Capítulo 10 Ejercicios de revisión

Ejercicios de revisión de capítulos

Búsqueda de funciones compuestas e inversas

Ejercicio \(\PageIndex{1}\) Buscar y evaluar funciones compuestas

En los siguientes ejercicios, para cada par de funciones, encuentra

1. \((f \circ g)(x)\)
2. \((g \circ f)(x)\)
3. \((f \cdot g)(x)\)

1. \(f(x)=7 x-2\) y \(g(x)=5 x+1\)

2. \(f(x)=4 x\) y \(g(x)=x^{2}+3 x\)

Contestar

2.

1. \(4 x^{2}+12 x\)
2. \(16 x^{2}+12 x\)
3. \(4 x^{3}+12 x^{2}\)

Ejercicio \(\PageIndex{2}\) Buscar y evaluar funciones compuestas

En los siguientes ejercicios, evalúe la composición.

1. Para las funciones \(f(x)=3 x^{2}+2\) y \(g(x)=4 x-3\), encontrar
   1. \((f \circ g)(-3)\)
   2. \((g \circ f)(-2)\)
   3. \((f \circ f)(-1)\)
2. Para las funciones \(f(x)=2 x^{3}+5\) y \(g(x)=3 x^{2}-7\), encontrar
   1. \((f \circ g)(-1)\)
   2. \((g \circ f)(-2)\)
   3. \((g \circ g)(1)\)

Contestar

2.

1. \(-123\)
2. \(356\)
3. \(41\)

Ejercicio \(\PageIndex{3}\) Determinar si una función es uno-a-uno

En los siguientes ejercicios, para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y si es así, es la función uno-a-uno.

1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-4),(-1,-3),(0,-2)} , {(-1,-1),(-2,0),(-3,1) \}}\end{array}\)
2. \(\begin{array}{l}{\{(-3,0),(-2,-2),(-1,0),(0,1)} , {(1,2),(2,1),(3,-1) \}}\end{array}\)
3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,3),(-2,1),(-1,-1),(0,-3)} , {(1,-5),(2,-4),(3,-2) \}}\end{array}\)

Contestar

2. Función; no uno a uno

Ejercicio \(\PageIndex{4}\) Determinar si una función es uno-a-uno

En los siguientes ejercicios, determine si cada gráfica es la gráfica de una función y si es así, es uno-a-uno.

1. 1. 
      
      Figura 10.E.1
   2. 
      
      Figura 10.E.2
2. 1. 
      
      Figura 10.E.3
   2. 
      
      Figura 10.E.4

Contestar

1.

1. Función; no uno a uno
2. No es una función

Ejercicio \(\PageIndex{5}\) Encuentra el inverso de una función

En el siguiente ejercicio, encuentra el inverso de la función. Determinar el dominio y rango de la función inversa.

1. \(\{(-3,10),(-2,5),(-1,2),(0,1)\}\)

Contestar

1. Función inversa: \(\{(10,-3),(5,-2),(2,-1),(1,0)\}\). Dominio: \(\{1,2,5,10\}\). Rango: \(\{-3,-2,-1,0\}\).

Ejercicio \(\PageIndex{6}\) Encuentra el inverso de una función

En el siguiente ejercicio, grafica la inversa de la función uno-a-uno mostrada.

Figura 10.E.5

Contestar

Resuelve por tu cuenta

Ejercicio \(\PageIndex{7}\) Encuentra el inverso de una función

En los siguientes ejercicios, verifique que las funciones sean funciones inversas.

1. \(\begin{array}{l}{f(x)=3 x+7 \text { and }} {g(x)=\frac{x-7}{3}}\end{array}\)
2. \(\begin{array}{l}{f(x)=2 x+9 \text { and }} {g(x)=\frac{x+9}{2}}\end{array}\)

Contestar

1. \(g(f(x))=x,\) y \(f(g(x))=x,\) por lo tanto son inversos.

Ejercicio \(\PageIndex{8}\) Encuentra el inverso de una función

1. \(f(x)=6 x-11\)
2. \(f(x)=x^{3}+13\)
3. \(f(x)=\frac{1}{x+5}\)
4. \(f(x)=\sqrt[5]{x-1}\)

Contestar

1. \(f^{-1}(x)=\frac{x+11}{6}\)

3. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-5\)

Evaluar y graficar funciones exponenciales

Funciones Exponenciales de \(\PageIndex{9}\) Gráfica de Ejercicios

En los siguientes ejercicios, grafica cada una de las siguientes funciones.

1. \(f(x)=4^{x}\)
2. \(f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)
3. \(g(x)=(0.75)^{x}\)
4. \(g(x)=3^{x+2}\)
5. \(f(x)=(2.3)^{x}-3\)
6. \(f(x)=e^{x}+5\)
7. \(f(x)=-e^{x}\)

Contestar

1.

Figura 10.E.6

3.

Figura 10.E.7

5.

Figura 10.E.8

7.

Figura 10.E.9

Ejercicio \(\PageIndex{10}\) Resolver ecuaciones exponenciales

En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación.

1. \(3^{5 x-6}=81\)
2. \(2^{x^{2}}=16\)
3. \(9^{x}=27\)
4. \(5^{x^{2}+2 x}=\frac{1}{5}\)
5. \(e^{4 x} \cdot e^{7}=e^{19}\)
6. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{15}}=e^{2 x}\)

Contestar

2. \(x=-2, x=2\)

4. \(x=-1\)

6. \(x=-3, x=5\)

Ejercicio \(\PageIndex{11}\) Uso Modelos Exponenciales en Aplicaciones

En los siguientes ejercicios, resuelve.

1. Félix invirtió $\(12,000\) en una cuenta de ahorro. Si la tasa de interés es \(4\)% ¿cuánto habrá en la cuenta en \(12\) años por cada método de compounding?
   1. compuesto trimestral
   2. compuesto mensual
   3. compuesto continuamente
2. Sayed deposita $\(20,000\) en una cuenta de inversión. ¿Cuál será el valor de su inversión en \(30\) años si la inversión está ganando \(7\)% anual y se agrava continuamente?
3. Un investigador del Centro para el Control y Prevención de Enfermedades está estudiando el crecimiento de una bacteria. Ella inicia su experimento con \(150\) de la bacteria que crece a una tasa de \(15\)% por hora. Ella revisará la bacteria cada \(24\) hora. ¿Cuántas bacterias encontrará en \(24\) horas?
4. En los últimos cinco años la población de Estados Unidos ha crecido a una tasa de \(0.7\)% anual a aproximadamente \(318,900,000\). Si esta tasa continúa, ¿cuál será la población en \(5\) más años?

Contestar

2. \(\$ 163,323.40\)

4. \(330,259,000\)

Evaluar y graficar funciones logarítmicas

Ejercicio \(\PageIndex{12}\) Convertir entre forma exponencial y logarítmica

En los siguientes ejercicios, conviértalo de forma exponencial a logarítmica.

1. \(5^{4}=625\)
2. \(10^{-3}=\frac{1}{1,000}\)
3. \(63^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{63}\)
4. \(e^{y}=16\)

Contestar

2. \(\log \frac{1}{1,000}=-3\)

4. \(\ln 16=y\)

Ejercicio \(\PageIndex{13}\) Convertir entre forma exponencial y logarítmica

En los siguientes ejercicios, convierte cada ecuación logarítmica a forma exponencial.

1. \(7=\log _{2} 128\)
2. \(5=\log 100,000\)
3. \(4=\ln x\)

Contestar

2. \(100000=10^{5}\)

Ejercicio \(\PageIndex{14}\) Evaluar Funciones Logarítmicas

En los siguientes ejercicios, resuelve para \(x\).

1. \(\log _{x} 125=3\)
2. \(\log _{7} x=-2\)
3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}=x\)

Contestar

1. \(x=5\)

3. \(x=4\)

Ejercicio \(\PageIndex{15}\) Evaluar Funciones Logarítmicas

En los siguientes ejercicios, encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora.

1. \(\log _{2} 32\)
2. \(\log _{8} 1\)
3. \(\log _{3} \frac{1}{9}\)

Contestar

2. \(0\)

Funciones logarítmicas de la \(\PageIndex{16}\) gráfica de ejercicios

En los siguientes ejercicios, grafica cada función logarítmica.

1. \(y=\log _{5} x\)
2. \(y=\log _{\frac{1}{4}} x\)
3. \(y=\log _{0.8} x\)

Contestar

1.

Figura 10.E.10

3.

Figura 10.E.11

Ejercicio \(\PageIndex{17}\) Resolver ecuaciones logarítmicas

En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación logarítmica.

1. \(\log _{a} 36=5\)
2. \(\ln x=-3\)
3. \(\log _{2}(5 x-7)=3\)
4. \(\ln e^{3 x}=24\)
5. \(\log \left(x^{2}-21\right)=2\)

Contestar

2. \(x=e^{-3}\)

4. \(x=8\)

Ejercicio \(\PageIndex{18}\) Uso Modelos Logarítmicos en Aplicaciones

¿Cuál es el nivel de decibelios de un silbato de tren con \(10^{−3}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?

Contestar

\(90\) dB

Utilizar las propiedades de los logaritmos

Ejercicio \(\PageIndex{19}\) Utilizar las Propiedades de los Logaritmos

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para evaluar.

1. 1. \(\log _{7} 1\)
   2. \(\log _{12} 12\)
2. 1. \(5^{\log _{5} 13}\)
   2. \(\log _{3} 3^{-9}\)
3. 1. \(10^{\log \sqrt{5}}\)
   2. \(\log 10^{-3}\)
4. 1. \(e^{\ln 8}\)
   2. \(\ln e^{5}\)

Contestar

2.

1. \(13\)
2. \(-9\)

4.

1. \(8\)
2. \(5\)

Ejercicio \(\PageIndex{20}\) Utilizar las Propiedades de los Logaritmos

En los siguientes ejercicios, utilice la Propiedad Producto de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique si es posible.

1. \(\log _{4}(64 x y)\)
2. \(\log 10,000 m\)

Contestar

2. \(4+\log m\)

Ejercicio \(\PageIndex{21}\) Utilizar las Propiedades de los Logaritmos

En los siguientes ejercicios, utilice la Propiedad Cociente de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplificar, si es posible.

1. \(\log _{7} \frac{49}{y}\)
2. \(\ln \frac{e^{5}}{2}\)

Contestar

2. \(5-\ln 2\)

Ejercicio \(\PageIndex{22}\) Utilizar las Propiedades de los Logaritmos

En los siguientes ejercicios, utilice la Propiedad de Poder de los Logaritmos para expandir cada logaritmo. Simplificar, si es posible.

1. \(\log x^{-9}\)
2. \(\log _{4} \sqrt[7]{z}\)

Contestar

2. \(\frac{1}{7} \log _{4} z\)

Ejercicio \(\PageIndex{23}\) Utilizar las Propiedades de los Logaritmos

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique si es posible.

1. \(\log _{3}\left(\sqrt{4} x^{7} y^{8}\right)\)
2. \(\log _{5} \frac{8 a^{2} b^{6} c}{d^{3}}\)
3. \(\ln \frac{\sqrt{3 x^{2}-y^{2}}}{z^{4}}\)
4. \(\log _{6} \sqrt[3]{\frac{7 x^{2}}{6 y^{3} z^{5}}}\)

Contestar

2. \(\begin{array}{l}{\log _{5} 8+2 \log _{5} a+6 \log _{5} b} {+\log _{5} c-3 \log _{5} d}\end{array}\)

4. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{3}\left(\log _{6} 7+2 \log _{6} x-1-3 \log _{6} y\right.} {-5 \log _{6} z )}\end{array}\)

Ejercicio \(\PageIndex{24}\) Utilizar las Propiedades de los Logaritmos

En los siguientes ejercicios, utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo. Simplifique si es posible.

1. \(\log _{2} 56-\log _{2} 7\)
2. \(3 \log _{3} x+7 \log _{3} y\)
3. \(\log _{5}\left(x^{2}-16\right)-2 \log _{5}(x+4)\)
4. \(\frac{1}{4} \log y-2 \log (y-3)\)

Contestar

2. \(\log _{3} x^{3} y^{7}\)

4. \(\log \frac{\sqrt[4]{y}}{(y-3)^{2}}\)

Ejercicio \(\PageIndex{25}\) Use la fórmula de cambio de base

En los siguientes ejercicios, redondeando a tres decimales, aproxima cada logaritmo.

1. \(\log _{5} 97\)
2. \(\log _{\sqrt{3}} 16\)

Contestar

2. \(5.047\)

Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ejercicio \(\PageIndex{26}\) Resolver ecuaciones logarítmicas usando las propiedades de logaritmos

En los siguientes ejercicios, resuelve para \(x\).

1. \(3 \log _{5} x=\log _{5} 216\)
2. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3\)
3. \(\log (x-1)-\log (3 x+5)=-\log x\)
4. \(\log _{4}(x-2)+\log _{4}(x+5)=\log _{4} 8\)
5. \(\ln (3 x-2)=\ln (x+4)+\ln 2\)

Contestar

2. \(x=4\)

4. \(x=3\)

Ejercicio \(\PageIndex{27}\) Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos

En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación exponencial. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

1. \(2^{x}=101\)
2. \(e^{x}=23\)
3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=7\)
4. \(7 e^{x+3}=28\)
5. \(e^{x-4}+8=23\)

Contestar

1. \(x=\frac{\log 101}{\log 2} \approx 6.658\)

3. \(x=\frac{\log 7}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.771\)

5. \(x=\ln 15+4 \approx 6.708\)

Ejercicio \(\PageIndex{28}\) Uso Modelos Exponenciales en Aplicaciones

1. Jerome invierte $\(18,000\) a la edad \(17\). Espera que las inversiones valgan $\(30,000\) cuando gire \(26\). Si el interés se compone continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo? ¿Es eso una expectativa razonable?
2. Elise invierte $\(4500\) en una cuenta que aumenta los intereses mensualmente y gana \(6\)%. ¿Cuánto tardará en duplicarse su dinero?
3. Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de \(100\) a \(300\) en \(8\) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá en \(24\) horas?
4. Las poblaciones de ratones pueden duplicarse en \(8\) meses \(\left(A=2 A_{0}\right)\). ¿Cuánto tiempo tardará en triplicar una población de ratones?
5. La vida media del yodo radiactivo es de \(60\) días. ¿Cuánto de una muestra de \(50\) mg quedará en \(40\) días?

Contestar

2. \(11.6\) años

4. \(12.7\) meses

Prueba de práctica

Ejercicio \(\PageIndex{29}\)

1. Para las funciones, \(f(x)=6x+1\) y \(g(x)=8x−3\), encontrar
   1. \((f \circ g)(x)\)
   2. \((g \circ f)(x)\)
   3. \((f \cdot g)(x)\)
2. Determine si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función y si es así, es la función uno a uno. \(\{(-2,2),(-1,-3),(0,1),(1,-2),(2,-3)\}\)
3. Determina si cada gráfica es la gráfica de una función y si es así, es uno-a-uno.
   1. 
      
      Figura 10.E.12
   2. 
      
      Figura 10.E.13
4. Gráfica, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno que se muestra.

Figura 10.E.14

5. Encuentra el inverso de la función \(f(x)=x^{5}−9\).

6. Grafica la función \(g(x)=2^{x-3}\).

7. Resuelve la ecuación \(2^{2 x-4}=64\).

8. Resuelve la ecuación \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}=e^{3 x}\).

9. Megan invirtió $\(21,000\) en una cuenta de ahorro. Si la tasa de interés es \(5\)%, ¿cuánto habrá en la cuenta en \(8\) años por cada método de compounding?

1. compuesto trimestral
2. compuesto mensual
3. compuesto continuamente

10. Convertir la ecuación de forma exponencial a logarítmica: \(10^{-2}=\frac{1}{100}\).

11. Convertir la ecuación de ecuación logarítmica a forma exponencial: \(3=\log _{7} 343\).

12. Resolver para \(x\): \(\log _{5} x=-3\)

13. Evaluar registro \(_{11} 1\).

14. Evaluar \(\log _{4} \frac{1}{64}\).

15. Grafica la función \(y=\log _{3} x\).

16. Resolver para \(x\): \(\log \left(x^{2}-39\right)=1\)

17. ¿Cuál es el nivel de decibelios de un ventilador pequeño con \(10^{−8}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?

18. Evaluar cada uno.

1. \(6^{\log _{6} 17}\)
2. \(\log _{9} 9^{-3}\)

Contestar

1.

1. \(48 x-17\)
2. \(48 x+5\)
3. \(48 x^{2}-10 x-3\)

3.

1. No es una función
2. Función uno a uno

5. \(f^{-1}(x)=\sqrt[5]{x+9}\)

7. \(x=5\)

9.

1. $\(31,250.74\)
2. $\(31,302.29\)
3. $\(31,328.32\)

11. \(343=7^{3}\)

13. \(0\)

15.

Figura 10.E.15

17. \(40\) dB

Ejercicio \(\PageIndex{30}\)

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para escribir cada expresión como una suma de logaritmos, simplificando si es posible.

1. \(\log _{5} 25 a b\)
2. \(\ln \frac{e^{12}}{8}\)
3. \(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{5 x^{3}}{16 y^{2} z^{7}}}\)

Contestar

1. \(2+\log _{5} a+\log _{5} b\)

3. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{4}\left(\log _{2} 5+3 \log _{2} x-4-2 \log _{2} y\right.} {-7 \log _{2} z )}\end{array}\)

Ejercicio \(\PageIndex{31}\)

En los siguientes ejercicios, utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo, simplificando si es posible.

1. \(5 \log _{4} x+3 \log _{4} y\)
2. \(\frac{1}{6} \log x-3 \log (x+5)\)
3. Redondeo a tres decimales, aproximado \(\log _{4} 73\).
4. Resolver para \(x\): \(\log _{7}(x+2)+\log _{7}(x-3)=\log _{7} 24\)

Contestar

2. \(\log \frac{\sqrt[6]{x}}{(x+5)^{3}}\)

4. \(x=6\)

Ejercicio \(\PageIndex{32}\)

En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación exponencial. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

1. \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=9\)
2. \(5 e^{x-4}=40\)
3. Jacob invierte $\(14,000\) en una cuenta que multiplica intereses trimestralmente y gana \(4\)%. ¿Cuánto tardará en duplicarse su dinero?
4. Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de \(500\) a \(700\) en \(5\) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá en \(20\) horas?
5. Cierta población de escarabajos puede duplicarse en \(3\) meses \(\left(A=2 A_{0}\right)\). ¿Cuánto tardará en triplicar esa población de escarabajos?

Contestar

2. \(x=\ln 8+4 \approx 6.079\)

4. \(1,921\) bacterias