10.2: Búsqueda de funciones compuestas e inversas
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Al final de esta sección, usted podrá:
- Buscar y evaluar funciones compuestas
- Determinar si una función es uno-a-uno
- Encuentra el inverso de una función
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Si \(f(x)=2 x-3\) y \(g(x)=x^{2}+2 x-3\), encuentra \(f(4)\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.48. - Resolver para \(x\), \(3x+2y=12\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.31. - Simplificar: \(5 \frac{(x+4)}{5}-4\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.25.
En este capítulo, introduciremos dos nuevos tipos de funciones, funciones exponenciales y funciones logarítmicas. Estas funciones se utilizan ampliamente en los negocios y las ciencias como veremos.
Buscar y evaluar funciones compuestas
Antes de introducir las funciones, necesitamos mirar otra operación sobre funciones llamada composición. En composición, la salida de una función es la entrada de una segunda función. Para funciones \(f\) y \(g\), la composición está escrita \(f∘g\) y está definida por \((f∘g)(x)=f(g(x))\).
Leemos \(f(g(x))\) como “\(f\) \(g\) de” \(x\).
Para hacer una composición, la salida de la primera función, \(g(x)\), se convierte en la entrada de la segunda función \(f\),, y así debemos estar seguros de que forma parte del dominio de \(f\).
La composición de funciones \(f\) y \(g\) está escrita \(f \cdot g\) y está definida por
\((f \circ g)(x)=f(g(x))\)
Leemos \(f(g(x))\) a \(f\) partir \(g\) de \(x\).
En realidad hemos utilizado la composición sin usar la notación muchas veces antes. Cuando graficamos funciones cuadráticas usando traducciones, estábamos componiendo funciones. Por ejemplo, si primero graficamos \(g(x)=x^{2}\) como parábola y luego la desplazamos verticalmente cuatro unidades, estábamos usando la composición definida por \((f∘g)(x)=f(g(x))\) dónde \(f(x)=x−4\).
Para las funciones \(f(x)=4x-5\) y \(g(x)=2x+3\), encontrar
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
Solución:
-
Utilice la definición de \((f \circ g)(x)\). Distribuir. Simplificar. Cuadro 10.1.1 -
Utilice la definición de \((f \circ g)(x)\). Distribuir. Simplificar. Cuadro 10.1.2
Observe la diferencia en el resultado en la parte a. y la parte b.
c. Aviso que \((f \cdot g)(x)\) es diferente a \((f \circ g)(x)\). En la parte a. hicimos la composición de las funciones. Ahora en la parte c. no los estamos componiendo, los estamos multiplicando.
Utilice la definición de \((f \cdot g)(x)\).
\((f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\)
Sustituto \(f(x)=4 x-5\) y \(g(x)=2 x+3\).
\((f \cdot g)(x)=(4 x-5) \cdot(2 x+3)\)
Multiplicar.
\((f \cdot g)(x)=8 x^{2}+2 x-15\)
Para las funciones \(f(x)=3x-2\) y \(g(x)=5x+1\), encontrar
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
- Responder
-
- \(15x+1\)
- \(15x-9\)
- \(15 x^{2}-7 x-2\)
Para las funciones \(f(x)=4 x-3\), y \(g(x)=6x-5\), encontrar
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
- Responder
-
- \(24 x-23\)
- \(24 x-23\)
- \(24 x^{2}-38 x+15\)
En el siguiente ejemplo evaluaremos una composición para un valor específico.
Para las funciones \(f(x)=x^{2}-4\), y \(g(x)=3 x+2\), encontrar:
- \((f \circ g)(-3)\)
- \((g \circ f)(-1)\)
- \((f \circ f)(2)\)
Solución:
-
Utilice la definición de \((f \circ g)(-3)\). Simplificar. Simplificar. 
Cuadro 10.1.3 -
Utilice la definición de \((g \circ f)(-1)\). 
Simplificar. 
Simplificar. 
Cuadro 10.1.4 -
Utilice la definición de \((f \circ f)(2)\). 
Simplificar. 
Simplificar. Cuadro 10.1.5
Para las funciones \(f(x)=x^{2}-9\), y \(g(x)=2x+5\), encontrar
- \((f \circ g)(-2)\)
- \((g \circ f)(-3)\)
- \((f \circ f)(4)\)
- Responder
-
- \(-8\)
- \(5\)
- \(40\)
Para las funciones \(f(x)=x^{2}+1\), y \(g(x)=3x-5\), encontrar
- \((f \circ g)(-1)\)
- \((g \circ f)(2)\)
- \((f \circ f)(-1)\)
- Responder
-
- \(65\)
- \(10\)
- \(5\)
Determinar si una función es uno-a-uno
Cuando introdujimos funciones por primera vez, dijimos que una función es una relación que asigna a cada elemento en su dominio exactamente un elemento en el rango. Para cada par ordenado en la relación, cada \(x\)valor se corresponde con un solo \(y\)valor.
Usamos el ejemplo de cumpleaños para ayudarnos a entender la definición. Toda persona tiene un cumpleaños, pero nadie tiene dos cumpleaños y está bien que dos personas compartan un cumpleaños. Ya que cada persona tiene exactamente un cumpleaños, esa relación es una función.
Una función es uno-a-uno si cada valor en el rango tiene exactamente un elemento en el dominio. Para cada par ordenado en la función, cada valor yse compara con un solo \(x\)valor.
Nuestro ejemplo de la relación de cumpleaños no es una función uno-a-uno. Dos personas pueden compartir el mismo cumpleaños. El valor de rango 2 de agosto es el cumpleaños de Liz y junio, por lo que un valor de rango tiene dos valores de dominio. Por lo tanto, la función no es uno-a-uno.
Una función es uno-a-uno si cada valor en el rango corresponde a un elemento en el dominio. Para cada par ordenado en la función, cada \(y\)valor se corresponde con un solo \(x\)valor. No hay \(y\)-valores repetidos.
Para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y, si es así, si la función es uno-a-uno.
- \(\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\)
- \(\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\)
Solución:
- \(\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\)
Cada \(x\)valor se corresponde con un solo \(y\)valor. Por lo que esta relación es una función.
Pero cada \(y\)valor no está emparejado con un solo \(x\)-valor, \((−3,27)\) y \((3,27)\), por ejemplo. Entonces esta función no es uno-a-uno.
- \(\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\)
Cada \(x\)valor se corresponde con un solo \(y\)valor. Por lo que esta relación es una función.
Dado que cada \(y\)valor está emparejado con un solo \(x\)valor, esta función es uno a uno.
Para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y si es así, es la función uno-a-uno.
- \(\{(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)\}\)
- \(\{(-4,8),(-2,4),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)\}\)
- Responder
-
- Función uno a uno
- Función; no uno a uno
Para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y si es así, es la función uno-a-uno.
- \(\{(27,-3),(8,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)\}\)
- \(\{(7,-3),(-5,-4),(8,0),(0,0),(-6,4),(-2,2),(-1,3)\}\)
- Responder
-
- No es una función
- Función; no uno a uno
Para ayudarnos a determinar si una relación es una función, utilizamos la prueba de línea vertical. Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangular es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto. Además, si alguna línea vertical interseca la gráfica en más de un punto, la gráfica no representa una función.
La línea vertical representa un \(x\)-valor y comprobamos que interseca la gráfica en un solo \(y\)valor. Entonces es una función.
Para comprobar si una función es uno-a-uno, utilizamos un proceso similar. Utilizamos una línea horizontal y verificamos que cada línea horizontal interseca la gráfica en un solo punto. La línea horizontal representa un \(y\)-valor y comprobamos que interseca la gráfica en un solo \(x\)valor. Si cada línea horizontal interseca la gráfica de una función en como máximo un punto, es una función uno a uno. Esta es la prueba de línea horizontal.
Prueba de línea horizontal
Si cada línea horizontal interseca la gráfica de una función en como máximo un punto, es una función uno a uno.
Podemos probar si una gráfica de una relación es una función mediante el uso de la prueba de línea vertical. Entonces podemos decir si la función es uno-a-uno aplicando la prueba de línea horizontal.
Determinar
- si cada gráfica es la gráfica de una función y, en caso afirmativo,
- si es uno-a-uno
Solución:
Figura 10.1.40
Dado que cualquier línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto, la gráfica es la gráfica de una función. Dado que cualquier línea horizontal interseca la gráfica en como máximo un punto, la gráfica es la gráfica de una función uno a uno.
b.
Dado que cualquier línea vertical interseca la gráfica en como máximo un punto, la gráfica es la gráfica de una función. La línea horizontal mostrada en la gráfica la cruza en dos puntos. Esta gráfica no representa una función uno a uno.
Determinar
- si cada gráfica es la gráfica de una función y, en caso afirmativo,
- si es uno-a-uno
- Responder
-
- No es una función
- Función uno a uno
Determinar
- si cada gráfica es la gráfica de una función y, en caso afirmativo,
- si es uno-a-uno
- Responder
-
- Función; no uno a uno
- Función uno a uno
Encuentra el inverso de una función
Veamos una función uno a uno, \(f\), representada por los pares ordenados \(\{(0,5),(1,6),(2,7),(3,8)\}\). Para cada \(x\)-valor, \(f\) suma \(5\) para obtener el \(y\)-valor. Para 'deshacer' la suma de \(5\), restamos \(5\) de cada \(y\)-valor y volvemos al \(x\)valor -original. Podemos llamar a esto “tomando el inverso de \(f\)” y nombrar la función \(f^{−1}\).
Observe que los pares ordenados de \(f\) y \(f^{−1}\) tienen sus \(x\)-valores y \(y\)-valores invertidos. El dominio de \(f\) es el rango de \(f^{−1}\) y el dominio de \(f^{−1}\) es el rango de \(f\).
Inversa de una función definida por pares ordenados
Si \(f(x)\) es una función uno a uno cuyos pares ordenados son de la forma \((x,y)\), entonces su función inversa \(f^{−1}(x)\) es el conjunto de pares ordenados \((y,x)\).
En el siguiente ejemplo encontraremos la inversa de una función definida por pares ordenados.
Encuentra el inverso de la función \(\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}\). Determinar el dominio y rango de la función inversa.
Solución:
Esta función es uno-a-uno ya que cada \(x\)-valor está emparejado con exactamente un \(y\)-valor.
Para encontrar lo inverso invertimos los \(x\)-valores y \(y\)-valores en los pares ordenados de la función.
\(\begin{array}{ll} {\text{Function}}&{\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}} \\ {\text{Inverse Function}}& {\{(3,0), (5,1), (7,2), (9,3)\}} \\ {\text{Domain of Inverse Function}}&{\{3, 5, 7, 9\}} \\ {\text{Range of Inverse Function}}&{\{0, 1, 2, 3\}} \end{array}\)
Encuentra el inverso de \(\{(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)\}\). Determinar el dominio y rango de la función inversa.
- Responder
-
Función inversa: \(\{(4,0),(7,1),(10,2),(13,3)\}\). Dominio: \(\{4,7,10,13\}\). Rango: \(\{0,1,2,3\}\).
Encuentra el inverso de \(\{(-1,4),(-2,1),(-3,0),(-4,2)\}\). Determinar el dominio y rango de la función inversa.
- Responder
-
Función inversa: \(\{(4,-1),(1,-2),(0,-3),(2,-4)\}\). Dominio: \(\{0,1,2,4\}\). Rango: \(\{-4,-3,-2,-1\}\).
Acabamos de señalar que si \(f(x)\) es una función uno a uno cuyos pares ordenados son de la forma \((x,y)\), entonces su función inversa \(f^{−1}(x)\) es el conjunto de pares ordenados \((y,x)\).
Entonces si un punto \((a,b)\) está en la gráfica de una función \(f(x)\), entonces el par ordenado \((b,a)\) está en la gráfica de \(f^{−1}(x)\). Ver Figura 10.1.43.
La distancia entre dos pares cualesquiera \((a,b)\) y \((b,a)\) se corta por la mitad por la línea \(y=x\). Entonces decimos que los puntos son imágenes espejo de uno al otro a través de la línea \(y=x\).
Dado que cada punto en la gráfica de una función \(f(x)\) es una imagen espejo de un punto en la gráfica de \(f^{−1}(x)\), decimos que los gráficos son imágenes espejo de uno al otro a través de la línea \(y=x\). Utilizaremos este concepto para graficar la inversa de una función en el siguiente ejemplo.
Gráfica, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno que se muestra.
Solución:
Podemos usar puntos en la gráfica para encontrar puntos en la gráfica inversa. Algunos puntos en la gráfica son: \((−5,−3),(−3,−1),(−1,0),(0,2),(3,4)\).
Entonces, la función inversa contendrá los puntos: \((−3,−5),(−1,−3),(0,−1),(2,0),(4,3)\).
Observe cómo la gráfica de la función original y la gráfica de las funciones inversas son imágenes espejo a través de la línea \(y=x\).
Gráfica, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno.
- Responder
-
Figura 10.1.49
Gráfica, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno.
- Responder
-
Figura 10.1.51
Cuando comenzamos nuestra discusión de una función inversa, hablamos de cómo la función inversa 'deshecha' lo que la función original hizo a un valor en su dominio con el fin de volver al \(x\)valor -original.
Funciones inversas
\(f^{-1}(f(x))=x\), para todos \(x\) en el dominio de \(f\)
\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\), para todos \(x\) en el dominio de \(f^{-1}\)
Podemos utilizar esta propiedad para verificar que dos funciones son inversas una de la otra.
Verificar que \(f(x)=5x−1\) y \(g(x)=\frac{x+1}{5}\) son funciones inversas.
Solución:
Las funciones son inversas entre sí si \(g(f(x))=x\) y \(f(g(x))=x\).
| Sustituir \(5x-1\) por \(f(x)\). | |
| Simplificar. | |
| Simplificar. | |
| Sustituto \(\frac{x+1}{5}\) de \(g(x)\). | |
| Simplificar. | |
| Simplificar. |
Dado que ambas \(g(f(x))=x\) y \(f(g(x))=x\) son verdaderas, las funciones \(f(x)=5x−1\) y \(g(x)=\frac{x+1}{5}\) son funciones inversas. Es decir, son inversos el uno del otro.
Verifique que las funciones sean inversas. \(f(x)=4 x-3\) y \(g(x)=\frac{x+3}{4}\).
- Responder
-
\(g(f(x))=x\), y \(f(g(x))=x\), por lo que son inversos.
Verifique que las funciones sean inversas. \(f(x)=2 x+6\) y \(g(x)=\frac{x-6}{2}\)
- Responder
-
\(g(f(x))=x,\) y \(f(g(x))=x,\) por lo tanto son inversos.
Hemos encontrado inversos de función definidos por pares ordenados y a partir de una gráfica. Ahora veremos cómo encontrar una inversa usando una ecuación algebraica. El método utiliza la idea de que si \(f(x)\) es una función uno a uno con pares ordenados \((x,y)\), entonces su función inversa \(f^{−1}(x)\) es el conjunto de pares ordenados \((y,x)\).
Si invertimos el \(x\) y \(y\) en la función y luego resolvemos para \(y\), obtenemos nuestra función inversa.
Encuentra el inverso de \(f(x)=4 x+7\).
Solución:
| Paso 1. Sustituto \(y\) de \(f(x)\). | Reemplazar \(f(x)\) con \(y\). | \(\begin{aligned} f(x) &=4 x+7 \\ y &=4 x+7 \end{aligned}\) |
| Paso 2: Intercambiar las variables \(x\) y \(y\). | Reemplazar \(x\) con \(y\) y luego \(y\) con \(x\). | \(x=4y+7\) |
| Paso 3: Resolver para \(y\). |
Resta \(7\) de cada lado. Dividir por \(4\). |
\(x-7=4 y\) \(\frac{x-7}{4}=y\) |
| Paso 4: Sustituir \(f^{-1}(x)\) por \(y\). | Reemplazar \(y\) con \(f^{-1}(x)\). | \(\frac{x-7}{4}=f^{-1}(x)\) |
| Paso 5: Verifique que las funciones sean inversas. |
Mostrar \(f^{-1}(f(x))=x\) y \(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\) |
\(\begin{aligned} f^{-1}(f(x)) & \stackrel{?}{=} x \\f^{-1}(4x+7)&\stackrel{?}{=}x\\ \frac{(4x+7)-7}{4}&\stackrel{?}{=}x \\ \frac{4x}{4}&\stackrel{?}{=}x\\x&=x \\ \\f(f^{-1}(x))&\stackrel{?}{=}x \\f \left(\frac{x-7}{4} \right)&\stackrel{?}{=}x \\ 4\left(\frac{x-7}{4} \right) + 7 &\stackrel{?}{=}x \\ x-7+7&\stackrel{?}{=}x \\x&=x \end{aligned}\) |
Encuentra el inverso de la función \(f(x)=5x-3\).
- Responder
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{5}\)
Encuentra el inverso de la función \(f(x)=8 x+5\).
- Responder
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{8}\)
A continuación resumimos los pasos.
Cómo encontrar la inversa de una función uno a uno
- Sustituto \(y\) de \(f(x)\).
- Intercambiar las variables \(x\) y \(y\).
- Resolver para \(y\).
- Sustituto \(f^{−1}(x)\) de \(y\).
- Verifique que las funciones sean inversas.
Encuentra el inverso de \(f(x)=\sqrt[5]{2 x-3}\).
Solución:
\(f(x)=\sqrt[5]{2 x-3}\)
Sustituto \(y\) de \(f(x)\).
\(y=\sqrt[5]{2 x-3}\)
Intercambiar las variables \(x\) y \(y\).
\(x=\sqrt[5]{2 y-3}\)
Resolver para \(y\).
\(\begin{aligned}(x)^{5} &=(\sqrt[5]{2 y-3})^{5} \\ x^{5} &=2 y-3 \\ x^{5}+3 &=2 y \\ \frac{x^{5}+3}{2} &=y \end{aligned}\)
Sustituto \(f^{-1}(x)\) de \(y\).
\(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}+3}{2}\)
Verifique que las funciones sean inversas.
\(\begin{array}{rr} {f^{-1}(f(x)) \stackrel{?}{=} x} & {f\left(f^{-1}(x)\right) \stackrel{?}{=} x} \\ {f^{-1}(\sqrt[5]{2x-3})\stackrel{?}{=}x}&{f\left(\frac{x^{5}+3}{2} \right)}\stackrel{?}{=}x \\ {\frac{(\sqrt[5]{2x-3})^{5}+3}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{2\left(\frac{x^{5}+3}{2} \right)-3}\stackrel{?}{=}x} \\ {\frac{2x-3+3}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{x^{5}+3-3}\stackrel{?}{=}x}\\ {\frac{2x}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{x^{5}}\stackrel{?}{=}x} \\ {x=x}&{x=x} \end{array}\)
Encuentra el inverso de la función \(f(x)=\sqrt[5]{3 x-2}\).
- Responder
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}+2}{3}\)
Encuentra el inverso de la función \(f(x)=\sqrt[4]{6 x-7}\).
- Responder
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+7}{6}\)
Conceptos Clave
- Composición de Funciones: La composición de las funciones \(f\) y \(g\), está escrita \(f∘g\) y está definida por
\((f \circ g)(x)=f(g(x))\)
Leemos \(f(g(x))\) a \(f\) partir \(g\) de \(x\). - Prueba de Línea Horizontal: Si cada línea horizontal, interseca la gráfica de una función en como máximo un punto, es una función uno-a-uno.
- Inversa de una función definida por pares ordenados: Si \(f(x)\) es una función uno a uno cuyos pares ordenados son de la forma \((x,y)\), entonces su función inversa \(f^{−1}(x)\) es el conjunto de pares ordenados \((y,x)\).
- Funciones inversas: Para cada uno \(x\) en el dominio de la función uno-a-uno \(f\) y \(f^{−1}\),
\(f^{-1}(f(x))=x\)
\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\) - Cómo encontrar la inversa de una función uno a uno:
- Sustituto \(y\) de \(f(x)\).
- Intercambiar las variables \(x\) y \(y\).
- Resolver para \(y\).
- Sustituto \(f^{−1}(x)\) de \(y\).
- Verifique que las funciones sean inversas.
Glosario
- función uno a uno
- Una función es uno-a-uno si cada valor en el rango tiene exactamente un elemento en el dominio. Para cada par ordenado en la función, cada \(y\)valor se corresponde con un solo \(x\)valor.