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2.8: Resolver desigualdades de valores absolutos

  • Page ID
    51812
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Resolver ecuaciones de valor absoluto
    • Resuelve desigualdades de valor absoluto con “menos que”
    • Resolver desigualdades de valor absoluto con “mayor que”
    • Resolver aplicaciones con valor absoluto

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Evaluar: \(−|7|\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Rellene \(<,>,<,>,\) o \(=\) para cada uno de los siguientes pares de números.
      \(|−8|\text{___}−|−8|\)\(12\text{___}−|−12|\)\(|−6|\text{___}−6\)\(−(−15)\text{___}−|−15|\)
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Simplificar: \(14−2|8−3(4−1)|\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Resolver ecuaciones de valor absoluto

    A medida que nos preparamos para resolver ecuaciones de valor absoluto, revisamos nuestra definición de valor absoluto.

    VALOR ABSOLUTO

    El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la línea numérica.

    El valor absoluto de un número n se escribe como \(|n|\) y \(|n|\geq 0\) para todos los números.

    Los valores absolutos son siempre mayores o iguales a cero.

    Aprendimos que tanto un número como su opuesto están a la misma distancia de cero en la línea numérica. Dado que tienen la misma distancia de cero, tienen el mismo valor absoluto. Por ejemplo:

    • \(−5\) está a 5 unidades de distancia de 0, por lo que \(|−5|=5\).
    • \(5\) está a 5 unidades de distancia de 0, por lo que \(|5|=5\).

    La figura \(\PageIndex{1}\) ilustra esta idea.

    Figura \(\PageIndex{1}\): Los números 5 y \(−5\) están ambos a cinco unidades de distancia de cero.

    Para la ecuación |x|=5, |x|=5, estamos buscando todos los números que hagan de esta una declaración verdadera. Estamos buscando los números cuya distancia desde cero es 5. Acabamos de ver que tanto 5 como −5−5 son cinco unidades desde cero en la línea numérica. Ellos son las soluciones a la ecuación.

    \(\begin{array} {ll} {\text{If}} &{|x|=5} \\ {\text{then}} &{x=−5\text{ or }x=5} \\ \end{array}\)

    La solución se puede simplificar a una sola declaración por escrito \(x=\pm 5\). Se lee esto, “x es igual a positivo o negativo 5”.

    Podemos generalizar esto a la siguiente propiedad para ecuaciones de valor absoluto.

    Ecuaciones de valor absoluto

    Para cualquier expresión algebraica, u, y cualquier número real positivo, a,

    \[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=a} \\ {\text{then}} &{u=−a \text{ or }u=a} \\ \nonumber \end{array}\]

    Recuerda que un valor absoluto no puede ser un número negativo.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Resolver:

    1. \(|x|=8\)
    2. \(|y|=−6\)
    3. \(|z|=0\)
    Solución a

    \(\begin{array} {ll} {} &{|x|=8} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{x=−8 \text{ or } x=8} \\ {} &{x=\pm 8} \\ \end{array}\)

    Solución b

    \(\begin{array} {ll} {} &{|y|=−6} \\ {} &{\text{No solution}} \\ \end{array}\)
    Dado que un valor absoluto es siempre positivo, no hay soluciones a esta ecuación.

    Solución c

    \(\begin{array} {ll} {} &{|z|=0} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{z=−0\text{ or }z=0} \\ {\text{Since }−0=0,} &{z=0} \\ \end{array}\)
    Ambas ecuaciones nos dicen que z=0z=0 y así solo hay una solución.

    EJERCICIO \(\PageIndex{2}\)

    Resolver:

    1. \(|x|=2\)
    2. \(|y|=−4\)
    3. \(|z|=0\)
    Contesta a

    \(\pm 2\)

    Respuesta b

    no hay solución

    Respuesta c

    0

    EJERCICIO \(\PageIndex{3}\)

    Resolver:

    1. \(|x|=11\)
    2. \(|y|=−5\)
    3. \(|z|=0\)
    Contesta a

    \(\pm 11\)

    Respuesta b

    no hay solución

    Respuesta c

    0

    Para resolver una ecuación de valor absoluto, primero aislamos la expresión del valor absoluto utilizando los mismos procedimientos que usamos para resolver ecuaciones lineales. Una vez que aislamos la expresión del valor absoluto la reescribimos como las dos ecuaciones equivalentes.

    Cómo resolver ecuaciones de valor absoluto

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Resolver \(|5x−4|−3=8\).

    Solución

    EJERCICIO \(\PageIndex{5}\)

    Resolver: \(|3x−5|−1=6\).

    Contestar

    \(x=4, \space x=−\frac{2}{3}\)

    EJERCICIO \(\PageIndex{6}\)

    Resolver: \(|4x−3|−5=2\).

    Contestar

    \(x=−1,\space x=\frac{5}{2}\)

    Los pasos para resolver una ecuación de valor absoluto se resumen aquí.

    RESOLVER Ecuaciones de Valor Absoluto.
    1. Aislar la expresión de valor absoluto.
    2. Escribe las ecuaciones equivalentes.
    3. Resuelve cada ecuación.
    4. Revisa cada solución.
    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Resolver \(2|x−7|+5=9\).

    Solución
      \(2|x−7|+5=9\)
    Aislar la expresión de valor absoluto. \(2|x−7|=4\)
      \(|x−7|=2\)
    Escribe las ecuaciones equivalentes. \(x−7=−2\) o \(x−7=2\)
    Resuelve cada ecuación. \(x=5\) o \(x=9\)
    Chequear:
     
    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Resolver: \(3|x−4|−4=8\).

    Contestar

    \(x=8,\space x=0\)

    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Resolver: \(2|x−5|+3=9\).

    Contestar

    \(x=8,\space x=2\)

    Recuerda, ¡un valor absoluto siempre es positivo!

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Resolver: \(|\frac{2}{3}x−4|+11=3\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} {} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{Isolate the absolute value term.}} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{An absolute value cannot be negative.}} &{\text{No solution}} \\ \end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Resolver: \(|\frac{3}{4}x−5|+9=4\).

    Contestar

    Sin solución

    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Resolver: \(|\frac{5}{6}x+3|+8=6\).

    Contestar

    Sin solución

    Algunas de nuestras ecuaciones de valor absoluto podrían ser de la forma \(|u|=|v|\) donde u y v son expresiones algebraicas. Por ejemplo, \(|x−3|=|2x+1|\).

    ¿Cómo los resolveríamos? Si dos expresiones algebraicas son iguales en valor absoluto, entonces son iguales entre sí o negativas entre sí. La propiedad para ecuaciones de valor absoluto dice que para cualquier expresión algebraica, u, y un número real positivo, a, if \(|u|=a\), entonces \(u=−a\) o \(u=a\).

    Esto nos dice que

    \ (\ begin {array} {llll}
    {\ texto {if}} & {|u|=|v|} & {} & {} & {}
    \ {\ texto {entonces}} & {|u|=v} & {\ text {o}} & {|u|=−v}
    \\ {\ text {and so}} & {u=v\ text {o} u = −v} & {\ text {or}} & {u=−v\ text {o} u = − (−v)}
    \\ end {array}\)

    Esto nos lleva a la siguiente propiedad para ecuaciones con dos valores absolutos.

    Ecuaciones con dos valores absolutos

    Para cualquier expresión algebraica, u y v ,

    \[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=|v|} \\ {\text{then}} &{u=−v\text{ or }u=v} \\ \nonumber \end{array}\]

    Cuando tomamos lo contrario de una cantidad, debemos tener cuidado con los signos y agregar paréntesis donde sea necesario.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Resolver: \(|5x−1|=|2x+3|\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} {} &{} &{|5x−1|=|2x+3|} &{} \\ {} &{} &{} &{} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{5x−1=−(2x+3)} &{\text{or}} &{5x−1=2x+3} \\ {} &{5x−1=−2x−3} &{\text{or}} &{3x−1=3} \\ {\text{Solve each equation.}} &{7x−1=−3} &{} &{3x=4} \\ {} &{7x=−2} &{} &{x=43} \\ {} &{x=−27} &{\text{or}} &{x=43} \\ {\text{Check.}} &{} &{} &{} \\ {\text{We leave the check to you.}} &{} &{} &{} \\ \end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Resolver: \(|7x−3|=|3x+7|\).

    Contestar

    \(x=−\frac{2}{5}, \space x=\frac{5}{2}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Resolver: \(|6x−5|=|3x+4|\).

    Contestar

    \(x=3, x=19\)

    Resuelve Desigualdades de Valor Absoluto con “Menos Que”

    Veamos ahora lo que sucede cuando tenemos una desigualdad de valores absolutos. Todo lo que hemos aprendido sobre la solución de desigualdades sigue vigente, pero debemos considerar cómo impacta el valor absoluto en nuestro trabajo. Nuevamente veremos nuestra definición de valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la línea numérica. Para la ecuación \(|x|=5\), vimos que tanto 5 como \(−5\) son cinco unidades desde cero en la línea numérica. Ellos son las soluciones a la ecuación.

    \[\begin{array} {lll} {} &{|x|=5} &{} \\ {x=−5} &{\text{or}} &{x=5} \\ \nonumber \end{array}\]

    ¿Qué pasa con la desigualdad \(|x|\leq 5\)? ¿Dónde están los números cuya distancia es menor o igual a 5? Sabemos \(−5\) y 5 son ambas cinco unidades de cero. Todos los números entre \(−5\) y 5 son menos de cinco unidades a partir de cero (Figura \(\PageIndex{2}\)).

    Figura \(\PageIndex{2}\).

    De una manera más general, podemos ver que si \(|u|\leq a\), entonces \(−a\leq u\leq a\) (Figura \(\PageIndex{3}\)).

    Figura \(\PageIndex{3}\).

    Este resultado se resume aquí.

    VALOR ABSOLUTO \(<\) INQUITACIONES \(\leq\)

    Para cualquier expresión algebraica, u, y cualquier número real positivo, a,

    \[ \text{if} \quad |u|<a, \quad \text{then} \space −a<u<a \\ \text{if} \quad |u|\leq a, \quad \text{then} \space−a\leq u\leq a \nonumber\]

    Después de resolver una desigualdad, a menudo es útil revisar algunos puntos para ver si la solución tiene sentido. La gráfica de la solución divide la línea numérica en tres secciones. Elige un valor en cada sección y sumértalo en la desigualdad original para ver si hace que la desigualdad sea verdadera o no. Si bien esta no es una comprobación completa, a menudo ayuda a verificar la solución.

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    Resolver \(|x|<7\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Solución
     
    Escribe la desigualdad equivalente.
    Grafica la solución.
    Escribe la solución usando notación de intervalos.

    Comprobar:

    Para verificar, verifique un valor en cada sección de la línea numérica que muestre la solución. Elija números como −8, −8, 1 y 9.

    EJERCICIO \(\PageIndex{17}\)

    Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(|x|<9\).

    Contestar

    EJERCICIO \(\PageIndex{18}\)

    Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos: \(|x|<1\).

    Contestar

    La solución es negativa 1 es menor que x que es menor que 1. La línea numérica muestra círculos abiertos en negativo 1 y 1 con sombreado entre los círculos. La notación de intervalo es negativa de 1 a 1 entre paréntesis.

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\)

    Resolver \(|5x−6|\leq 4\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Solución
    Paso 1. Aislarla expresión de valor absoluto.
    Está aislado.
    \(|5x−6|\leq 4\)
    Paso 2. Escribela desigualdad compuesta equivalente. \(−4\leq 5x−6\leq 4\)
    Paso 3. Resolverla desigualdad compuesta. \(2\leq 5x\leq 10\)
    \(\frac{2}{5}\leq x\leq 2\)
    Paso 4. Graficala solución. .
    Paso 5. Escribela solución usando notación de intervalos. \([\frac{2}{5}, 2]\)

    Cheque: El cheque se deja a usted.
     
    EJERCICIO \(\PageIndex{20}\)

    Resolver \(|2x−1|\leq 5\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:

    Contestar

    La solución es negativa 2 es menor o igual a x que es menor o igual a 3. La línea numérica muestra círculos cerrados en negativo 2 y 3 con sombreado entre los círculos. La notación de intervalo es negativa de 2 a 3 entre corchetes.

    EJERCICIO \(\PageIndex{21}\)

    Resolver \(|4x−5|\leq 3\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos:

    Contestar

    La solución es la mitad es menor o igual a x que es menor o igual a 2. La línea numérica muestra círculos cerrados a la mitad y 2 con sombreado entre los círculos. La notación de intervalo es de una mitad a 2 entre corchetes.

    RESUELVE INQUIDACIONES DE \(<\) VALOR \(\leq\)
    1. Aislar la expresión de valor absoluto.
    2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente.

      \[\begin{array} {lll} {|u|<a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{−a<u<a} \\ {|u|\leq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{−a\leq u\leq a} \\ \nonumber \end{array}\]

    3. Resolver la desigualdad compuesta.
    4. Grafica la solución
    5. Escribe la solución usando notación de intervalos.

    Resuelve Desigualdades de Valor Absoluto con “Mayor que”

    ¿Qué sucede con las desigualdades de valor absoluto que tienen “mayor que”? Nuevamente veremos nuestra definición de valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la línea numérica.

    Empezamos con la desigualdad \(|x|\leq 5\). Vimos que los números cuya distancia es menor o igual a cinco desde cero en la línea numérica eran \(−5\) y 5 y todos los números entre \(−5\) y 5 (Figura \(\PageIndex{4}\)).

    La figura es una línea numérica con negativos 5, 0 y 5 mostrados. Hay un corchete derecho en la negativa 5 que tiene sombreado a su derecha y un corchete derecho en 5 con sombreado a su izquierda. Ilustra que si el valor absoluto de x es menor o igual a 5, entonces negativo 5 es menor o igual a x es menor o igual a 5.
    Figura \(\PageIndex{4}\).

    Ahora queremos mirar la desigualdad \(|x|\geq 5\). ¿Dónde están los números cuya distancia desde cero es mayor o igual a cinco?

    Nuevamente ambos \(−5\) y 5 son cinco unidades desde cero y así se incluyen en la solución. Los números cuya distancia desde cero es mayor que cinco unidades serían menores \(−5\) y mayores que 5 en la línea numérica (Figura \(\PageIndex{5}\)).

    La figura es una línea numérica con negativos 5, 0 y 5 mostrados. Hay un corchete derecho en la negativa 5 que tiene sombreado a su izquierda y un paréntesis izquierdo en 5 con sombreado a su derecha. La distancia entre menos 5 y 0 se da como 5 unidades y la distancia entre 5 y 0 se da como 5 unidades. Ilustra que si el valor absoluto de x es mayor o igual a 5, entonces x es menor o igual a negativo 5 o x es mayor o igual a 5.
    Figura \(\PageIndex{5}\).

    De una manera más general, podemos ver que si \(|u|\geq a\), entonces \(u\leq −a\) o \(u\leq a\). Ver Figura.

    La figura es una línea numérica con negativo a, 0, y a mostrado. Hay un corchete derecho en negativo a que tiene sombreado a su izquierda y un corchete izquierdo en un con sombreado a su derecha. La distancia entre negativo a y 0 se da como unidades y la distancia entre a y 0 se da como unidades. Ilustra que si el valor absoluto de u es mayor o igual a a, entonces u es menor o igual a negativo a o u es mayor o igual a a a.
    Figura \(\PageIndex{6}\).

    Este resultado se resume aquí.

    VALOR ABSOLUTO \(>\) INQUITACIONES \(\geq\)

    Para cualquier expresión algebraica, u, y cualquier número real positivo, a,

    \[\begin{array} {lll} {\text{if}} &{\quad |u|>a,} &{\quad \text{then } u<−a \text{ or } u>a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\geq a,} &{\quad \text{then } u\leq −a \text{ or } u\geq a} \\ \nonumber \end{array}\]

    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Resolver \(|x|>4\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Solución
      \(|x|>4\)
    Escribe la desigualdad equivalente. \(x<−4\) o \(x>4\)
    Grafica la solución. .
    Escribe la solución usando notación de intervalos. \((−\inf ,−4)\cup (4,\inf )\)
    Comprobar:  

    Para verificar, verifique un valor en cada sección de la línea numérica que muestre la solución. Elija números como −6, −6, 0 y 7.

    La figura es una línea numérica con un paréntesis derecho en negativo 4 con sombreado a su izquierda y un paréntesis izquierdo a 4 sombreado a su derecha. Los valores negativos 6, 0 y 7 se marcan con puntos. El valor absoluto de negativo 6 es mayor que negativo 4 es verdadero. No satisface el valor absoluto de x es mayor que 4. El valor absoluto de 0 es mayor que 4 es falso. No satisface el valor absoluto de x es mayor que 4. El valor absoluto de 7 es menor que 4 es verdadero. Sí satisface el valor absoluto de x es mayor que 4.

    EJERCICIO \(\PageIndex{23}\)

    Resolver \(|x|>2\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar

    La solución es x es menor que negativo 2 o x es mayor que 2. La línea numérica muestra un círculo abierto en negativo 2 con sombreado a su izquierda y un círculo abierto en 2 con sombreado a su derecha. La notación de intervalo es la unión de infinito negativo a negativo 2 dentro de paréntesis y 2 a infinito dentro de paréntesis.

    EJERCICIO \(\PageIndex{24}\)

    Resolver \(|x|>1\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar

    La solución es x es menor que negativo 1 o x es mayor que 1. La línea numérica muestra un círculo abierto en negativo 1 con sombreado a su izquierda y un círculo abierto en 1 con sombreado a su derecha. La notación de intervalo es la unión de infinito negativo a negativo 1 dentro de paréntesis y 1 a infinito dentro de paréntesis.

    Ejemplo \(\PageIndex{25}\)

    Resolver \(|2x−3|\geq 5\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Solución
      \(|2x−3|\geq 5\)
    Paso 1. Aislarla expresión de valor absoluto. Está aislado.  
    Paso 2. Escribela desigualdad compuesta equivalente. \(2x−3\leq −5\) o \(2x−3\geq 5\)
    Paso 3. Resolverla desigualdad compuesta. \(2x\leq −2\) o \(2x\geq 8\)
    \(x\leq −1\) o \(x\geq 4\)
    Paso 4. Graficala solución. .
    Paso 5. Escribela solución usando notación de intervalos. \((−\inf ,−1]\cup [4,\inf )\)

    Cheque: El cheque se deja a usted.
     
    EJERCICIO \(\PageIndex{26}\)

    Resolver \(|4x−3|\geq 5\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar

    La solución es x es menor o igual a la mitad negativa o x es mayor o igual a 2. La línea numérica muestra un círculo cerrado a la mitad negativa con sombreado a su izquierda y un círculo cerrado a 2 con sombreado a su derecha. La notación de intervalo es la unión de infinito negativo a una mitad negativa dentro de un paréntesis y un corchete y 2 a infinito dentro de un corchete y un paréntesis

    EJERCICIO \(\PageIndex{27}\)

    Resolver \(|3x−4|\geq 2\). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalos.

    Contestar

    La solución es x es menor o igual a dos tercios o x es mayor o igual a 2. La línea numérica muestra un círculo cerrado a dos tercios con sombreado a su izquierda y un círculo cerrado a 2 con sombreado a su derecha. La notación de intervalo es la unión del infinito negativo a dos tercios dentro de un paréntesis y un corchete y 2 al infinito dentro de un corchete y un paréntesis.

    RESOLVER INQUIDACIONES DE \(>\) VALOR \(\geq\)ABSOLU
    1. Aislar la expresión de valor absoluto.
    2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente.

      \ [\ begin {array} {lll}
      {|u| >a} & {\ quad\ text {es equivalente a}} & {u<−a\ quad\ texto {o}\ quad u>a}
      \\ {|u|\ geq a} & {\ quad\ text {es equivalente a}} & {u\ leq −a\ quad\ text {o}\ quad u\ geq a}
      \\ {|u| >a} & {\ quad\ text {es equivalente a}} & {u<−a\ quad\ text {o}\ quad u>a}
      \\ {|u|\ geq a} & {\ quad\ text {es equivalente a}} & {u\ leq −a\ quad\ text {o}\ quad u\ geq a}
      \\\ nonumber\ end {array}\]

    3. Resolver la desigualdad compuesta.
    4. Grafica la solución
    5. Escribe la solución usando notación de intervalos.

    Resolver aplicaciones con valor absoluto

    Las desigualdades de valor absoluto se utilizan a menudo en el proceso de fabricación. Se debe hacer un artículo con especificaciones casi perfectas. Por lo general hay una cierta tolerancia de la diferencia con respecto a las especificaciones que se permite. Si la diferencia con respecto a las especificaciones excede la tolerancia, se rechaza el artículo.

    \[|\text{actual-ideal}|\leq \text{tolerance} \nonumber\]

    Ejemplo \(\PageIndex{28}\)

    El diámetro ideal de una varilla necesaria para una máquina es de 60 mm. El diámetro real puede variar del diámetro ideal por \(0.075\) mm. ¿Qué rango de diámetros será aceptable para el cliente sin que se rechace la varilla?

    Solución

    \(\begin{array} {ll} {} &{\text{Let }x=\text{ the actual measurement}} \\ {\text{Use an absolute value inequality to express this situation.}} &{|\text{actual-ideal}|\leq \text{tolerance}} \\ {} &{|x−60|\leq 0.075} \\ {\text{Rewrite as a compound inequality.}} &{−0.075\leq x−60\leq 0.075} \\ {\text{Solve the inequality.}} &{59.925\leq x\leq 60.075} \\ {\text{Answer the question.}} &{\text{The diameter of the rod can be between}} \\ {} &{59.925 mm \text{ and } 60.075 mm.} \\ \end{array}\)

    EJERCICIO \(\PageIndex{29}\)

    El diámetro ideal de una varilla necesaria para una máquina es de 80 mm. El diámetro real puede variar del diámetro ideal en 0.009 mm. ¿Qué rango de diámetros será aceptable para el cliente sin que se rechace la varilla?

    Contestar

    El diámetro de la varilla puede estar entre 79.991 y 80.009 mm.

    EJERCICIO \(\PageIndex{30}\)

    El diámetro ideal de una varilla necesaria para una máquina es de 75 mm. El diámetro real puede variar del diámetro ideal en 0.05 mm. ¿Qué rango de diámetros será aceptable para el cliente sin que se rechace la varilla?

    Contestar

    El diámetro de la varilla puede estar entre 74.95 y 75.05 mm.

    Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con la solución de ecuaciones lineales de valores absolutos y desigualdades.

    • Resolver ecuaciones y desigualdades lineales de valores absolutos

    Conceptos Clave

    • Valor Absoluto
      El valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la línea numérica.
      El valor absoluto de un número n se escribe como \(|n|\) y \(|n|\geq 0\) para todos los números.
      Los valores absolutos son siempre mayores o iguales a cero.
    • Ecuaciones de Valor Absoluto
      Para cualquier expresión algebraica, u, y cualquier número real positivo, a,
      \(\begin{array} {ll} {\text{if}} &{\quad |u|=a} \\ {\text{then}} &{\quad u=−a \text{ or } u=a} \\ \end{array}\)
      Recuerda que un valor absoluto no puede ser un número negativo.
    • Cómo Resolver Ecuaciones de Valor Absoluto
      1. Aislar la expresión de valor absoluto.
      2. Escribe las ecuaciones equivalentes.
      3. Resuelve cada ecuación.
      4. Revisa cada solución.
    • Ecuaciones con dos valores absolutos
      Para cualquier expresión algebraica, uy v,
      \(\begin{array} {ll} {\text{if}} &{\quad |u|=|v|} \\ {\text{then}} &{\quad u=−v \text{ or } u=v} \\ \end{array}\)
    • Desigualdades de Valor Absoluto con \(<\) o \(\leq\)
      Para cualquier expresión algebraica, u , y cualquier número real positivo, a ,
      \(\begin{array} {llll} {\text{if}} &{\quad |u|=a} &{\quad \text{then}} &{−a<u<a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\leq a} &{\quad \text{then}} &{−a\leq u\leq a} \\ \end{array}\)
    • Cómo Resolver Desigualdades de Valor Absoluto con \(<\) o \(\leq\)
      1. Aislar la expresión de valor absoluto.
      2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente.
        \(\begin{array} {lll} {|u|<a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad −a<u<a} \\ {|u|\leq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad −a\leq u\leq a} \\ \end{array}\)
      3. Resolver la desigualdad compuesta.
      4. Grafica la solución
      5. Escribir la solución usando notación de intervalos
    • Desigualdades de Valor Absoluto con \(>\) o \(\geq\)
      Para cualquier expresión algebraica, u , y cualquier número real positivo, a ,
      \(\begin{array} {lll} {\text{if}} &{\quad |u|>a,} &{\text{then } u<−a\text{ or }u>a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\geq a,} &{\text{then } u\leq −a\text{ or }u\geq a} \\ \end{array}\)
    • Cómo Resolver Desigualdades de Valor Absoluto con \(>\) o \(\geq\)
      1. Aislar la expresión de valor absoluto.
      2. Escribe la desigualdad compuesta equivalente.
        \(\begin{array} {lll} {|u|>a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad u<−a\text{ or }u>a} \\ {|u|\geq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad u\leq −a\text{ or }u\geq a} \\ \end{array}\)
      3. Resolver la desigualdad compuesta.
      4. Grafica la solución
      5. Escribir la solución usando notación de intervalos

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