3: Operador de evolución en el tiempo
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Los procesos dinámicos en la mecánica cuántica son descritos por un hamiltoniano que depende del tiempo. Naturalmente surge la pregunta ¿cómo tratamos a un hamiltoniano dependiente del tiempo? En principio, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo puede integrarse directamente eligiendo un conjunto de bases que abarque el espacio de interés. Usando una superficie de energía potencial, se puede propagar el sistema hacia adelante en pequeños pasos de tiempo y seguir la evolución de las amplitudes complejas en los estados base. En la práctica incluso esto es imposible para más de un puñado de átomos, cuando tratas mecánicamente todos los grados de libertad cuántica. Sin embargo, la complejidad matemática de resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para la mayoría de los sistemas moleculares hace imposible obtener soluciones analíticas exactas. Por lo tanto, nos vemos obligados a buscar soluciones numéricas basadas en métodos de perturbación o aproximación que reduzcan la complejidad. Entre estos métodos, la teoría de perturbación dependiente del tiempo es el enfoque más utilizado para los cálculos en espectroscopía, relajación y otros procesos de tasa. En esta sección trabajaremos en la clasificación de los métodos de aproximación y trabajaremos los detalles de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo.
- 3.1: Operador de Evolución en el Tiempo
- Estamos buscando ecuaciones de movimiento para sistemas cuánticos que sean equivalentes a las ecuaciones de Newton, o más exactamente de Hamilton, para sistemas clásicos. La pregunta es, si conocemos la función de onda en un momento específico, ¿cómo cambia con el tiempo? ¿Cómo determinamos la función de onda para algún tiempo posterior? Aquí utilizaremos nuestra intuición, basada en gran parte en la correspondencia con la mecánica clásica.
- 3.2: Integración directa de la ecuación de Schrödinger
- ¿Cómo evaluamos el propagador de tiempo y obtenemos una trayectoria dependiente del tiempo para un sistema cuántico? Más que recetas generales, existe un arsenal de diferentes estrategias que se adaptan a tipos particulares de problemas. La elección de cómo proceder generalmente viene dictada por los detalles de su problema, y a menudo es una forma de arte. Se necesita hacer un esfuerzo considerable para formular el problema, particularmente eligiendo una base adecuada para su problema.
- 3.3: Transiciones inducidas por el potencial dependiente del tiempo
- Para muchos problemas dependientes del tiempo, a menudo podemos dividir el problema para que el hamiltoniano dependiente del tiempo contenga una parte independiente del tiempo (H0) que podamos describir exactamente, y un potencial dependiente del tiempo. Los restantes grados de libertad son descartados, y luego sólo entran en el sentido de que dan lugar al potencial de interacción con H0. Esto es efectivo si tienes razones para creer que el hamiltoniano externo puede tratarse clásicamente o si es insignificante.
- 3.4: Conducción resonante de un sistema de dos niveles
- Vamos a describir lo que sucede cuando conduces un sistema de dos niveles con un potencial oscilante. Tenga en cuenta que esta es la forma que esperaría de un campo electromagnético que interactúa con partículas cargadas, es decir, transiciones dipolares. En un sentido sencillo, el campo eléctrico es
- 3.5: Representaciones de Schrödinger y Heisenberg
- La formulación matemática de la dinámica cuántica que se ha presentado no es única. Hasta el momento, hemos descrito la dinámica propagando la función de onda, que codifica densidades de probabilidad. En última instancia, como no podemos medir una función de onda, nos interesan los observables, que son amplitudes de probabilidad asociadas a operadores hermitianos, con dependencia del tiempo que se puede interpretar de manera diferente.
- 3.6: Imagen de interacción
- El cuadro de interacción es una representación híbrida que es útil para resolver problemas con hamiltonianos dependientes del tiempo.
- 3.7: Teoría de la perturbación dependiente del tiempo
- La teoría de perturbación se refiere a calcular la dependencia del tiempo de un sistema truncando la expansión del operador de tiempo-evolución de imagen de interacción después de un cierto término. En la práctica, truncar el propagador de tiempo completo U no es efectivo, y solo funciona bien por tiempos cortos en comparación con la inversa de la división de energía entre estados acoplados de su hamiltoniano.
- 3.8: La regla de oro de Fermi
- Una serie de relaciones importantes en la mecánica cuántica que describen los procesos de tasa provienen de la teoría de perturbaciones de primer orden. Estas expresiones comienzan con dos problemas de modelo que queremos resolver: (1) evolución temporal después de aplicar una perturbación escalonada, y (2) evolución temporal después de aplicar una perturbación armónica. Como antes, preguntaremos: si preparamos el sistema en un estado, ¿cuál es la probabilidad de observar el sistema en un estado diferente después de la perturbación?