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4.7: Resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes

  • Page ID
    51687
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Evaluar el determinante de una matriz 2×2
    • Evaluar el determinante de una matriz 3×3
    • Usa la Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
    • Resolver aplicaciones usando determinantes

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar: \(5(−2)−(−4)(1)\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Simplificar: \(−3(8−10)+(−2)(6−3)−4(−3−(−4))\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Simplificar: \(\frac{−12}{−8}\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    En esta sección aprenderemos de otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales llamado regla de Cramer. Antes de poder comenzar a usar la regla, necesitamos aprender algunas definiciones y notación nuevas.

    Evaluar el Determinante de una \(2×2\) Matriz

    Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la llamamos matriz cuadrada. Cada matriz cuadrada tiene un número real asociado a ella llamado su determinante. Para encontrar el determinante de la matriz cuadrada \(\left[ \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right] \), primero lo escribimos como \(\left| \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right| \). Para obtener el valor numérico real del determinado restamos los productos de las diagonales, como se muestra.

    DETERMINANTE

    El determinante de cualquier matriz cuadrada \(\left[ \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right] \), donde a, b, c y d son números reales, es

    \[\left| \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right| =ad−bc \nonumber \]

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Evaluar el determinado de ⓐ \(\left[ \begin{matrix} 4 &-2 \\ 3&-1 \end{matrix} \right] \)\(\left[ \begin{matrix} -3 &-4 \\ -2&0 \end{matrix} \right] \).

    Contestar

      .
    Escribe el determinante. .
    Restar los productos de las diagonales. .
    Simplificar. .
    Simplificar. .

      .
    Escribe el determinante.
    Restar los productos de las diagonales. .
    Simplificar.
    Simplificar. .
    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Evaluar el determinado de ⓐ \(\left[ \begin{matrix} 5&−3\\2&−4 \end{matrix} \right] \)\(\left[ \begin{matrix} −4&−6\\0&7 \end{matrix} \right] \).

    Contestar

    \(−14\); ⓑ \(−28\)

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Evaluar el determinado de ⓐ \(\left[ \begin{matrix} −1&3\\−2&4 \end{matrix} \right] \)\(\left[ \begin{matrix} −7&−3\\−5&0 \end{matrix} \right] \).

    Contestar

    ⓐ 2 ⓑ \(−15\)

    Evaluar el Determinante de una \(3×3\) Matriz

    Para evaluar el determinante de una \(3×3\) matriz, tenemos que ser capaces de evaluar el menor de una entrada en el determinante. El menor de una entrada es el \(2×2\) determinante que se encuentra al eliminar la fila y columna en el \(3×3\) determinante que contiene la entrada.

    MENOR DE UNA ENTRADA EN \(3×3\) UN DETERMINANTE

    El menor de una entrada en un \(3×3\) determinante es el \(2×2\) determinante que se encuentra al eliminar la fila y columna en el \(3×3\) determinante que contiene la entrada.

    Para encontrar el menor de entrada \(a_1\), eliminamos la fila y columna que lo contienen. Por lo que eliminamos la primera fila y la primera columna. Después escribimos el \(2×2\) determinante que queda.

    La primera fila del determinante de 3 por 3 es a1, b1, c1. La fila 2 es a2, b2, c2. La fila 3 es a3, b3, c3. a1 está resaltada. Las líneas golpean la primera fila y la primera columna. Lo que queda se llama menor de a1. Se muestra como un determinante separado cuya primera fila es b2, c2 y la segunda fila es b3, c3.

    Para encontrar el menor de entrada \(b_2\), eliminamos la fila y columna que lo contienen. Por lo que eliminamos la \(2^{nd}\) fila y \(2^{nd}\) la columna. Después escribimos el \(2×2\) determinante que queda.

    La primera fila del determinante de 3 por 3 es a1, b1, c1. La fila 2 es a2, b2, c2. La fila 3 es a3, b3, c3. b2 se resalta. Las líneas golpean la segunda fila y la segunda columna. Lo que queda es menor de b2. Se escribe como un determinante separado cuya primera fila es a1, c1 y la segunda fila es a3, c3.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Para el determinante \(\left| \begin{matrix} 4&−2&3\\1&0&−3\\−2&−4&2 \end{matrix} \right|\), encuentra y luego evalúa el menor de ⓐ \(a_1\)\(b_3\)\(c_2\).

    Contestar

      .
    Eliminar la fila y columna que contiene \(a_1\). .
    Escribe el \(2×2\) determinante que queda. .
    Evaluar. .
    Simplificar. .

    Eliminar la fila y columna que contiene \(b_3\). .
    Escribe el \(2×2\) determinante que queda. .
    Evaluar. .
    Simplificar. .

      .
    Eliminar la fila y columna que contiene \(c_2\). .
    Escribe el \(2×2\) determinante que queda. .
    Evaluar. .
    Simplificar.
    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Para el determinante \(\left| \begin{matrix} 1&−1&4\\0&2&−1\\−2&−3&3 \end{matrix} \right|\), encuentra y luego evalúa el menor de ⓐ \(a_1\)\(b_2\)\(c_3\).

    Contestar

    ⓐ 3 ⓑ 11 ⓒ 2

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Para el determinante \(\left| \begin{matrix} −2&−1&0\\3&0&−1\\−1&−2&3 \end{matrix} \right|\), encuentra y luego evalúa el menor de ⓐ \(a_2\)\(b_3\)\(c_2\).

    Contestar

    \(−3\) ⓑ 2 ⓒ 3

    Ahora estamos listos para evaluar un \(3×3\) determinante. Para ello ampliamos por menores de edad, lo que nos permite evaluar el \(3×3\)\(2×2\) determinante utilizando determinantes, ¡que ya sabemos evaluar!

    Para evaluar un \(3×3\) determinante mediante la expansión por menores a lo largo de la primera fila, utilizamos el siguiente patrón:

    Un determinante de 3 por 3 es igual a a1 veces menor de a1 menos b1 veces menor de b1 más c1 veces menor de c1.

    Recuerda, para encontrar el menor de una entrada eliminamos la fila y columna que contiene la entrada.

    AMPLIACIÓN POR MENORES A LO LARGO DE PRIMERA FILA PARA \(3×3\) EVALUAR

    Evaluar un \(3×3\) determinante expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, el siguiente patrón:

    Un determinante de 3 por 3 es igual a a1 veces menor de a1 menos b1 veces menor de b1 más c1 veces menor de c1.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Evaluar el determinante expandiendo \(\left| \begin{matrix} 2&−3&−1\\3&2&0\\−1&−1&−2 \end{matrix} \right|\) por menores a lo largo de la primera fila.

    Contestar
      .
    Expandir por menores a lo largo de la primera fila .
    Evaluar cada determinante.
    Simplificar. .
    Simplificar. .
    Simplificar.
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Evaluar el determinante \(\left| \begin{matrix} 3&−2&4\\0&−1&−2\\2&3&−1 \end{matrix} \right|\), expandiendo por menores a lo largo de la primera fila.

    Contestar

    37

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Evaluar el determinante \(\left| \begin{matrix} 3&−2&−2\\2&−1&4\\−1&0&−3 \end{matrix} \right|\), expandiendo por menores a lo largo de la primera fila.

    Contestar

    7

    Para evaluar un \(3×3\) determinante podemos ampliar por menores utilizando cualquier fila o columna. Elegir una fila o columna que no sea la primera fila a veces facilita el trabajo.

    Cuando ampliamos por cualquier fila o columna, debemos tener cuidado con el signo de los términos en la expansión. Para determinar el signo de los términos, utilizamos la siguiente gráfica de patrones de signos.

    \[\left| \begin{matrix} +&−&+\\−&+&−\\+&−&+ \end{matrix} \right|\nonumber\]

    PATRÓN

    Al ampliar por menores utilizando una fila o columna, el signo de los términos en la expansión sigue el siguiente patrón. \[\left| \begin{matrix} +&−&+\\−&+&−\\+&−&+ \end{matrix} \right|\nonumber\]

    Observe que el patrón de signos en la primera fila coincide con los signos entre los términos en la expansión por la primera fila.

    Un determinante de 3 por 3 tiene la fila 1: más, menos, más, fila 2: menos, más, menos y fila 3: más, menos, más. Los tres signos de la primera fila apuntan a un determinante menor en la expansión de un determinante de 3 por 3. Más puntos a menor de a1, menos al menor de b1 y más al menor de c1.

    Ya que podemos expandirnos por cualquier fila o columna, ¿cómo decidimos qué fila o columna usar? Por lo general tratamos de escoger una fila o columna que nos facilite el cálculo. Si el determinante contiene un 0, usar la fila o columna que contiene el 0 facilitará los cálculos.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Evaluar el determinante expandiendo \(\left| \begin{matrix} 4&−1&−3\\3&0&2\\5&−4&−3 \end{matrix} \right|\) por menores de edad.

    Contestar

    Para ampliar por menores, buscamos una fila o columna que facilite nuestros cálculos. Dado que 0 está en la segunda fila y segunda columna, expandirse por cualquiera de los dos es una buena opción. Dado que la segunda fila tiene menos negativos que la segunda columna, vamos a ampliar por la segunda fila.

      .
    Expandir usando la segunda fila.  
    Ten cuidado con las señales. .
    Evaluar cada determinante. .
    Simplificar. .
    Simplificar. .
    Añadir. .
    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Evaluar el determinante expandiendo \(\left| \begin{matrix} 2&−1&−3\\0&3&−4\\3&−4&−3 \end{matrix} \right|\) por menores de edad.

    Contestar

    \(−11\)

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Evaluar el determinante expandiendo \(\left| \begin{matrix} −2&−1&−3\\−1&2&2\\4&−4&0 \end{matrix} \right|\) por menores de edad.

    Contestar

    8

    Usa la Regla de Cramer para Resolver Sistemas de Ecuaciones

    La Regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes. Se puede derivar resolviendo la forma general de los sistemas de ecuaciones por eliminación. Aquí demostraremos la regla para ambos sistemas de dos ecuaciones con dos variables y para sistemas de tres ecuaciones con tres variables.

    Comencemos con los sistemas de dos ecuaciones con dos variables.

    REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE DOS Ecuaciones

    Para el sistema de ecuaciones \(\left\{\begin{array} {l} a_1x+b_1y=k_1 \\ a_2x+b_2y=k_2\end{array}\right.\), la solución \((x,y)\) puede ser determinada por

    x es Dx sobre D y y es Dy sobre D donde D es determinante con la fila 1: a1, b1 y la fila 2 a2, b2, usa coeficientes de las variables; Dx es determinante con la fila 1: k1, b1 y la fila 2: k2, b2, reemplaza los coeficientes x por las consonantes; Dy es determinante con la fila 1: a1, k1 y fila 2: a2, k2, reemplaza el y coeficientes con constantes

    Observe que para formar el determinante D, utilizamos tomar los coeficientes de las variables.

    Las ecuaciones son a1x más b1y es igual a k1 y a2x más b2y es igual a k2. Aquí, a1, a2, b1, b2 son coeficientes. El determinante es D con fila 1: a1, b1 y fila 2: a2, b2. La columna 1 tiene coeficientes de x y la columna 2 tiene coeficientes de

    Observe que para formar el determinante \(D_x\) y \(D_y\), sustituimos las constantes por los coeficientes de la variable que estamos encontrando.

    Las ecuaciones son a1x más b1y es igual a k1 y a2x más b2y es igual a k2. Aquí, a1, a2, b1, b2 son coeficientes. El determinante es Dx tiene fila 1: k1, b1 y fila 2: k2, b2. Aquí las columnas 1 y 2 re constantes y coeficientes de y respectivamente. Determinante Dy tiene fila 1: a1, k1 y fila 2: a2, k2. Aquí, las columnas 1 y 2 son coeficientes de x y constantes respectivamente.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\): Cómo resolver un sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer

    Resuelve usando la Regla de Cramer: \(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=−4\\3x−2y=−6\end{array}\right.\)

    Contestar

    Las ecuaciones son 2x más y es igual a menos 4 y 3x menos 2y es igual a menos 6. Paso 1. Evaluar el determinante D, utilizando los coeficientes de las variables. El determinante D tiene fila 1:2, 1 y fila 2:3, menos 2. Entonces, D es menos 7.Paso 2. Evaluar el determinante Dx. Utilice las constantes en lugar de los coeficientes x. Sustituimos los coeficientes de x, 2 y 3, por las constantes, negativo 4 y negativo 6. Obtenemos Dx igual a 14.Paso 3. Evaluar el determinante Dy. Utilice las constantes en lugar de los coeficientes y. Sustituimos los coeficientes de y, 1 y 2, por las constantes, negativo 4 y negativo 6. Obtenemos Dy igual a 0.Paso 4. Encuentra x e y. sustituyendo valores de D, Dx y Dy en las ecuaciones x iguales a Dx sobre D e y iguales a Dy sobre D, obtenemos x igual a menos 2 e y igual a 0.Paso 5. Escriba la solución como un par ordenado menos 2, 0.

    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Resuelve usando la regla de Cramer: \(\left\{\begin{array} {l} 3x+y=−3 \\ 2x+3y=6 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((−\frac{15}{7},\frac{24}{7})\)

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Resuelve usando la regla de Cramer: \(\left\{\begin{array} {l} −x+y=2\\2x+y=−4 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((−2,0)\)

    RESOLVER UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES UTILIZANDO LA REGLA DE CRAMER
    1. Evaluar el determinante D, utilizando los coeficientes de las variables.
    2. Evaluar el determinante \(D_x\). Utilice las constantes en lugar de los coeficientes x .
    3. Evaluar el determinante \(D_y\). Utilice las constantes en lugar de los coeficientes y.
    4. Encuentra x e y . \(x=\frac{D_x}{D}\), \(y=\frac{D_y}{D}\)
    5. Escriba la solución como un par ordenado.
    6. Verifique que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.

    Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables con la Regla de Cramer, básicamente hacemos lo que hicimos para un sistema de dos ecuaciones. No obstante, ahora tenemos que resolver tres variables para obtener la solución. ¡También van a ser los determinantes \(3×3\) que harán más interesante nuestro trabajo!

    REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE TRES Ecuaciones

    Para el sistema de ecuaciones \(\left\{\begin{array} {l} a_1x+b_1y+c_1z=k_1\\a_2x+b_2y+c_2z=k_2\\a_3x+b_3y+c_3z=k_3\end{array}\right.\), la solución \((x,y,z)\) puede ser determinada por

    x es Dx sobre D, y es Dy sobre D y z es Dz sobre D, donde D es determinante con la fila 1: a1, b1, c1, fila 2: a2, b2, c2, fila 3: a3, b3, c3, use coeficientes de las variables; Dx es determinante con la fila 1: k1, b1, c1, fila 2: k2, b2, c2 y rwo 3: k3, b3, c3, reemplace los coeficientes x con las consonantes; Dy es determinante con fila 1: a1, k1, c1, fila 2: a2, k2, c2 y fila 3: a3, k3, c3, reemplazar los coeficientes y por constantes; Dz es determinante con fila 1: a1, b1, k1; fila 2: a2, b2, k2, fila 3: a3, b3, k3; reemplazar los coeficientes z por constantes.

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    Resuelva el sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer: \(\left\{\begin{array} {l} 3x−5y+4z=5\\5x+2y+z=0\\2x+3y−2z=3 \end{array} \right.\)

    Contestar
    Evaluar el determinante D.
    Ampliar por menores utilizando la columna 1.  
    . .
    Evaluar los determinantes.
    Simplificar. .
    Simplificar. .
    Simplificar. .
    Evaluar el determinante \(D_x\). Utilice las
    constantes para reemplazar los coeficientes de x.
    Ampliar por menores utilizando la columna 1. .
    Evaluar los determinantes. .
    Simplificar.
    Simplificar.
    Evaluar el determinante Dy.Dy. Utilice las
    constantes para reemplazar los coeficientes de y.
    Evaluar los determinantes.
    Simplificar.
    Simplificar.
    Simplificar.
    Evaluar el determinante Dz.Dz. Utilice las
    constantes para reemplazar los coeficientes de z.
    Evaluar los determinantes.
    Simplificar.
    Simplificar.
    Simplificar.
    Encuentra x, y, y z.
    Sustituir en los valores.
    Simplificar.
    Escribe la solución como un triple ordenado.
    Verifique que el triple ordenado sea una solución
    a las tres ecuaciones originales.
    Te dejamos el cheque.
      La solución es \((2,−3,−4)\).
    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    Resuelva el sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer: \(\left\{\begin{array} {l} 3x+8y+2z=−5\\2x+5y−3z=0\\x+2y−2z=−1 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((−9,3,−1)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    Resuelva el sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer: \(\left\{\begin{array} {l} 3x+y−6z=−3\\2x+6y+3z=0\\3x+2y−3z=−6 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \((−6,3,−2)\)

    La regla de Cramer no funciona cuando el valor del determinante D es 0, ya que esto significaría que estaríamos dividiendo por 0. Pero cuando \(D=0\), el sistema es inconsistente o dependiente.

    Cuando el valor de \(D=0\) y \(D_x,\space D_y\) y D son todos cero, el sistema es consistente y dependiente y hay infinitas soluciones.

    Cuando el valor de \(D=0\) y \(D_x,\space D_y\) y no \(D_z\) son todos cero, el sistema es inconsistente y no hay solución.

    SISTEMAS DEPENDIENTES E INCONCONTRACIONALES

    Para cualquier sistema de ecuaciones, donde el valor del determinante \(D=0\),

    \[ \begin{array} {lll} \textbf{Value of determinants} &\textbf{Type of system} &\textbf{Solution} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are all zero}} &\text{consistent and dependent} &\text{infinitely many solutions} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are not all zero}} &\text{inconsistent} &\text{no solution} \end{array} \nonumber\]

    En el siguiente ejemplo, utilizaremos los valores de los determinantes para encontrar la solución del sistema.

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\)

    Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: \(\left\{\begin{array} {l} x+3y=4\\−2x−6y=3 \end{array} \right.\)

    Contestar

    \(\begin{array} {ll} {} &{\left\{\begin{array} {l} x+3y=4\\−2x−6y=3 \end{array} \right.} \\ {\begin{array} {l} \text{Evaluate the determinantD,using the} \\ \text{coefficients of the variables.} \end{array}} &{D=\left|\begin{matrix} 1&3\\−2&−6\end{matrix}\right|} \\ {} &{D=−6−(−6)} \\ {} &{D=0} \end{array} \)

    No podemos usar la Regla de Cramer para resolver este sistema. Pero mirando el valor de los determinantes \(D_x\) y \(D_y\), podemos determinar si el sistema es dependiente o inconsistente.

    \(\begin{array} {ll} {\text{Evaluate the determinant }D_x.} &{D_x=\left|\begin{matrix} 4&3\\3&−6\end{matrix}\right|} \\ {} &{D_x=−24−9} \\ {} &{D_x=15} \end{array} \)

    Dado que todos los determinantes no son cero, el sistema es inconsistente. No hay solución.

    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: \(\left\{\begin{array} {l} 4x−3y=8\\8x−6y=14 \end{array} \right.\)

    Contestar

    no hay solución

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: \(\left\{\begin{array} {l} x=−3y+4\\2x+6y=8 \end{array} \right.\)

    Contestar

    infinitas soluciones

    Resolver aplicaciones usando determinantes

    Una interesante aplicación de determinantes nos permite probar si los puntos son colineales. Tres puntos \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) y \((x_3,y_3)\) son colineales si y sólo si el determinante a continuación es cero.

    \[\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|=0\nonumber\]

    TEST PARA PUNTOS COLINEALES

    Tres puntos \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) y \((x_3,y_3)\) son colineales si y sólo si

    \[\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|=0\nonumber\]

    Utilizaremos esta propiedad en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Determine si los puntos \((5,−5)\), \((4,−3)\), y \((3,−1)\) son colineales.

    Contestar
     
    Sustituir los valores por el determinante.
    \((5,−5)\), \((4,−3)\), y \((3,−1)\)
    Evaluar el determinante expandiendo
    por menores utilizando la columna 3.
    Evaluar los determinantes.
    Simplificar.
    Simplificar.
      El valor del determinado es 0, por lo que los
    puntos son colineales.
    Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

    Determine si los puntos \((3,−2)\), \((5,−3)\), y \((1,−1)\) son colineales.

    Contestar

    Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

    Determine si los puntos \((−4,−1)\), \((−6,2)\), y \((−2,−4)\) son colineales.

    Contestar

    Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la solución de sistemas de desigualdades lineales mediante la gráfica.

    • Resolver Sistemas de Desigualdades Lineales mediante Grafización
    • Sistemas de Desigualdades Lineales

    Conceptos Clave

    • Determinante: El determinante de cualquier matriz cuadrada \(\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right]\), donde a, b, c y d son números reales, es

      \[\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|=ad−bc\nonumber\]

    • Expansión por Menores a lo largo de la Primera Fila para Evaluar un Determinante de 3 × 3: Evaluar un \(3×3\) determinante expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, el siguiente patrón:
    • Patrón de signos: Al expandirse por menores usando una fila o columna, el signo de los términos en la expansión sigue el siguiente patrón.

      \[\left|\begin{matrix}+&−&+\\−&+&−\\+&−&+\end{matrix}\right|\nonumber\]

    • Regla de Cramer: Para el sistema de ecuaciones \(\left\{\begin{array} {l} a_1x+b_1y=k_1\\a_2x+b_2y=k_2\end{array}\right.\), la solución \((x,y)\) puede ser determinada por

      Note que para formar el determinante D , utilizamos tomar los coeficientes de las variables.
    • Cómo resolver un sistema de dos ecuaciones usando la regla de Cramer
      1. Evaluar el determinante D, utilizando los coeficientes de las variables.
      2. Evaluar el determinante \(D_x\). Utilice las constantes en lugar de los coeficientes x .
      3. Evaluar el determinante \(D_y\). Utilice las constantes en lugar de los coeficientes y.
      4. Encuentra x e y . \(x=\frac{D_x}{D}\), \(y=\frac{D_y}{D}\).
      5. Escriba la solución como un par ordenado.
      6. Verifique que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
      7. Sistemas Dependientes e Inconsistentes de Ecuaciones: Para cualquier sistema de ecuaciones, donde el valor del determinante \(D=0\),\[ \begin{array} {lll} \textbf{Value of determinants} &\textbf{Type of system} &\textbf{Solution} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are all zero}} &\text{consistent and dependent} &\text{infinitely many solutions} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are not all zero}} &\text{inconsistent} &\text{no solution} \end{array} \nonumber\]
      8. Prueba de puntos colineales: Tres puntos \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), y \((x_3,y_3)\) son colineales si y solo si

        \[\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|=0\nonumber\]

    Glosario

    determinante
    Cada matriz cuadrada tiene un número real asociado a ella llamado su determinante.
    menor de una entrada en un determinante 3×33×3
    El menor de una entrada en un determinante 3×33×3 es el determinante 2×× × 2 encontrado al eliminar la fila y columna en el determinante 3×33×3que contiene la entrada.
    matriz cuadrada
    Una matriz cuadrada es una matriz con el mismo número de filas y columnas.

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