8.9E: Ejercicios
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La práctica hace a la perfección
En los siguientes ejercicios, escriba cada expresión en términos de \(i\) y simplifique si es posible.
- a. \(\sqrt{-16}\) b. \(\sqrt{-11}\) c. \(\sqrt{-8}\)
- a. \(\sqrt{-121}\) b. \(\sqrt{-1}\) c. \(\sqrt{-20}\)
- a. \(\sqrt{-100}\) b. \(\sqrt{-13}\) c. \(\sqrt{-45}\)
- a. \(\sqrt{-49}\) b. \(\sqrt{-15}\) c. \(\sqrt{-75}\)
- Contestar
-
1. a. \(4i\) b. \(i\sqrt{11}\) c. \(2i\sqrt{2}\)
3. a. \(10i\) b. \(i\sqrt{13}\) c. \(3i\sqrt{5}\)
En los siguientes ejercicios, suma o resta, poniendo la respuesta en \(a + bi\) forma.
5. \(\sqrt{-75}+\sqrt{-48}\)
6. \(\sqrt{-12}+\sqrt{-75}\)
7. \(\sqrt{-50}+\sqrt{-18}\)
8. \(\sqrt{-72}+\sqrt{-8}\)
9. \((1+3 i)+(7+4 i)\)
10. \((6+2 i)+(3-4 i)\)
11. \((8-i)+(6+3 i)\)
12. \((7-4 i)+(-2-6 i)\)
13. \((1-4 i)-(3-6 i)\)
14. \((8-4 i)-(3+7 i)\)
15. \((6+i)-(-2-4 i)\)
16. \((-2+5 i)-(-5+6 i)\)
17. \((5-\sqrt{-36})+(2-\sqrt{-49})\)
18. \((-3+\sqrt{-64})+(5-\sqrt{-16})\)
19. \((-7-\sqrt{-50})-(-32-\sqrt{-18})\)
20. \((-5+\sqrt{-27})-(-4-\sqrt{-48})\)
- Contestar
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5. \(0+\left(9\sqrt{3}\right)i\)
7. \(0+\left(8\sqrt{2}\right)i\)
9. \(8+7i\)
11. \(14+2i\)
13. \(-2+2i\)
15. \(8+5i\)
17. \(7-13i\)
19. \(25-\left(2 \sqrt{2}\right) i\)
En los siguientes ejercicios, multiplica, poniendo la respuesta en \(a+bi\) forma.
21. \(4 i(5-3 i)\)
22. \(2 i(-3+4 i)\)
23. \(-6 i(-3-2 i)\)
24. \(-i(6+5 i)\)
25. \((4+3 i)(-5+6 i)\)
26. \((-2-5 i)(-4+3 i)\)
27. \((-3+3 i)(-2-7 i)\)
28. \((-6-2 i)(-3-5 i)\)
- Contestar
-
21. \(12+20i\)
23. \(-12+18i\)
25. \(-38+9 i\)
27. \(27+15i\)
En los siguientes ejercicios, multiplica usando el Patrón Producto de Cuadrados Binomiales, poniendo la respuesta en \(a+bi\) forma.
29. \((3+4 i)^{2}\)
30. \((-1+5 i)^{2}\)
31. \((-2-3 i)^{2}\)
32. \((-6-5 i)^{2}\)
- Contestar
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29. \(-7+24i\)
31. \(-5-12i\)
En los siguientes ejercicios, multiplica, poniendo la respuesta en \(a+bi\) forma.
33. \(\sqrt{-25} \cdot \sqrt{-36}\)
34. \(\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-16}\)
35. \(\sqrt{-9} \cdot \sqrt{-100}\)
36. \(\sqrt{-64} \cdot \sqrt{-9}\)
37. \((-2-\sqrt{-27})(4-\sqrt{-48})\)
38. \((5-\sqrt{-12})(-3+\sqrt{-75})\)
39. \((2+\sqrt{-8})(-4+\sqrt{-18})\)
40. \((5+\sqrt{-18})(-2-\sqrt{-50})\)
41. \((2-i)(2+i)\)
42. \((4-5 i)(4+5 i)\)
43. \((7-2 i)(7+2 i)\)
44. \((-3-8 i)(-3+8 i)\)
- Contestar
-
33. \(30i = 0 + 30i\)
35. \(-30 = -30 + 0i\)
37. \(-44+\left(4 \sqrt{3}\right) i\)
39. \(-20-\left(2 \sqrt{2}\right) i\)
41. \(5 = 5 + 0i\)
43. \(53 = 53 + 0i\)
En los siguientes ejercicios, multiplique utilizando el Producto del Patrón de Conjugados Complejos.
45. \((7-i)(7+i)\)
46. \((6-5 i)(6+5 i)\)
47. \((9-2 i)(9+2 i)\)
48. \((-3-4 i)(-3+4 i)\)
- Contestar
-
45. \(50\)
47. \(85\)
En los siguientes ejercicios, divide, poniendo la respuesta en \(a+bi\) forma.
49. \(\dfrac{3+4 i}{4-3 i}\)
50. \(\dfrac{5-2 i}{2+5 i}\)
51. \(\dfrac{2+i}{3-4 i}\)
52. \(\dfrac{3-2 i}{6+i}\)
53. \(\dfrac{3}{2-3 i}\)
54. \(\dfrac{2}{4-5 i}\)
55. \(\dfrac{-4}{3-2 i}\)
56. \(\dfrac{-1}{3+2 i}\)
57. \(\dfrac{1+4 i}{3 i}\)
58. \(\dfrac{4+3 i}{7 i}\)
59. \(\dfrac{-2-3 i}{4 i}\)
60. \(\dfrac{-3-5 i}{2 i}\)
- Contestar
-
49. \(i = 0 + i\)
51. \(\frac{2}{25}+\frac{11}{25} i\)
53. \(\frac{6}{13}+\frac{9}{13} i\)
55. \(-\frac{12}{13}-\frac{8}{13} i\)
57. \(\frac{4}{3}-\frac{1}{3} i\)
59. \(-\frac{3}{4}+\frac{1}{2} i\)
En los siguientes ejercicios, simplifique.
61. \(i^{41}\)
62. \(i^{39}\)
63. \(i^{66}\)
64. \(i^{48}\)
65. \(i^{128}\)
66. \(i^{162}\)
67. \(i^{137}\)
68. \(i^{255}\)
- Contestar
-
61. \(i^{41} = i^{40}\cdot i = \left(i^{4}\right)^{10}\cdot i= i\)
63. \(i^{66} = i^{64}\cdot i^{2} = \left(i^{4}\right)^{16}\cdot (-1)= -1\)
65. \(i^{128} = \left(i^{4}\right)^{32} = 1\)
67. \(i^{137} = i^{136}\cdot i = \left(i^{4}\right)^{34}\cdot i = 1 \cdot i = i\)
69. Explicar la relación entre números reales y números complejos.
70. Aniket se multiplicó de la siguiente manera y obtuvo la respuesta equivocada. ¿Qué tiene de malo su razonamiento?
\(\begin{array}{c}{\sqrt{-7} \cdot \sqrt{-7}} \\ {\sqrt{49}} \\ {7}\end{array}\)
71. Por qué es \(\sqrt{-64}=8 i\) pero \(\sqrt[3]{-64}=-4\).
72. Explica cómo dividir números complejos es similar a racionalizar un denominador.
- Contestar
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69. Las respuestas pueden variar
71. Las respuestas pueden variar
Autocomprobación
a. Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
b. En una escala de 1-10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo se puede mejorar esto?