4.5: Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables
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Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
- Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables
- Resolver aplicaciones utilizando sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Evalúa \(5x−2y+3z\) cuándo \(x=−2, y=−4,\) y \(z=3.\)
Si te perdiste este problema, revisa [link]. - Clasifique las ecuaciones como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego indique la solución. \( \left\{ \begin{array} {l} −2x+y=−11 \\ x+3y=9 \end{array} \right. \)
Si te perdiste este problema, revisa [link]. - Clasifique las ecuaciones como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego indique la solución. \(\left\{ \begin{array} {l} 7x+8y=4 \\ 3x−5y=27 \end{array} \right. \)
Si te perdiste este problema, revisa [link].
Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
En esta sección, extenderemos nuestro trabajo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Hasta el momento se ha trabajado con sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Ahora trabajaremos con sistemas de tres ecuaciones con tres variables. Pero primero repasemos lo que ya sabemos sobre la resolución de ecuaciones y sistemas que involucran hasta dos variables.
Aprendimos antes que la gráfica de una ecuación lineal, \(ax+by=c\), es una línea. Cada punto de la línea, un par ordenado \((x,y)\), es una solución a la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, graficamos dos líneas. Entonces podemos ver que todos los puntos que son soluciones a cada ecuación forman una línea. Y, al encontrar lo que tienen en común las líneas, encontraremos la solución al sistema.
La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradicciones, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones
Sabemos que cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales representadas por una gráfica de dos líneas en un mismo plano, hay tres casos posibles, como se muestra.
Del mismo modo, para una ecuación lineal con tres variables ax+por+cz=d, ax+by+cz=d, cada solución a la ecuación es un triple ordenado, (x, y, z) (x, y, z) que hace que la ecuación sea verdadera.
Una ecuación lineal con tres variables, donde a , b, c y d son números reales y a, b , y c no son todos 0, es de la forma
\[ ax+by+cz=d\nonumber \]
Toda solución a la ecuación es un triple ordenado, \((x,y,z)\) eso hace que la ecuación sea verdadera.
Todos los puntos que son soluciones a una ecuación forman un plano en el espacio tridimensional. Y, al encontrar lo que tienen en común los aviones, encontraremos la solución al sistema.
Cuando resolvemos un sistema de tres ecuaciones lineales representadas por una gráfica de tres planos en el espacio, hay tres casos posibles.
Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones a las tres ecuaciones. Es decir, estamos buscando el triple ordenado \((x,y,z)\) que haga realidad las tres ecuaciones. Estas se denominan las soluciones del sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones. Una solución está representada por un triple ordenado \((x,y,z)\).
Para determinar si un triple ordenado es una solución a un sistema de tres ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el triple ordenado hace verdaderas las tres ecuaciones, es una solución al sistema.
Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema: \( \left\{ \begin{array} {l} x−y+z=2 \\ 2x−y−z=−6 \\ 2x+2y+z=−3 \end{array} \right. \)
ⓐ \((−2,−1,3)\) ⓑ \((−4,−3,4)\)
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-
ⓐ
ⓑ
Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema: \( \left\{ \begin{array} {l} 3x+y+z=2 \\ x+2y+z=−3 \\ 3x+y+2z=4 \end{array} \right. \)
ⓐ \((1,−3,2)\) ⓑ \((4,−1,−5)\)
- Contestar
-
ⓐ sí ⓑ no
Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema: \( \left\{ \begin{array} {l} x−3y+z=−5 \\ −3x−y−z=1 \\ 2x−2y+3z=1 \end{array} \right. \)
ⓐ \((2,−2,3)\) ⓑ \((−2,2,3)\)
- Contestar
-
ⓐ no ⓑ sí
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, básicamente utilizamos las mismas técnicas que usamos con sistemas que tenían dos variables. Comenzamos con dos pares de ecuaciones y en cada par eliminamos la misma variable. Esto nos dará entonces un sistema de ecuaciones con sólo dos variables y luego sabemos cómo resolver ese sistema!
A continuación, utilizamos los valores de las dos variables que acabamos de encontrar para volver a la ecuación original y encontrar la tercera variable. Escribimos nuestra respuesta como un triple ordenado y luego revisamos nuestros resultados.
Resolver el sistema por eliminación: \( \left\{ \begin{array} {l} x−2y+z=3 \\ 2x+y+z=4 \\ 3x+4y+3z=−1 \end{array} \right. \)
- Contestar
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Resolver el sistema por eliminación: \( \left\{ \begin{array} {l} 3x+y−z=2 \\ 2x−3y−2z=1 \\ 4x−y−3z=0 \end{array} \right.\)
- Contestar
-
\((2,−1,3)\)
Resolver el sistema por eliminación: \( \left\{ \begin{array} {l} 4x+y+z=−1 \\ −2x−2y+z=2 \\ 2x+3y−z=1 \end{array} \right. \)
- Contestar
-
\((−2,3,4)\)
Aquí se resumen los pasos.
- Escribir las ecuaciones en forma estándar
- Si alguno de los coeficientes son fracciones, descúbralos.
- Eliminar la misma variable de dos ecuaciones.
- Decide qué variable eliminarás.
- Trabajar con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida.
- Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
- Agrega las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable
- Repita el Paso 2 usando otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el Paso 2.
- Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelva este sistema.
- Utilice los valores de las dos variables encontradas en el Paso 4 para encontrar la tercera variable.
- Escribe la solución como un triple ordenado.
- Verifique que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales.
Resolver: \( \left\{ \begin{array} {l} 3x−4z=0 \\ 3y+2z=−3 \\ 2x+3y=−5 \end{array} \right. \)
- Contestar
-
\[ \left\{ \begin{array} {ll} 3x−4z=0 &(1) \\ 3y+2z=−3 &(2) \\ 2x+3y=−5 &(3) \end{array} \right. \nonumber \]
Podemos eliminar \(z\) de las ecuaciones (1) y (2) multiplicando la ecuación (2) por 2 y luego sumando las ecuaciones resultantes.
Observe que las ecuaciones (3) y (4) ambas tienen las variables \(x\) y \(y\). Vamos a resolver este nuevo sistema para \(x\) y \(y\).
Para resolver por y, sustituimos por la \(x=−4\) ecuación (3).
Ahora tenemos \(x=−4\) y \(y=1\). Tenemos que resolver para z. Podemos sustituir \(x=−4\) en ecuación (1) para encontrar z.
Escribimos la solución como un triple ordenado. \((−4,1,−3)\)
Comprobamos que la solución haga que las tres ecuaciones sean verdaderas.
\(\begin{array} {lll} {3x-4z=0 \space (1)} &{3y+2z=−3 \space (2)} &{2x+3y=−5 \space (3)} \\ {3(−4)−4(−3)\overset{?}{=} 0} &{3(1)+2(−3)\overset{?}{=} −3} &{2(−4)+3(1)\overset{?}{=} −5} \\ {0=0 \checkmark} &{−3=−3 \checkmark} &{−5=−5 \checkmark} \\ {} &{} &{\text{The solution is }(−4,1,−3)} \end{array}\)
Resolver: \( \left\{ \begin{array} {l} 3x−4z=−1 \\ 2y+3z=2 \\ 2x+3y=6 \end{array} \right. \)
- Contestar
-
\((−3,4,−2)\)
Resolver: \( \left\{ \begin{array} {l} 4x−3z=−5 \\ 3y+2z=7 \\ 3x+4y=6 \end{array} \right. \)
- Contestar
-
\((−2,3,−1)\)
Cuando resolvemos un sistema y terminamos sin variables y una afirmación falsa, sabemos que no hay soluciones y que el sistema es inconsistente. El siguiente ejemplo muestra un sistema de ecuaciones que es inconsistente.
Resolver el sistema de ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x+2y−3z=−1 \\ x−3y+z=1 \\ 2x−y−2z=2 \end{array} \right. \)
- Contestar
-
\[\left\{ \begin{array} {ll} x+2y−3z=−1 &(1) \\ x−3y+z=1 &(2) \\ 2x−y−2z=2 &(3) \end{array} \right.\nonumber \]
Use las ecuaciones (1) y (2) para eliminar z.
Use (2) y (3) para eliminar de \(z\) nuevo.
Use (4) y (5) para eliminar una variable.
No hay solución.
Nos queda una afirmación falsa y esto nos dice que el sistema es inconsistente y no tiene solución.
Resolver el sistema de ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x+2y+6z=5 \\ −x+y−2z=3 \\ x−4y−2z=1 \end{array} \right. \)
- Contestar
-
no hay solución
Resolver el sistema de ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} 2x−2y+3z=6 \\ 4x−3y+2z=0 \\ −2x+3y−7z=1 \end{array} \right. \)
- Contestar
-
no hay solución
Cuando resolvemos un sistema y terminamos sin variables sino con un enunciado verdadero, sabemos que hay infinitas soluciones. El sistema es consistente con ecuaciones dependientes. Nuestra solución mostrará cómo dos de las variables dependen de la tercera.
Resolver el sistema de ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x+2y−z=1 \\ 2x+7y+4z=11 \\ x+3y+z=4 \end{array} \right. \)
- Contestar
-
\[\left\{ \begin{array} {ll} x+2y−z=1 &(1) \\ 2x+7y+4z=11 &(2) \\ x+3y+z=4 &(3) \end{array} \right.\nonumber \]
Utilice las ecuaciones (1) y (3) para eliminar x.
Use las ecuaciones (1) y (2) para eliminar x nuevamente.
Utilice las ecuaciones (4) y (5) para eliminar \(y\).
Hay infinitamente muchas soluciones. Resuelve la ecuación (4) para y. Representar la solución mostrando cómo x e y dependen de z .
\( \begin{aligned} y+2z &= 3 \\ y &= −2z+3 \end{aligned} \)Use la ecuación (1) para resolver para x. \( x+2y−z=1\) Sustituto \(y=−2z+3\). \( \begin{aligned} x+2(−2z+3)−z &= 1 \\ x−4z+6−z &= 1 \\ x−5z+6 &= 1 \\ x &= 5z−5 \end{aligned} \) El verdadero enunciado nos \(0=0\) dice que se trata de un sistema dependiente que tiene infinitas soluciones. Las soluciones son de la forma (x, y, z) (x, y, z) donde \(x=5z−5;\space y=−2z+3\) y z es cualquier número real.
Resolver el sistema por ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x+y−z=0 \\ 2x+4y−2z=6 \\ 3x+6y−3z=9 \end{array} \right. \)
- Contestar
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infinitamente muchas soluciones \((x,3,z)\) donde \(x=z−3;\space y=3;\space z\) es cualquier número real
Resolver el sistema por ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x−y−z=1 \\ −x+2y−3z=−4 \\ 3x−2y−7z=0 \end{array} \right. \)
- Contestar
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infinitamente muchas soluciones \((x,y,z)\) donde \(x=5z−2;\space y=4z−3;\space z\) es cualquier número real
Resolver aplicaciones usando sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
Las aplicaciones que son modeladas por un sistema de ecuaciones se pueden resolver utilizando las mismas técnicas que usamos para resolver los sistemas. Muchas de las aplicaciones son solo extensiones a tres variables de los tipos que hemos resuelto anteriormente.
El departamento de teatro de la universidad comunitaria vendió tres tipos de boletos para su última producción teatral. Los boletos para adultos se vendieron por 15 dólares, los de estudiante por 10 dólares y los de niño por 8 dólares. El departamento de teatro estaba encantado de haber vendido 250 boletos y traído $2,825 en una noche. El número de boletos de estudiante vendidos es el doble del número de boletos para adultos vendidos. ¿Cuántos de cada tipo vendió el departamento?
- Contestar
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Usaremos un gráfico para organizar la información. Número de estudiantes es el doble número de adultos. Reescribe la ecuación en forma estándar. \(\begin{aligned} y &= 2x \\ 2x−y &= 0 \end{aligned} \) 
Utilice las ecuaciones (1) y (2) para eliminar z. Utilizar (3) y (4) para eliminar \(y\). 
Resuelve para x. \(x=75 \) boletos para adultos Use la ecuación (3) para encontrar y. \(−2x+y=0\) Sustituto \(x=75\). \(\begin{aligned} −2(75)+y &= 0 \\ −150+y &= 0 \\ y &= 150\text{ student tickets}\end{aligned} \) Use la ecuación (1) para encontrar z. \(x+y+z=250\) Sustituto en los valores
\(x=75, \space y=150.\)
\(\begin{aligned} 75+150+z &= 250 \\ 225+z &= 250 \\ z &= 25\text{ child tickets} \end{aligned} \)Escribe la solución. El departamento de teatro vendió 75 boletos para adultos,
150 boletos para estudiantes y 25 boletos para niños.
El departamento de bellas artes de la universidad comunitaria vendió tres tipos de boletos para su última presentación de danza. Los boletos para adultos se vendieron por 20 dólares, los boletos de estudiante por 12 dólares y los boletos de niño por 10 dólares El departamento de bellas artes se emocionó de haber vendido 350 boletos y haber traído 4.650 dólares en una noche. El número de boletos para niños vendidos es el mismo que el de boletos para adultos vendidos. ¿Cuántos de cada tipo vendió el departamento?
- Contestar
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El departamento de bellas artes vendió 75 boletos para adultos, 200 boletos para estudiantes y 75 boletos para niños.
El equipo de futbol de community college vendió tres tipos de boletos para su último juego. Los boletos para adultos se vendieron por 10 dólares, los boletos de estudiante por 8 dólares y los boletos de niño por 5 dólares. El equipo de futbol se emocionó de haber vendido 600 boletos y traído 4.900 dólares para un partido. El número de boletos para adultos es el doble del número de boletos para niños. ¿Cuántos de cada tipo vendió el equipo de futbol?
- Contestar
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El equipo de futbol vendió 200 boletos para adultos, 300 boletos de estudiantes y 100 boletos infantiles.
Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con la solución de un sistema lineal en tres variables sin soluciones o infinitas.
- Resolver un sistema lineal en tres variables con soluciones sin o infinitas
- 3 Aplicación Variable
Conceptos Clave
- Ecuación lineal en tres variables: Una ecuación lineal con tres variables, donde a , b, c y d son números reales y a, b y c no son todos 0, es de la forma
\[ax+by+cz=d\nonumber \]
Toda solución a la ecuación es un triple ordenado, \((x,y,z)\) eso hace que la ecuación sea verdadera. - Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables.
- Escribe las ecuaciones en forma estándar
Si alguno de los coeficientes son fracciones, desactívalos. - Eliminar la misma variable de dos ecuaciones.
Decide qué variable eliminarás.
Trabajar con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida.
Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
Agrega las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable - Repita el Paso 2 usando otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el Paso 2.
- Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelva este sistema.
- Utilice los valores de las dos variables encontradas en el Paso 4 para encontrar la tercera variable.
- Escribe la solución como un triple ordenado.
- Verifique que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales.
- Escribe las ecuaciones en forma estándar
Glosario
- soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables
- Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones; una solución está representada por un triple ordenado (x, y, z).