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4.5: Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables

  • Page ID
    51686
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables
    • Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables
    • Resolver aplicaciones utilizando sistemas de ecuaciones lineales con tres variables

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Evalúa \(5x−2y+3z\) cuándo \(x=−2, y=−4,\) y \(z=3.\)
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Clasifique las ecuaciones como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego indique la solución. \( \left\{ \begin{array} {l} −2x+y=−11 \\ x+3y=9 \end{array} \right. \)
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Clasifique las ecuaciones como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego indique la solución. \(\left\{ \begin{array} {l} 7x+8y=4 \\ 3x−5y=27 \end{array} \right. \)
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables

    En esta sección, extenderemos nuestro trabajo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Hasta el momento se ha trabajado con sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Ahora trabajaremos con sistemas de tres ecuaciones con tres variables. Pero primero repasemos lo que ya sabemos sobre la resolución de ecuaciones y sistemas que involucran hasta dos variables.

    Aprendimos antes que la gráfica de una ecuación lineal, \(ax+by=c\), es una línea. Cada punto de la línea, un par ordenado \((x,y)\), es una solución a la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, graficamos dos líneas. Entonces podemos ver que todos los puntos que son soluciones a cada ecuación forman una línea. Y, al encontrar lo que tienen en común las líneas, encontraremos la solución al sistema.

    La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradicciones, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones

    Sabemos que cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales representadas por una gráfica de dos líneas en un mismo plano, hay tres casos posibles, como se muestra.

    En la figura se muestran tres gráficas. En la primera se cruzan dos líneas. Las líneas que se cruzan tienen un punto en común. Hay una solución para este sistema. La gráfica está etiquetada como Consistent Independent. En la segunda gráfica, dos líneas son paralelas. Las líneas paralelas no tienen puntos en común. No hay solución a este sistema. La gráfica está etiquetada como inconsistente. En la tercera gráfica, sólo hay una línea. Ambas ecuaciones dan la misma línea. Porque sólo tenemos una línea, hay infinitamente muchas soluciones. Se etiqueta dependiente consistente.

    Del mismo modo, para una ecuación lineal con tres variables ax+por+cz=d, ax+by+cz=d, cada solución a la ecuación es un triple ordenado, (x, y, z) (x, y, z) que hace que la ecuación sea verdadera.

    Ecuación lineal en tres variables

    Una ecuación lineal con tres variables, donde a , b, c y d son números reales y a, b , y c no son todos 0, es de la forma

    \[ ax+by+cz=d\nonumber \]

    Toda solución a la ecuación es un triple ordenado, \((x,y,z)\) eso hace que la ecuación sea verdadera.

    Todos los puntos que son soluciones a una ecuación forman un plano en el espacio tridimensional. Y, al encontrar lo que tienen en común los aviones, encontraremos la solución al sistema.

    Cuando resolvemos un sistema de tres ecuaciones lineales representadas por una gráfica de tres planos en el espacio, hay tres casos posibles.

    Se muestran ocho figuras. El primero muestra tres planos que se cruzan con un punto en común. Está etiquetado Sistema consistente y Ecuaciones independientes. La segunda figura tiene tres planos paralelos sin puntos en común. Está etiquetado Sistema Inconsistente. En la tercera figura dos planos son coincidentes y paralelos al tercer plano. Los aviones no tienen puntos en común. En la cuarta figura, dos planos son paralelos y cada uno se cruza con el tercer plano. Los aviones no tienen puntos en común. En la quinta figura, cada plano se cruza con los otros dos, pero los tres no comparten puntos. Los aviones no tienen puntos en común. En la sexta figura, tres planos se cruzan en una línea. Sólo hay una línea, por lo que hay infinitamente muchas soluciones. En la séptima figura, dos planos son coincidentes e intersecan el tercer plano en una línea. Sólo hay una línea, por lo que hay infinitamente muchas soluciones. En la última figura, tres planos son coincidentes. Sólo hay un plano, por lo que hay infinitamente muchas soluciones........

    Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones a las tres ecuaciones. Es decir, estamos buscando el triple ordenado \((x,y,z)\) que haga realidad las tres ecuaciones. Estas se denominan las soluciones del sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.

    SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE Ecuaciones LINEALES CON TRES VARIABLES

    Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones. Una solución está representada por un triple ordenado \((x,y,z)\).

    Para determinar si un triple ordenado es una solución a un sistema de tres ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el triple ordenado hace verdaderas las tres ecuaciones, es una solución al sistema.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema: \( \left\{ \begin{array} {l} x−y+z=2 \\ 2x−y−z=−6 \\ 2x+2y+z=−3 \end{array} \right. \)

    \((−2,−1,3)\)\((−4,−3,4)\)

    Contestar

    Las ecuaciones son x menos y más z es igual a 2, 2x menos y menos z es igual a menos 6 y 2x más 2y más z es igual a menos 3. Sustituyendo menos 2 por x, menos 1 para y y 3 para z en las tres ecuaciones, encontramos que las tres son verdaderas. De ahí que menos 2, menos 1, 3 sea una solución.

    Las ecuaciones son x menos y más z es igual a 2, 2x menos y menos z es igual a menos 6 y 2x más 2y más z es igual a menos 3. Sustituyendo menos menos 4 para x, menos 3 para y y 4 para z en las tres ecuaciones, encontramos que las tres son verdaderas. De ahí que menos 4, menos 3, 4 no sea una solución.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema: \( \left\{ \begin{array} {l} 3x+y+z=2 \\ x+2y+z=−3 \\ 3x+y+2z=4 \end{array} \right. \)

    \((1,−3,2)\)\((4,−1,−5)\)

    Contestar

    ⓐ sí ⓑ no

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema: \( \left\{ \begin{array} {l} x−3y+z=−5 \\ −3x−y−z=1 \\ 2x−2y+3z=1 \end{array} \right. \)

    \((2,−2,3)\)\((−2,2,3)\)

    Contestar

    ⓐ no ⓑ sí

    Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables

    Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, básicamente utilizamos las mismas técnicas que usamos con sistemas que tenían dos variables. Comenzamos con dos pares de ecuaciones y en cada par eliminamos la misma variable. Esto nos dará entonces un sistema de ecuaciones con sólo dos variables y luego sabemos cómo resolver ese sistema!

    A continuación, utilizamos los valores de las dos variables que acabamos de encontrar para volver a la ecuación original y encontrar la tercera variable. Escribimos nuestra respuesta como un triple ordenado y luego revisamos nuestros resultados.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\): Cómo resolver un sistema de ecuaciones con tres variables por eliminación

    Resolver el sistema por eliminación: \( \left\{ \begin{array} {l} x−2y+z=3 \\ 2x+y+z=4 \\ 3x+4y+3z=−1 \end{array} \right. \)

    Contestar

    Las ecuaciones son x menos 2y más z es igual a 3, 2x más y más z es igual a 4 y 3x más 4y más 3z es igual a menos 1. El paso 1 es escribir las ecuaciones en forma estándar. Ellos son. Si alguno de los coeficientes son fracciones, descúbralos. No hay ninguno.El paso 2 es eliminar la misma variable de dos ecuaciones. Decide qué variable eliminarás. Podemos eliminar las y de las ecuaciones 1 y 2 multiplicando la ecuación 2 por 2. Trabajar con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida. Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable. La nueva ecuación que obtenemos es 5x más 3z es igual a 11.El paso 3 es repetir el paso 2 usando otras dos ecuaciones y eliminar la misma variable que en el paso 2. Podemos eliminar de nuevo las y utilizando las ecuaciones 1, 3 multiplicando la ecuación 1 por 2. Agrega las nuevas ecuaciones y el resultado será 5x más 5z es igual a 5.Paso 4. Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelva este sistema. Eliminando x, obtenemos z igual a menos 3. Sustituyendo esto en una de las nuevas ecuaciones, obtenemos x igual a 4.El paso 5 es utilizar los valores de las dos variables encontradas en el paso 4 para encontrar la tercera variable. Sustituyendo valores de x y z en una de las ecuaciones originales, obtenemos y igual a menos 1.El paso 6 es escribir la solución como un triple ordenado 4, menos 1, menos 3.El paso 7 es verificar que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales. Hace que las tres ecuaciones sean verdaderas.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \( \left\{ \begin{array} {l} 3x+y−z=2 \\ 2x−3y−2z=1 \\ 4x−y−3z=0 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((2,−1,3)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Resolver el sistema por eliminación: \( \left\{ \begin{array} {l} 4x+y+z=−1 \\ −2x−2y+z=2 \\ 2x+3y−z=1 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \((−2,3,4)\)

    Aquí se resumen los pasos.

    RESOLVER UN SISTEMA DE Ecuaciones LINEALES CON TRES VARIABLES
    1. Escribir las ecuaciones en forma estándar
      • Si alguno de los coeficientes son fracciones, descúbralos.
    2. Eliminar la misma variable de dos ecuaciones.
      • Decide qué variable eliminarás.
      • Trabajar con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida.
      • Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
      • Agrega las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable
    3. Repita el Paso 2 usando otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el Paso 2.
    4. Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelva este sistema.
    5. Utilice los valores de las dos variables encontradas en el Paso 4 para encontrar la tercera variable.
    6. Escribe la solución como un triple ordenado.
    7. Verifique que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales.
    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Resolver: \( \left\{ \begin{array} {l} 3x−4z=0 \\ 3y+2z=−3 \\ 2x+3y=−5 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \[ \left\{ \begin{array} {ll} 3x−4z=0 &(1) \\ 3y+2z=−3 &(2) \\ 2x+3y=−5 &(3) \end{array} \right. \nonumber \]

    Podemos eliminar \(z\) de las ecuaciones (1) y (2) multiplicando la ecuación (2) por 2 y luego sumando las ecuaciones resultantes.

    Las ecuaciones son 3 x menos 4 es igual a 0, 3y más 2 z es igual a menos 3 y 2 x más 3 y es igual a menos 5. Multiplica la ecuación 2 por 2 y agrega a la ecuación 1. Obtenemos 3 x más 6 y es igual a menos 6.

    Observe que las ecuaciones (3) y (4) ambas tienen las variables \(x\) y \(y\). Vamos a resolver este nuevo sistema para \(x\) y \(y\).

    Multiplica la ecuación 3 por menos 2 y agrega eso a la ecuación 4. Obtenemos x igual a menos 4.

    Para resolver por y, sustituimos por la \(x=−4\) ecuación (3).

    Sustituir menos 4 en la ecuación 3 y resolver por y Obtenemos y igual a 1.

    Ahora tenemos \(x=−4\) y \(y=1\). Tenemos que resolver para z. Podemos sustituir \(x=−4\) en ecuación (1) para encontrar z.

    Sustituyendo menos 4 en la ecuación 1 por x, obtenemos z igual a menos 3.

    Escribimos la solución como un triple ordenado. \((−4,1,−3)\)

    Comprobamos que la solución haga que las tres ecuaciones sean verdaderas.

    \(\begin{array} {lll} {3x-4z=0 \space (1)} &{3y+2z=−3 \space (2)} &{2x+3y=−5 \space (3)} \\ {3(−4)−4(−3)\overset{?}{=} 0} &{3(1)+2(−3)\overset{?}{=} −3} &{2(−4)+3(1)\overset{?}{=} −5} \\ {0=0 \checkmark} &{−3=−3 \checkmark} &{−5=−5 \checkmark} \\ {} &{} &{\text{The solution is }(−4,1,−3)} \end{array}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Resolver: \( \left\{ \begin{array} {l} 3x−4z=−1 \\ 2y+3z=2 \\ 2x+3y=6 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \((−3,4,−2)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Resolver: \( \left\{ \begin{array} {l} 4x−3z=−5 \\ 3y+2z=7 \\ 3x+4y=6 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \((−2,3,−1)\)

    Cuando resolvemos un sistema y terminamos sin variables y una afirmación falsa, sabemos que no hay soluciones y que el sistema es inconsistente. El siguiente ejemplo muestra un sistema de ecuaciones que es inconsistente.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Resolver el sistema de ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x+2y−3z=−1 \\ x−3y+z=1 \\ 2x−y−2z=2 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \[\left\{ \begin{array} {ll} x+2y−3z=−1 &(1) \\ x−3y+z=1 &(2) \\ 2x−y−2z=2 &(3) \end{array} \right.\nonumber \]

    Use las ecuaciones (1) y (2) para eliminar z.

    Las ecuaciones son x más 2y menos 3z es igual a menos 1, x menos 3y más z es igual a 1 y 2x menos y menos 2z es igual a 2.

    Use (2) y (3) para eliminar de \(z\) nuevo.

    Multiplicando la ecuación 2 por 3 y añadiéndola a la ecuación 1, obtenemos la ecuación 4, 4x menos 7y es igual a 2. Multiplicando la ecuación 2 por 2 y añadiéndola a la ecuación 3, obtenemos la ecuación 5, 4x menos 7y es igual a 4.

    Use (4) y (5) para eliminar una variable.

    Las ecuaciones 4 y 5 tienen 2 variables. Multiplique la ecuación 5 por menos 1 y agréguela a la ecuación 4. Obtenemos 0 igual a menos 2, que es falso.

    No hay solución.

    Nos queda una afirmación falsa y esto nos dice que el sistema es inconsistente y no tiene solución.

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Resolver el sistema de ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x+2y+6z=5 \\ −x+y−2z=3 \\ x−4y−2z=1 \end{array} \right. \)

    Contestar

    no hay solución

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Resolver el sistema de ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} 2x−2y+3z=6 \\ 4x−3y+2z=0 \\ −2x+3y−7z=1 \end{array} \right. \)

    Contestar

    no hay solución

    Cuando resolvemos un sistema y terminamos sin variables sino con un enunciado verdadero, sabemos que hay infinitas soluciones. El sistema es consistente con ecuaciones dependientes. Nuestra solución mostrará cómo dos de las variables dependen de la tercera.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Resolver el sistema de ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x+2y−z=1 \\ 2x+7y+4z=11 \\ x+3y+z=4 \end{array} \right. \)

    Contestar

    \[\left\{ \begin{array} {ll} x+2y−z=1 &(1) \\ 2x+7y+4z=11 &(2) \\ x+3y+z=4 &(3) \end{array} \right.\nonumber \]

    Utilice las ecuaciones (1) y (3) para eliminar x.

    Las ecuaciones son x más 2y menos z es igual a 1, 2x más 7y más 4z es igual a 11 y x más 3y más z es igual a 4. Multiplique la ecuación 1 con menos 1 y agréguela a la ecuación 3. Obtenemos la ecuación 4, y más 2z es igual a 3.

    Use las ecuaciones (1) y (2) para eliminar x nuevamente.

    Multiplique la ecuación 1 con menos 2 y agréguela a la ecuación 2. Obtenemos la ecuación 5, 3y más 6z es igual a 9.

    Utilice las ecuaciones (4) y (5) para eliminar \(y\).

    Multiplique la ecuación 4 con menos 3 y agréguela a la ecuación 5. Obtenemos 0 igual a 0. Hay infinitas muchas soluciones. Resolviendo la ecuación 4 para y, obtenemos y igual a menos 2z más 3. Sustituyendo esto en la ecuación 1, obtenemos x igual a 5z menos 5. El verdadero enunciado 0 igual a 0 nos dice que este es un sistema dependiente que tiene infinitas soluciones. Las soluciones son de la forma x, y, z donde x es 5z menos 5, y es menos 2z más 3 y z es cualquier número real.
      Hay infinitamente muchas soluciones.
    Resuelve la ecuación (4) para y. Representar la solución mostrando cómo x e y dependen de z .
    \( \begin{aligned} y+2z &= 3 \\ y &= −2z+3 \end{aligned} \)
    Use la ecuación (1) para resolver para x. \( x+2y−z=1\)
    Sustituto \(y=−2z+3\). \( \begin{aligned} x+2(−2z+3)−z &= 1 \\ x−4z+6−z &= 1 \\ x−5z+6 &= 1 \\ x &= 5z−5 \end{aligned} \)

    El verdadero enunciado nos \(0=0\) dice que se trata de un sistema dependiente que tiene infinitas soluciones. Las soluciones son de la forma (x, y, z) (x, y, z) donde \(x=5z−5;\space y=−2z+3\) y z es cualquier número real.

    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Resolver el sistema por ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x+y−z=0 \\ 2x+4y−2z=6 \\ 3x+6y−3z=9 \end{array} \right. \)

    Contestar

    infinitamente muchas soluciones \((x,3,z)\) donde \(x=z−3;\space y=3;\space z\) es cualquier número real

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Resolver el sistema por ecuaciones: \( \left\{ \begin{array} {l} x−y−z=1 \\ −x+2y−3z=−4 \\ 3x−2y−7z=0 \end{array} \right. \)

    Contestar

    infinitamente muchas soluciones \((x,y,z)\) donde \(x=5z−2;\space y=4z−3;\space z\) es cualquier número real

    Resolver aplicaciones usando sistemas de ecuaciones lineales con tres variables

    Las aplicaciones que son modeladas por un sistema de ecuaciones se pueden resolver utilizando las mismas técnicas que usamos para resolver los sistemas. Muchas de las aplicaciones son solo extensiones a tres variables de los tipos que hemos resuelto anteriormente.

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    El departamento de teatro de la universidad comunitaria vendió tres tipos de boletos para su última producción teatral. Los boletos para adultos se vendieron por 15 dólares, los de estudiante por 10 dólares y los de niño por 8 dólares. El departamento de teatro estaba encantado de haber vendido 250 boletos y traído $2,825 en una noche. El número de boletos de estudiante vendidos es el doble del número de boletos para adultos vendidos. ¿Cuántos de cada tipo vendió el departamento?

    Contestar
    Usaremos un gráfico para organizar la información. .
    Número de estudiantes es el doble número de adultos.  
    Reescribe la ecuación en forma estándar. \(\begin{aligned} y &= 2x \\ 2x−y &= 0 \end{aligned} \)
    .
    Utilice las ecuaciones (1) y (2) para eliminar z.  
    .
    Utilizar (3) y (4) para eliminar \(y\).  
    .
    Resuelve para x. \(x=75 \) boletos para adultos
    Use la ecuación (3) para encontrar y. \(−2x+y=0\)
    Sustituto \(x=75\). \(\begin{aligned} −2(75)+y &= 0 \\ −150+y &= 0 \\ y &= 150\text{ student tickets}\end{aligned} \)
    Use la ecuación (1) para encontrar z. \(x+y+z=250\)
    Sustituto en los valores
    \(x=75, \space y=150.\)

    \(\begin{aligned} 75+150+z &= 250 \\ 225+z &= 250 \\ z &= 25\text{ child tickets} \end{aligned} \)
    Escribe la solución. El departamento de teatro vendió 75 boletos para adultos,
    150 boletos para estudiantes y 25 boletos para niños.
    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    El departamento de bellas artes de la universidad comunitaria vendió tres tipos de boletos para su última presentación de danza. Los boletos para adultos se vendieron por 20 dólares, los boletos de estudiante por 12 dólares y los boletos de niño por 10 dólares El departamento de bellas artes se emocionó de haber vendido 350 boletos y haber traído 4.650 dólares en una noche. El número de boletos para niños vendidos es el mismo que el de boletos para adultos vendidos. ¿Cuántos de cada tipo vendió el departamento?

    Contestar

    El departamento de bellas artes vendió 75 boletos para adultos, 200 boletos para estudiantes y 75 boletos para niños.

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    El equipo de futbol de community college vendió tres tipos de boletos para su último juego. Los boletos para adultos se vendieron por 10 dólares, los boletos de estudiante por 8 dólares y los boletos de niño por 5 dólares. El equipo de futbol se emocionó de haber vendido 600 boletos y traído 4.900 dólares para un partido. El número de boletos para adultos es el doble del número de boletos para niños. ¿Cuántos de cada tipo vendió el equipo de futbol?

    Contestar

    El equipo de futbol vendió 200 boletos para adultos, 300 boletos de estudiantes y 100 boletos infantiles.

    Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con la solución de un sistema lineal en tres variables sin soluciones o infinitas.

    • Resolver un sistema lineal en tres variables con soluciones sin o infinitas
    • 3 Aplicación Variable

    Conceptos Clave

    • Ecuación lineal en tres variables: Una ecuación lineal con tres variables, donde a , b, c y d son números reales y a, b y c no son todos 0, es de la forma

      \[ax+by+cz=d\nonumber \]


      Toda solución a la ecuación es un triple ordenado, \((x,y,z)\) eso hace que la ecuación sea verdadera.
    • Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables.
      1. Escribe las ecuaciones en forma estándar
        Si alguno de los coeficientes son fracciones, desactívalos.
      2. Eliminar la misma variable de dos ecuaciones.
        Decide qué variable eliminarás.
        Trabajar con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida.
        Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
        Agrega las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable
      3. Repita el Paso 2 usando otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el Paso 2.
      4. Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelva este sistema.
      5. Utilice los valores de las dos variables encontradas en el Paso 4 para encontrar la tercera variable.
      6. Escribe la solución como un triple ordenado.
      7. Verifique que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales.

    Glosario

    soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables
    Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen verdaderas todas las ecuaciones; una solución está representada por un triple ordenado (x, y, z).

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