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4.7: Resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Evaluar el determinante de una matriz 2×2
• Evaluar el determinante de una matriz 3×3
• Usa la Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
• Resolver aplicaciones usando determinantes

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar: $$5(−2)−(−4)(1)$$.
Si te perdiste este problema, revisa [link].
2. Simplificar: $$−3(8−10)+(−2)(6−3)−4(−3−(−4))$$.
Si te perdiste este problema, revisa [link].
3. Simplificar: $$\frac{−12}{−8}$$.
Si te perdiste este problema, revisa [link].

En esta sección aprenderemos de otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales llamado regla de Cramer. Antes de poder comenzar a usar la regla, necesitamos aprender algunas definiciones y notación nuevas.

Evaluar el Determinante de una $$2×2$$ Matriz

Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la llamamos matriz cuadrada. Cada matriz cuadrada tiene un número real asociado a ella llamado su determinante. Para encontrar el determinante de la matriz cuadrada $$\left[ \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right]$$, primero lo escribimos como $$\left| \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right|$$. Para obtener el valor numérico real del determinado restamos los productos de las diagonales, como se muestra.

DETERMINANTE

El determinante de cualquier matriz cuadrada $$\left[ \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right]$$, donde a, b, c y d son números reales, es

$\left| \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right| =ad−bc \nonumber$

Ejemplo $$\PageIndex{1}$$

Evaluar el determinado de ⓐ $$\left[ \begin{matrix} 4 &-2 \\ 3&-1 \end{matrix} \right]$$$$\left[ \begin{matrix} -3 &-4 \\ -2&0 \end{matrix} \right]$$.

Contestar

 Escribe el determinante. Restar los productos de las diagonales. Simplificar. Simplificar.

 Escribe el determinante. Restar los productos de las diagonales. Simplificar. Simplificar.
Ejemplo $$\PageIndex{2}$$

Evaluar el determinado de ⓐ $$\left[ \begin{matrix} 5&−3\\2&−4 \end{matrix} \right]$$$$\left[ \begin{matrix} −4&−6\\0&7 \end{matrix} \right]$$.

Contestar

$$−14$$; ⓑ $$−28$$

Ejemplo $$\PageIndex{3}$$

Evaluar el determinado de ⓐ $$\left[ \begin{matrix} −1&3\\−2&4 \end{matrix} \right]$$$$\left[ \begin{matrix} −7&−3\\−5&0 \end{matrix} \right]$$.

Contestar

ⓐ 2 ⓑ $$−15$$

Evaluar el Determinante de una $$3×3$$ Matriz

Para evaluar el determinante de una $$3×3$$ matriz, tenemos que ser capaces de evaluar el menor de una entrada en el determinante. El menor de una entrada es el $$2×2$$ determinante que se encuentra al eliminar la fila y columna en el $$3×3$$ determinante que contiene la entrada.

MENOR DE UNA ENTRADA EN $$3×3$$ UN DETERMINANTE

El menor de una entrada en un $$3×3$$ determinante es el $$2×2$$ determinante que se encuentra al eliminar la fila y columna en el $$3×3$$ determinante que contiene la entrada.

Para encontrar el menor de entrada $$a_1$$, eliminamos la fila y columna que lo contienen. Por lo que eliminamos la primera fila y la primera columna. Después escribimos el $$2×2$$ determinante que queda.

Para encontrar el menor de entrada $$b_2$$, eliminamos la fila y columna que lo contienen. Por lo que eliminamos la $$2^{nd}$$ fila y $$2^{nd}$$ la columna. Después escribimos el $$2×2$$ determinante que queda.

Ejemplo $$\PageIndex{4}$$

Para el determinante $$\left| \begin{matrix} 4&−2&3\\1&0&−3\\−2&−4&2 \end{matrix} \right|$$, encuentra y luego evalúa el menor de ⓐ $$a_1$$$$b_3$$$$c_2$$.

Contestar

 Eliminar la fila y columna que contiene $$a_1$$. Escribe el $$2×2$$ determinante que queda. Evaluar. Simplificar.

 Eliminar la fila y columna que contiene $$b_3$$. Escribe el $$2×2$$ determinante que queda. Evaluar. Simplificar.

 Eliminar la fila y columna que contiene $$c_2$$. Escribe el $$2×2$$ determinante que queda. Evaluar. Simplificar.
Ejemplo $$\PageIndex{5}$$

Para el determinante $$\left| \begin{matrix} 1&−1&4\\0&2&−1\\−2&−3&3 \end{matrix} \right|$$, encuentra y luego evalúa el menor de ⓐ $$a_1$$$$b_2$$$$c_3$$.

Contestar

ⓐ 3 ⓑ 11 ⓒ 2

Ejemplo $$\PageIndex{6}$$

Para el determinante $$\left| \begin{matrix} −2&−1&0\\3&0&−1\\−1&−2&3 \end{matrix} \right|$$, encuentra y luego evalúa el menor de ⓐ $$a_2$$$$b_3$$$$c_2$$.

Contestar

$$−3$$ ⓑ 2 ⓒ 3

Ahora estamos listos para evaluar un $$3×3$$ determinante. Para ello ampliamos por menores de edad, lo que nos permite evaluar el $$3×3$$$$2×2$$ determinante utilizando determinantes, ¡que ya sabemos evaluar!

Para evaluar un $$3×3$$ determinante mediante la expansión por menores a lo largo de la primera fila, utilizamos el siguiente patrón:

Recuerda, para encontrar el menor de una entrada eliminamos la fila y columna que contiene la entrada.

AMPLIACIÓN POR MENORES A LO LARGO DE PRIMERA FILA PARA $$3×3$$ EVALUAR

Evaluar un $$3×3$$ determinante expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, el siguiente patrón:

Ejemplo $$\PageIndex{7}$$

Evaluar el determinante expandiendo $$\left| \begin{matrix} 2&−3&−1\\3&2&0\\−1&−1&−2 \end{matrix} \right|$$ por menores a lo largo de la primera fila.

Contestar
 Expandir por menores a lo largo de la primera fila Evaluar cada determinante. Simplificar. Simplificar. Simplificar.
Ejemplo $$\PageIndex{8}$$

Evaluar el determinante $$\left| \begin{matrix} 3&−2&4\\0&−1&−2\\2&3&−1 \end{matrix} \right|$$, expandiendo por menores a lo largo de la primera fila.

Contestar

37

Ejemplo $$\PageIndex{9}$$

Evaluar el determinante $$\left| \begin{matrix} 3&−2&−2\\2&−1&4\\−1&0&−3 \end{matrix} \right|$$, expandiendo por menores a lo largo de la primera fila.

Contestar

7

Para evaluar un $$3×3$$ determinante podemos ampliar por menores utilizando cualquier fila o columna. Elegir una fila o columna que no sea la primera fila a veces facilita el trabajo.

Cuando ampliamos por cualquier fila o columna, debemos tener cuidado con el signo de los términos en la expansión. Para determinar el signo de los términos, utilizamos la siguiente gráfica de patrones de signos.

$\left| \begin{matrix} +&−&+\\−&+&−\\+&−&+ \end{matrix} \right|\nonumber$

PATRÓN

Al ampliar por menores utilizando una fila o columna, el signo de los términos en la expansión sigue el siguiente patrón. $\left| \begin{matrix} +&−&+\\−&+&−\\+&−&+ \end{matrix} \right|\nonumber$

Observe que el patrón de signos en la primera fila coincide con los signos entre los términos en la expansión por la primera fila.

Ya que podemos expandirnos por cualquier fila o columna, ¿cómo decidimos qué fila o columna usar? Por lo general tratamos de escoger una fila o columna que nos facilite el cálculo. Si el determinante contiene un 0, usar la fila o columna que contiene el 0 facilitará los cálculos.

Ejemplo $$\PageIndex{10}$$

Evaluar el determinante expandiendo $$\left| \begin{matrix} 4&−1&−3\\3&0&2\\5&−4&−3 \end{matrix} \right|$$ por menores de edad.

Contestar

Para ampliar por menores, buscamos una fila o columna que facilite nuestros cálculos. Dado que 0 está en la segunda fila y segunda columna, expandirse por cualquiera de los dos es una buena opción. Dado que la segunda fila tiene menos negativos que la segunda columna, vamos a ampliar por la segunda fila.

Ejemplo $$\PageIndex{11}$$

Evaluar el determinante expandiendo $$\left| \begin{matrix} 2&−1&−3\\0&3&−4\\3&−4&−3 \end{matrix} \right|$$ por menores de edad.

Contestar

$$−11$$

Ejemplo $$\PageIndex{12}$$

Evaluar el determinante expandiendo $$\left| \begin{matrix} −2&−1&−3\\−1&2&2\\4&−4&0 \end{matrix} \right|$$ por menores de edad.

Contestar

8

Usa la Regla de Cramer para Resolver Sistemas de Ecuaciones

La Regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes. Se puede derivar resolviendo la forma general de los sistemas de ecuaciones por eliminación. Aquí demostraremos la regla para ambos sistemas de dos ecuaciones con dos variables y para sistemas de tres ecuaciones con tres variables.

Comencemos con los sistemas de dos ecuaciones con dos variables.

REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE DOS Ecuaciones

Para el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{array} {l} a_1x+b_1y=k_1 \\ a_2x+b_2y=k_2\end{array}\right.$$, la solución $$(x,y)$$ puede ser determinada por

Observe que para formar el determinante D, utilizamos tomar los coeficientes de las variables.

Observe que para formar el determinante $$D_x$$ y $$D_y$$, sustituimos las constantes por los coeficientes de la variable que estamos encontrando.

Ejemplo $$\PageIndex{13}$$: Cómo resolver un sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer

Resuelve usando la Regla de Cramer: $$\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=−4\\3x−2y=−6\end{array}\right.$$

Contestar

Ejemplo $$\PageIndex{14}$$

Resuelve usando la regla de Cramer: $$\left\{\begin{array} {l} 3x+y=−3 \\ 2x+3y=6 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(−\frac{15}{7},\frac{24}{7})$$

Ejemplo $$\PageIndex{15}$$

Resuelve usando la regla de Cramer: $$\left\{\begin{array} {l} −x+y=2\\2x+y=−4 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(−2,0)$$

RESOLVER UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES UTILIZANDO LA REGLA DE CRAMER
1. Evaluar el determinante D, utilizando los coeficientes de las variables.
2. Evaluar el determinante $$D_x$$. Utilice las constantes en lugar de los coeficientes x .
3. Evaluar el determinante $$D_y$$. Utilice las constantes en lugar de los coeficientes y.
4. Encuentra x e y . $$x=\frac{D_x}{D}$$, $$y=\frac{D_y}{D}$$
5. Escriba la solución como un par ordenado.
6. Verifique que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.

Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables con la Regla de Cramer, básicamente hacemos lo que hicimos para un sistema de dos ecuaciones. No obstante, ahora tenemos que resolver tres variables para obtener la solución. ¡También van a ser los determinantes $$3×3$$ que harán más interesante nuestro trabajo!

REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE TRES Ecuaciones

Para el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{array} {l} a_1x+b_1y+c_1z=k_1\\a_2x+b_2y+c_2z=k_2\\a_3x+b_3y+c_3z=k_3\end{array}\right.$$, la solución $$(x,y,z)$$ puede ser determinada por

Ejemplo $$\PageIndex{16}$$

Resuelva el sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer: $$\left\{\begin{array} {l} 3x−5y+4z=5\\5x+2y+z=0\\2x+3y−2z=3 \end{array} \right.$$

Contestar
 Evaluar el determinante D. Ampliar por menores utilizando la columna 1. Evaluar los determinantes. Simplificar. Simplificar. Simplificar. Evaluar el determinante $$D_x$$. Utilice las constantes para reemplazar los coeficientes de x. Ampliar por menores utilizando la columna 1. Evaluar los determinantes. Simplificar. Simplificar. Evaluar el determinante Dy.Dy. Utilice las constantes para reemplazar los coeficientes de y. Evaluar los determinantes. Simplificar. Simplificar. Simplificar. Evaluar el determinante Dz.Dz. Utilice las constantes para reemplazar los coeficientes de z. Evaluar los determinantes. Simplificar. Simplificar. Simplificar. Encuentra x, y, y z. Sustituir en los valores. Simplificar. Escribe la solución como un triple ordenado. Verifique que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales. Te dejamos el cheque. La solución es $$(2,−3,−4)$$.
Ejemplo $$\PageIndex{17}$$

Resuelva el sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer: $$\left\{\begin{array} {l} 3x+8y+2z=−5\\2x+5y−3z=0\\x+2y−2z=−1 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(−9,3,−1)$$

Ejemplo $$\PageIndex{18}$$

Resuelva el sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer: $$\left\{\begin{array} {l} 3x+y−6z=−3\\2x+6y+3z=0\\3x+2y−3z=−6 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(−6,3,−2)$$

La regla de Cramer no funciona cuando el valor del determinante D es 0, ya que esto significaría que estaríamos dividiendo por 0. Pero cuando $$D=0$$, el sistema es inconsistente o dependiente.

Cuando el valor de $$D=0$$ y $$D_x,\space D_y$$ y D son todos cero, el sistema es consistente y dependiente y hay infinitas soluciones.

Cuando el valor de $$D=0$$ y $$D_x,\space D_y$$ y no $$D_z$$ son todos cero, el sistema es inconsistente y no hay solución.

SISTEMAS DEPENDIENTES E INCONCONTRACIONALES

Para cualquier sistema de ecuaciones, donde el valor del determinante $$D=0$$,

$\begin{array} {lll} \textbf{Value of determinants} &\textbf{Type of system} &\textbf{Solution} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are all zero}} &\text{consistent and dependent} &\text{infinitely many solutions} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are not all zero}} &\text{inconsistent} &\text{no solution} \end{array} \nonumber$

En el siguiente ejemplo, utilizaremos los valores de los determinantes para encontrar la solución del sistema.

Ejemplo $$\PageIndex{19}$$

Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: $$\left\{\begin{array} {l} x+3y=4\\−2x−6y=3 \end{array} \right.$$

Contestar

$$\begin{array} {ll} {} &{\left\{\begin{array} {l} x+3y=4\\−2x−6y=3 \end{array} \right.} \\ {\begin{array} {l} \text{Evaluate the determinantD,using the} \\ \text{coefficients of the variables.} \end{array}} &{D=\left|\begin{matrix} 1&3\\−2&−6\end{matrix}\right|} \\ {} &{D=−6−(−6)} \\ {} &{D=0} \end{array}$$

No podemos usar la Regla de Cramer para resolver este sistema. Pero mirando el valor de los determinantes $$D_x$$ y $$D_y$$, podemos determinar si el sistema es dependiente o inconsistente.

$$\begin{array} {ll} {\text{Evaluate the determinant }D_x.} &{D_x=\left|\begin{matrix} 4&3\\3&−6\end{matrix}\right|} \\ {} &{D_x=−24−9} \\ {} &{D_x=15} \end{array}$$

Dado que todos los determinantes no son cero, el sistema es inconsistente. No hay solución.

Ejemplo $$\PageIndex{20}$$

Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: $$\left\{\begin{array} {l} 4x−3y=8\\8x−6y=14 \end{array} \right.$$

Contestar

no hay solución

Ejemplo $$\PageIndex{21}$$

Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: $$\left\{\begin{array} {l} x=−3y+4\\2x+6y=8 \end{array} \right.$$

Contestar

infinitas soluciones

Resolver aplicaciones usando determinantes

Una interesante aplicación de determinantes nos permite probar si los puntos son colineales. Tres puntos $$(x_1,y_1)$$, $$(x_2,y_2)$$ y $$(x_3,y_3)$$ son colineales si y sólo si el determinante a continuación es cero.

$\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|=0\nonumber$

TEST PARA PUNTOS COLINEALES

Tres puntos $$(x_1,y_1)$$, $$(x_2,y_2)$$ y $$(x_3,y_3)$$ son colineales si y sólo si

$\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|=0\nonumber$

Utilizaremos esta propiedad en el siguiente ejemplo.

Ejemplo $$\PageIndex{22}$$

Determine si los puntos $$(5,−5)$$, $$(4,−3)$$, y $$(3,−1)$$ son colineales.

Contestar
 Sustituir los valores por el determinante. $$(5,−5)$$, $$(4,−3)$$, y $$(3,−1)$$ Evaluar el determinante expandiendo por menores utilizando la columna 3. Evaluar los determinantes. Simplificar. Simplificar. El valor del determinado es 0, por lo que los puntos son colineales.
Ejemplo $$\PageIndex{23}$$

Determine si los puntos $$(3,−2)$$, $$(5,−3)$$, y $$(1,−1)$$ son colineales.

Contestar

Ejemplo $$\PageIndex{24}$$

Determine si los puntos $$(−4,−1)$$, $$(−6,2)$$, y $$(−2,−4)$$ son colineales.

Contestar

Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la solución de sistemas de desigualdades lineales mediante la gráfica.

• Resolver Sistemas de Desigualdades Lineales mediante Grafización

Conceptos Clave

• Determinante: El determinante de cualquier matriz cuadrada $$\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right]$$, donde a, b, c y d son números reales, es

$\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|=ad−bc\nonumber$

• Expansión por Menores a lo largo de la Primera Fila para Evaluar un Determinante de 3 × 3: Evaluar un $$3×3$$ determinante expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, el siguiente patrón:
• Patrón de signos: Al expandirse por menores usando una fila o columna, el signo de los términos en la expansión sigue el siguiente patrón.

$\left|\begin{matrix}+&−&+\\−&+&−\\+&−&+\end{matrix}\right|\nonumber$

• Regla de Cramer: Para el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{array} {l} a_1x+b_1y=k_1\\a_2x+b_2y=k_2\end{array}\right.$$, la solución $$(x,y)$$ puede ser determinada por

Note que para formar el determinante D , utilizamos tomar los coeficientes de las variables.
• Cómo resolver un sistema de dos ecuaciones usando la regla de Cramer
1. Evaluar el determinante D, utilizando los coeficientes de las variables.
2. Evaluar el determinante $$D_x$$. Utilice las constantes en lugar de los coeficientes x .
3. Evaluar el determinante $$D_y$$. Utilice las constantes en lugar de los coeficientes y.
4. Encuentra x e y . $$x=\frac{D_x}{D}$$, $$y=\frac{D_y}{D}$$.
5. Escriba la solución como un par ordenado.
6. Verifique que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
7. Sistemas Dependientes e Inconsistentes de Ecuaciones: Para cualquier sistema de ecuaciones, donde el valor del determinante $$D=0$$,$\begin{array} {lll} \textbf{Value of determinants} &\textbf{Type of system} &\textbf{Solution} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are all zero}} &\text{consistent and dependent} &\text{infinitely many solutions} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are not all zero}} &\text{inconsistent} &\text{no solution} \end{array} \nonumber$
8. Prueba de puntos colineales: Tres puntos $$(x_1,y_1)$$, $$(x_2,y_2)$$, y $$(x_3,y_3)$$ son colineales si y solo si

$\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|=0\nonumber$

determinante