °C, la densidad del vapor corresponde a la fórmula de S2, que es una molécula paramagnética como el O 2 y tiene una estructura electrónica similar con un doble enlace de azufre-azufre débil.
Como se vio en esta discusión, una característica importante del comportamiento estructural de los no metales es que los elementos generalmente ocurren con ocho electrones en sus capas de valencia. Si es necesario, los elementos forman suficientes enlaces covalentes para complementar los electrones ya presentes para tener un octeto. Por ejemplo, los miembros del grupo 15 tienen cinco electrones de valencia y solo requieren tres electrones adicionales para llenar sus capas de valencia. Estos elementos forman tres enlaces covalentes en sus estados libres: los enlaces triples en la molécula de N 2 o los enlaces simples a tres átomos diferentes en el arsénico y el fósforo. Los elementos del grupo 16 requieren solo dos electrones adicionales. El oxígeno forma un doble enlace en la molécula de O 2 , y el azufre, el selenio y el telurio forman dos enlaces simples en varios anillos y cadenas. Los halógenos forman moléculas diatómicas en las que cada átomo está involucrado en un solo enlace. Esto proporcional el electrón necesario para completar el octeto en el halógeno. Los gases nobles no forman enlaces covalentes con otros átomos de gases nobles porque ya tienen una capa exterior llena.
Resumen
Los no metales tienen estructuras que son muy diferentes a las de los metales, principalmente porque tienen mayor electronegatividad y tienen electrones que están más unidos a los átomos individuales. La mayoría de los óxidos no metálicos son anhídridos de ácido, lo que significa que reaccionan con el agua para formar soluciones ácidas. Las estructuras moleculares son comunes para la mayoría de los no metales, y varios tienen múltiples alótropos con diferentes propiedades físicas.
Glosario
- anhídrido ácido
- compuesto que reacciona con el agua para formar una solución ácida o un ácido
- reacción de desproporción
- reacción química en la que un solo reactivo se reduce y oxida simultáneamente; es tanto el agente reductor como el agente oxidante
Contribuyentes y atribuciones
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Paul Flowers (Universidad de Carolina del Norte - Pembroke), Klaus Theopold (Universidad de Delaware) y Richard Langley (Stephen F. Austin Universidad del Estado) con autores contribuyentes. Contenido del libro de texto producido por la Universidad de OpenStax tiene licencia de Atribución de Creative Commons Licencia 4.0 licencia. Descarge gratis en http://cnx.org/contents/85abf193-2bd...a7ac8df6@9.110) ."
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Ana Martinez ( amartinez02@saintmarys.edu ) contribuyó a la traducción de este texto.