4.6E: Ejercicios

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La práctica hace a la perfección

Escribir la Matriz Aumentada para un Sistema de Ecuaciones

En los siguientes ejercicios, escribe cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada.

ⓐ \(\left\{ \begin{array} {l} 3x−y=−1\\ 2y=2x+5\end{array} \right.\)
ⓑ \(\left\{ \begin{array} {l} 4x+3y=−2\\ x−2y−3z=7 \\ 2x−y+2z=−6 \end{array} \right.\)

ⓐ \(\left\{ \begin{array} {l} 2x+4y=−5\\ 3x−2y=2\end{array} \right.\)
ⓑ \(\left\{ \begin{array} {l} 3x−2y−z=−2\\ −2x+y=5 \\ 5x+4y+z=−1 \end{array} \right.\)

Responder: ⓐ \(\left[ \begin{matrix} 2 &4 &−5 \\ 3 &−2 &2 \end{matrix} \right]\)
ⓑ \(\left[ \begin{matrix} 3 &−2 &−1 &−2 \\ −2 &1 &0 &5 \\ 5 &4 &1 &−1 \end{matrix} \right]\)

ⓐ \(\left\{ \begin{array} {l} 3x−y=−4 \\ 2x=y+2 \end{array} \right.\)
ⓑ \(\left\{ \begin{array} {l} x−3y−4z=−2 \\ 4x+2y+2z=5 \\ 2x−5y+7z=−8 \end{array} \right.\)

ⓐ \(\left\{ \begin{array} {l} 2x−5y=−3 \\ 4x=3y−1 \end{array} \right.\)
ⓑ \(\left\{ \begin{array} {l} 4x+3y−2z=−3 \\ −2x+y−3z=4 \\ −x−4y+5z=−2 \end{array} \right.\)

Responder: ⓐ \(\left[ \begin{matrix} 2 &−5 &−3 \\ 4 &−3 &−1 \end{matrix} \right]\)
ⓑ \(\left[ \begin{matrix} 4 &3 &−2 &−3 \\ −2 &1 &−3 &4 \\ −1 &−4 &5 &−2 \end{matrix} \right]\)

Escribir el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz aumentada.

\(\left[ \begin{array} {cc|c} 2 &−1 &4 \\ 1 &−3 &2 \end{array} \right]\)

\(\left[ \begin{array} {cc|c} 2 &−4 &-2 \\ 3 &−3 &-1 \end{array} \right]\)

Responder: \(\left\{ \begin{array} {l} 2x−4y=−2 \\ 3x−3y=−1 \end{array} \right.\)

\(\left[ \begin{array} {ccc|c} 1 &0 &−3 &-1 \\ 1 &−2 &0 &-2 \\ 0 &−1 &2 &3 \end{array} \right]\)

\(\left[ \begin{array} {ccc|c} 2 &−2 &0 &-1 \\ 0 &2 &−1 &2 \\ 3 &0 &−1 &-2 \end{array} \right]\)

Responder: \(\left\{ \begin{array} {l} 2x−2y=−1 \\ 2y−z=2 \\ 3x−z=−2 \end{array} \right.\)

Usar operaciones de fila en una matriz

En los siguientes ejercicios, realice las operaciones indicadas sobre las matrices aumentadas.

\(\left[ \begin{array} {cc|c} 6 &−4 &3 \\ 3 &−2 &1 \end{array} \right]\)

ⓐ Intercambiar filas 1 y 2

ⓑ Multiplica la fila 2 por 3

\(\left[ \begin{array} {cc|c} 4 &−6 &-3 \\ 3 &2 &1 \end{array} \right]\)

ⓐ Intercambiar filas 1 y 2

ⓑ Multiplica la fila 1 por 4

Responder: ⓐ \(\left[ \begin{matrix} 3 &2 &1 \\ 4 &−6 &−3 \end{matrix} \right]\)
ⓑ \(\left[ \begin{matrix} 12 &8 &4 \\ 4 &−6 &−3 \end{matrix} \right]\)
ⓒ \(\left[ \begin{matrix} 12 &8 &4 \\ 24 &−10 &−5 \end{matrix} \right]\)

\(\left[ \begin{array} {ccc|c} 4 &−12 &−8 &16 \\ 4 &−2 &−3 &-1 \\ −6 &2 &−1 &-1 \end{array} \right]\)

\(\left[ \begin{array} {ccc|c} 6 &−5 &2 &3 \\ 2 &1 &−4 &5 \\ 3 &−3 &1 &-1 \end{array} \right]\)

Responder: ⓐ \(\left[ \begin{matrix} 2 &1 &−4 &5 \\ 6 &−5 &2 &3 \\ 3 &−3 &1 &−1 \end{matrix} \right]\)
ⓑ \(\left[ \begin{matrix} 2 &1 &−4 &5 \\ 6 &−5 &2 &3 \\ 3 &−3 &1 &−1 \end{matrix} \right]\)
ⓒ \(\left[ \begin{matrix} 2 &1 &−4 &5 \\ 6 &−5 &2 &3 \\ −4 &7 &−6 &7 \end{matrix} \right]\)

Realice la operación de fila necesaria que conseguirá que la primera entrada de la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: \(\left[ \begin{array} {cc|c} 1 &2 &5 \\ −3 &−4 &-1 \end{array} \right]\)

Realice las operaciones de fila necesarias que conseguirán que la primera entrada tanto en la fila 2 como en la fila 3 sea cero en la matriz aumentada: \(\left[ \begin{array} {ccc|c} 1 &−2 &3 &-4 \\ 3 &−1 &−2 &5 \\ 2 &−3 &−4 &1 \end{array} \right]\)

Responder: \(\left[ \begin{matrix} 1 &−2 &3 &−4 \\ 0 &5 &−11 &17 \\ 0 &1 &−10 &7 \end{matrix} \right]\)

Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices

En los siguientes ejercicios, resuelve cada sistema de ecuaciones utilizando una matriz.

\(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=2 \\ x−y=−2 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=2 \\ x−y=2 \end{array} \right.\)

Responder: \((1,−1)\)

\(\left\{ \begin{array} {l} −x+2y=−2 \\ x+y=−4 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} −2x+3y=3 \\ x+3y=12 \end{array} \right.\)

Responder: \((3,3)\)

En los siguientes ejercicios, resuelve cada sistema de ecuaciones utilizando una matriz.

\(\left\{ \begin{array} {l} 2x−3y+z=19 \\ −3x+y−2z=−1 \\ 5x+y+z=0 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} 2x−y+3z=−3 \\ −x+2y−z=10 \\ x+y+z=5 \end{array} \right.\)

Responder: \((−2,5,2)\)

\(\left\{ \begin{array} {l} 2x−6y+z=3 \\ 3x+2y−3z=2 \\ 2x+3y−2z=3 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} 4x−3y+z=7 \\ 2x−5y−4z=3 \\ 3x−2y−2z=−7 \end{array} \right.\)

Responder: \((−3,−5,4)\)

\(\left\{ \begin{array} {l} x+2z=0 \\ 4y+3z=−2 \\ 2x−5y=3 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} 2x+5y=4 \\ 3y−z=3 \\ 4x+3z=−3 \end{array} \right.\)

Responder: \((−3,2,3)\)

\(\left\{ \begin{array} {l} 2y+3z=−1 \\ 5x+3y=−6 \\ 7x+z=1 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} 3x−z=−3 \\ 5y+2z=−6 \\ 4x+3y=−8 \end{array} \right.\)

Responder: \((−2,0,−3)\)

\(\left\{ \begin{array} {l} 2x+3y+z=1 \\ 2x+y+z=9 \\ 3x+4y+2z=20 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} x+2y+6z=5 \\ −x+y−2z=3 \\ x−4y−2z=1 \end{array} \right.\)

Responder: no hay solución

\(\left\{ \begin{array} {l} x+2y−3z=−1 \\ x−3y+z=1 \\ 2x−y−2z=2 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} 4x−3y+2z=0 \\ −2x+3y−7z=1 \\ 2x−2y+3z=6 \end{array} \right.\)

Responder: no hay solución

\(\left\{ \begin{array} {l} x−y+2z=−4 \\ 2x+y+3z=2 \\ −3x+3y−6z=12 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} −x−3y+2z=14 \\ −x+2y−3z=−4 \\ 3x+y−2z=6 \end{array} \right.\)

Responder: infinitamente muchas soluciones \((x,y,z)\) donde \(x=12z+4;\space y=12z−6;\space z\) es cualquier número real

\(\left\{ \begin{array} {l} x+y−3z=−1 \\ y−z=0 \\ −x+2y=1 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array} {l} x+2y+z=4 \\ x+y−2z=3 \\ −2x−3y+z=−7 \end{array} \right.\)

Responder: infinitamente muchas soluciones \((x,y,z)\) donde \(x=5z+2;\space y=−3z+1;\space z\) es cualquier número real

Ejercicios de escritura

Resuelve el sistema de ecuaciones \(\left\{ \begin{array} {l} x+y=10 \\ x−y=6\end{array} \right.\) ⓐ graficando y ⓑ por sustitución. ⓒ ¿Qué método prefieres? ¿Por qué?

Resuelve el sistema de ecuaciones \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=1 \\ 2x=y−8 \end{array} \right.\) por sustitución y explica todos tus pasos con palabras.

Responder: Las respuestas variarán.

Autocomprobación

ⓐ Después de completar los ejercicios, usa esta lista de verificación para evaluar tu dominio de los objetivos de esta sección.

Esta tabla tiene 4 columnas 5 filas y una fila de encabezado. La fila del encabezado etiqueta cada columna que puedo, con confianza, con algo de ayuda y no, no lo consigo. La primera columna tiene las siguientes declaraciones: Escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones, Usar operaciones de fila en una matriz, Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices, Escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones, Usar operaciones de fila en una matriz. Las columnas restantes están en blanco.

ⓑ Después de mirar la lista de verificación, ¿crees que estás bien preparado para la siguiente sección? ¿Por qué o por qué no?