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3.5E: Ejercicios

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    51654
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La práctica hace a la perfección

    Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables

    En los siguientes ejercicios, determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad dada.

    1. Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad \(y>x−1\):

    a. \((0,1)\)
    b. \((−4,−1)\)
    c. \((4,2)\)
    d. \((3,0)\)
    e. \((−2,−3)\)

    Responder

    a. sí b. sí c. no d. no e. no

    2. Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad \(y>x−3\):

    a. \((0,0)\)
    b. \((2,1)\)
    c. \((−1,−5)\)
    d. \((−6,−3)\)
    e. \((1,0)\)

    3. Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad \(y<3x+2\):

    a. \((0,3)\)
    b. \((−3,−2)\)
    c. \((−2,0)\)
    d. \((0,0)\)
    e. \((−1,4)\)

    Responder

    a. no b. no c. sí d. sí e. no

    4. Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad \(y<−2x+5\):

    a.\ ((−3,0) (−3,0)
    b. \((1,6)\)
    c. \((−6,−2)\)
    d. \((0,1)\)
    e. \((5,−4)\)

    5. Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad \(3x−4y>4\):

    a. \((5,1)\)
    b. \((−2,6)\)
    c. \((3,2)\)
    d. \((10,−5)\)
    e. \((0,0)\)

    Responder

    a. sí b. no c. no d. no e. no

    6. Determine si cada par ordenado es una solución a la desigualdad \(2x+3y>2\):

    a. \((1,1)\)
    b. \((4,−3)\)
    c. \((0,0)\)
    d. \((−8,12)\)
    e. \((3,0)\)

    Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica

    En los siguientes ejercicios, escribe la desigualdad mostrada por la región sombreada.

    7. Escribir la desigualdad mostrada por la gráfica con la línea límite \(y=3x−4\).

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, negativo 4), (1, negativo 1) y (2, 2). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad inferior derecha están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    Responder

    \(y\leq 3x−4\)

    8. Escribir la desigualdad mostrada por la gráfica con la línea límite \(y=2x−4\).

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, negativo 4), (1, negativo 2) y (2, 0). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad inferior derecha están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    9. Escribir la desigualdad mostrada por la gráfica con la línea límite \(y=−\frac{1}{2}x+1\).

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, 1), (2, 0) y (4, negativo 1). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad inferior derecha están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    Responder

    \(y\leq −\frac{1}{2}x+1\)

    10. Escribir la desigualdad mostrada por la gráfica con la línea límite \(y=-\frac{1}{3}x−2\).

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, negativo 2), (3, negativo 3) y (6, negativo 4). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad inferior izquierda están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    11. Escriba la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea límite \(x+y=5\).

    Responder

    \(x+y\geq 5\)

    12. Escriba la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea límite \(x+y=3\).

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, 3), (1, 2) y (3, 0). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad superior derecha están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    13. Escriba la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea límite \(3x−y=6\).

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, menos 6), (1, negativo 3) y (2, 0). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad superior izquierda están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    Responder

    \(3x−y\leq 6\)

    14. Escriba la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea límite \(2x−y=4\).

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, negativo 4), (1, negativo 2) y (2, 0). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad superior izquierda están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    Gráfica Desigualdades Lineales en Dos Variables

    En los siguientes ejercicios, grafica cada desigualdad lineal.

    15. Gráfica la desigualdad lineal: \(y>\frac{2}{3}x−1\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua recta a través de los puntos (0, negativo 1), (3, 1) y (6, 3). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad superior izquierda está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    16. Gráfica la desigualdad lineal: \(y<\frac{3}{5}x+2\).

    17. Gráfica la desigualdad lineal: \(y\leq −\frac{1}{2}x+4\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, 4), (2, 3) y (4, 2). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad superior derecha están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    18. Gráfica la desigualdad lineal: \(y\geq −\frac{1}{3}x−2\).

    19. Gráfica la desigualdad lineal: \(x−y\leq 3\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua recta a través de los puntos (0, negativo 3), (1, negativo 2) y (3, 0). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad superior izquierda está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    20. Gráfica la desigualdad lineal: \(x−y\geq −2\).

    21. Gráfica la desigualdad lineal: \(4x+y>−4\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua recta a través de los puntos (0, negativo 4), (negativo 1, 0) y (1, negativo 8). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad superior derecha está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    22. Gráfica la desigualdad lineal: \(x+5y<−5\).

    23. Gráfica la desigualdad lineal: \(3x+2y\geq −6\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua recta a través de los puntos (0, negativo 3), (3, menos 5) y (negativo 2, 0). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad superior derecha está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    24. Gráfica la desigualdad lineal: \(4x+2y\geq −8\).

    25. Gráfica la desigualdad lineal: \(y>4x\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua recta a través de los puntos (0, 0), (negativo 1, negativo 4) y (1, 4). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad superior izquierda está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    26. Gráfica la desigualdad lineal: \(y\leq −3x\).

    27. Gráfica la desigualdad lineal: \(y<−10\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua recta a través de los puntos (0, 0), (negativo 1, 3) y (1, negativo 3). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad inferior izquierda está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    28. Gráfica la desigualdad lineal: \(y\geq 2\).

    29. Gráfica la desigualdad lineal: \(x\leq 5\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua vertical recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua vertical a través de los puntos (5, negativo 1), (5, 0) y (5, 1). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad izquierda está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    30. Gráfica la desigualdad lineal: \(x\geq 0\).

    31. Gráfica la desigualdad lineal: \(x−y<4\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua recta a través de los puntos (0, negativo 4), (1, negativo 3) y (4, 0). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad superior izquierda está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    32. Gráfica la desigualdad lineal: \(x−y<−3\).

    33. Gráfica la desigualdad lineal: \(y\geq \frac{3}{2}x\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua recta a través de los puntos (0, 0), (2, 3) y (negativo 2, negativo 3). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad superior izquierda está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    34. Gráfica la desigualdad lineal: \(y\leq \frac{5}{4}x\).

    35. Gráfica la desigualdad lineal: \(y>−2x+1\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea discontinua recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea discontinua recta a través de los puntos (0, 1), (1, negativo 1) y (2, negativo 3). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La mitad superior derecha está sombreada en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    36. Gráfica la desigualdad lineal: \(y<−3x−4\).

    37. Gráfica la desigualdad lineal: \(2x+y\geq −4\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, negativo 4), (1, negativo 6) y (negativo 2, 0). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad inferior izquierda están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    38. Gráfica la desigualdad lineal: \(x+2y\leq −2\).

    39. Gráfica la desigualdad lineal: \(2x−5y>10\).

    Responder

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, negativo 2), (5, 0) y (negativo 5, negativo 4). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad inferior derecha están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    40. Gráfica la desigualdad lineal: \(4x−3y>12\).

    Resolver aplicaciones usando desigualdades lineales en dos variables

    41. Harrison trabaja dos trabajos a tiempo parcial. Uno en una gasolinera que paga $11 la hora y el otro es solución de problemas de TI por $16.50$16.50la hora. Entre los dos trabajos, Harrison quiere ganar al menos 330 dólares a la semana. ¿Cuántas horas necesita Harrison para trabajar en cada trabajo para ganar al menos $330?

    a. dejar x ser el número de horas que trabaja en la gasolinera y dejar y ser el número de (horas que trabaja solución de problemas. Escribe una desigualdad que modelaría esta situación.

    b. Grafica la desigualdad.

    c. Encontrar tres pares ordenados \((x,y)\) que serían soluciones a la desigualdad. Entonces, explica lo que eso significa para Harrison.

    Responder

    a. \(11x+16.5y\geq 330\)
    b.

    c. Las respuestas variarán.

    42. Elena necesita ganar al menos 450 dólares a la semana durante sus vacaciones de verano para pagar la universidad. Ella trabaja dos trabajos. Uno como instructor de natación que paga $9 la hora y el otro como pasante en un laboratorio de genética por $22.50 por hora. ¿Cuántas horas necesita Elena para trabajar en cada trabajo para ganar al menos $450 por semana?

    a. deja x ser el número de horas que trabaja enseñando natación y deja y ser el número de horas que trabaja como pasante. Escribe una desigualdad que modelaría esta situación.

    b. Grafica la desigualdad.

    c. Encontrar tres pares ordenados (x, y) (x, y) que serían soluciones a la desigualdad. Entonces, explica lo que eso significa para Elena.

    43. El médico le dice a Laura que necesita hacer lo suficiente para quemar 500 calorías cada día. Ella prefiere correr o andar en bicicleta y quema 15 calorías por minuto mientras corre y 10 calorías por minuto mientras está en bicicleta.

    a. si x es el número de minutos que corre Laura e y es el número de minutos que bicis, encuentra la desigualdad que modela la situación.

    b. Grafica la desigualdad.

    c. Enumerar tres soluciones a la desigualdad. ¿Qué opciones le brindan las soluciones a Laura?

    Responder

    a. \(15x+10y\geq 500\)
    b.

    Esta figura tiene la gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de 0 a 60. Se dibuja una línea a través de los puntos (0, 50) y (20, 20). La línea divide el plano de coordenadas x y en dos mitades. La línea y la mitad superior derecha están sombreadas en rojo para indicar que aquí es donde están las soluciones de la desigualdad.

    c. Las respuestas variarán.

    44. Los entrenamientos de Armando consisten en kickboxing y natación. En tanto que kickboxing, quema 10 calorías por minuto y quema 7 calorías por minuto mientras nada. Él quiere quemar 600 calorías cada día.

    a. si x es el número de minutos que Armando hará kickbox e y es el número de minutos que nadará, encuentra la desigualdad que ayudará a Armando a crear un entrenamiento para hoy.

    b. Grafica la desigualdad.

    c. Enumerar tres soluciones a la desigualdad. ¿Qué opciones ofrecen las soluciones Armando?

    Ejercicios de escritura

    45. Lester piensa que la solución de cualquier desigualdad con un signo >> es la región por encima de la línea y la solución de cualquier desigualdad con un signo << es la región por debajo de la línea. ¿Lester es correcto? Explica por qué o por qué no.

    Responder

    Las respuestas variarán.

    46. Explica por qué, en algunas gráficas de desigualdades lineales, la línea límite es sólida pero en otras gráficas es discontinua.

    Autocomprobación

    a. Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    Esta tabla tiene 4 filas y 4 columnas. La primera fila es una fila de encabezado y etiqueta cada columna. El primer encabezado de columna es “Puedo...”, el segundo es “Con confianza”, el tercero es “Con algo de ayuda”, y el cuarto es “No, no lo consigo”. Bajo la primera columna se encuentran las frases “verificar soluciones a una desigualdad en dos variables”, “reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica”, y “graficar desigualdades lineales”. Las otras columnas se dejan en blanco para que el alumno pueda indicar su nivel de maestría para cada tema.

    b. En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo se puede mejorar esto?


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