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# 4.4: Resolver aplicaciones de mezcla con sistemas de ecuaciones

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##### Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Resolver aplicaciones de mezcla
• Resolver aplicaciones de interés
• Resolver aplicaciones de funciones de costos e ingresos

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Multiplicar: $$4.025(1,562)$$.
Si te perdiste este problema, revisa [link].
2. Escribir 8.2% como decimal.
Si te perdiste este problema, revisa [link].
3. La factura de la cena de Earl llegó a $32.50 y quiso dejar una propina del 18%. ¿Cuánto debe ser la propina? Si te perdiste este problema, revisa [link]. ## Solucionar aplicaciones de mezcla La aplicación de mezcla implica combinar dos o más cantidades. Cuando resolvimos aplicaciones de mezcla con monedas y boletos antes, comenzamos creando una tabla para poder organizar la información. Para un ejemplo de moneda con monedas de cinco centavos, la mesa se veía así: El uso de una variable significaba que teníamos que relacionar el número de níqueles y el número de dimes. Teníamos que decidir si íbamos a dejar que n fuera el número de níqueles y luego escribir el número de dimes en términos de n , o si dejaríamos d ser el número de dimes y escribir el número de níqueles en términos de d . Ahora que sabemos cómo resolver sistemas de ecuaciones con dos variables, simplemente dejaremos que n sea el número de níqueles y d sea el número de dimes. Escribiremos una ecuación basada en la columna de valor total, como hicimos antes, y la otra ecuación vendrá de la columna de números. Para el primer ejemplo, haremos un problema de boletos donde los precios de los boletos estén en dólares enteros, por lo que no necesitaremos usar decimales por el momento. ##### Ejemplo $$\PageIndex{1}$$ Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver: Un centro de ciencias vendió 1,363 boletos en un fin de semana ajetreado. Los recibos sumaron$12,146. ¿Cuántos boletos para adultos de $12 y cuántos boletos infantiles de$7 se vendieron?

Responder
 Paso 1. Leeel problema. Crearemos una tabla para organizar la información. Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando el número de boletos para adultos y el número de boletos infantiles vendidos. Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Let $$a= \text{the number of adult tickets.}$$ $$c= \text{the number of child tickets}$$ Una tabla nos ayudará a organizar los datos. Contamos con dos tipos de boletos, adulto y niño. Escriba en a y c para el número de boletos. Escriba el número total de boletos vendidos en la parte inferior de la columna Número. En total se vendieron 1,363. Escriba el valor de cada tipo de boleto en la columna Valor. El valor de cada boleto adulto es de $12. El valor de los boletos de cada niño es de$7. El número de veces que el valor da el valor total, por lo que el valor total de los boletos para adultos es $$a·12=12a$$, y el valor total de los boletos para niños es $$c·7=7c$$. Rellena la columna Valor Total. En conjunto el valor total de los boletos fue de $12,146. Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. La columna Número y la columna Valor total nos dan el sistema de ecuaciones. Utilizaremos el método de eliminación para resolver este sistema. Multiplica la primera ecuación por $$−7$$. Simplifique y agregue, luego resuelva para una. Sustituir $$a=521$$ en la primera ecuación, luego resolver por c. Paso 6. Consultala respuesta en el problema. 521 adulto a$12 por boleto hace $6,252 842 niño a$7 por boleto hace $58,994 El total de recibos son$12,146$$\checkmark$$ Paso 7. Contesta la pregunta. El centro de ciencias vendió 521 boletos para adultos y 842 boletos infantiles.
##### Ejemplo $$\PageIndex{2}$$

Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver:

Responder
 Paso 1. Leeel problema. Crearemos una tabla para organizar la información. Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando el número de níqueles y el número de dimes. Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Let $$n= \text{the number of nickels.}$$ $$d= \text{the number of dimes}$$ Una tabla nos ayudará a organizar los datos. Tenemos dos tipos de monedas, níqueles y dimes. Escriba n y d para el número de cada tipo de moneda. Rellena la columna Valor con el valor de cada tipo de moneda. El valor de cada níquel es de $0.05. El valor de cada centavo es de$0.10. El número por el valor da el valor total, por lo tanto, el valor total de los níqueles es $$n(0.05)=0.05n$$ y el valor total de dimes es $$d(0.10)=0.10d$$. En conjunto el valor total de las monedas es de $8.10. Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. La columna Valor total da una ecuación. También sabemos que el número de dimes es 9 menos del doble del número de níqueles. Traduce para obtener la segunda ecuación. Ahora tenemos el sistema a resolver. Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones Usaremos el método de sustitución. Sustituir $$d=2n−9$$ en la primera ecuación. Simplifique y resuelva para n. Para encontrar el número de dimes, sustituya $$n=36$$ en la segunda ecuación. Paso 6. Consultala respuesta en el problema 63 dimes a $$0.10=6.30$$ 36 nickels en $$0.05=1.80$$ Total $$=8.10\checkmark$$ Paso 7. Contesta la pregunta. Juan tiene 36 níqueles y 63 dimes. ##### Ejemplo $$\PageIndex{5}$$ Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver: Matilda tiene un puñado de cuartos y monedas de diez centavos, con un valor total de 8.55 dólares. El número de trimestres es 3 más del doble del número de dimes. ¿Cuántos dimes y cuántos cuartos tiene? Responder 13 dimes y 29 trimestres ##### Ejemplo $$\PageIndex{6}$$ Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver: Priam tiene una colección de níqueles y cuartos, con un valor total de$7.30. El número de níqueles es seis menos de tres veces el número de trimestres. ¿Cuántas monedas de cinco centavos y cuántos cuartos tiene?

Responder

19 cuartos y 51 níqueles

Algunas aplicaciones de mezcla implican combinar alimentos o bebidas. Las situaciones de ejemplo podrían incluir combinar pasas y nueces para hacer una mezcla de rastro o usar dos tipos de granos de café para hacer una mezcla.

##### Ejemplo $$\PageIndex{7}$$

Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver:

Carson quiere hacer 20 libras de mezcla de trail usando nueces y chispas de chocolate. Su presupuesto requiere que la mezcla trail le cueste $7.60. por libra. Las nueces cuestan$9.00 por libra y las chispas de chocolate cuestan $2.00 por libra. ¿Cuántas libras de nueces y cuántas libras de chispas de chocolate debe usar? Responder  Paso 1. Leeel problema. Crearemos una tabla para organizar la información. Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando el número de libras de nueces y el número de libras de chispas de chocolate. Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Let $$n= \text{the number of pound of nuts.}$$ $$c= \text{the number of pounds of chips}$$ Carson mezclará nueces y chispas de chocolate para obtener mezcla de rastro. Escribe en n y c el número de libras de nueces y chispas de chocolate. Habrá 20 libras de mezcla trail. Pon el precio por libra de cada artículo en la columna Valor. Rellene la última columna usando $$\text{Number}•\text{Value}=\text{Total Value}$$ Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. Obtenemos las ecuaciones de las columnas Número y Valor Total. Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones Usaremos eliminación para resolver el sistema. Multiplica la primera ecuación por $$−2$$ para eliminar c. Simplifique y agregue. Resolver para n. Para encontrar el número de libras de chispas de chocolate, sustituya $$n=16$$ en la primera ecuación, luego resuelva por c. Paso 6. Consultala respuesta en el problema. $$\begin{array} {lll} 16+4 &= &20\checkmark \\ 9·16+2·4 &= &152\checkmark \end{array}$$ Paso 7. Contesta la pregunta. Carson debe mezclar 16 libras de nueces con 4 libras de chispas de chocolate para crear la mezcla de rastro. ##### Ejemplo $$\PageIndex{8}$$ Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver: Greta quiere hacer 5 libras de una mezcla de nueces usando cacahuetes y anacardos. Su presupuesto requiere que la mezcla le cueste 6 dólares por libra. Los cacahuetes cuestan$4 por libra y los anacardos son de $9 por libra. ¿Cuántas libras de cacahuate y cuántas libras de anacardos debe usar? Responder 3 libras de cacahuetes y 2 libras de anacardo ##### Ejemplo $$\PageIndex{9}$$ Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver: Sammy tiene la mayoría de los ingredientes que necesita para hacer un lote grande de chile. Los únicos artículos que le faltan son frijoles y carne molida. Necesita un total de 20 libras combinadas de frijoles y carne molida y tiene un presupuesto de$3 por libra. El precio del frijol es de $1 por libra y el precio de la carne molida es de$5 por libra. ¿Cuántas libras de frijoles y cuántas libras de carne molida debe comprar?

Responder

10 libras de frijoles, 10 libras de carne molida

Otra aplicación de problemas de mezcla se relaciona con suministros de limpieza concentrados, otros productos químicos y bebidas mezcladas. La concentración se da como un por ciento. Por ejemplo, un limpiador doméstico concentrado al 20% significa que el 20% de la cantidad total es limpiador, y el resto es agua. Para hacer 35 onzas de una concentración del 20%, mezclas 7 onzas (20% de 35) del limpiador con 28 onzas de agua.

Para este tipo de problemas de mezcla, usaremos “porcentaje” en lugar de “valor” para una de las columnas de nuestra tabla.

##### Ejemplo $$\PageIndex{10}$$

Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver:

Sasheena es asistente de laboratorio en su colegio comunitario. Ella necesita hacer 200 mililitros de una solución al 40% de ácido sulfúrico para un experimento de laboratorio. El laboratorio tiene sólo 25% y 50% de soluciones en el almacén. ¿Cuánto debe mezclar de las soluciones de 25% y 50% para hacer la solución al 40%?

Responder
 Paso 1. Leeel problema. Una figura puede ayudarnos a visualizar la situación, luego crearemos una tabla para organizar la información. Sasheena debe mezclar parte de la $$25%$$ solución y parte de la $$50%$$ solución juntos para obtener $$200\space ml$$ de la $$40%$$ solución. Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando cuánto de cada solución necesita. Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Let $$x= \text{number of }ml\text{ of }25% \text{ solution.}$$ $$y= \text{number of }ml\text{ of }50%\text{ solution$$ Una tabla nos ayudará a organizar los datos. Ella mezclará x $$ml$$ de $$25%$$ con y $$ml$$ de $$50%$$ para conseguir $$200 \space ml$$ de $$40%$$ solución. Escribimos los porcentajes como decimales en el gráfico. Multiplicamos el número de unidades por la concentración para obtener la cantidad total de ácido sulfúrico en cada solución. Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. Obtenemos las ecuaciones de la columna Número y de la columna Importe. Ahora tenemos el sistema. Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones Vamos a resolver el sistema por eliminación. Multiplica la primera ecuación por $$−0.5$$ para eliminar y. Simplifique y agregue para resolver para x. Para resolver por y, sustituir $$x=80$$ en la primera ecuación. Paso 6. Consultala respuesta en el problema. $$\begin{array} {lll} 80+120 &= &200\checkmark \\ 0.25(80)+0.50(120) &= &200\checkmark \\ {} &{} &\text{Yes!} \end{array}$$ Paso 7. Contesta la pregunta. Sasheena debe mezclar $$80 \space ml$$ la $$25%$$ solución con $$120 \space ml$$ de la $$50%$$ solución para obtener el $$200\space ml$$ de la $$40%$$ solución.
##### Ejemplo $$\PageIndex{11}$$

Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver:

LeBron necesita 150 mililitros de una solución al 30% de ácido sulfúrico para un experimento de laboratorio pero sólo tiene acceso a una solución de 25% y 50%. ¿Cuánto del 25% y cuánto de la solución al 50% debe mezclar para hacer la solución al 30%?

Responder

120 ml de solución al 25% y 30 ml de solución al 50%

##### Ejemplo $$\PageIndex{12}$$

Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver:

Anatole necesita hacer 250 mililitros de una solución al 25% de ácido clorhídrico para un experimento de laboratorio. El laboratorio solo tiene una solución al 10% y una solución al 40% en el almacén. ¿Cuánto del 10% y cuánto del 40% de soluciones debe mezclar para hacer la solución al 25%?

Responder

125 ml de solución al 10% y 125 ml de solución al 40%

## Resolver aplicaciones de interés

La fórmula para modelar aplicaciones de interés simple es $$I=Prt$$. El interés, I, es el producto del principal, P, la tasa, r, y el tiempo, t. En nuestro trabajo aquí, calcularemos los intereses devengados en un año, por lo que t será 1.

Modificamos los títulos de las columnas en la tabla de mezclas para mostrar la fórmula de interés, como verás en el siguiente ejemplo.

Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver:

Adnan tiene 40.000 dólares para invertir y espera ganar $$7.1%$$ intereses al año. Pondrá parte del dinero en un fondo bursátil que gana 8% anual y el resto en bonos que gana 3% anual. ¿Cuánto dinero debe poner en cada fondo?

Responder
 Paso 1. Leeel problema. Un gráfico nos ayudará a organizar la información. Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando la cantidad a invertir en cada fondo. Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Let $$s= \text{the amount invested in stocks.}$$ $$b= \text{the amount invested in stocks}$$ Escribir la tasa de interés como un decimal para cada fondo. Multiplicar: Principal · Tasa · Tiempo Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. Obtenemos nuestro sistema de ecuaciones de la columna Principal y de la columna Interés. Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones por eliminación. Multiplica la ecuación superior por $$−0.03$$. Simplifique y agregue para resolver para s. Para encontrar b, sustituya s= 32,800 en la primera ecuación. Paso 6. Consultala respuesta en el problema. Te dejamos el cheque. Paso 7. Contesta la pregunta. Adnan debería invertir 32.800 dólares en acciones y $7,200 en bonos. ¿ Notaste que la columna Principal representa la cantidad total de dinero invertido mientras que la columna Intereses representa sólo los intereses ganados? De igual manera, la primera ecuación en nuestro sistema $$s+b=40,000$$,, representa la cantidad total de dinero invertido y la segunda ecuación, $$0.08s+0.03b=0.071(40,000)$$, representa el interés ganado. ##### Ejemplo $$\PageIndex{14}$$ Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver: León tenía 50 mil dólares para invertir y espera ganar $$6.2%$$ intereses al año. Pondrá parte del dinero en un fondo bursátil que gana 7% anual y el resto en una cuenta de ahorro que gana 2% anual. ¿Cuánto dinero debe poner en cada fondo? Responder$42,000 en el fondo de acciones y $8000 en la cuenta de ahorro ##### Ejemplo $$\PageIndex{15}$$ Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver: Julius invirtió$7000 en dos inversiones bursátiles. Una acción pagó 11% de interés y la otra acción pagó 13% de interés. Ganó $$12.5%$$ intereses sobre la inversión total. ¿Cuánto dinero puso en cada acción?

Responder

$1750 al 11% y$5250 al 13%

El siguiente ejemplo requiere que encontremos el principal dado el monto de los intereses devengados.

##### Ejemplo $$\PageIndex{16}$$

Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver:

Rosie debe 21,540 dólares por sus dos préstamos estudiantiles. La tasa de interés de su préstamo bancario es $$10.5%$$ y la tasa de interés del préstamo federal es $$5.9%$$. El monto total de los intereses que pagó el año pasado fue $$1,669.68$$. ¿Cuál fue el principal de cada préstamo?

Responder
 Paso 1. Leeel problema. Un gráfico nos ayudará a organizar la información. Paso 2. Identificarlo que estamos buscando. Estamos buscando el principal de cada préstamo. Paso 3. Nombralo que estamos buscando. Let $$b= \text{the principal for the bank loan.}$$ $$f= \text{the principal on the federal loan}$$ El total de los préstamos es de $21,540. Registre las tasas de interés como decimales en el gráfico. Multiplica usando la fórmula I = Prt para obtener el Interés. Paso 4. Traduciren un sistema de ecuaciones. El sistema de ecuaciones proviene de la columna Principal y de la columna Interés. Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones Usaremos la sustitución para resolver. Resuelve la primera ecuación para b. Sustituir b = −f + 21.540 en la segunda ecuación. Simplificar y resolver para f. Para encontrar b, sustituya f= 12,870 en la primera ecuación. Paso 6. Consultala respuesta en el problema. Te dejamos el cheque. Paso 7. Contesta la pregunta. El principal del préstamo federal fue de 12,870 dólares y el principal del préstamo bancario fue de 8.670 dólares. ##### Ejemplo $$\PageIndex{17}$$ Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver: Laura debe$18,000 en sus préstamos estudiantiles. La tasa de interés del préstamo bancario es de 2.5% y la tasa de interés del préstamo federal es de 6.9%. El monto total de los intereses que pagó el año pasado fue de $1,066. ¿Cuál fue el principal de cada préstamo? Responder Banco$4,000; Federal $14,000 ##### Ejemplo $$\PageIndex{18}$$ Traducir a un sistema de ecuaciones y resolver: Jill's Sandwich Shoppe debe 65.200 dólares por dos préstamos empresariales, uno con intereses de 4.5% y el otro a 7.2% de interés. El monto total de los intereses adeudados el año pasado fue de$3,582. ¿Cuál fue el principal de cada préstamo?

Responder

$41,200 al 4.5%,$24,000 al 7.2%

## Resolver aplicaciones de funciones de costos e ingresos

Supongamos que una empresa fabrica y vende x unidades de un producto. El costo para la empresa son los costos totales para producir x unidades. Este es el costo a fabricar por cada unidad tiempos x, el número de unidades fabricadas, más los costos fijos.

Cuando los costos equivalen a los ingresos decimos que el negocio ha alcanzado el punto de equilibrio.

##### COSTOS E INGRESOS

La función de costo es el costo de fabricación de cada unidad por x , el número de unidades fabricadas, más los costos fijos.

$C(x)=(\text{cost per unit})·x+\text{fixed costs}\nonumber$

La función de ingresos es el precio de venta de cada unidad por x , el número de unidades vendidas.

$R(x)=(\text{selling price per unit})·x\nonumber$

El punto de equilibrio es cuando los ingresos son iguales a los costos.

$C(x)=R(x)\nonumber$

##### Ejemplo $$\PageIndex{19}$$

El fabricante de una banqueta de entrenamiento con pesas gasta $105 para construir cada banco y los vende por$245. El fabricante también tiene costos fijos cada mes de $7,000. ⓐ Encuentre la función de costo C cuando se fabrican x bancos. ⓑ Encuentra la función de ingresos R cuando se venden x bancos. ⓒ Muestra el punto de equilibrio graficando las funciones Ingresos y Costos en la misma cuadrícula. ⓓ Encuentra el punto de equilibrio. Interpreta lo que significa el punto de equilibrio. Responder ⓐ El fabricante tiene$7,000 de costos fijos sin importar cuántos bancos de entrenamiento con pesas produzca. Además de los costos fijos, el fabricante también gasta $105 para producir cada banco. Supongamos que se venden x bancos. $$\begin{array} {ll} {\text{Write the general Cost function formula.}} &{C(x)=(\text{cost per unit})·x+\text{fixed costs}} \\ {\text{Substitute in the cost values.}} &{C(x)=105x+7000} \\ \end{array}$$ ⓑ El fabricante vende cada banco de entrenamiento de pesas por$245. Obtenemos los ingresos totales multiplicando los ingresos por unidad por el número de unidades vendidas.

$$\begin{array} {ll} {\text{Write the general Revenue function.}} &{C(x)=(\text{selling price per unit})·x} \\ {\text{Substitute in the revenue per unit.}} &{R(x)=245x} \\ \end{array}$$

ⓒ Esencialmente tenemos un sistema de ecuaciones lineales. Mostraremos la gráfica del sistema ya que esto ayuda a hacer más visual la idea de un punto de equilibrio.

$\left\{ \begin{array} {l} C(x)=105x+7000 \\ R(x)=245x \end{array} \right. \quad \text{or} \quad \left\{ \begin{array} {l} y=105x+7000 \\ y=245x \end{array} \right. \nonumber$

ⓓ Para encontrar el valor real, recordamos que el punto de equilibrio ocurre cuando los costos equivalen a ingresos.

$$\begin{array} {ll} {\text{Write the break-even formula.}} &{\begin{array} {l} {C(x)=R(x)} \\ {105x+7000=245x} \end{array}} \\ {\text{Solve.}} &{\begin{array} {l} {7000=140x} \\ {50=x} \end{array}} \\ \end{array}$$

Cuando se venden 50 banquetas, los costos equivalen a los ingresos.

Cuando se venden 50 banquetas, los ingresos y costos son tanto de $12,250. Observe que esto corresponde al par ordenado $$(50,12250)$$. ##### Ejemplo $$\PageIndex{20}$$ El fabricante de una bancada de entrenamiento con pesas gasta$15 para construir cada banco y los vende por $32. El fabricante también tiene costos fijos cada mes de$25,500.

ⓐ Encuentre la función de costo C cuando se fabrican x bancos.

ⓑ Encuentra la función de ingresos R cuando se venden x bancos.

ⓒ Muestra el punto de equilibrio graficando las funciones Ingresos y Costos en la misma cuadrícula.

ⓓ Encuentra el punto de equilibrio. Interpreta lo que significa el punto de equilibrio.

Responder

$$C(x)=15x+25,500$$

$$R(x)=32x$$

ⓓ 1,5001,500; cuando se vendan 1,500 bancos, el costo y los ingresos serán tanto de 48,000

##### Ejemplo $$\PageIndex{21}$$

El fabricante de una bancada de entrenamiento con pesas gasta $120 para construir cada banco y los vende por$170. El fabricante también tiene costos fijos cada mes de $150,000. ⓐ Encuentre la función de costo C cuando se fabrican x bancos. ⓑ Encuentra la función de ingresos R cuando se venden x bancos. ⓒ Muestra el punto de equilibrio graficando las funciones Ingresos y Costos en la misma cuadrícula. ⓓ Encuentra el punto de equilibrio. Interpreta lo que significa el punto de equilibrio. Responder $$C(x)=120x+150,000$$ $$R(x)=170x$$ $$3,000$$; cuando se venden 3,000 bancos, los ingresos y costos son de$510,000

Acceda a este recurso en línea para instrucción y práctica adicional con interés y mezclas.

• Intereses y Mezclas

## Conceptos Clave

• Función de costo: La función de costo es el costo para fabricar cada unidad veces x , el número de unidades fabricadas, más los costos fijos.

$$C(x)=(\text{cost per unit})·x+\text{fixed costs}$$

• Ingresos: La función de ingresos es el precio de venta de cada unidad por x , el número de unidades vendidas.

$$R(x)=(\text{selling price per unit})·x$$

• Puntode equilibrio: El punto de equilibrio es cuando los ingresos son iguales a los costos.

$$C(x)=R(x)$$

## Glosario

función de costo
La función de costo es el costo de fabricación de cada unidad por xx, el número de unidades fabricadas, más los costos fijos; C(x) = (costo por unidad)x+ costos fijos.
ingresos
El ingreso es el precio de venta de cada unidad por x, el número de unidades vendidas; R (x) = (precio de venta por unidad)x.
punto de equilibrio
El punto en el que el ingreso equivale a los costos es el punto de equilibrio; C (x) =R (x).

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