3.4: Encuentra la Ecuación de una Línea
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Encuentra una ecuación de la recta dada la pendiente y la intercepción y
- Encuentra una ecuación de la recta dada la pendiente y un punto
- Encuentra una ecuación de la recta dada dos puntos
- Encontrar una ecuación de una línea paralela a una línea dada
- Encontrar una ecuación de una recta perpendicular a una línea dada
¿Cómo saben las empresas en línea que “también te puede gustar” un artículo en particular basado en algo que acabas de pedir? ¿Cómo pueden saber los economistas cómo un aumento del salario mínimo afectará la tasa de desempleo? ¿Cómo crean los investigadores médicos medicamentos para apuntar a las células cancerosas? ¿Cómo pueden predecir los ingenieros de tráfico el efecto en su tiempo de desplazamiento de un aumento o disminución en los precios de la gasolina? Todo son matemáticas.
Las ciencias físicas, las ciencias sociales y el mundo de los negocios están llenos de situaciones que se pueden modelar con ecuaciones lineales que relacionan dos variables. Para crear un modelo matemático de una relación lineal entre dos variables, debemos ser capaces de encontrar la ecuación de la recta. En esta sección, veremos varias formas de escribir la ecuación de una línea. El método específico que empleemos estará determinado por la información que se nos brinde.
Encuentra una Ecuación de la Línea Dada la Pendiente y -Intercepción
Podemos determinar fácilmente la pendiente e intercepción de una línea si la ecuación está escrita en forma de pendiente-intercepción, \(y=mx+b\) . Ahora haremos lo inverso, comenzaremos con la pendiente e interceptar y y las usaremos para encontrar la ecuación de la recta.
Encuentra la ecuación de una recta con pendiente \(−9\) e intercepción y \((0,−4)\) .
- Contestar
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Dado que se nos da la pendiente y -intercepción de la línea, podemos sustituir los valores necesarios en la forma de pendiente-intercepción, \(y=mx+b\) .
Nombra el talud. Nombra la intercepción y . Sustituir los valores en \(y=mx+b\) .
Encuentra la ecuación de una recta con pendiente \(25\) e intercepción y \((0,4)\) .
- Contestar
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\(y=\frac{2}{5}x+4\)
Encuentra la ecuación de una recta con pendiente \(−1\) e intercepción y \((0,−3)\) .
- Contestar
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\(y=−x−3\)
En ocasiones, la pendiente y la interceptación deben determinarse a partir de la gráfica.
Encuentra la ecuación de la línea que se muestra en la gráfica.
- Contestar
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Necesitamos encontrar la pendiente y -intercepción de la línea de la gráfica para poder sustituir los valores necesarios en la forma de pendiente-intercepción, \(y=mx+b\) .
Para encontrar la pendiente, elegimos dos puntos en la gráfica.
La intercepción y es \((0,−4)\) y la gráfica pasa a través \((3,−2)\) .
Encuentra la pendiente, contando la subida y la carrera. Encuentra la intercepción y . Sustituir los valores por y=mx+b.y=mx+b.
Encuentra la ecuación de la línea que se muestra en la gráfica.
- Contestar
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\(y=\frac{3}{5}x+1\)
Encuentra la ecuación de la línea que se muestra en la gráfica.
- Contestar
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\(y=\frac{4}{3}x−5\)
Encuentra una ecuación de la recta dada la pendiente y un punto
Encontrar una ecuación de una línea usando la forma de interceptación de pendiente de la ecuación funciona bien cuando se le da la pendiente e intercepción y o cuando las lee de una gráfica. Pero, ¿qué pasa cuando se tiene otro punto en lugar de la interceptación y ?
Vamos a utilizar la fórmula de pendiente para derivar otra forma de una ecuación de la recta.
Supongamos que tenemos una línea que tiene pendiente m y que contiene algún punto específico \((x_1,y_1)\) y algún otro punto, que sólo llamaremos \((x,y)\) . Podemos escribir la pendiente de esta línea y luego cambiarla a una forma diferente.
\( \begin{array} {llll} {} &{m} &= &{\frac{y-y_1}{x-x_1}} \\ {\text{Multiply both sides of the equation by }x−x_1.} &{m(x-x_1)} &= &{\left( \frac{y−y_1}{x−x_1} \right)(x−x_1)} \\ {\text{Simplify.}} &{m(x-x_1)} &= &{y-y_1} \\ {\text{Rewrite the equation with theyterms on the left.}} &{y-y_1} &= &{m(x-x_1)} \\ \end{array} \)
Este formato se denomina forma punto-pendiente de una ecuación de una recta.
La forma punto-pendiente de una ecuación de una recta con pendiente m y que contiene el punto \((x_1,y_1)\) es:
\[y−y_1=m(x−x_1) \nonumber\]
Podemos usar la forma punto-pendiente de una ecuación para encontrar una ecuación de una recta cuando conocemos la pendiente y al menos un punto. Después, reescribiremos la ecuación en forma de pendiente-intercepción. La mayoría de las aplicaciones de ecuaciones lineales utilizan la forma de interceptación de pendiente.
Cómo encontrar una ecuación de una línea dada un punto y la pendiente
Encuentra una ecuación de una recta con pendiente \(m=−\frac{1}{3}\) que contenga el punto \((6,−4)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
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Encuentra la ecuación de una recta con pendiente \(m=−\frac{2}{5}\) y que contiene el punto \((10,−5)\) .
- Contestar
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\(y=−\frac{2}{5}x−1\)
Encuentra la ecuación de una recta con pendiente \(m=−\frac{3}{4}\) , y que contiene el punto \((4,−7)\) .
- Contestar
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\(y=−\frac{3}{4}x−4\)
Enumeramos los pasos para facilitar la referencia.
- Identificar la pendiente.
- Identificar el punto.
- Sustituir los valores en la forma punto-pendiente, \(y−y_1=m(x−x_1)\) .
- Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
Encuentra una ecuación de una línea horizontal que contenga el punto \((−2,−6)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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Cada línea horizontal tiene pendiente 0. Podemos sustituir la pendiente y los puntos en la forma punto-pendiente, \(y−y_1=m(x−x1)\) .
Identificar la pendiente. Identificar el punto. Sustituya los valores por y−y1=m (x−x1) .y−y1=m (x−x1). Simplificar. Escribir en forma de pendiente-intercepción. Está en forma y , pero podría escribirse \(y=0x−6\) . ¿Terminamos con la forma de una línea horizontal, \(y=a\) ?
Encuentra la ecuación de una línea horizontal que contiene el punto \((−3,8)\) .
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\(y=8\)
Encuentra la ecuación de una línea horizontal que contiene el punto \((−1,4)\) .
- Contestar
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\(y=4\)
Encuentra una Ecuación de la Línea Dados Dos Puntos
Cuando se recopilan datos del mundo real, se puede crear un modelo lineal a partir de dos puntos de datos. En el siguiente ejemplo veremos cómo encontrar una ecuación de una recta cuando sólo se dan dos puntos.
Hasta el momento, tenemos dos opciones para encontrar una ecuación de una línea: pendiente-interceptación o punto-pendiente. Cuando empezamos con dos puntos, tiene más sentido usar la forma punto-pendiente.
Pero entonces necesitamos la pendiente. ¿Podemos encontrar la pendiente con sólo dos puntos? Sí. Entonces, una vez tengamos la pendiente, podemos usarla y uno de los puntos dados para encontrar la ecuación.
Cómo encontrar la ecuación de una línea dada dos puntos
Encuentra una ecuación de una recta que contenga los puntos \((−3,−1)\) y \((2,−2)\) Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
- Contestar
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Encuentra la ecuación de una recta que contiene los puntos \((−2,−4)\) y \((1,−3)\) .
- Contestar
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\(y=\frac{1}{3}x−\frac{10{3}\)
Encuentra la ecuación de una recta que contiene los puntos \((−4,−3)\) y \((1,−5)\) .
- Contestar
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\(y=−\frac{2}{5}x−\frac{23}{5}\)
Aquí se resumen los pasos.
- Encuentra la pendiente usando los puntos dados. \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
- Elige un punto.
- Sustituir los valores en la forma punto-pendiente: \(y−y_1=m(x−x_1)\) .
- Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
Encuentra una ecuación de una recta que contenga los puntos \((−3,5)\) y \((−3,4)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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Nuevamente, el primer paso será encontrar la pendiente.
Encuentra la pendiente de la línea a través \((−3,5)\) y \((−3,4)\) .
\[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\]
\[m=\frac{4−5}{−3−(−3)} \nonumber\]
\[m=\frac{−1}{0} \nonumber\]
El talud es indefinido.
Esto nos dice que es una línea vertical. Ambos puntos tienen una coordenada x de \(−2\) . Entonces nuestra ecuación de la línea es \(x=−2\) . Ya que no hay y , no podemos escribirlo en forma de pendiente-intercepción.
Es posible que desee esbozar una gráfica utilizando los dos puntos dados. ¿Su gráfica está de acuerdo con nuestra conclusión de que se trata de una línea vertical?
Encuentra la ecuación de una recta que contiene los puntos \((5,1)\) y \((5,−4)\) .
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\(x=5\)
Encuentra la ecuación de una recta que contiene los puntos \((−4,4)\) y \((−4,3)\) .
- Contestar
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\(x=−4\)
Hemos visto que podemos usar la forma de interceptación de pendiente o la forma punto-pendiente para encontrar una ecuación de una línea. El formulario que utilicemos dependerá de la información que se nos dé.
| Escribir una ecuación de una línea | ||
|---|---|---|
| Si se da: | Uso: | Forma: |
| Talud e interceptación y | pendiente-intercepción | \(y=mx+b\) |
| Talud y un punto | punto-pendiente | \(y−y_1=m(x−x_1)\) |
| Dos puntos | punto-pendiente | \(y−y_1=m(x−x_1)\) |
Encontrar una ecuación de una línea paralela a una línea dada
Supongamos que necesitamos encontrar una ecuación de una línea que pase a través de un punto específico y sea paralela a una línea dada. Podemos aprovechar el hecho de que las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Entonces tendremos un punto y la pendiente, justo lo que necesitamos para usar la ecuación de punto-pendiente.
En primer lugar, veamos esto gráficamente.
Esta gráfica muestra \(y=2x−3.\) Queremos graficar una línea paralela a esta línea y que pasa por el punto \((−2,1)\) .
Sabemos que las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Por lo que la segunda línea tendrá la misma pendiente que \(y=2x−3\) . Esa pendiente es \(m_∥=2\) . Usaremos la notación mmpara representar la pendiente de una recta paralela a una recta con pendiente m . (Observe que el subíndice || parece dos líneas paralelas.)
Pasará por la segunda línea \((−2,1)\) y tendrá \(m=2\) .
Para graficar la línea, comenzamos en \((−2,1)\) y contamos el ascenso y la carrera.
Con \(m=2\) (o \(m=\frac{2}{1}\) ), contamos la subida 2 y la carrera 1. Dibujamos la línea, como se muestra en la gráfica.
¿Las líneas aparecen paralelas? ¿Pasa la segunda línea \((−2,1)\) ?
Nos pidieron graficar la línea, ahora veamos cómo hacer esto algebraicamente.
Podemos usar la forma de intersección de pendiente o la forma punto-pendiente para encontrar una ecuación de una línea. Aquí conocemos un punto y podemos encontrar la pendiente. Por lo que usaremos la forma punto-pendiente.
Cómo encontrar la ecuación de una línea paralela a una línea dada y un punto
Encuentra una ecuación de una recta paralela a la \(y=2x−3\) que contenga el punto \((−2,1)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
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Mira la gráfica con las líneas paralelas mostradas anteriormente. ¿Tiene sentido esta ecuación? ¿Cuál es la intercepción y de la línea? ¿Cuál es la pendiente?
Encuentra una ecuación de una recta paralela a la recta \(y=3x+1\) que contiene el punto \((4,2)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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\(y=3x−10\)
Encuentra una ecuación de una recta paralela a la recta \(y=12x−3\) que contiene el punto \((6,4)\) .
Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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\(y=\frac{1}{2}x+1\)
- Encuentra la pendiente de la línea dada.
- Encuentra la pendiente de la línea paralela.
- Identificar el punto.
- Sustituir los valores en la forma punto-pendiente: \(y−y_1=m(x−x_1)\) .
- Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
Encontrar una ecuación de una recta perpendicular a una línea dada
Ahora, consideremos las líneas perpendiculares. Supongamos que necesitamos encontrar una línea que pase a través de un punto específico y que sea perpendicular a una línea dada. Podemos usar el hecho de que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas. Volveremos a utilizar la ecuación punto-pendiente, como hicimos con las líneas paralelas.
Esta gráfica muestra \(y=2x−3\) . Ahora, queremos graficar una línea perpendicular a esta línea y de paso \((−2,1)\) .
Sabemos que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas.
Usaremos la notación \(m_⊥\) para representar la pendiente de una recta perpendicular a una recta con pendiente m . (Observe que el subíndice \(⊥\) se parece a los ángulos rectos hechos por dos líneas perpendiculares.)
\[y=2x−3 perpendicular line \nonumber\]
\[m=2 m⊥=−12\nonumber\]
Ahora sabemos que la línea perpendicular pasará a través \((−2,1)\) con \(m⊥=−12\) .
Para graficar la línea, comenzaremos en \((−2,1)\) y contaremos la subida \(−1\) y la corrida \(2\) . Entonces trazamos la línea.
¿Las líneas parecen perpendiculares? ¿Pasa la segunda línea \((−2,1)\) ?
Nos pidieron graficar la línea, ahora, vamos a ver cómo hacer esto algebraicamente.
Podemos usar la forma de intersección de pendiente o la forma punto-pendiente para encontrar una ecuación de una línea. En este ejemplo conocemos un punto, y podemos encontrar la pendiente, por lo que utilizaremos la forma punto-pendiente.
Cómo encontrar la ecuación de una recta perpendicular a una línea dada y a un punto
Encuentra una ecuación de una recta perpendicular a la \(y=2x−3\) que contiene el punto \((−2,1)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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Encuentra una ecuación de una recta perpendicular a la recta \(y=3x+1\) que contiene el punto \((4,2)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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\(y=−\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\)
Encuentra una ecuación de una recta perpendicular a la recta \(y=12x−3\) que contiene el punto \((6,4)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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\(y=−2x+16\)
- Encuentra la pendiente de la línea dada.
- Encuentra la pendiente de la recta perpendicular.
- Identificar el punto.
- Sustituir los valores en la forma punto-pendiente, \(y−y_1=m(x−x_1)\) .
- Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
Encuentra una ecuación de una recta perpendicular a la \(x=5\) que contiene el punto \((3,−2)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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Nuevamente, ya que conocemos un punto, la opción punto-pendiente parece más prometedora que la opción de interceptación de pendiente. Necesitamos la pendiente para usar esta forma, y sabemos que la nueva línea será perpendicular a x=5.x=5. Esta línea es vertical, por lo que su perpendicular será horizontal. Esto nos dice el m=0.m=0.
Identifica el punto.Identifica la pendiente de la línea perpendicular.Sustituye los valores intoy−y1=m (x−x1) .Simplificar. (3, −2) my−y−y1y− (−2) y+2y=====0m (x−x1) 0 (x−3) 0−2Identifica el punto. (3, −2) Identifica la pendiente de la línea perpendicular.Sustituir los valores en −y−y1=m (x−x1) .simplifica.m=0y−y1=m (x−x1) y− (−2) =0 (x−3) y+2=0y=−2
Esboza la gráfica de ambas líneas. En su gráfica, ¿las líneas parecen ser perpendiculares?
Encuentra una ecuación de una recta que sea perpendicular a la recta \(x=4\) que contiene el punto \((4,−5)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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\(y=−5\)
Encuentra una ecuación de una recta que sea perpendicular a la recta \(x=2\) que contiene el punto \((2,−1)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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\(y=−1\)
En Ejemplo , se utilizó la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación. Podríamos haber mirado esto de una manera diferente.
Queremos encontrar una línea que sea perpendicular a la \(x=5\) que contenga el punto \((3,−2)\) . Esta gráfica nos muestra la línea \(x=5\) y el punto \((3,−2)\) .
Sabemos que cada línea perpendicular a una línea vertical es horizontal, por lo que esbozaremos la línea horizontal a través \((3,−2)\) .
¿Las líneas parecen perpendiculares?
Si nos fijamos en algunos puntos en esta línea horizontal, notamos que todos tienen y -coordenadas de \(−2\) . Entonces, la ecuación de la recta perpendicular a la recta vertical \(x=5\) es \(y=−2\) .
Encuentra una ecuación de una recta que sea perpendicular a la \(y=−3\) que contiene el punto \((−3,5)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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La línea \(y=−3\) es una línea horizontal. Cualquier línea perpendicular a ella debe ser vertical, en la forma \(x=a\) . Dado que la línea perpendicular es vertical y pasa a través \((−3,5)\) , cada punto sobre ella tiene una coordenada x de \(−3\) . La ecuación de la recta perpendicular es \(x=−3\) .
Es posible que desee esbozar las líneas. ¿Aparecen perpendiculares?
Encuentra una ecuación de una recta que sea perpendicular a la recta \(y=1\) que contiene el punto \((−5,1)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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\(x=−5\)
Encuentra una ecuación de una recta que sea perpendicular a la recta \(y=−5\) que contiene el punto \((−4,−5)\) . Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
- Contestar
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\(x=−4\)
Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la búsqueda de la ecuación de una línea.
Conceptos Clave
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Cómo encontrar una ecuación de una recta dada la pendiente y un punto.
- Identificar la pendiente.
- Identificar el punto.
- Sustituir los valores en la forma punto-pendiente, \( y−y_1=m(x−x_1)\) .
-
Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
-
Cómo encontrar una ecuación de una recta dada dos puntos.
- Encuentra la pendiente usando los puntos dados. \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
- Elige un punto.
- Sustituir los valores en la forma punto-pendiente: \(y−y_1=m(x−x_1)\) .
-
Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
Escribir una ecuación de una línea Si se da: Uso: Forma: Talud e interceptación y pendiente-intercepción \(y=mx+b\) Talud y un punto punto-pendiente \(y−y_1=m(x−x_1)\) Dos puntos punto-pendiente \(y−y_1=m(x−x_1)\)
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Cómo encontrar una ecuación de una recta paralela a una línea dada.
- Encuentra la pendiente de la línea dada.
- Encuentra la pendiente de la línea paralela.
- Identificar el punto.
- Sustituir los valores en la forma punto-pendiente: \(y−y_1=m(x−x_1)\) .
- Escribir la ecuación en forma de pendiente-intercepción
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Cómo encontrar una ecuación de una recta perpendicular a una recta dada.
- Encuentra la pendiente de la línea dada.
- Encuentra la pendiente de la recta perpendicular.
- Identificar el punto.
- Sustituir los valores en la forma punto-pendiente, \(y−y_1=m(x−x_1)\) .
- Escribe la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
Glosario
forma punto-pendiente
La forma punto-pendiente de una ecuación de una recta con pendiente m y que contiene el punto \((x_1,y_1)\) es \(y−y_1=m(x−x_1)\) .