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12: Teoría de Grupos - La Explotación de la Simetría

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    La Teoría de Grupos es una rama del campo matemático del álgebra. Una aplicación importante, la teoría de los grupos de simetría, es una poderosa herramienta para la predicción de las propiedades físicas de moléculas y cristales. Por ejemplo, es posible determinar si una molécula puede tener un momento dipolar. Muchas predicciones importantes de experimentos espectroscópicos (ópticos, IR o Raman) se pueden hacer puramente por consideraciones teóricas grupales. Las propiedades cualitativas de los orbitales moleculares se pueden obtener de la teoría de grupos (mientras que su energética precisa y ordenación tienen que ser determinados por un método químico cuántico). En química cuántica, la teoría de grupos puede aplicarse a cálculos ab initio o semiempíricos para reducir significativamente el costo computacional.

    • 12.2: Elementos de simetría
      Una operación de simetría es una acción que deja un objeto con el mismo aspecto después de que se haya realizado. Cada operación de simetría tiene un elemento de simetría correspondiente, que es el eje, plano, línea o punto con respecto al cual se realiza la operación de simetría. El elemento de simetría consiste en todos los puntos que permanecen en el mismo lugar cuando se realiza la operación de simetría.
    • 12.3: Operaciones de simetría Definir Grupos
      Un grupo matemático se define como un conjunto de elementos (\(g_1\),\(g_2\),\(g_3\)...) junto con una regla para formar combinaciones\(g_j\). El número de elementos\(h\) se llama el orden del grupo. Para nuestros propósitos, los elementos son las operaciones de simetría de una molécula y la regla para combinarlos es la aplicación secuencial de operaciones de simetría investigadas en el apartado anterior.
    • 12.4: Operaciones de simetría como matrices
      Las matrices se pueden utilizar para mapear un conjunto de coordenadas o funciones en otro conjunto. Las matrices utilizadas para este propósito se denominan matrices de transformación. En la teoría de grupos, podemos utilizar matrices de transformación para llevar a cabo las diversas operaciones de simetría discutidas anteriormente. Además del espacio 3D, investigaremos matrices más simples que usaríamos para llevar a cabo algunas de estas operaciones de simetría en un vector en el espacio 2D\((x,y)\).
    • 12.5: El Grupo de Puntos C3v
    • 12.6: Tablas de caracteres
      Ahora que hemos aprendido a crear una representación matricial de un grupo puntual dentro de una base determinada, pasaremos a mirar algunas de las propiedades que hacen que estas representaciones sean tan poderosas en el tratamiento de la simetría molecular.
    • 12.7: Caracteres de Representaciones Irreducibles
      el carácter de una representación grupal es una función en el grupo que asocia a cada elemento del grupo la traza de la matriz correspondiente. El personaje lleva la información esencial sobre la representación en una forma más condensada.
    • 12.8: Uso de la simetría para resolver determinantes seculares
      A medida que continuemos con este curso, descubriremos que hay muchas ocasiones en las que nos gustaría saber si una integral en particular es necesariamente cero, o si existe la posibilidad de que sea distinta de cero. A menudo podemos usar la teoría de grupos para diferenciar estos dos casos. Ya habrás usado propiedades de simetría de funciones para determinar si una integral unidimensional es cero o no. Por ejemplo, cos (x) es una función 'par' (simétrica con respecto a la reflexión a través del origen),
    • 12.9: Operadores Generadores
    • 12.E: Teoría de Grupos - La Explotación de la Simetría (Ejercicios)
      Estos son ejercicios de tarea para acompañar el Capítulo 12 de McQuarrie y Simon's “Physical Chemistry: A Molecular Approach” Textmap.


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