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4.2: Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables

  • Page ID
    51693
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones
    • Resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando
    • Resolver un sistema de ecuaciones por sustitución
    • Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación
    • Elija el método más conveniente para resolver un sistema de ecuaciones lineales

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Para la ecuación \(y=\frac{2}{3}x−4\),
      ⓐ ¿Es \((6,0)\) una solución? ⓑ ¿Es \((−3,−2)\) una solución?
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Encuentra la pendiente y-intercepción de la línea \(3x−y=12\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Encuentra las interceptaciones x e y de la línea \(2x−3y=12\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones

    En Resolver ecuaciones lineales, aprendimos a resolver ecuaciones lineales con una variable. Ahora trabajaremos con dos o más ecuaciones lineales agrupadas, lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales.

    SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

    Cuando se agrupan dos o más ecuaciones lineales, forman un sistema de ecuaciones lineales.

    En esta sección, enfocaremos nuestro trabajo en sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas. Resolveremos sistemas de ecuaciones más grandes más adelante en este capítulo.

    A continuación se muestra un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones lineales. Utilizamos un corsé para mostrar que las dos ecuaciones están agrupadas para formar un sistema de ecuaciones.

    \[ \left\{ \begin{aligned} 2x+y & = 7 \\ x−2y & = 6 \end{aligned} \right. \nonumber \]

    Una ecuación lineal en dos variables, tales como \(2x+y=7\), tiene un número infinito de soluciones. Su gráfica es una línea. Recuerde, cada punto en la línea es una solución a la ecuación y cada solución a la ecuación es un punto en la línea.

    Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones a ambas ecuaciones. En otras palabras, estamos buscando los pares ordenados \((x,y)\) que hagan verdaderas ambas ecuaciones. Estas se llaman las soluciones de un sistema de ecuaciones.

    SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

    Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales está representada por un par ordenado \((x,y)\).

    Para determinar si un par ordenado es una solución a un sistema de dos ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el par ordenado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, es una solución para el sistema.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Determine si el par ordenado es una solución para el sistema \(\left \{ \begin{array} {l} x−y = −1 \\ 2x−y = −5 \end{array} \right. \).

    \((−2,−1)\)\((−4,−3)\)

    Responder

    Las ecuaciones son x menos y es igual a menos 1 y 2 x menos y es igual a menos 5. Sustituimos x igual a menos 2 e y igual a menos 1 en ambas ecuaciones. Por lo tanto, x menos y es igual a menos 1 se convierte en menos 2 menos paréntesis abiertos menos 1 paréntesis de cierre igual o no igual a menos 1. Simplificando, obtenemos menos 1 es igual a menos 1 que es correcto. La ecuación 2 x menos y es igual a menos 5 se convierte en 2 veces menos 2 menos paréntesis abiertos menos 1 paréntesis de cierre igual o no igual a menos 5. Simplificando, obtenemos 5 no iguales a menos 5. De ahí que el par ordenado menos 2, menos 1 no haga que ambas ecuaciones sean verdaderas. Entonces, no es una solución.

    Sustituimos x igual a menos 4 e y igual a menos 3 en ambas ecuaciones. Entonces, x menos y es igual a menos 1 se convierte en menos 4 menos paréntesis abiertos menos 3 paréntesis cercanos iguales o no iguales a menos 1. Simplificando, obtenemos menos 1 es igual a menos 1, lo cual es correcto. La ecuación 2 x menos y es igual a menos 5 se convierte en 2 veces menos 4 menos paréntesis abiertos menos 3 paréntesis cercanos iguales o no iguales a menos 5. Simplificando, obtenemos menos 5 es igual a menos 5, lo cual es correcto. El par ordenado menos 4, menos 3 hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. De ahí que sea una solución.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Determine si el par ordenado es una solución para el sistema \(\left \{ \begin{array} 3x+y = 0 \\ x+2y = −5 \end{array} \right. \).

    \((1,−3)\)\((0,0)\)

    Responder

    ⓐ sí ⓑ no

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Determine si el par ordenado es una solución para el sistema \(\left \{ \begin{array} x−3y = −8 \\ −3x−y = 4 \end{array} \right. \).

    \((2,−2)\)\((−2,2)\)

    Responder

    ⓐ no ⓑ sí

    Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales por Grafico

    En esta sección, utilizaremos tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El primer método que usaremos es graficar.

    La gráfica de una ecuación lineal es una línea. Cada punto de la línea es una solución a la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones, graficaremos dos líneas. Entonces podemos ver todos los puntos que son soluciones a cada ecuación. Y, al encontrar lo que tienen en común las líneas, encontraremos la solución al sistema.

    La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradicciones, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones.

    De igual manera, cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales representadas por una gráfica de dos líneas en un mismo plano, hay tres casos posibles, como se muestra.

    La figura muestra tres gráficas. En la primera, las líneas se cruzan en el punto 3, menos 1. Las líneas que se cruzan tienen un punto en común. Hay una solución para el sistema. En la segunda gráfica, las líneas son paralelas. Las líneas paralelas no tienen puntos en común. No hay solución para el sistema. La tercera gráfica tiene una sola línea. Aquí, ambas ecuaciones dan la misma línea. Debido a que sólo tenemos una línea, hay infinitas muchas soluciones.
    Figura \(\PageIndex{1}\)

    Cada vez que demostremos un nuevo método, lo usaremos en el mismo sistema de ecuaciones lineales. Al final de la sección decidirás qué método fue la forma más conveniente de resolver este sistema.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\): Cómo Resolver un Sistema de Ecuaciones Gráficas

    Resuelve el sistema graficando \( \left\{ \begin{array} {l} 2x+y = 7 \\ x−2y = 6 \end{array} \right. \).

    Responder

    El paso 1 es graficar la primera ecuación. Para graficar la primera línea, escriba la ecuación en forma de intersección de pendiente. Entonces, 2 x más y es igual a 7 se convierte en y igual a menos 2 x más 7. Aquí, m es menos 2 y b es 7. Por lo que la gráfica será una línea con pendiente igual a menos 2 e intercepción y igual a 7.El paso 2 es graficar la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Para graficar la segunda línea, utilice interceptos. Para x menos 2y es igual a 6, las interceptaciones son 0, menos 3 y 6, 0.El paso 3 es determinar si las líneas se cruzan, son paralelas o son la misma línea. Aquí, se cruzan.El paso 4 es identificar la solución al sistema. Si las líneas se cruzan, identifique el punto de intersección. Las líneas se cruzan a 4, menos 1. Ahora, revisa para asegurarte de que es una solución a ambas ecuaciones. Cuando x e y se sustituyen por 4 y menos 1 respectivamente, ambas ecuaciones se mantienen verdaderas. Esta es la solución al sistema. En el paso 4, si las líneas son paralelas, el sistema no tiene solución y si las líneas son iguales, el sistema tiene un número infinito de soluciones.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Resolver el sistema graficando: \( \left\{ \begin{array} {l} x−3y = −3 \\ x+y = 5 \end{array} \right. \).

    Responder

    \((3,2)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Resuelva el sistema graficando: \( \left\{ \begin{array} {l} −x+y = 1 \\ 3x+2y = 12 \end{array} \right.\)

    Responder

    \((2,3)\)

    Aquí se muestran los pasos a utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante gráficos.

    RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR GRAFIZACIÓN.
    1. Gráfica la primera ecuación.
    2. Grafica la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
    3. Determine si las líneas se cruzan, son paralelas o son la misma línea.
    4. Identificar la solución al sistema.
      • Si las líneas se cruzan, identifique el punto de intersección. Esta es la solución al sistema.
      • Si las líneas son paralelas, el sistema no tiene solución.
      • Si las líneas son las mismas, el sistema tiene un número infinito de soluciones.
    5. Verifique la solución en ambas ecuaciones.

    En el siguiente ejemplo, primero volveremos a escribir las ecuaciones en forma de pendiente-intercepción, ya que esto nos hará fácil graficar rápidamente las líneas.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Resuelva el sistema graficando: \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+y = −1 \\ 2x+y = 0 \end{array}\right.\)

    Responder

    Resolveremos ambas ecuaciones para que \(y\) podamos graficarlas fácilmente usando sus pendientes e \(y\)interceptaciones.

      .
    Resuelve la primera ecuación para y. .
    Encuentra la pendiente y-interceptar. .
    Resuelve la segunda ecuación para y. .
    Encuentra la pendiente y-interceptar. .
    Grafica las líneas. .
    Determinar el punto de intersección. Las líneas se cruzan en \((−1,2)\).
    Verifique la solución en ambas ecuaciones.

    .
     
      La solución es \((−1,2)\).
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Resolver el sistema graficando: \(\left\{ \begin{array} {l} −x+y = 1 \\2x+y = 10 \end{array}\right. \).

    Responder

    \((3,4)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Resolver el sistema graficando: \(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y = 6 \\x+y = 1 \end{array}\right. \).

    Responder

    \((5,−4)\)

    En todos los sistemas de ecuaciones lineales hasta el momento, las líneas se intersecaron y la solución fue de un punto. En los siguientes dos ejemplos, veremos un sistema de ecuaciones que no tiene solución y un sistema de ecuaciones que tiene un número infinito de soluciones.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Resolver el sistema graficando: \(\left\{ \begin{array} {l} y = \tfrac{1}{2}x-3 \\ x-2y = 4 \end{array}\right. \).

    Responder
      .
    Para graficar la primera ecuación, utilizaremos su
    pendiente e intercepción y.
    .
    Para graficar la segunda ecuación, utilizaremos
    los interceptos.
    .
      .
    Grafica las líneas. .
    Determinar los puntos de intersección. Las líneas son paralelas.
    Dado que no hay punto en ambas líneas, no hay un par
    ordenado que haga que ambas ecuaciones sean
    verdaderas. No hay solución a este sistema.
    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Resolver el sistema graficando: \(\left\{ \begin{array} {l} y = -\tfrac{1}{4}x+2 \\ x+4y = 4 \end{array}\right. \).

    Responder

    no hay solución

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Resolver el sistema graficando: \(\left\{ \begin{array} {l} y = 3x-1 \\ 6x-2y = 6 \end{array}\right. \).

    Responder

    no hay solución

    A veces las ecuaciones en un sistema representan la misma línea. Dado que cada punto de la línea hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, hay infinitamente muchos pares ordenados que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. Hay infinitamente muchas soluciones al sistema.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Resolver el sistema graficando: \(\left\{ \begin{array} {l} y = 2x-3 \\ -6x+3y = 9 \end{array}\right. \).

    Responder
      .
    Encuentra la pendiente e intersección yde la primera ecuación. .
    Encuentra las intercepciones de la segunda ecuación. .
      .
    Grafica las líneas. .
      ¡Las líneas son las mismas!
    Dado que cada punto de la línea hace que ambas
    ecuaciones sean verdaderas, hay infinitamente muchos pares
    ordenados que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas.
    Hay infinitamente muchas soluciones a este sistema.

    Si escribe la segunda ecuación en forma de pendiente-intercepción, puede reconocer que las ecuaciones tienen la misma pendiente y la misma intercepción y.

    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Resolver el sistema graficando: \(\left\{ \begin{array} {l} y = -3x-6 \\ 6x+2y = -12 \end{array}\right. \).

    Responder

    infinitas soluciones

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Resolver el sistema graficando: \(\left\{ \begin{array} {l} y = \tfrac{1}{2}x-4 \\ 2x-4y = 16 \end{array}\right. \).

    Responder

    infinitas soluciones

    Cuando graficamos la segunda línea en el último ejemplo, la dibujamos justo sobre la primera línea. Decimos que las dos líneas son coincidentes. Las líneas coincidentes tienen la misma pendiente y la misma intersección y.

    LÍNEAS COINCIDENTES

    Las líneas coincidentes tienen la misma pendiente y la misma intersección y .

    Los sistemas de ecuaciones en Ejemploy Ejemplocada uno tenía dos líneas que se cruzan. Cada sistema tenía una solución.

    En Ejemplo, las ecuaciones daban líneas coincidentes, y así el sistema tenía infinitas soluciones.

    Los sistemas en esos tres ejemplos tenían al menos una solución. Un sistema de ecuaciones que tiene al menos una solución se llama sistema consistente .

    Un sistema con líneas paralelas, como Ejemplo, no tiene solución. Llamamos a un sistema de ecuaciones como este inconsistente. Notiene solución.

    SISTEMAS CONSISENTES E INCON

    Un sistema consistente de ecuaciones es un sistema de ecuaciones con al menos una solución.

    Un sistema inconsistente de ecuaciones es un sistema de ecuaciones sin solución.

    También categorizamos las ecuaciones en un sistema de ecuaciones llamando a las ecuaciones independientes o dependientes . Si dos ecuaciones son independientes, cada una tiene su propio conjunto de soluciones. Las líneas de intersección y las líneas paralelas son independientes.

    Si dos ecuaciones son dependientes, todas las soluciones de una ecuación son también soluciones de la otra ecuación. Cuando graficamos dos ecuaciones dependientes, obtenemos líneas coincidentes.

    Vamos a resumir esto mirando las gráficas de los tres tipos de sistemas. Ver abajo y Tabla.

    En la figura se muestran tres gráficas. El primero tiene dos líneas que se cruzan. El segundo tiene dos líneas paralelas. El tercero tiene sólo una línea. Esto está etiquetado como coincidente.

    Líneas Intersecando Paralelo Coincidente
    Número de soluciones 1 punto Sin solución Infinitamente muchos
    Consistente/inconsistente Consistente Inconsistente Consistente
    Dependiente/ independiente Independiente Independiente Dependiente
    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    Sin graficar, determinar el número de soluciones y luego clasificar el sistema de ecuaciones.

    \( \left\{ \begin{array} {l} y = 3x−1 \\ 6x−2y = 12 \end{array}\right. \)\( \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=−3 \\ x−5y=5 \end{array} \right. \)

    Responder

    ⓐ Compararemos las pendientes e intercepciones de las dos líneas.

    \(\begin{array} {lll} {} &{} &{ \left\{ \begin{array} {l} {y=3x-1} \\ {6x−2y=12} \end{array} \right. } \\ {} &{} &{y = 3x-1} \\ {\text{The first equation is already in slope-intercept form.}} &{} &{} \\ {\text{Write the second equation in slope-intercept form.}} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{6x-2y=12} \\ {} &{} &{-2y=-6x+12} \\ {} &{} &{\frac{-2y}{-2}=\frac{-6x+12}{-2}} \\ {} &{} &{y=3x-6} \\ {} &{y=3x-1} &{y=3x-6} \\ {} &{m=3} &{m=3} \\ {} &{b=-1} &{b=-6} \\ {\text{Find the slope and intercept of each line.}} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{\text{Since the slopes are the same andy-intercepts are}} &{} \\ {} &{\text{different, the lines are parallel.}} &{} \\ \end{array}\)

    ⓑ Compararemos la pendiente y las intercepciones de las dos líneas.

    \(\begin{array} {lll} {} &{} &{} \\ {} &{ \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=-3 \\ x-5y=5 \\ \end{array} \right. } &{} \\ {\text{Write both equations in slope–intercept form.}} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{2x+y=-3} &{x-5y=5} \\ {} &{y=-2x-3} &{-5y=-x+5} \\ {} &{} &{\frac{-5y}{-5}=\frac{-x+5}{-5}} \\ {} &{} &{y=\frac{1}{5}-1} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {\text{Find the slope and intercept of each line.}} &{} &{} \\ {} &{} &{} \\ {} &{y=-2x-3} &{y=\frac{1}{5}-1} \\ {} &{m=-2} &{m=\frac{1}{5}} \\ {} &{b=-3} &{b=-1} \\ {} &{} &{} \\ {} &{\text{Since the slopes are different, the lines intersect.}} &{} \\ \end{array}\)

    Un sistema de ecuaciones cuyas gráficas se cruzan tiene 1 solución y es consistente e independiente.

    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    Sin graficar, determinar el número de soluciones y luego clasificar el sistema de ecuaciones.

    \(\left\{ \begin{array} {l} y=−2x−4 \\ 4x+2y=9 \end{array} \right. \)\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+2y=2 \\ 2x+y=1 \end{array} \right. \)

    Responder

    ⓐ ninguna solución, inconsistente, independiente ⓑ una solución, consistente, independiente

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    Sin graficar, determinar el número de soluciones y luego clasificar el sistema de ecuaciones.

    \(\left\{ \begin{array} {l} y=\frac{1}{3}x−5 \\ x−3y=6 \end{array} \right. \)\(\left\{ \begin{array} {l} x+4y=12 \\ −x+y=3 \end{array} \right. \)

    Responder

    ⓐ ninguna solución, inconsistente, independiente ⓑ una solución, consistente, independiente

    Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficos es una buena manera de visualizar los tipos de soluciones que pueden resultar. No obstante, hay muchos casos en los que resolver un sistema mediante gráficos es inconveniente o impreciso. Si los gráficos se extienden más allá de la cuadrícula pequeña con x e y ambos entre \(−10\) y 10, graficar las líneas puede ser engorroso. Y si las soluciones al sistema no son enteros, puede ser difícil leer sus valores precisamente a partir de una gráfica.

    Resolver un sistema de ecuaciones por sustitución

    Ahora resolveremos sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

    Usaremos el mismo sistema que usamos primero para graficar.

    \[ \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=7 \\ x−2y=6 \end{array} \right. \nonumber \]

    Primero resolveremos una de las ecuaciones para x o para y . Podemos elegir cualquiera de las ecuaciones y resolver para cualquiera de las variables, pero trataremos de hacer una elección que mantenga el trabajo fácil.

    Después sustituimos esa expresión por la otra ecuación. El resultado es una ecuación con una sola variable ¡y sabemos cómo resolverlas!

    Después de encontrar el valor de una variable, sustituiremos ese valor en una de las ecuaciones originales y resolveremos por la otra variable. Por último, comprobamos nuestra solución y nos aseguramos de que ambas ecuaciones sean verdaderas.

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\): Cómo resolver un sistema de ecuaciones por sustitución

    Resolver el sistema por sustitución: \( \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=7 \\ x−2y=6 \end{array} \right. \)

    Responder

    Las ecuaciones son 2 x más y es igual a 7 y x menos 2y es igual a 6. El paso 1 es resolver una de las ecuaciones para cualquiera de las variables. Resolveremos la primera ecuación para y Obtenemos y es igual a 7 menos 2 x.En el paso 2, sustituya la expresión del paso 1 en la otra ecuación. Sustituimos y en la segunda ecuación con la expresión 7 menos 2 x Así, obtenemos x menos 2 paréntesis abiertos 7 menos 2 x paréntesis cercanos es igual a 6.El paso 3 es resolver la ecuación resultante. Ahora tenemos una ecuación con solo 1 variable. Lo resolvemos para obtener x igual a 4.El paso 4 es sustituir la solución en el paso 3 en una de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable. Usaremos la primera ecuación y reemplazaremos x por 4. Obtenemos, 2 veces 4 más y es igual a 7. Simplificando, obtenemos y igual a menos 1.El paso 5 es escribir la solución como un par ordenado. El par ordenado es 4, menos 1.El paso 6 es verificar que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales. Para ello sustituimos x igual a 4 e y igual a menos 1 en ambas ecuaciones y nos aseguramos de que ambas sean verdaderas.

    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Resolver el sistema por sustitución: \( \left\{ \begin{array} {l} −2x+y=−11 \\ x+3y=9 \end{array} \right. \)

    Responder

    \((6,1)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Resolver el sistema por sustitución: \( \left\{ \begin{array} {l} 2x+y=−1 \\ 4x+3y=3 \end{array} \right. \)

    Responder

    \((−3,5)\)

    RESOLVER UN SISTEMA DE Ecuaciones POR SUSTITUCIÓN.
    1. Resuelve una de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
    2. Sustituir la expresión del Paso 1 en la otra ecuación.
    3. Resuelve la ecuación resultante.
    4. Sustituir la solución en el Paso 3 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
    5. Escriba la solución como un par ordenado.
    6. Verifique que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.

    Ten mucho cuidado con los letreros en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Resolver el sistema por sustitución: \( \left\{ \begin{array} {l} 4x+2y=4 \\ 6x−y=8 \end{array} \right. \)

    Responder

    Necesitamos resolver una ecuación para una variable. Resolveremos la primera ecuación para y.

      .
    Resuelve la primera ecuación para y.
    Sustituto \(−2x+2\) por y en la segunda ecuación.
    .
    Sustitúyase la y por \(−2x+2\). .
    Resuelve la ecuación para x. .
    \(4x+2y=4\) Sustituir \(x=54\) en encontrar y. .
      El par ordenado es \((54,−12)\).
    Verifique el par ordenado en ambas ecuaciones.

    .
     
      La solución es \((54,−12)\).
    Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

    Resolver el sistema por sustitución: \( \left\{ \begin{array} {l} x−4y=−4 \\ −3x+4y=0 \end{array} \right. \)

    Responder

    \((2,32)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

    Resolver el sistema por sustitución: \( \left\{ \begin{array} {l} 4x−y=0 \\ 2x−3y=5 \end{array} \right. \)

    Responder

    \((−12,−2)\)

    Resolver un Sistema de Ecuaciones por Eliminación

    Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales por graficación y por sustitución. La gráfica funciona bien cuando los coeficientes variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. La sustitución funciona bien cuando podemos resolver fácilmente una ecuación para una de las variables y no tener demasiadas fracciones en la expresión resultante.

    El tercer método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales se llama el Método de Eliminación. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, comenzamos con dos ecuaciones y dos variables y lo reducimos a una ecuación con una variable. Esto es lo que haremos con el método de eliminación, también, pero tendremos una forma diferente de llegar hasta allí.

    El Método de Eliminación se basa en la Propiedad Adición de la Igualdad. El Adición Propiedad de Igualdad dice que cuando se agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, todavía se tiene igualdad. Extenderemos la Propiedad de Adición de Igualdad para decir que cuando se agregan cantidades iguales a ambos lados de una ecuación, los resultados son iguales.

    Para cualquier expresión a, b, c, y d .

    \[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{a=b} \\ {\text{and}} &{c=d} \\ {\text{then}} &{a+c=b+d.} \\ \nonumber \end{array}\]

    Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, comenzamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Entonces decidimos qué variable será más fácil eliminar. ¿Cómo decidimos? Queremos que los coeficientes de una variable sean opuestos, para que podamos sumar las ecuaciones juntas y eliminar esa variable.

    Observe cómo funciona eso cuando sumamos estas dos ecuaciones juntas:

    \[\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=5 \\ \underline{2x−y=0} \end{array} \right. \nonumber\]

    \[5x=5 \nonumber\]

    Las yse suman a cero y tenemos una ecuación con una variable.

    Probemos otro:

    \[ \left\{ \begin{array} x+4y=2 \\ 2x+5y=−2 \end{array} \right. \nonumber\]

    Esta vez no vemos una variable que pueda eliminarse inmediatamente si sumamos las ecuaciones.

    Pero si multiplicamos la primera ecuación por \(−2\), haremos los coeficientes de x opuestos. Debemos multiplicar cada término en ambos lados de la ecuación por \(−2\).

    Menos 2 paréntesis abiertos x más 4y paréntesis de cierre es menos 2 veces 2. Y, 2 x más 5y es menos 2.

    Después reescribe el sistema de ecuaciones.

    Menos 2 x menos 8y es menos 4 y 2 x más 5y es menos 2.

    Ahora vemos que los coeficientes de los términos x son opuestos, por lo que x se eliminará cuando sumemos estas dos ecuaciones.

    Menos 2 x menos 8y es menos 4 y 2 x más 5y es menos 2. Sumando estos, obtenemos menos 3y es igual a menos 6.

    Una vez que obtenemos una ecuación con una sola variable, la resolvemos. Después sustituimos ese valor en una de las ecuaciones originales para resolver para la variable restante. Y, como siempre, comprobamos nuestra respuesta para asegurarnos de que sea una solución a ambas ecuaciones originales.

    Ahora veremos cómo usar la eliminación para resolver el mismo sistema de ecuaciones que resolvimos por graficación y por sustitución.

    Ejercicio \(\PageIndex{25}\): Cómo resolver un sistema de ecuaciones por eliminación

    Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=7 \\ x−2y=6 \end{array} \right. \)

    Responder

    Las ecuaciones son 2 x más y es igual a 7 y x menos 2y es igual a 6. El paso 1 es escribir ambas ecuaciones en forma estándar. Ambas ecuaciones están en forma estándar, Ax más Por es igual a C. Si alguno de los coeficientes son fracciones, desactívalos. No hay fracciones.El paso 2 es hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos. Primero decide qué variable eliminarás. Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. Podemos eliminar las y multiplicando la primera ecuación por 2. Obtenemos 4x más 2y es igual a 14.El paso 3 es agregar las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable. Agregando, obtenemos 5x es igual a 20.El paso 4 es resolver para la variable restante. Resolviendo para x, obtenemos x es igual a 4.El paso 5 consiste en sustituir la solución del paso 4 a una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve por la otra variable. Sustituyendo x igual a 4 en la segunda ecuación, obtenemos 4 menos 2y es igual a 6. Resolviendo para y, obtenemos y igual a menos 1.El paso 6 es escribir la solución como un par ordenado. Aquí, el par ordenado es 4, menos 1.El paso 7 es verificar que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales. El par ordenado hace que ambas ecuaciones originales sean verdaderas.

    Ejercicio \(\PageIndex{26}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=5 \\ 2x−3y=7 \end{array} \right.\)

    Responder

    \((2,−1)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{27}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} 4x+y=−5 \\ −2x−2y=−2 \end{array} \right.\)

    Responder

    \((−2,3)\)

    Los pasos se enumeran aquí para una fácil referencia.

    RESOLVER UN SISTEMA DE Ecuaciones POR ELIMINACIÓN.
    1. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar. Si alguno de los coeficientes son fracciones, desactívalos.
    2. Hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos.
      • Decide qué variable eliminarás.
      • Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
    3. Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable.
    4. Resolver para la variable restante.
    5. Sustituir la solución del Paso 4 en una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve por la otra variable.
    6. Escriba la solución como un par ordenado.
    7. Verifique que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.

    Ahora haremos un ejemplo donde necesitamos multiplicar ambas ecuaciones por constantes para hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos.

    Ejercicio \(\PageIndex{28}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} 4x−3y=9 \\ 7x+2y=−6 \end{array} \right. \)

    Responder

    En este ejemplo, no podemos multiplicar una sola ecuación por cualquier constante para obtener coeficientes opuestos. Por lo que multiplicaremos estratégicamente ambas ecuaciones por diferentes constantes para obtener los opuestos.

     
    Ambas ecuaciones están en forma estándar.
    Para obtener coeficientes opuestos de y,
    multiplicaremos la primera ecuación por 2 y la
    segunda ecuación por 3.
    .
    Simplificar. .
    Agrega las dos ecuaciones para eliminar y.
    Resuelve para x. .
    Sustituye x=0x=0 en una de las ecuaciones originales. .
    Resolver para y.
    Escriba la solución como un par ordenado.

    El par ordenado es \((0,−3)\).

    Verifique que el par ordenado sea una solución a
    ambas ecuaciones originales.

    .
     
      La solución es \((0,−3)\).
    Ejercicio \(\PageIndex{29}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} 3x−4y=−9 \\ 5x+3y=14\end{array} \right. \)

    Responder

    \((1,3)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{30}\)

    Resuelve cada sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} 7x+8y=4 \\ 3x−5y=27 \end{array} \right.\)

    Responder

    \((4,−3)\)

    Cuando el sistema de ecuaciones contenga fracciones, primero despejaremos las fracciones multiplicando cada ecuación por el LCD de todas las fracciones de la ecuación.

    Ejercicio \(\PageIndex{31}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} x+\tfrac{1}{2}y=6 \\ \tfrac{3}{2}x+\tfrac{2}{3}y=\tfrac{17}{2} \end{array} \right.\)

    Responder

    En este ejemplo, ambas ecuaciones tienen fracciones. Nuestro primer paso será multiplicar cada ecuación por el LCD de todas las fracciones de la ecuación para despejar las fracciones.

      .
    Para borrar las fracciones, multiplique cada
    ecuación por su LCD.
    .
    Simplificar.
    Ahora estamos listos para eliminar una
    de las variables. Observe que ambas ecuaciones están en forma
    estándar.
     
    Podemos eliminar y multiplicando la ecuación superior por \(−4\). .
    Simplifique y agregue.

    Sustituir \(x=3\) por una de las ecuaciones originales.
    .
    Resolver para y.

    .
    Escriba la solución como un par ordenado. El par ordenado es \((3,6)\).
    Verifique que el par ordenado sea una solución a
    ambas ecuaciones originales.

     
      La solución es \((3,6)\).
    Ejercicio \(\PageIndex{32}\)

    Resuelve cada sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} \tfrac{1}{3}x−\tfrac{1}{2}y=1 \\ \tfrac{3}{4}x−y=\tfrac{5}{2} \end{array} \right.\)

    Responder

    \((6,2)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{33}\)

    Resuelve cada sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} x+\tfrac{3}{5}y=−\tfrac{1}{5} \\ −\tfrac{1}{2}x−\tfrac{2}{3}y=\tfrac{5}{6} \end{array} \right.\)

    Responder

    \((1,−2)\)

    Cuando resolvimos el sistema mediante gráficos, vimos que no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen un solo par ordenado como solución. Cuando las dos ecuaciones eran realmente la misma línea, había infinitamente muchas soluciones. Llamamos a eso un sistema consistente. Cuando las dos ecuaciones describieron líneas paralelas, no hubo solución. Llamamos a eso un sistema inconsistente.

    Lo mismo es cierto usando sustitución o eliminación. Si la ecuación al final de la sustitución o eliminación es una afirmación verdadera, tenemos un sistema consistente pero dependiente y el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Si la ecuación al final de la sustitución o eliminación es una afirmación falsa, tenemos un sistema inconsistente y el sistema de ecuaciones no tiene solución.

    Ejercicio \(\PageIndex{34}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ y=3−\tfrac{3}{4}x \end{array} \right. \)

    Responder

    \(\begin{array} {ll} {} &{ \left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ y=3−\frac{3}{4}x \end{array} \right.} \\ {} &{} \\ {\text{Write the second equation in standard form.}} &{\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ \frac{3}{4}x+y=3 \end{array} \right. } \\ {} &{} \\ {\text{Clear the fractions by multiplying the } \\ \text{second equation by 4.}} &{\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ 4(\frac{3}{4}x+y)=4(3) \end{array} \right. } \\ {} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ 3x+4y=12 \end{array} \right. } \\ {} &{} \\ {\text{To eliminate a variable, we multiply the} \\ \text{second equation by−1. Simplify and add.}} &{\begin{array} {l} {\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=12 \\ \underline{-3x-4y=-12 } \end{array} \right.} \\ {\hspace{16mm} 0=0} \end{array}} \\ \end{array} \)

    Esta es una verdadera afirmación. Las ecuaciones son consistentes pero dependientes. Sus gráficas serían la misma línea. El sistema tiene infinitas soluciones.

    Después de despejar las fracciones en la segunda ecuación, ¿notó que las dos ecuaciones eran iguales? Eso significa que tenemos líneas coincidentes.

    Ejercicio \(\PageIndex{35}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} 5x−3y=15 \\ 5y=−5+\tfrac{5}{3}x \end{array} \right. \)

    Responder

    infinitas soluciones

    Ejercicio \(\PageIndex{36}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{ \begin{array} {l} x+2y=6 \\ y=−\tfrac{1}{2}x+3\end{array} \right. \)

    Responder

    infinitas soluciones

    Elija el método más conveniente para resolver un sistema de ecuaciones lineales

    Cuando resuelvas un sistema de ecuaciones lineales en una aplicación, no se te dirá qué método usar. Tendrá que tomar esa decisión usted mismo. Por lo que querrás elegir el método que sea más fácil de hacer y minimiza tus posibilidades de cometer errores.

    \[ \textbf{Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations} \\ \begin{array} {lll} {\underline{\textbf{Graphing}}} &{\underline{\textbf{Substitution}}} &{\underline{\textbf{Elimination}}} \\ {\text{Use when you need a}} &{\text{Use when one equation is}} &{\text{Use when the equations a}} \\ {\text{picture of the situation.}} &{\text{already solved or can be}} &{\text{rein standard form.}} \\ {\text{}} &{\text{easily solved for one}} &{\text{}} \\ {\text{}} &{\text{variable.}} &{\text{}} \\ \end{array} \nonumber \]

    Ejemplo \(\PageIndex{37}\)

    Para cada sistema de ecuaciones lineales, decida si sería más conveniente resolverlo por sustitución o eliminación. Explica tu respuesta.

    \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+8y=40 \\ 7x−4y=−32 \end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array} {l} 5x+6y=12 \\ y=\tfrac{2}{3}x−1 \end{array} \right.\)

    Responder

    \[\left\{ \begin{array} {l} 3x+8y=40 \\ 7x−4y=−32 \end{array} \right.\nonumber\]

    Dado que ambas ecuaciones están en forma estándar, usar la eliminación será lo más conveniente.

    \[\left\{ \begin{array} {l} 5x+6y=12 \\ y=\tfrac{2}{3}x−1 \end{array} \right.\nonumber \]

    Dado que una ecuación ya está resuelta para y, el uso de la sustitución será lo más conveniente.

    Ejemplo \(\PageIndex{38}\)

    Para cada sistema de ecuaciones lineales decidir si sería más conveniente resolverlo por sustitución o eliminación. Explica tu respuesta.

    \(\left\{ \begin{array} {l} 4x−5y=−32 \\ 3x+2y=−1 \end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array} {l} x=2y−1 \\ 3x−5y=−7 \end{array} \right.\)

    Responder

    ⓐ Dado que ambas ecuaciones están en forma estándar, el uso de eliminación será más conveniente. ⓑ Dado que una ecuación ya está resuelta para x, usar la sustitución será lo más conveniente.

    Ejemplo \(\PageIndex{39}\)

    Para cada sistema de ecuaciones lineales decidir si sería más conveniente resolverlo por sustitución o eliminación. Explica tu respuesta.

    \(\left\{ \begin{array} {l} y=2x−1 \\ 3x−4y=−6 \end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array} {l} 6x−2y=12 \\ 3x+7y=−13 \end{array} \right.\)

    Responder

    ⓐ Dado que una ecuación ya está resuelta para y, el uso de la sustitución será lo más conveniente. ⓑ Dado que ambas ecuaciones están en forma estándar, usar la eliminación será lo más conveniente.

    Conceptos Clave

    • Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante graficación.
      1. Gráfica la primera ecuación.
      2. Grafica la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
      3. Determine si las líneas se cruzan, son paralelas o son la misma línea.
      4. Identificar la solución al sistema.
        Si las líneas se cruzan, identifique el punto de intersección. Esta es la solución al sistema.
        Si las líneas son paralelas, el sistema no tiene solución.
        Si las líneas son las mismas, el sistema tiene un número infinito de soluciones.
      5. Verifique la solución en ambas ecuaciones.
    • Cómo resolver un sistema de ecuaciones por sustitución.
      1. Resuelve una de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
      2. Sustituir la expresión del Paso 1 en la otra ecuación.
      3. Resuelve la ecuación resultante.
      4. Sustituir la solución en el Paso 3 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
      5. Escriba la solución como un par ordenado.
      6. Verifique que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
    • Cómo resolver un sistema de ecuaciones por eliminación.
      1. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar. Si alguno de los coeficientes son fracciones, desactívalos.
      2. Hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos.
        Decide qué variable eliminarás.
        Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
      3. Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable.
      4. Resolver para la variable restante.
      5. Sustituir la solución del Paso 4 en una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve por la otra variable.
      6. Escriba la solución como un par ordenado.
      7. Verifique que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales. \[ \textbf{Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations} \\ \begin{array} {lll} {\underline{\textbf{Graphing}}} &{\underline{\textbf{Substitution}}} &{\underline{\textbf{Elimination}}} \\ {\text{}} &{\text{Use when one equation is}} &{\text{}} \\ {\text{Use when you need a}} &{\text{already solved or can be}} &{\text{Use when the equations a}} \\ {\text{picture of the situation.}} &{\text{easily solved for one}} &{\text{rein standard form.}} \\ {\text{}} &{\text{variable.}} &{\text{}} \\ \end{array} \nonumber \]

    Glosario

    líneas coincidentes
    Las líneas coincidentes tienen la misma pendiente y la misma intersección y.
    sistemas consistentes e inconsistentes
    Sistema consistente de ecuaciones es un sistema de ecuaciones con al menos una solución; sistema inconsistente de ecuaciones es un sistema de ecuaciones sin solución.
    soluciones de un sistema de ecuaciones
    Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones; la solución está representada por un par ordenado (x, y). (x, y).
    sistema de ecuaciones lineales
    Cuando se agrupan dos o más ecuaciones lineales, forman un sistema de ecuaciones lineales.

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