8.9: Utilizar el Sistema de Números Complejos
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Al final de esta sección, usted podrá:
- Evaluar la raíz cuadrada de un número negativo
- Sumar y restar números complejos
- Multiplicar números complejos
- Dividir números complejos
- Simplifique las potencias de \(i\)
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Dados los números \(-4,-\sqrt{7}, 0 . \overline{5}, \frac{7}{3}, 3, \sqrt{81}\), enumere el
- números racionales
- números irracionales
- números reales
Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 1.42.
- Multiplicar: \((x−3)(2x+5)\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.28. - Racionalizar el denominador: \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)
Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 5.32.
Evaluar la raíz cuadrada de un número negativo
Siempre que tenemos una situación en la que tenemos una raíz cuadrada de un número negativo decimos que no hay un número real que sea igual a esa raíz cuadrada. Por ejemplo, para simplificar \(\sqrt{-1}\), estamos buscando un número real para \(x\) eso \(x^{2}=-1\). Dado que todos los números reales al cuadrado son números positivos, no hay un número real que sea igual \(–1\) al cuadrado.
Los matemáticos a menudo han ampliado sus sistemas de números según sea necesario. Se sumaron \(0\) a los números de conteo para obtener los números enteros. Cuando necesitaban saldos negativos, agregaron números negativos para obtener los enteros. Cuando necesitaban la idea de partes de un todo agregaron fracciones y consiguieron los números racionales. Sumando los números irracionales permitió números como \(\sqrt{5}\). Todos estos juntos nos dieron los números reales y hasta ahora en su estudio de las matemáticas, eso ha sido suficiente.
Pero ahora ampliaremos los números reales para incluir las raíces cuadradas de los números negativos. Empezamos por definir la unidad imaginaria \(i\) como el número cuyo cuadrado es \(–1\).
Definición \(\PageIndex{1}\)
La unidad imaginaria \(i\) es el número cuyo cuadrado es \(-1\).
\(i^{2}=-1 \text { or } i=\sqrt{-1}\)
Utilizaremos la unidad imaginaria para simplificar las raíces cuadradas de los números negativos.
Definición \(\PageIndex{2}\)
Raíz cuadrada de un número negativo
Si \(b\) es un número real positivo, entonces
\(\sqrt{-b}=\sqrt{b} i\)
Usaremos esta definición en el siguiente ejemplo. Ten cuidado de que quede claro que el no \(i\) está bajo lo radical. A veces verás esto escrito como \(\sqrt{-b}=i \sqrt{b}\) para enfatizar el no \(i\) está bajo lo radical. Pero el \(\sqrt{-b}=\sqrt{b} i\) se considera forma estándar.
Escribir cada expresión en términos de \(i\) y simplificar es posible:
- \(\sqrt{-25}\)
- \(\sqrt{-7}\)
- \(\sqrt{-12}\)
Solución:
a.
\(\sqrt{-25}\)
Utilice la definición de la raíz cuadrada de números negativos.
\(\sqrt{25} i\)
Simplificar.
\(5i\)
b.
\(\sqrt{-7}\)
Utilice la definición de la raíz cuadrada de números negativos.
\(\sqrt{7} i\)
Simplificar.
Ten cuidado de que quede claro que no \(i\) está bajo el signo radical.
c.
\(\sqrt{-12}\)
Utilice la definición de la raíz cuadrada de números negativos.
\(\sqrt{12} i\)
Simplificar \(\sqrt{12}\).
\(2 \sqrt{3} i\)
Escriba cada expresión en términos de \(i\) y simplifique si es posible:
- \(\sqrt{-81}\)
- \(\sqrt{-5}\)
- \(\sqrt{-18}\)
- Responder
-
- \(9i\)
- \(\sqrt{5} i\)
- \(3 \sqrt{2} i\)
Escriba cada expresión en términos de \(i\) y simplifique si es posible:
- \(\sqrt{-36}\)
- \(\sqrt{-3}\)
- \(\sqrt{-27}\)
- Responder
-
- \(6i\)
- \(\sqrt{3} i\)
- \(3\sqrt{3} i\)
Ahora que estamos familiarizados con el número imaginario \(i\), podemos ampliar los números reales para incluir números imaginarios. El sistema numérico complejo incluye los números reales y los números imaginarios. Un número complejo es de la forma \(a+bi\), donde \(a, b\) son números reales. Llamamos a \(a\) la parte real y a \(b\) la parte imaginaria.
Definición \(\PageIndex{3}\)
Un número complejo es de la forma \(a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales.
Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como \(a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales.
Si \(b=0\), entonces \(a+bi\) se convierte \(a+0⋅i=a\), y es un número real.
Si \(b≠0\), entonces \(a+bi\) es un número imaginario.
Si \(a=0\), entonces \(a+bi\) se convierte \(0+bi=bi\), y se llama un número imaginario puro.
Esto lo resumimos aquí.
| \(a+bi\) | ||
| \(b=0\) |
\(a+0 \cdot i\) \(a\) |
Número real |
| \(b\neq 0\) | \(a+bi\) | Número imaginario |
| \(a=0\)R |
\(0+bi\) \(bi\) |
Numbe4 imaginario puro |
La forma estándar de un número complejo es \(a+bi\), por lo que esto explica por qué la forma preferida es \(\sqrt{-b}=\sqrt{b} i\) cuándo \(b>0\).
El diagrama nos ayuda a visualizar el complejo sistema numérico. Se compone tanto de los números reales como de los números imaginarios.
Sumar o restar números complejos
Ahora estamos listos para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en los números complejos, tal como hicimos con los números reales.
Sumar y restar números complejos es muy parecido a sumar o restar términos similares. Sumaremos o restamos las partes reales y luego sumamos o restamos las partes imaginarias. Nuestro resultado final debe ser en forma estándar.
Añadir: \(\sqrt{-12}+\sqrt{-27}\).
Solución:
\(\sqrt{-12}+\sqrt{-27}\)
Utilice la definición de la raíz cuadrada de números negativos.
\(\sqrt{12} i+\sqrt{27} i\)
Simplifica las raíces cuadradas.
\(2 \sqrt{3} i+3 \sqrt{3} i\)
Añadir.
\(5 \sqrt{3} i\)
Añadir: \(\sqrt{-8}+\sqrt{-32}\).
- Responder
-
\(6 \sqrt{2} i\)
Añadir: \(\sqrt{-27}+\sqrt{-48}\)
- Responder
-
\(7 \sqrt{3} i\)
Recuerda agregar tanto las partes reales como las partes imaginarias en este siguiente ejemplo.
Simplificar:
- \((4-3 i)+(5+6 i)\)
- \((2-5 i)-(5-2 i)\)
Solución:
a.
\((4-3 i)+(5+6 i)\)
Utilice la Propiedad Asociativa para unir las partes reales y las partes imaginarias.
\((4+5)+(-3 i+6 i)\)
Simplificar.
\(9+3i\)
b.
\((2-5 i)-(5-2 i)\)
Distribuir.
\(2-5 i-5+2 i\)
Utilice la Propiedad Asociativa para unir las partes reales y las partes imaginarias.
\(2-5-5 i+2 i\)
Simplificar.
\(-3-3 i\)
Simplificar:
- \((2+7 i)+(4-2 i)\)
- \((8-4 i)-(2-i)\)
- Responder
-
- \(6+5i\)
- \(6-3i\)
Simplificar:
- \((3-2 i)+(-5-4 i)\)
- \((4+3 i)-(2-6 i)\)
- Responder
-
- \(-2-6i\)
- \(2+9i\)
Multiplicar números complejos
Multiplicar números complejos también es muy parecido a multiplicar expresiones con coeficientes y variables. Sólo hay un caso especial que debemos considerar. Lo veremos después de practicar en los siguientes dos ejemplos.
Multiplicar: \(2 i(7-5 i)\)
Solución:
\(2 i(7-5 i)\)
Distribuir.
\(14 i-10 i^{2}\)
Simplificar \(i^{2}\).
\(14 i-10(-1)\)
Multiplicar.
\(14 i+10\)
Escribir en forma estándar.
\(10+14i\)
Multiplicar: \(4 i(5-3 i)\).
- Responder
-
\(12+20i\)
Multiplicar: \(-3 i(2+4 i)\).
- Responder
-
\(12-6i\)
En el siguiente ejemplo, multiplicamos los binomios usando la Propiedad Distributiva o FOIL .
Multiplicar: \((3+2 i)(4-3 i)\).
Solución:
\((3+2 i)(4-3 i)\)
Use papel de aluminio.
\(12-9 i+8 i-6 i^{2}\)
Simplifica \(i^{2}\) y combina términos similares.
\(12-i-6(-1)\)
Multiplicar.
\(12-i+6\)
Combina las partes reales.
\(18-i\)
Múltiple: \((5-3 i)(-1-2 i)\).
- Responder
-
\(-11-7i\)
Múltiple: \((-4-3 i)(2+i)\).
- Responder
-
\(-5-10i\)
En el siguiente ejemplo, podríamos usar FOIL o el Producto del Patrón de Cuadrados Binomiales.
Multiplicar: \((3+2 i)^{2}\)
Solución:
| Utilizar el Producto del Patrón Cuadrados Binomiales, \((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\). | |
| Simplificar. | |
| Simplificar \(i^{2}\). | |
| Simplificar. |
Multiplicar usando el patrón Cuadrados Binomiales: \((-2-5 i)^{2}\).
- Responder
-
\(-21+20 i\)
Multiplicar usando el patrón Cuadrados Binomiales: \((-5+4 i)^{2}\).
- Responder
-
\(9-40i\)
Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, no podemos usar la Propiedad del Producto para Radicales. Para multiplicar las raíces cuadradas de los números negativos primero debemos escribirlos como números complejos, usando \(\sqrt{-b}=\sqrt{b}i\).Este es un lugar donde los estudiantes tienden a cometer errores, así que ten cuidado cuando veas multiplicar por una raíz cuadrada negativa.
Multiplicar: \(\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-4}\).
Solución:
Para multiplicar las raíces cuadradas de los números negativos, primero las escribimos como números complejos.
\(\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-4}\)
Escribir como números complejos usando \(\sqrt{-b}=\sqrt{b}i\).
\(\sqrt{36} i \cdot \sqrt{4} i\)
Simplificar.
\(6 i \cdot 2 i\)
Multiplicar.
\(12i^{2}\)
Simplifica \(i^{2}\) y multiplica.
\(-12\)
Multiplicar: \(\sqrt{-49} \cdot \sqrt{-4}\).
- Responder
-
\(-14\)
Multiplicar: \(\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-81}\).
- Responder
-
\(-54\)
En el siguiente ejemplo, cada binomio tiene una raíz cuadrada de un número negativo. Antes de multiplicar, cada raíz cuadrada de un número negativo debe escribirse como un número complejo.
Multiplicar: \((3-\sqrt{-12})(5+\sqrt{-27})\).
Solución:
Para multiplicar las raíces cuadradas de los números negativos, primero las escribimos como números complejos.
\((3-\sqrt{-12})(5+\sqrt{-27})\)
Escribir como números complejos usando \(\sqrt{-b}=\sqrt{b}i\).
\((3-2 \sqrt{3} i)(5+3 \sqrt{3} i)\)
Use papel de aluminio.
\(15+9 \sqrt{3} i-10 \sqrt{3} i-6 \cdot 3 i^{2}\)
Combine términos similares y simplifique \(i^{2}\).
\(15-\sqrt{3} i-6 \cdot(-3)\)
Multiplica y combina términos similares.
\(33-\sqrt{3} i\)
Multiplicar: \((4-\sqrt{-12})(3-\sqrt{-48})\).
- Responder
-
\(-12-22 \sqrt{3} i\)
Multiplicar: \((-2+\sqrt{-8})(3-\sqrt{-18})\).
- Responder
-
\(6+12 \sqrt{2} i\)
Cuando estudiamos los polinomios, vimos por primera vez los pares conjugados. Dijimos que un par de binomios que cada uno tiene el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y uno es una diferencia se llama par conjugado y es de la forma \((a−b),(a+b)\).
Un par conjugado complejo es muy similar. Para un número complejo de la forma \(a+bi\), su conjugado es \(a−bi\). Note que tienen el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y uno es una diferencia.
Definición \(\PageIndex{4}\)
Un par conjugado complejo es de la forma \(a+bi,a-bi\).
Multiplicaremos un par conjugado complejo en el siguiente ejemplo.
Multiplicar: \((3-2 i)(3+2 i)\).
Solución:
\((3-2 i)(3+2 i)\)
Use papel de aluminio
\(9+6 i-6 i-4 i^{2}\)
Combine términos similares y simplifique \(i^{2}\).
\(9-4(-1)\)
Multiplica y combina términos similares.
\(13\)
Multiplicar: \((4-3 i) \cdot(4+3 i)\).
- Responder
-
\(25\)
Multiplicar: \((-2+5 i) \cdot(-2-5 i)\).
- Responder
-
\(29\)
A partir de nuestro estudio de polinomios, sabemos que el producto de los conjugados es siempre de la \((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\)forma.El resultado se llama diferencia de cuadrados. Podemos multiplicar un par conjugado complejo usando este patrón.
En el último ejemplo se utilizó el papel de aluminio. Ahora utilizaremos el Producto de Patrón de Conjugados.
Observe que este es el mismo resultado que encontramos en el Ejemplo 8.8.9.
Cuando multiplicamos conjugados complejos, el producto de los últimos términos siempre tendrá una \(i^{2}\) que simplifica a \(−1\).
\(\begin{array}{c}{(a-b i)(a+b i)} \\ {a^{2}-(b i)^{2}} \\ {a^{2}-b^{2} i^{2}} \\ {a^{2}-b^{2}(-1)} \\ {a^{2}+b^{2}}\end{array}\)
Esto nos lleva al Producto del Patrón de Conjugados Complejos: \((a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}\)
Definición \(\PageIndex{5}\)
Producto de conjugados complejos
Si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces
\((a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}\)
Multiplicar usando el Producto del Patrón de Conjugados Complejos: \((8-2 i)(8+2 i)\).
Solución:
| Utilizar el Producto del Patrón de Conjugados Complejos, \((a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}\). | |
| Simplifica los cuadrados. | |
| Añadir. |
Multiplicar usando el Producto del Patrón de Conjugados Complejos: \((3-10 i)(3+10 i)\).
- Responder
-
\(109\)
Multiplicar usando el Producto del Patrón de Conjugados Complejos: \((-5+4 i)(-5-4 i)\).
- Responder
-
\(41\)
Dividir números complejos
Dividir números complejos es muy parecido a racionalizar un denominador. Queremos que nuestro resultado sea en forma estándar sin números imaginarios en el denominador.
Dividir: \(\frac{4+3 i}{3-4 i}\).
Solución:
| Paso 1: Escribe tanto el numerador como el denominador en forma estándar. | Ambos están en forma estándar. | \(\frac{4+3 i}{3-4 i}\) |
| Paso 2: Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador. | El conjugado complejo de \(3-4i\) es \(3+4i\). | \(\frac{(4+3 i)\color{red}{(3+4 i)}}{(3-4 i)\color{red}{(3+4 i)}}\) |
| Paso 3: Simplifica y escribe el resultado en forma estándar. |
Usa el patrón \((a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}\) en el denominador. Combina términos similares. Simplificar. Escribe el resultado en forma estándar. |
\(\begin{array}{c}{\frac{12+16 i+9 i+12 i^{2}}{9+16}} \\ {\frac{12+25 i-12}{25}} \\ {\frac{25 i}{25}} \\ {i}\end{array}\) |
Dividir: \(\frac{2+5 i}{5-2 i}\).
- Responder
-
\(i\)
Dividir: \(\frac{1+6 i}{6-i}\).
- Responder
-
\(i\)
Aquí resumimos los pasos.
Cómo dividir números complejos
- Escribir tanto el numerador como el denominador en forma estándar.
- Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador.
- Simplifique y escriba el resultado en forma estándar.
Divide, escribiendo las respuestas en forma estándar: \(\frac{-3}{5+2 i}\).
Solución:
\(\frac{-3}{5+2 i}\)
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.
\(\frac{-3(5-2 i)}{(5+2 i)(5-2 i)}\)
Multiplica en el numerador y usa el Producto del Patrón de Conjugados Complejos en el denominador.
\(\frac{-15+6 i}{5^{2}+2^{2}}\)
Simplificar.
\(\frac{-15+6 i}{29}\)
Escribir en forma estándar.
\(-\frac{15}{29}+\frac{6}{29} i\)
Dividir, escribiendo la respuesta en forma estándar: \(\frac{4}{1-4 i}\).
- Responder
-
\(\frac{4}{17}+\frac{16}{17} i\)
Dividir, escribiendo la respuesta en forma estándar: \(\frac{-2}{-1+2 i}\).
- Responder
-
\(\frac{2}{5}+\frac{4}{5} i\)
Ten cuidado al encontrar el conjugado del denominador.
Dividir: \(\frac{5+3 i}{4 i}\).
Solución:
\(\frac{5+3 i}{4 i}\)
Escribe el denominador en forma estándar.
\(\frac{5+3 i}{0+4 i}\)
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.
\(\frac{(5+3 i)(0-4 i)}{(0+4 i)(0-4 i)}\)
Simplificar.
\(\frac{(5+3 i)(-4 i)}{(4 i)(-4 i)}\)
Multiplicar.
\(\frac{-20 i-12 i^{2}}{-16 i^{2}}\).
Simplifique el \(i^{2}\).
\(\frac{-20 i+12}{16}\)
Reescribir en forma estándar.
\(\frac{12}{16}-\frac{20}{16} i\)
Simplifica las fracciones.
\(\frac{3}{4}-\frac{5}{4} i\)
Dividir: \(\frac{3+3 i}{2 i}\).
- Responder
-
\(\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i\)
Dividir: \(\frac{2+4 i}{5 i}\).
- Responder
-
\(\frac{4}{5}-\frac{2}{5} i\)
Simplifique los poderes de \(i\)
Los poderes de \(i\) hacer un patrón interesante que nos ayudará a simplificar poderes superiores de \(i\). Vamos a evaluar los poderes de \(i\) ver el patrón.
\(\begin{array}{ccc}{i^{1}} & {i^{2}} & {i^{3}} & {i^{4}} \\ {i} & {-1} & {i^{2}\cdot i} & {i^{2}\cdot i^{2}}\\ {}&{}&{-1\cdot i}&{(-1)(-1)}\\ {}&{}&{-i}&{1}\end{array}\)
\(\begin{array}{cccc}{i^{5}} & {i^{6}} & {i^{7}} & {i^{8}} \\ {i^{4} \cdot i} & {i^{4} \cdot i^{2}} & {i^{4} \cdot i^{3}} & {i^{4} \cdot i^{4}} \\ {1 \cdot i} & {1 \cdot i^{2}} & {1 \cdot i^{3}} & {1 \cdot 1} \\ {i} & {i^{2}} & {i^{3}} & {1} \\ {}&{-1} & {-i}\end{array}\)
Esto lo resumimos ahora.
\(\begin{array}{ll}{i^{1}=i} & {i^{5}=i} \\ {i^{2}=-1} & {i^{6}=-1} \\ {i^{3}=-i} & {i^{7}=-i} \\ {i^{4}=1} & {i^{8}=1}\end{array}\)
De continuar, el patrón seguiría repitiéndose en bloques de cuatro. Podemos usar este patrón para ayudarnos a simplificar los poderes de \(i\). Ya que \(i^{4}=1\), reescribimos cada poder \(i^{n}\),, como un producto usando \(i^{4}\) a un poder y otro poder de \(i\).
Lo reescribimos en la forma \(i^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r}\), donde el exponente, \(q\), es el cociente de \(n\) dividido por \(4\) y el exponente, \(r\), es el resto de esta división. Por ejemplo, para simplificar \(i^{57}\), dividimos \(57\) por \(4\) y obtenemos \(14\) con un resto de \(1\). En otras palabras, \(57=4⋅14+1\). Entonces escribimos \(i^{57}=\left(1^{4}\right)^{14} \cdot i^{1}\) y luego simplificamos a partir de ahí.
Simplificar: \(i^{86}\).
Solución:
\(i^{86}\)
Dividir \(86\) por \(4\) y reescribir \(i^{86}\) en la \(i^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r}\) forma.
\(\left(1^{4}\right)^{21} \cdot i^{2}\)
Simplificar.
\((1)^{21} \cdot(-1)\)
Simplificar.
\(-1\)
Simplificar: \(i^{74}\).
- Responder
-
\(-1\)
Simplificar: \(i^{92}\).
- Responder
-
\(1\)
Acceda a estos recursos en línea para instrucción y práctica adicionales con el complejo sistema de números.
- Expresando raíces cuadradas de números negativos con i
- Restar y Multiplicar Números Complejos
- Dividir números complejos
- Reescritura de Poderes de i
Conceptos Clave
- Raíz cuadrada de un número negativo
- Si \(b\) es un número real positivo, entonces\ (\ sqrt {-b} =\ sqrt {b} i\
| \(a+bi\) | ||
| \(b=0\) |
\(a+0\cdot i\) \(a\) |
Número real |
| \(b\neq 0\) | \(a+bi\) | Número imaginario |
| \(a=0\) |
\(0+bi\) \(bi\) |
Puro número imaginario |
-
- Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como a + bi , donde a, b son números reales.
Figura 8.8.2
- Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como a + bi , donde a, b son números reales.
- Producto de conjugados complejos
- Si \(a, b\) son números reales, entonces
\((a−bi)(a+bi)=a^{2}+b^{2}\)
- Si \(a, b\) son números reales, entonces
- Cómo dividir números complejos
- Escribir tanto el numerador como el denominador en forma estándar.
- Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.
- Simplifique y escriba el resultado en forma estándar.
Glosario
- par conjugado complejo
- Un par conjugado complejo es de la forma \(a+bi, a-bi\).
- número complejo
- Un número complejo es de la forma \(a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales. Llamamos a \(a\) la parte real y a \(b\) la parte imaginaria.
- sistema numérico complejo
- El complejo sistema numérico se compone tanto de los números reales como de los números imaginarios.
- unidad imaginaria
- La unidad imaginaria \(i\) es el número cuyo cuadrado es \(–1\). \(i^{2}=-1\) o \(i=\sqrt{−1}\).
- forma estándar
- Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como \(a+bi\), donde \(a, b\) son números reales.