2.2: Utilizar una estrategia general para resolver ecuaciones lineales
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Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Utilizar las propiedades conmutativas y asociativas
- Usa las propiedades de identidad, inverso y cero
- Simplificar expresiones usando la propiedad distributiva
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Simplificar: \(\frac{3}{2}(12x+20)\).
- Simplificar: \(5−2(n+1)\).
- Encuentra la pantalla LCD de \(\frac{5}{6}\) y \(\frac{1}{4}\).
Resolver ecuaciones lineales usando una estrategia general
Resolver una ecuación es como descubrir la respuesta a un rompecabezas. El propósito al resolver una ecuación es encontrar el valor o valores de la variable que la convierte en una declaración verdadera. Cualquier valor de la variable que haga verdadera la ecuación se llama solución a la ecuación. ¡Es la respuesta al rompecabezas!
Una solución de una ecuación es un valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.
Para determinar si un número es una solución a una ecuación, sustituimos el valor por la variable en la ecuación. Si la ecuación resultante es una declaración verdadera, entonces el número es una solución de la ecuación.
- Sustituir el número por la variable en la ecuación.
- Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
- Determina si la ecuación resultante es verdadera.
- Si es cierto, el número es una solución.
- Si no es cierto, el número no es una solución.
Determinar si los valores son soluciones a la ecuación: \(5y+3=10y−4\).
- \(y=\frac{3}{5}\)
- \(y=\frac{7}{5}\)
Dado que una solución a una ecuación es un valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera, comience sustituyendo el valor de la solución por la variable.
a.
| \(5 y+3=10 y-4\) | |
| Sustituto \(\color{rec}\frac{3}{5}\) por \(y\) | \(5\left( \color{red} \frac{3}{5} \color{black}\right)+3 \stackrel{?}{=} 10\left( \color{red}\frac{3}{5} \color{black}\right)-4\) |
| Multiplicar. | \(3+3\stackrel{?}{=} 6-4\) |
| Simplificar. | \(6 \neq 2\) |
Dado que \(y=\frac{3}{5}\) no resulta en una verdadera ecuación, no \(y=\frac{3}{5}\) es una solución a la ecuación \(5y+3=10y−4.\)
b.
| \(5 y+3=10 y-4\) | |
| Sustituto \(\color{red} \frac{7}{5}\) por \(y\) | \(5\left(\color{red} \frac{7}{5} \color{black}\right)+3 \stackrel{?}{=} 10\left(\color{red}\frac{7}{5}\color{back}\right)-4\) |
| Multiplicar. | \(7+3 \stackrel{?}{=} 14-4\) |
| Simplificar. | \(10=10 \checkmark\) |
Dado que \(y=\frac{7}{5}\) los resultados en una ecuación verdadera, \(y=\frac{7}{5}\) es una solución a la ecuación \(5y+3=10y−4.\)
Determine si los valores son soluciones a la ecuación: \(9y+2=6y+3.\)
- \(y=\frac{4}{3}\)
- \(y=\frac{1}{3}\)
- Contesta a
-
no
- Respuesta b
-
sí
Determinar si los valores son soluciones a la ecuación: \(4x−2=2x+1\).
- \(x=\frac{3}{2}\)
- \(x=−\frac{1}{2}\)
- Contesta a
-
sí
- Respuesta b
-
no
Hay muchos tipos de ecuaciones que aprenderemos a resolver. En esta sección nos centraremos en una ecuación lineal.
Una ecuación lineal es una ecuación en una variable que se puede escribir, donde \(a\) y \(b\) son números reales y \(a≠0\), como:
\[ax+b=0\]
Para resolver una ecuación lineal es una buena idea tener una estrategia global que se pueda utilizar para resolver cualquier ecuación lineal. En el siguiente ejemplo, daremos los pasos de una estrategia general para resolver cualquier ecuación lineal. Simplificar cada lado de la ecuación tanto como sea posible primero hace que el resto de los pasos sea más fácil.
Resolver: \(7(n−3)−8=−15\)
- Responder
-
Resolver: \(2(m−4)+3=−1.\)
- Responder
-
\(m=2\)
Resolver: \(5(a−3)+5=−10.\)
- Responder
-
\(a=0\)
Estos pasos se resumen en la Estrategia General para Resolver Ecuaciones Lineales a continuación.
- Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible.
Utilice la Propiedad Distributiva para eliminar cualquier paréntesis.
Combina términos similares. - Recoge todos los términos variables en un lado de la ecuación.
Utilizar la propiedad de suma o resta de igualdad.
- Recoge todos los términos constantes del otro lado de la ecuación.
Utilizar la propiedad de suma o resta de igualdad.
- Hacer que el coeficiente del término variable sea igual a 1.
Utilizar la Propiedad de Multiplicación o División de Igualdad.
Estado la solución a la ecuación.
- Consulta la solución.
Sustituir la solución en la ecuación original para asegurarse de que el resultado es una declaración verdadera.
Resolver: \(\frac{2}{3}(3m−6)=5−m\).
- Responder
-
\(\frac{2}{3}(3 m-6)=5-m\) Distribuir. \(2 m-4=5-m\) Agregar \(m\) a ambos lados para obtener las variables sólo a la izquierda. Simplificar. \(3 m-4=5\) Agregar \(4\) a ambos lados para obtener constantes sólo a la derecha. Simplificar. \(3 m=9\) Divida ambos lados por tres. Simplificar. \(m=3\)
| Comprobar: | |
| Vamos \(m=3\). | |
Resolver: \(\frac{1}{3}(6u+3)=7−u\).
- Responder
-
\(u=2\)
Resolver: \(\frac{2}{3}(9x−12)=8+2x\).
- Responder
-
\(x=4\)
Podemos resolver ecuaciones consiguiendo todos los términos variables a cada lado del signo igual . Al recolectar los términos variables en el lado donde el coeficiente de la variable es mayor, evitamos trabajar con algunos negativos. Esta será una buena estrategia cuando resolvamos las desigualdades más adelante en este capítulo. También nos ayuda a prevenir errores con negativos.
Resolver: \(4(x−1)−2=5(2x+3)+6\).
- Responder
-
\(4(x-1)-2=5(2 x+3)+6\) Distribuir. \(4 x-4-2=10 x+15+6\)
Combina términos similares. \(4 x-6=10 x+21\) Resta \(4x\) de cada lado para obtener las variables sólo a la derecha desde \(10>4\). \(4 x \color{red} -4 \color{black} x-6=10 x \color{red}-4 x \color{black}+21\) Simplificar. \(-6=6 x+21\) Resta \(21\) de cada lado para obtener las constantes a la izquierda. \(-6 \color{red} -21 \color{black} =6 x+21 \color{red}-21\)
Simplificar. \(-27=6 x\) Divida ambos lados por \(6\). \(\frac{-27}{\color{red}6} \color{black}=\frac{6 x}{\color{red}6}\) Simplificar. \(-\frac{9}{2}=x\) Comprobar: \(4(x-1)-2=5(2 x+3)+6\)\) Vamos \(x=−92\).
Resolver: \(6(p−3)−7=5(4p+3)−12.\)
- Responder
-
\(p=−2\)
Resolver: \(8(q+1)−5=3(2q−4)−1.\)
- Responder
-
\(q=−8\)
Resolver: \(10[3−8(2s−5)]=15(40−5s)\).
- Responder
-
\(10[3-8(2 s-5)]=15(40-5 s)\) Simplifique primero desde los paréntesis más íntimos. \(10[3-16 s+40]=15(40-5 s)\) Combina términos similares en los paréntesis. \(10[43-16 s]=15(40-5 s)\) Distribuir. \(430-160 s=600-75 s\) Agregar \(160s\) a ambos lados para obtener el \(160s\) a ambos lados para obtener las variables a la derecha. Simplificar. \(430=600+85 s\) Resta \(600\) de ambos lados para obtener las constantes a la izquierda. Simplificar. \(-170=85 s\) Divida ambos lados por \(85\). Simplificar. \(-2=s,\) por lo \(s = -2\) Comprobar: \(10[3-8(2 s-5)]=15(40-5 s)\) Vamos \(s=−2\).
Resolver: \(6[4−2(7y−1)]=8(13−8y)\).
- Responder
-
\(y=−\frac{17}{5}\)
Resolver: \(12[1−5(4z−1)]=3(24+11z).\)
- Responder
-
\(z=0\)
Clasificar ecuaciones
Si una ecuación es verdadera o no depende del valor de la variable. La ecuación \(7x+8=−13\) es verdadera cuando reemplazamos la variable, x, por el valor \(−3\), pero no verdadera cuando reemplazamos xpor cualquier otro valor. Una ecuación como esta se llama ecuación condicional. Todas las ecuaciones que hemos resuelto hasta ahora son ecuaciones condicionales.
Una ecuación que es verdadera para uno o más valores de la variable y falsa para todos los demás valores de la variable es una ecuación condicional.
Ahora consideremos la ecuación \(7y+14=7(y+2)\). ¿Reconoce que el lado izquierdo y el lado derecho son equivalentes? A ver qué pasa cuando resolvemos por y.
Resolver:
| \(7 y+14=7(y+2)\) | |
| Distribuir. | \(7 y+14=7 y+14\) |
| Resta \(7y\) a cada lado para conseguir la \(y’\)s a un lado. | \(7 y \color{red}-7 y \color{black} +14=7 y \color{red} -7 y \color{black}+14\) |
| Simplificar: \(y\)se eliminan los de. | \(14=14\) |
| Pero \(14=14\) es cierto. |
Esto significa que la ecuación \(7y+14=7(y+2)\) es verdadera para cualquier valor de \(y\). Decimos que la solución a la ecuación son todos los números reales. Una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable se llama identidad.
Una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable se llama identidad.
La solución de una identidad es válida para todos los números reales.
Qué sucede cuando resolvemos la ecuación \(−8z=−8z+9?\)
Resolver:
| \(-8 z=-8 z+9\) | |
| Agregar \(8z\) a ambos lados para dejar la constante sola a la derecha. | \(-8 z \color{red} +8 z \color{black}=-8 z \color{red}+8 z \color{black} +9\) |
| Simplificar: \(z\)se eliminan los de. | \(0 \neq 9\) |
| Pero \(0≠9\). |
Resolver la ecuación \(−8z=−8z+9\) llevó a la afirmación falsa \(0=9\). La ecuación no \(−8z=−8z+9\) será verdadera para ningún valor de \(z\). No tiene solución. Una ecuación que no tiene solución, o que es falsa para todos los valores de la variable, se llama contradicción.
Una ecuación que es falsa para todos los valores de la variable se llama contradicción.
Una contradicción no tiene solución.
Los siguientes ejemplos nos pedirán clasificar una ecuación como condicional, una identidad, o como una contradicción.
Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución: \(6(2n−1)+3=2n−8+5(2n+1)\).
- Responder
-
\(6(2 n-1)+3=2 n-8+5(2 n+1)\) Distribuir. \(12 n-6+3=2 n-8+10 n+5\) Combina términos similares. \(12 n-3=12 n-3\) Resta \(12n\) de cada lado para conseguir los \(n\)'s a un lado. Simplificar. \(-3=-3\) Esta es una verdadera afirmación. La ecuación es una identidad. La solución son todos los números reales.
Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego exponga la solución: \(4+9(3x−7)=−42x−13+23(3x−2).\)
- Responder
-
identidad; todos los números reales
Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego exponga la solución: \(8(1−3x)+15(2x+7)=2(x+50)+4(x+3)+1.\)
- Responder
-
identidad; todos los números reales
Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución: \(8+3(a−4)=0\).
- Responder
-
\(8+3(a-4)=0\) Distribuir. \(8+3 a-12=0\) Combina términos similares. \(3 a-4=0\) Añadir \(4\) a ambos lados. \(3 a-4 \color{red}+4 \color{black}=0 \color{red}+4\) Simplificar. \(3 a=4\) Dividir. \(\frac{3 a}{\color{red}3} \color{black}=\frac{4}{\color{red}3}\) Simplificar. \(a=\frac{4}{3}\) La ecuación es verdadera cuando \(a=\frac{4}{3}\). Esta es una ecuación condicional. La solución es \(a=\frac{4}{3}\).
Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución: \(11(q+3)−5=19\).
- Responder
-
ecuación condicional; \(q=−\frac{9}{11}\)
Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución: \(6+14(k−8)=95\).
- Responder
-
ecuación condicional; \(k=\frac{201}{14}\)
Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución: \(5m+3(9+3m)=2(7m−11)\).
- Responder
-
\(5 m+3(9+3 m)=2(7 m-11)\) Distribuir. \(5 m+27+9 m=14 m-22\) Combina términos similares. \(14 m+27=14 m-22\) Resta \(14m\) de ambos lados. \(14 m+27 \color{red}-14 m \color{black}=14 m-22 \color{red}-14 m\) Simplificar. \(27 \neq-22\) Pero \(27≠−22\). La ecuación es una contradicción. No tiene solución.
Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución: \(12c+5(5+3c)=3(9c−4)\).
- Responder
-
contradicción; sin solución
Clasificar la ecuación como una ecuación condicional, una identidad, o una contradicción y luego declarar la solución:\(4(7d+18)=13(3d−2)−11d\).
- Responder
-
contradicción; sin solución
Resumimos los métodos para clasificar ecuaciones en la tabla.
| Tipo de ecuación | ¿Qué pasa cuando lo resuelves? | Solución |
|---|---|---|
| Ecuación Condicional | True para uno o más valores de las variables y false para todos los demás valores | Uno o más valores |
| Identidad | True para cualquier valor de la variable | Todos los números reales |
| Contradicción | False para todos los valores de la variable | Sin solución |
Resolver ecuaciones con coeficientes de fracción o decimales
Podríamos utilizar la Estrategia General para resolver el siguiente ejemplo. Este método funcionaría bien, pero muchos estudiantes no se sienten muy seguros cuando ven todas esas fracciones. Entonces, vamos a mostrar un método alternativo para resolver ecuaciones con fracciones. Este método alternativo elimina las fracciones.
Aplicaremos la Propiedad de Multiplicación de Igualdad y multiplicaremos ambos lados de una ecuación por el mínimo común denominador (LCD) de todas las fracciones de la ecuación. El resultado de esta operación será una nueva ecuación, equivalente a la primera, pero sin fracciones. Este proceso se llama despejar la ecuación de fracciones.
Para despejar una ecuación de decimales, pensamos en todos los decimales en su forma de fracción y luego encontramos el LCD de esos denominadores.
Resolver: \(\frac{1}{12}x+\frac{5}{6}=\frac{3}{4}\).
- Responder
-
Resolver: \(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}\).
- Responder
-
\(x=\frac{1}{2}\)
Resolver: \(\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).
- Responder
-
\(x=−2\)
Observe en el ejemplo anterior, una vez que despejamos la ecuación de fracciones, la ecuación era como las que resolvimos anteriormente en este capítulo. Cambiamos el problema a uno que ya sabíamos resolver. A continuación se utilizó la Estrategia General para Resolver Ecuaciones Lineales.
- Encuentra el mínimo denominador común (LCD) de todas las fracciones y decimales (en forma de fracción) en la ecuación.
- Multiplica ambos lados de la ecuación por ese LCD. Esto borra las fracciones y decimales.
- Resolver usando la Estrategia General para Resolver Ecuaciones Lineales
Resolver: \(5=\frac{1}{2}y+\frac{2}{3}y−\frac{3}{4}y\).
- Responder
-
Queremos borrar las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD de todas las fracciones de la ecuación.
Encuentra el LCD de todas las fracciones en la ecuación. \(5=\frac{1}{2} y+\frac{2}{3} y-\frac{3}{4} y\) El LCD es \(12\). Multiplica ambos lados de la ecuación por \(12\). \(\color{red}12 \color{black}(5)=\color{red}12 \color{black} \cdot\left(\frac{1}{2} y+\frac{2}{3} y-\frac{3}{4} y\right)\) Distribuir. \(12(5)=12 \cdot \frac{1}{2} y+12 \cdot \frac{2}{3} y-12 \cdot \frac{3}{4} y\) Simplificar — aviso, no más fracciones. \(60=6 y+8 y-9 y\) Combina términos similares. \(60=5 y\) Dividir por cinco. \(\frac{60}{\color{red}5} \color{black}=\frac{5 y}{\color{red}5}\) Simplificar. \(12=y\) Comprobar: \(5=\frac{1}{2} y+\frac{2}{3} y-\frac{3}{4} y\) Vamos \(y=12\).
Resolver: \(7=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}x−\frac{2}{3}x\).
- Responder
-
\(x=12\)
Resolver: \(−1=\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}u−\frac{2}{3}u\).
- Responder
-
\(u=−12\)
En el siguiente ejemplo, distribuiremos antes de despejar las fracciones.
Resolver: \(\frac{1}{2}(y−5)=\frac{1}{4}(y−1)\).
- Responder
-
Distribuir. Simplificar. Multiplica por el LCD, cuatro. Distribuir. Simplificar. Recoge las variables a la izquierda. Simplificar. Recoge las constantes a la derecha. Simplificar. Una forma alternativa de resolver esta ecuación es despejar las fracciones sin distribuir primero. Si multiplicas los factores correctamente, este método será más fácil. Multiplicar por el LCD, \(4\). Multiplica cuatro veces las fracciones. Distribuir. Recoge las variables a la izquierda. Simplificar. Recoge las constantes a la derecha. Simplificar. Comprobar: Vamos \(y=9\). Termina el cheque por tu cuenta.
Resolver: \(\frac{1}{5}(n+3)=\frac{1}{4}(n+2)\).
- Responder
-
\(n=2\)
Resolver: \(\frac{1}{2}(m−3)=\frac{1}{4}(m−7)\).
- Responder
-
\(m=−1\)
Cuando multiplicas ambos lados de una ecuación por el LCD de las fracciones, asegúrate de multiplicar cada término por el LCD, aunque no contenga una fracción.
Resolver: \(\frac{4q+3}{2}+6=\frac{3q+5}{4}\)
- Responder
-
\(\frac{4 q+3}{2}+6=\frac{3 q+5}{4}\) Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, \(4\). Distribuir. Simplificar. \(2(4 q+3)+24=3 q+5\) \(8 q+6+24=3 q+5\) \(8 q+30=3 q+5\) Recoge las variables a la izquierda. Simplificar. \(5 q+30=5\) Recoge las constantes a la derecha. Simplificar. \(5 q=-25\) Divide ambos lados por cinco. Simplificar. \(q=-5\) Comprobar: \(\frac{4 q+3}{2}+6=\frac{3 q+5}{4}\) Let \(q=−5.\) Termina el cheque por tu cuenta.
Resolver: \(\frac{3r+5}{6}+1=\frac{4r+3}{3}\).
- Responder
-
\(r=3\)
Resolver: \(\frac{2s+3}{2}+1=\frac{3s+2}{4}\).
- Responder
-
\(s=−8\)
Algunas ecuaciones tienen decimales en ellas. Este tipo de ecuación puede ocurrir cuando resolvemos problemas de dinero o porcentajes. Pero los decimales también se pueden expresar como fracciones. Por ejemplo, \(0.7=\frac{7}{10}\) y \(0.29=\frac{29}{100}\). Entonces, con una ecuación con decimales, podemos usar el mismo método que usamos para borrar fracciones—multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo denominador común.
El siguiente ejemplo utiliza una ecuación que es típica de las que veremos en las aplicaciones de dinero en una sección posterior. Observe que borraremos todos los decimales multiplicando por el LCD de su forma de fracción.
Resolver: \(0.25x+0.05(x+3)=2.85\).
- Responder
-
Mira los decimales y piensa en las fracciones equivalentes:
\[0.25=\frac{25}{100}, \; \; \; \;\;\;\;\; 0.05=\frac{5}{100}, \;\;\;\;\;\;\;\; 2.85=2\frac{85}{100}.\]
Aviso, el LCD es \(100\). Al multiplicar por el LCD borraremos los decimales de la ecuación.
Distribuir primero. Combina términos similares. Para borrar decimales, multiplica por \(100\). Distribuir. Resta \(15\) de ambos lados. Simplificar. Dividir por \(30\). Simplificar. Verifícalo tú mismo sustituyendo \(x=9\) en la ecuación original.
Resolver: \(0.25n+0.05(n+5)=2.95.\)
- Responder
-
\(n=9\)
Resolver: \(0.10d+0.05(d−5)=2.15.\)
- Responder
-
\(d=16\)
Conceptos Clave
- Cómo determinar si un número es una solución a una ecuación
- Sustituir el número en por la variable en la ecuación.
- Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
- Determina si la ecuación resultante es verdadera.
Si es cierto, el número es una solución.
Si no es cierto, el número no es una solución.
- Cómo resolver ecuaciones lineales usando una estrategia general
- Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible.
Utilice la Propiedad Distributiva para eliminar cualquier paréntesis.
Combina términos similares.
- Recoge todos los términos variables en un lado de la ecuación.
Utilizar la propiedad de suma o resta de igualdad.
- Recoge todos los términos constantes del otro lado de la ecuación.
Utilizar la propiedad de suma o resta de igualdad.
- Hacer que el coeficiente del término variable sea igual a 1.
Utilizar la Propiedad de Multiplicación o División de Igualdad.
Estado la solución a la ecuación.
- Consulta la solución.
Sustituir la solución en la ecuación original para asegurarse de que el resultado es una declaración verdadera.
- Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible.
- Cómo resolver ecuaciones con coeficientes de fracción o decimales
- Encuentra el mínimo denominador común (LCD) de todas las fracciones y decimales (en forma de fracción) en la ecuación.
- Multiplica ambos lados de la ecuación por ese LCD. Esto borra las fracciones y decimales.
- Resolver usando la Estrategia General para Resolver Ecuaciones Lineales
Glosario
- ecuación condicional
- Una ecuación que es verdadera para uno o más valores de la variable y falsa para todos los demás valores de la variable es una ecuación condicional.
- contradicción
- Una ecuación que es falsa para todos los valores de la variable se llama contradicción. Una contradicción no tiene solución.
- identidad
- Una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable se llama una Identidad. La solución de una identidad son todos los números reales.
- ecuación lineal
- Una ecuación lineal es una ecuación en una variable que se puede escribir, donde a y b son números reales y \(a≠0\), como \(ax+b=0\).
- solución de una ecuación
- Una solución de una ecuación es un valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.