5.3: Propiedades de los exponentes y notación científica
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Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Simplificar expresiones usando las propiedades de los exponentes
- Utilizar la definición de exponente negativo
- Usar notación científica
Simplificar expresiones usando las propiedades de los exponentes
Recuerda que un exponente indica multiplicación repetida de la misma cantidad. Por ejemplo, en la expresión \(a^m\), el exponente nos\(m\) dice cuántas veces usamos la base \(a\) como factor.
\[a^{m}= \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\color{cyan}{\text{m factors}}} \nonumber\]
Por ejemplo
\[(-9)^{5}= \underbrace{ (-9)\cdot (-9)\cdot (-9)\cdot (-9) \cdot (-9)}_{\color{cyan}{\text{5 factors}}} \nonumber\]
Revisemos el vocabulario para expresiones con exponentes.
Esto se lee \(a\) al \(m^{th}\) poder.
En la expresión \(a^m\), el exponente nos\(m\) dice cuántas veces usamos la base \(a\) como factor.
Cuando combinamos términos similares sumando y restando, necesitamos tener la misma base con el mismo exponente. Pero cuando se multiplica y divide, los exponentes pueden ser diferentes, y a veces las bases pueden ser diferentes, también.
En primer lugar, veremos un ejemplo que conduce a la Propiedad del Producto.
|
\(x^{2} \cdot x^{3}\) |
||
| ¿Qué significa esto? |
\(\underbrace{x \cdot x}_{2 factors} \color{cyan}{\cdot} \underbrace{\color{black}{} x\cdot x \cdot x}_{3 factors}\) |
|
| \(x^{5}\) |
Note que 5 es la suma de los exponentes, 2 y 3. Vemos \(x_2 \cdot x_3\) es \(x^{2+3}\) o \(x^5\).
La base se mantuvo igual y sumamos los exponentes. Esto lleva a la Propiedad del Producto para Exponentes.
Si a es un número real \(m\) y y \(n\) son enteros, entonces
\[a^m·a^n=a^{m+n} \nonumber\]
Para multiplicar con bases similares, sume los exponentes.
Simplifique cada expresión:
- \(y^5·y^6\)
- \(2^x·2^{3x}\)
- \(2a^7·3a\).
- Contestar
-
ⓐ
Utilizar la Propiedad del Producto, \(a^m·a^n=a^{m+n}\). Simplificar. ⓑ
Utilizar la Propiedad del Producto, \(a^m·a^n=a^{m+n}\). Simplificar. ⓒ
Reescribir, \(a=a^1\). Utilizar la Propiedad Conmutativa y
utilizar la Propiedad del Producto, \(a^m·a^n=a^{m+n}\).Simplificar. ⓓ
Suman los exponentes, ya que las bases son las mismas. Simplificar.
Simplifique cada expresión:
- \(b^9·b^8\)
- \(4^{2x}·4^x\)
- \(3p^5·4p\)
- \(x^6·x^4·x^8\).
- Contestar
-
ⓐ \(b^{17}\) ⓑ \(4^{3x}\) ⓒ \(12p^6\)
ⓓ \(x^{18}\)
Simplifique cada expresión:
- \(x^{12}·x4\)
- \(10·10^x\)
- \(2z·6z^7\)
- \(b^5·b^9·b^5\).
- Contesta a
-
\(x^{16}\)
- Respuesta b
-
\(10^{x+1}\)
- Respuesta c
-
\(12z^8\)
- Respuesta d
-
\(b^{19}\)
Ahora veremos un inmueble exponente para división. Como antes, trataremos de descubrir una propiedad mirando algunos ejemplos.
| Considera | \(\dfrac{x^5}{x^2}\) | y | \(\dfrac{x^2}{x^3}\) |
| ¿A qué se refieren? | \(\dfrac{x·x·x·x·x}{x·x}\) | \(\dfrac{x·x}{x·x·x}\) | |
| Utilice la Propiedad Fracciones Equivalentes. | \(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·x·x·x}{\cancel{x}·\cancel{x}}\) | \(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·1}{\cancel{x}·\cancel{x}·x}\) | |
| Simplificar. | \(x^3\) |
\(\dfrac{1}{x}\) |
Noten, en cada caso las bases eran las mismas y restamos exponentes. Vemos \(\dfrac{x^5}{x^2}\) es \(x^{5−2}\) o \(x^3\). Vemos \(\dfrac{x^2}{x^3}\) es o \(\dfrac{1}{x}\). Cuando el exponente mayor estaba en el numerador, nos quedamos con factores en el numerador. Cuando el exponente mayor estaba en el denominador, nos quedamos con factores en el denominador—observe el numerador de 1. Cuando se hayan eliminado todos los factores en el numerador, recuerda que esto realmente está dividiendo los factores a uno, por lo que necesitamos un 1 en el numerador. \(\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=1\). Esto lleva a la Propiedad Cociente para Exponentes.
Si \(a\) es un número real \(a \neq 0\),, \(m\) y y \(n\) son enteros, entonces
\[ \begin{array} {lllll} {\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},} &{m>n} &{\text{and}} &{\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}},} &{n>m} \\ \nonumber \end{array} \]
Simplifique cada expresión:
- \(\dfrac{x^9}{x^7}\)
- \(\dfrac{3^{10}}{3^2}\)
- \(\dfrac{b^8}{b^{12}}\)
- \(\dfrac{7^3}{7^5}\).
- Contestar
-
Para simplificar una expresión con un cociente, primero necesitamos comparar los exponentes en el numerador y el denominador.
ⓐ
Ya que \(9>7\), hay más factores de \(x\) en el numerador. Utilizar Propiedad Cociente, \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\). Simplificar. ⓑ
Ya que \(10>2\), hay más factores de \(3\) en el numerador. Utilizar Propiedad de Cociente, \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\). Simplificar. Observe que cuando el exponente mayor está en el numerador, nos quedamos con factores en el numerador.
ⓒ
Ya que \(12>8\), hay más factores de bb en el denominador. Utilizar Propiedad de Cociente, \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\). Simplificar. ⓓ
Ya que \(5>3\), hay más factores de \(3\) en el denominador. Utilizar Propiedad de Cociente, \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\). Simplificar. Simplificar.
Note que cuando el exponente mayor está en el denominador, nos quedamos con factores en el denominador.
Simplifique cada expresión:
- \(\dfrac{x^{15}}{x^{10}}\)
- \(\dfrac{6^{14}}{6^5}\)
- \(\dfrac{x^{18}}{x^{22}}\)
- \(\dfrac{12^{15}}{12^{30}}\).
- Contestar
-
ⓐ \(x^5\)
ⓑ \(6^9\)
ⓒ \(\dfrac{1}{x^4}\)
ⓓ \(\dfrac{1}{12^{15}}\)
Simplifique cada expresión:
- \(\dfrac{y^{43}}{y^{37}}\)
- \(\dfrac{10^{15}}{10^{7}}\)
- \(\dfrac{m^7}{m^{15}}\)
- \(\dfrac{9^8}{9^{19}}\).
- Contestar
-
ⓐ \(y_6\)
ⓑ \(108\)
ⓒ \(1m8\)
ⓓ \(\dfrac{1}{9^{11}}\)
Un caso especial de la Propiedad Cociente es cuando los exponentes del numerador y denominador son iguales, como una expresión like \(\dfrac{a^m}{a^m}\). Sabemos, \(\dfrac{x}{x}=1\), para cualquiera \(x(x\neq 0)\) ya que cualquier número dividido por sí mismo es 1.
La Propiedad Cociente para Exponentes nos muestra cómo simplificar \(\dfrac{a^m}{a^m}\). cuándo \(m>n\) y cuándo n<mn<m restando exponentes. ¿Y si \(m=n\)? Simplificaremos \(\dfrac{a^m}{a^m}\) de dos maneras para llevarnos a la definición de la Propiedad Cero Exponente. En general, para \(a \neq 0\):
Vemos \(\dfrac{a^m}{a^m}\) simplifica a \(a^0\) y a 1. Por lo que \(a^0=1\). Cualquier base distinta de cero elevada a la potencia de cero es igual \(1\).
Si \(a\) es un número distinto de cero, entonces \(a^0=1\).
Si \(a\) es un número distinto de cero, entonces \(a\) a la potencia de cero es igual \(1\).
Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es \(1\).
En este texto, asumimos que cualquier variable que elevamos a la potencia cero no es cero.
Simplifica cada expresión: ⓐ \(9^0\) ⓑ \(n^0\).
- Contestar
-
La definición dice que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es \(1\).
ⓐ Utilice la definición del exponente cero. \(9^0 = 1\)
ⓑ Utilice la definición del exponente cero. \(n^0 = 1\)
Para simplificar la expresión \(n\) elevada a la potencia cero solo usamos la definición del exponente cero. El resultado es \(1\).
Simplifica cada expresión: ⓐ \(11^0\) ⓑ \(q^0\).
- Contestar
-
ⓐ 1
ⓑ 1
Simplifica cada expresión: ⓐ \(23^0\) ⓑ \(r^0\).
- Contestar
-
ⓐ 1
ⓑ 1
Utilizar la definición de un exponente negativo
Vimos que la Propiedad Cociente para Exponentes tiene dos formas dependiendo de si el exponente es mayor en el numerador o en el denominador. ¿Y si simplemente restamos exponentes sin importar cuál sea mayor?
Consideremos \(\dfrac{x^2}{x^5}\). Restamos el exponente en el denominador del exponente en el numerador. Vemos \(\dfrac{x^2}{x^5}\) es \(x^{2−5}\) o \(x^{−3}\).
También podemos simplificar \(\dfrac{x^2}{x^5}\) dividiendo factores comunes:
Esto implica eso \(x^{−3}=\dfrac{1}{x^3}\) y nos lleva a la definición de un exponente negativo. Si n es un entero y \(a\neq 0\), entonces \(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\).
Veamos ahora qué le sucede a una fracción cuyo numerador es uno y cuyo denominador es un entero elevado a un exponente negativo.
\( \begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{a^{-n}}} \\ {} &{} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}= \dfrac{1}{a^n}} &{\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^n}}} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify the complex fraction.}} &{1·\dfrac{a^n}{1}} \\ {} &{} \\ {\text{Multiply.}} &{a^n} \\ \end{array} \)
Esto implica \(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\) y es otra forma de la definición de Propiedades de los Exponentes Negativos.
Si \(n\) es un entero y \(a\neq 0\), entonces \(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) o \(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\).
El exponente negativo nos dice que podemos reescribir la expresión tomando el recíproco de la base y luego cambiando el signo del exponente.
Cualquier expresión que tenga exponentes negativos no se considera en la forma más simple. Utilizaremos la definición de exponente negativo y otras propiedades de exponentes para escribir la expresión con solo exponentes positivos.
Por ejemplo, si después de simplificar una expresión terminamos con la expresión \(x^{−3}\), daremos un paso más y escribiremos \(\dfrac{1}{x^3}\). Se considera que la respuesta está en forma más simple cuando sólo tiene exponentes positivos.
Simplifica cada expresión: ⓐ \(x^{−5}\) ⓑ \(10^{−3}\) ⓒ \(\dfrac{1}{y^{−4}}\) ⓓ \(13^{−2}\).
- Contestar
-
ⓐ
\(\begin{array} {ll} {} &{x^{−5}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{x^5}} \\ \end{array}\)
ⓑ
\(\begin{array} {ll} {} &{10^{-3}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, }a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{10^3}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{1000}} \\ \end{array}\)
ⓒ
\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{y^{-4}}} \\ {\text{Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{−n}}=a^n.} &{y^4} \\ \end{array}\)
ⓓ
\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{1}{3^{-2}}} \\ {\text{Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{−n}}=a^n.} &{3^2} \\ {\text{Simplify.}} &{9} \\ \end{array}\)
Simplifica cada expresión: ⓐ \(z^{−3}\) ⓑ \(10^{−7}\) ⓒ \(\dfrac{1}{p^{−8}}\) ⓓ \(\dfrac{1}{4^{−3}}\).
- Contestar
-
ⓐ \(\dfrac{1}{z^3}\) ⓑ \(\dfrac{1}{10^7}\) ⓒ \(p^8\) ⓓ \(64\)
Simplifica cada expresión: ⓐ \(n^{−2}\) ⓑ \(10^{−4}\) ⓒ \(\dfrac{1}{q^{−7}}\) ⓓ \(\dfrac{1}{2^{−4}}\).
- Contestar
-
ⓐ \(\dfrac{1}{n^2}\) ⓑ \(\dfrac{1}{10,000}\) ⓒ \(q^7\)
ⓓ \(16\)
Supongamos que ahora tenemos una fracción elevada a un exponente negativo. Usemos nuestra definición de exponentes negativos para llevarnos a una nueva propiedad.
\(\begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{-2}} \\ {} &{} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent, } a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{2}}} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify the denominator.}} &{\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}}} \\{} &{} \\ {\text{Simplify the complex fraction.}} &{\dfrac{16}{9}} \\ {} &{} \\ {\text{But we know that }\dfrac{16}{9}\text{ is } \left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}.} &{} \\ {\text{This tells us that}} &{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{-2} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}} \\ \end{array} \)
Para pasar de la fracción original elevada a un exponente negativo al resultado final, tomamos el recíproco de la base —el fraccionamiento— y cambiamos el signo del exponente.
Esto nos lleva al Cociente a una Propiedad de Poder Negativo .
Si \(a\) y \(b\) son números reales, \(a\neq 0\), \(b\neq 0\) y \(n\) es un entero, entonces
\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n \nonumber \].
Simplifica cada expresión: ⓐ \(\left( \dfrac{5}{7} \right)^{−2}\) ⓑ \(\left( −\dfrac{x}{y} \right)^{−3}\).
- Contestar
-
ⓐ
\(\begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{5}{7}\right)^{-2}} \\ {\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property, } \left(\dfrac{a}{b} \right)^{−n}= \left( \dfrac{b}{a} \right)^n.} &{} \\ {\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}} &{\left( \dfrac{7}{5}\right)^2} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{49}{25}} \\ \end{array} \)
ⓑ
\(\begin{array} {ll} {} &{\left( -\dfrac{x}{y}\right)^{-3}} \\ {\text{Use the Quotient to a Negative Exponent Property, } \left(\dfrac{a}{b} \right)^{−n}= \left( \dfrac{b}{a} \right)^n.} &{} \\ {\text{Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent.}} &{\left( -\dfrac{y}{x}\right)^3} \\ {\text{Simplify.}} &{-\dfrac{y^3}{x^3}} \\ \end{array} \)
Simplifica cada expresión: ⓐ \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{−4}\) ⓑ \(\left(−\dfrac{m}{n}\right)^{−2}\).
- Contestar
-
ⓐ \(\dfrac{81}{16}\) ⓑ \(\dfrac{n^2}{m^2}\)
Simplifica cada expresión: ⓐ \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{−3}\) ⓑ \(\left(−\dfrac{a}{b}\right)^{−4}\).
- Contestar
-
ⓐ \(\dfrac{125}{27}\) ⓑ \(\dfrac{b^4}{a^4}\)
Ahora que tenemos exponentes negativos, utilizaremos la Propiedad del Producto con expresiones que tengan exponentes negativos.
Simplifica cada expresión: ⓐ \(z^{−5}·z^{−3}\) ⓑ \((m^4n^{−3})(m^{−5}n^{−2})\) ⓒ \((2x^{−6}y^8)(−5x^5y^{−3})\).
- Contestar
-
ⓐ
\(\begin{array} {ll} {} &{z^{−5}·z^{−3}} \\ {\text{Add the exponents, since the bases are the same.}} &{z^{−5−3}} \\ {\text{Simplify.}} &{z^{−8}} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent.}} &{\dfrac{1}{z^8}} \\ \end{array} \)
ⓑ
\(\begin{array} {ll} {} &{(m^4n^{−3})(m^{−5}n^{−2})} \\ {\text{Use the Commutative Property to get like}} &{} \\ {\text{bases together.}} &{m^4m^{−5}·n^{−2}n^{−3}} \\ {\text{Add the exponents for each base.}} &{m^{−1}·n^{−5}} \\ {\text{Take reciprocals and change the signs of the exponents.}} &{\dfrac{1}{m^1}·\dfrac{1}{n^5}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{mn^5}} \\ \end{array} \)
ⓒ
\(\begin{array} {ll} {} &{(2x^{−6}y^8)(−5x^5y^{−3})} \\ {\text{Rewrite with the like bases together.}} &{2(−5)·(x^{−6}x^5)·(y^8y^{−3})} \\ {\text{Multiply the coefficients and add the exponents}} &{} \\ {\text{of each variable.}} &{−10·x^{−1}·y5} \\ {\text{Use the definition of a negative exponent,} a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{−10·\dfrac{1}{x}·y^5} \\ {\text{Simplify.}} &{−10y^5x} \\ \end{array} \)
Simplifique cada expresión:
ⓐ \(z^{−4}·z^{−5}\) ⓑ \((p^6q^{−2})(p^{−9}q^{−1})\) ⓒ \((3u^{−5}v^7)(−4u^4v^{−2})\).
- Contestar
-
ⓐ \(\dfrac{1}{z^9}\) ⓑ \(\dfrac{1}{p^3q^3}\) ⓒ \(−\dfrac{12v^5}{u}\)
Simplifique cada expresión:
ⓐ \(c^{−8}·c^{−7}\) ⓑ \((r^5s^{−3})(r^{−7}s^{−5})\) ⓒ \((−6c^{−6}d^4)(−5c^{−2}d^{−1})\).
- Contestar
-
ⓐ \(\dfrac{1}{c^15}\) ⓑ \(\dfrac{1}{r^2s^8}\) ⓒ \(\dfrac{30d^3}{c^8}\)
Ahora veamos una expresión exponencial que contiene un poder elevado a un poder. A ver si puedes descubrir una propiedad general.
\(\begin{array} {ll} {} &{(x^2)^3} \\ {\text{What does this mean?}} &{x^2·x^2·x^2} \\ \end{array} \)
| ¿Cuántos factores en conjunto? | |
| Por lo que tenemos |
Observe que el 6 es el producto de los exponentes, 2 y 3. Vemos que \((x^2)^3\) es \(x^{2·3}\) o \(x^6\).
Hemos multiplicado los exponentes. Esto conduce a la Propiedad de Poder para Exponentes.
Si \(a\) es un número real \(m\) y y \(n\) son enteros, entonces
\[(a^m)^n=a^{m·n} \nonumber \]
Para elevar un poder a un poder, multiplique los exponentes.
Simplifica cada expresión: ⓐ \((y^5)^9\) ⓑ \((4^4)^7\) ⓒ \((y^3)^6(y^5)^4\).
- Contestar
-
ⓐ
Utilice la Propiedad de Energía, \((a^m)^n=a^{m·n}\). Simplificar. ⓑ
Utilice la Propiedad de Energía. Simplificar. ⓒ
\(\begin{array} {ll} {} &{(y^3)^6(y^5)^4} \\ {\text{Use the Power Property.}} &{y^{18}·y^{20}} \\ {\text{Add the exponents.}} &{y^{38}} \\ \end{array} \)
Simplifica cada expresión: ⓐ \((b^7)^5\) ⓑ \((5^4)^3\) ⓒ \((a^4)^5(a^7)^4\).
- Contestar
-
ⓐ \(b^{35}\) ⓑ \(5^{12}\) ⓒ \(a^{48}\)
Simplifica cada expresión: ⓐ \((z^6)^9\) ⓑ \((3^7)^7\) ⓒ \((q^4)^5(q^3)^3\).
- Contestar
-
ⓐ \(z^{54}\) ⓑ \(3^{49}\) ⓒ \(q^{29}\)
Ahora veremos una expresión que contiene un producto que se eleva a una potencia. ¿Puedes encontrar este patrón?
\(\begin{array} {ll} {} &{(2x)^3} \\ {\text{What does this mean?}} &{2x·2x·2x} \\ {\text{We group the like factors together.}} &{2·2·2·x·x·x} \\ {\text{How many factors of 2 and of }}x &{2^3·x^3} \\ \end{array} \)
Note que cada factor fue elevado al poder y \((2x)^3\) es \(2^3·x^3\).
¡El exponente aplica a cada uno de los factores! Esto lleva al Producto a una Propiedad de Potencia para Exponentes .
Si \(a\) y \(b\) son números reales y \(m\) es un número entero, entonces
\[(ab)^m=a^mb^m \nonumber \]
Para elevar un producto a una potencia, suba cada factor a esa potencia.
Simplifica cada expresión: ⓐ \((−3mn)^3\) ⓑ \((−4a^2b)^0\) ⓒ \((6k^3)^{−2}\) ⓓ \((5x^{−3})^2\).
- Responder
-
ⓐ
Poder de uso de una propiedad de producto, \((ab)^m=a^mb^m\). Simplificar. ⓑ
\(\begin{array} {ll} {} &{(−4a^2b)^0} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(−4)^0(a^2)^0(b)^0} \\ {\text{Simplify.}} &{1·1·1} \\ {\text{Multiply.}} &{1} \\ \end{array} \)
ⓒ
\(\begin{array} {ll} {} &{(6k^3)^{−2}} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(6)^{−2}(k^3)^{−2}} \\ {\text{Use the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{6^{−2}k^{−6}} \\ {\text{Use the Definition of a negative exponent, }a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}.} &{\dfrac{1}{6^2}·\dfrac{1}{k^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{1}{36k^6}} \\ \end{array} \)
ⓓ
\(\begin{array} {ll} {} &{(5x^{−3})^2} \\ {\text{Use Power of a Product Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{5^2(x^{−3})^2} \\ {\text{Simplify.}} &{25·x^{−6}} \\ {\text{Rewrite }x−6 \text{using, }a^{−n}=\text{1}{a^n}.} &{25·\dfrac{1}{x^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{25}{x^6}} \\ \end{array} \)
Simplifica cada expresión: ⓐ \((2wx)^5\) ⓑ \((−11pq3)^0\) ⓒ \((2b^3)^{−4}\) ⓓ \((8a^{−4})^2\).
- Responder
-
ⓐ \(32w^5x^5\) ⓑ 1 ⓒ \(\dfrac{1}{16b^{12}}\)
ⓓ \(\dfrac{64}{a^8}\)
Simplifica cada expresión: ⓐ \((−3y)^3\) ⓑ \((−8m^2n^3)^0\) ⓒ \((−4x^4)^{−2}\) ⓓ \((2c^{−4})^3\).
- Responder
-
ⓐ \(−27y^3\) ⓑ 1 ⓒ \(\dfrac{1}{16x^8}\)
ⓓ \(8c^{12}\)
Ahora veremos un ejemplo que nos llevará al Cociente a una Propiedad de Poder.
\( \begin{array} {ll} {} &{\left( \dfrac{x}{y}\right)^3} \\ {\text{This means}} &{\dfrac{x}{y}·\dfrac{x}{y}·\dfrac{x}{y}} \\ {\text{Multiply the fractions.}} &{\dfrac{x·x·x}{y·y·y}} \\ {\text{Write with exponents.}} &{\dfrac{x^3}{y^3}} \\ \end{array} \)
Observe que el exponente se aplica tanto al numerador como al denominador.
Vemos que \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^3\) es \(\dfrac{x^3}{y^3}\).
Esto lleva al Cociente a una Propiedad de Poder para Exponentes .
Si \(a\) y \(b\) son números reales, \(b\neq 0\), y \(m\) es un entero, entonces
\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m} \nonumber \]
Para elevar una fracción a una potencia, eleve el numerador y el denominador a esa potencia.
Simplifique cada expresión:
ⓐ \(\left(\dfrac{b}{3}\right)^4\) ⓑ \(\left(\dfrac{k}{j}\right)^{−3}\) ⓒ \(\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3\) ⓓ \(\left(\dfrac{4p^{−3}}{q^2}\right)^2\).
- Responder
-
ⓐ
Usar Cociente a una Propiedad de Poder, \((ab)^m=a^mb^m\). Simplificar. ⓑ
Elevar el numerador y el denominador a la potencia. Utilizar la definición de exponente negativo. Multiplicar. ⓒ
\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{2xy^2}{z}\right)^3} \\ {\text{Use Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(2xy^2)^3}{z^3}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{8x^3y^6}{z^3}} \\ \end{array} \)
ⓓ
\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{4p^{−3}}{q^2}\right)^2} \\ {\text{Use Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(4p^{−3})^2}{(q^2)^2}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{4^2(p^{−3})^2}{(q^2)^2}} \\ {\text{Simplify using the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{\dfrac{16p^{−6}}{q^4}} \\ {\text{Use the definition of negative exponent.}} &{\dfrac{16}{q^4}·\dfrac{1}{p^6}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{16}{p^6q^4}} \\ \end{array} \)
Simplifique cada expresión:
ⓐ \(\left(\dfrac{p}{10}\right)^4\) ⓑ \(\left(\dfrac{m}{n}\right)^{−7}\) ⓒ\(\left(\dfrac{3ab^3}{c^2}\right)^4\) ⓓ \(\left(\dfrac{3x^{−2}}{y^3}\right)^3\).
- Responder
-
ⓐ \(\dfrac{p^4}{10000}\) ⓑ \(\dfrac{n^7}{m^7}\)
ⓒ \(\dfrac{81a^4b^{12}}{c^8}\) ⓓ \(\dfrac{27}{x^6y^9}\)
Simplifique cada expresión:
ⓐ \(\left(\dfrac{−2}{q}\right)^3\) ⓑ \(\left(\dfrac{w}{x}\right)^{−4}\) ⓒ \(\left(\dfrac{xy^3}{3z^2}\right)^2\) ⓓ \(\left(\dfrac{2m^{−2}}{n^{−2}}\right)^3\).
- Responder
-
ⓐ \(\dfrac{−8}{q^3}\) ⓑ \(\dfrac{x^4}{w^4}\) ⓒ \(\dfrac{x^2y^6}{9z^4}\)
ⓓ \( \dfrac{8n^6}{m^6}\)
Ahora tenemos varias propiedades para exponentes. Vamos a resumirlos y luego haremos algunos ejemplos más que usan más de una de las propiedades.
Si \(a\) y \(b\) son números reales, \(m\) y y \(n\) son enteros, entonces
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Propiedad del producto | \(a^m·a^n=a^{m+n}\) |
| Propiedad de energía | \((a^m)^n=a^{m·n}\) |
| Producto a una potencia | \((ab)^n=a^nb^n\) |
| Propiedad de cociente | \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},a\neq 0\) |
| Propiedad Cero Exponente | \(a^0=1,a \neq 0\) |
| Cociente a una propiedad de poder | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m},b \neq 0 \) |
| Propiedades de los exponentes negativos | \(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) y \(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\) |
| Cociente a un exponente negativo | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\) |
Simplifique cada expresión aplicando varias propiedades:
ⓐ \((3x^2y)^4(2xy^2)^3\) ⓑ \(\dfrac{(x^3)^4(x^{−2})^5}{(x^6)^5}\) ⓒ \(\left(\dfrac{2xy^2}{x^3y^{−2}}\right)^2 \left(\dfrac{12xy^3}{x^3y^{−1}}\right)^{−1}\).
- Responder
-
ⓐ
\(\begin{array} {ll} {} &{(3x^2y)^4(2xy^2)^3} \\ {} &{} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{(3^4x^8y^4)(2^3x^3y^6)} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{(81x^8y^4)(8x^3y^6)} \\ {} &{} \\ {\text{Use the Commutative Property.}} &{81·8·x^8·x^3·y^4·y^6} \\ {} &{} \\ {\text{Multiply the constants and add the exponents.}} &{648x^{11}y^{10}} \\ \end{array} \)
ⓑ
\( \begin{array} {ll} {} &{\dfrac{(x^3)^4(x^{−2})^5}{(x^6)^5}} \\ {\text{Use the Power Property, }(a^m)^n=a^{m·n}.} &{(x^{12})(x^{−10})(x^{30})} \\ {\text{Add the exponents in the numerator.}} &{\dfrac{x^2}{x^{30}}} \\ {\text{Use the Quotient Property, }\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}}.} &{\dfrac{1}{x^{28}}} \\ \end{array} \)
ⓒ
\( \begin{array} {ll} {} &{\left(\dfrac{2xy^2}{x^3y^{−2}}\right)^2 \left(\dfrac{12xy^3}{x^3y^{−1}}\right)^{−1}} \\ {\text{Simplify inside the parentheses first.}} &{\left(\dfrac{2y^4}{x^2}\right)^2\left(\dfrac{12y^4}{x^2}\right)^{−1}} \\ {\text{Use the Quotient to a Power Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}.} &{\dfrac{(2y^4)^2}{(x^2)^2}\dfrac{(12y^4)^{−1}}{(x^2)^{−1}}} \\ {\text{Use the Product to a Power Property, }(ab)^m=a^mb^m.} &{\dfrac{4y^8}{x^4}·\dfrac{12^{−1}y^{−4}}{x^{−2}}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{4y^4}{12x^2}} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{y^4}{3x^2}} \\ \end{array} \)
Simplifique cada expresión:
ⓐ \((c^4d^2)^5(3cd^5)^4\) ⓑ \(\dfrac{(a^{−2})^3(a^2)^4}{(a^4)^5}\) ⓒ \(\left(\dfrac{3xy^2}{x^2y^{−3}}\right)^2\)
- Responder
-
ⓐ \(81c^{24}d^{30}\) ⓑ \(\dfrac{1}{a^{18}}\)
ⓒ \(\dfrac{9y^{10}}{x^2}\)
Simplifique cada expresión:
ⓐ \((a^3b^2)^6(4ab^3)^4\) ⓑ \(\dfrac{(p^{−3})^4(p^5)^3}{(p^7)^6}\) ⓒ \(\left(\dfrac{4x^3y^2}{x^2y^{−1}}\right)^2\left(\dfrac{8xy^{−3}}{x^2y}\right)^{−1}\).
- Responder
-
ⓐ \(256a^{22}b^{24}\) ⓑ \(\dfrac{1}{p^{39}}\)
ⓒ \(2x^3y^{10}\)
Usar notación científica
Trabajar con números muy grandes o muy pequeños puede ser incómodo. Dado que nuestro sistema numérico es base diez podemos usar poderes de diez para reescribir números muy grandes o muy pequeños para que sea más fácil trabajar con ellos. Considera los números 4,000 y 0.004.
Usando el valor posicional, podemos reescribir los números 4,000 y 0.004. Sabemos que 4,000 medios \(4\times1,000\) y 0.004 medios \(4\times\dfrac{1}{1,000}\).
Si escribimos el 1,000 como una potencia de diez en forma exponencial, podemos reescribir estos números de esta manera:
| 4,000 | \(4\times1,000\) | \(4\times103\) | |
| 0.004 | \(4\times\dfrac{1}{1,000}\) | \(4\times\dfrac{1}{103}\) | \(4\times10^{−3}\) |
Cuando un número se escribe como producto de dos números, donde el primer factor es un número mayor o igual a uno pero menor a diez, y el segundo factor es una potencia de 10 escrita en forma exponencial, se dice que está en notación científica.
Un número se expresa en notación científica cuando es de la forma
\[\begin{array} {llllllllllll} {a} &{\times} &{10^n} &{\text{where}} &{1} &{\leq} &{a} &{<} &{10} &{\text{and}} &{n} &{\text{is an integer.}} \\ \nonumber \end{array}\]
Es costumbre en la notación científica usar como signo de \(\times\) multiplicación, aunque evitamos usar este signo en otro lugar del álgebra.
Si nos fijamos en lo que pasó con el punto decimal, podemos ver un método para convertir fácilmente de la notación decimal a la notación científica.
En ambos casos, el decimal se movió 3 lugares para obtener el primer factor entre 1 y 10.
La potencia de 10 es positiva cuando el número es mayor que \(1: 4,000=4\times10^3\)
La potencia de 10 es negativa cuando el número está entre 0 y 1: \(0.004=4\times10^{−3}\)
- Mueva el punto decimal para que el primer factor sea mayor o igual a 1 pero menor que 10.
- Contar el número de decimales, \(n\), que se movió el punto decimal.
- Escriba el número como un producto con una potencia de 10. Si el número original es.
- mayor que 1, la potencia de 10 será \(10^n\).
- entre 0 y 1, la potencia de 10 será \(10^{−n}\).
- Chequear.
Escribir en notación científica: ⓐ \(37,000\) ⓑ \(0.0052\).
- Responder
-
ⓐ
El número original, 37,000, es mayor que 1
por lo que tendremos una potencia positiva de 10.37,000 Mueva el punto decimal para obtener 3.7, un número
entre 1 y 10.Contar el número de decimales en que se
movió el punto.Escribir como un producto con una potencia de 10. \(\begin{array} {ll} {} &{3.7\times 10^4 } \\ {\text{Check:}} &{3.7 \times 10,000 } \\ {} &{37,000} \\ \end{array} \)
ⓑ
El número original, 0.0052, está entre 0
y 1 por lo que tendremos una potencia negativa de 10.0.0052 Mueva el punto decimal para obtener 5.2, un número
entre 1 y 10.Contar el número de decimales en que se
movió el punto.Escribir como un producto con una potencia de 10. \(\begin{array} {ll} {\text{Check:}} &{5.2\times10^{−3}} \\ {} &{5.2\times\dfrac{1}{10^3}} \\ {} &{5.2\times\dfrac{1}{1000}} \\ {} &{5.2\times 0.001} \\ {} &{0.0052} \\ \end{array} \)
Escribir en notación científica: ⓐ 96,000 ⓑ 0.0078.
- Responder
-
ⓐ \(9.6\times 10^4\) ⓑ \(7.8\times 10^{−3}\)
Escribir en notación científica: ⓐ 48,300 ⓑ 0.0129.
- Responder
-
ⓐ \(4.83\times10^4\)
ⓑ \(1.29\times10^{−2}\)
¿Cómo podemos convertir de la notación científica a la forma decimal? Echemos un vistazo a dos números escritos en notación científica y veamos.
\[\begin{array} {lll} {9.12\times10^4} &{} &{9.12\times10^{−4}} \\ {9.12\times10,000} &{} &{9.12\times0.0001} \\ {91,200} &{} &{0.000912} \\ \nonumber \end{array} \]
Si miramos la ubicación del punto decimal, podemos ver un método fácil para convertir un número de la notación científica a la forma decimal.
En ambos casos el punto decimal se movió 4 lugares. Cuando el exponente fue positivo, el decimal se movió hacia la derecha. Cuando el exponente fue negativo, el punto decimal se movió hacia la izquierda.
- Determinar el exponente, \(n\), sobre el factor 10.
- Mueva los \(n\) decimales, agregando ceros si es necesario.
- Si el exponente es positivo, mueva los puntos \(n\) decimales hacia la derecha.
- Si el exponente es negativo, mueva los puntos \(|n|\) decimales hacia la izquierda.
- Chequear.
Convertir a forma decimal: ⓐ \(6.2\times10^3\) ⓑ \(−8.9\times 10^{−2}\).
- Responder
-
ⓐ
Determinar el exponente, \(n\), sobre el factor 10. El exponente es 3. Dado que el exponente es positivo, mueva el punto
decimal 3 lugares a la derecha.Agregue ceros según sea necesario para los marcadores de posición. ⓑ
Determinar el exponente, \(n\), sobre el factor 10. El exponente es −2.−2. Dado que el exponente es negativo, mueva el punto
decimal 2 lugares a la izquierda.Agregue ceros según sea necesario para los marcadores de posición.
Convertir a forma decimal: ⓐ \(1.3\times 10^3\) ⓑ \(−1.2\times 10^{−4}\).
- Responder
-
ⓐ 1,300 ⓑ \(−0.00012\)
Convertir a forma decimal: ⓐ \(−9.5\times 10^4\) ⓑ \(7.5\times 10^{−2}\).
- Responder
-
ⓐ \(−950,000\) ⓑ 0.075
Cuando los científicos realizan cálculos con números muy grandes o muy pequeños, utilizan notación científica. La notación científica proporciona una forma para que los cálculos se hagan sin escribir muchos ceros. Veremos cómo se utilizan las Propiedades de los Exponentes para multiplicar y dividir números en notación científica.
Multiplica o divide como se indica. Escribe respuestas en forma decimal: ⓐ \((−4\times10^5)(2\times10^{−7})\) ⓑ \(\dfrac{9\times10^3}{3\times10^{−2}}\).
- Responder
-
ⓐ
\(\begin{array} {ll} {} &{(−4\times10^5)(2\times10^{−7})} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the factors.}} &{−4·2·10^5·10^{−7}} \\ {\text{Multiply.}} &{−8\times10^{−2}} \\ {} &{} \\ {\text{Change to decimal form by moving the decimal two}} &{} \\ {\text{places left.}} &{−0.08} \\ \end{array}\)
ⓑ
\(\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{9\times10^3}{9\times10^{−2}}} \\ {\text{Separate the factors, rewriting as the product of two}} &{} \\ {\text{fractions.}} &{\dfrac{9}{3}\times\dfrac{10^3}{10^{−2}}} \\ {\text{Divide.}} &{3\times10^5} \\ {\text{Change to decimal form by moving the decimal five}} &{} \\ {\text{places right.}} &{300,000} \\ \end{array}\)
Multiplica o divide como se indica. Escribe respuestas en forma decimal:
ⓐ \((−3\times10^5)(2\times10^{−8})\) ⓑ \(\dfrac{8\times10^2}{4\times10^{−2}}\).
- Responder
-
ⓐ \(−0.006\) ⓑ 20,000
Multiplica o divide como se indica. Escribe respuestas en forma decimal:
ⓐ \((−3\times10^{−2})(3\times10^{−1})\) ⓑ \(\dfrac{8\times10^4}{2\times10^{−1}}\).
- Responder
-
ⓐ \(−0.009\) ⓑ 400.000
Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con el uso de propiedades de multiplicación de exponentes.
- Propiedades de Exponentes
- Exponentes negativos
- Notación Científica
Conceptos Clave
- Notación exponencial
Esto se lee \(a\) al \(m^{th}\) poder.
En la expresión \(a^m\), el exponente nos \(m\) dice cuántas veces usamos la base \(a\) como factor. - Propiedad del producto para exponentes
Si \(a\) es un número real \(m\) y y \(n\) son enteros, entonces\[a^m·a^n=a^{m+n} \nonumber \]
Para multiplicar con bases similares, sume los exponentes. - Propiedad de cociente para exponentes
Si \(a\) es un número real \(a\neq 0\),, \(m\) y y \(n\) son enteros, entonces\[\begin{array} {lllll} {\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n},} &{m>n} &{\text{and}} &{\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{1}{a^{n−m}},} &{n>m}\\ \nonumber \end{array}\]
- Cero exponente
- Si \(a\) es un número distinto de cero, entonces \(a^0=1\).
- Si \(a\) es un número distinto de cero, entonces \(a\) a la potencia de cero es igual \(1\).
- Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es \(1\).
- Exponente Negativo
- Si \(n\) es un entero y \(a\neq 0\), entonces \(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) o \(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\).
- Cociente a una propiedad exponente negativo
Si \(a\) y \(b\) son números reales, \(a\neq 0\), \(b\neq 0\) y \(n\) es un entero, entonces\[(ab)^{−n}=(ba)^n\nonumber \]
- Propiedad de potencia para exponentes
Si \(a\) es un número real \(m\) y y \(n\) son enteros, entonces\[(a^m)^n=a^{m·n}\nonumber \]
Para elevar un poder a un poder, multiplique los exponentes. - Producto a una propiedad de potencia para exponentes
Si \(a\) y \(b\) son números reales y \(m\) es un número entero, entonces\[(ab)^m=a^mb^m \nonumber \]
Para elevar un producto a una potencia, suba cada factor a esa potencia. - Cociente a una propiedad de potencia para exponentes
Si \(a\) y \(b\) son números reales, \(b\neq0\), y \(m\) es un entero, entonces\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m} \nonumber \]
Para elevar una fracción a una potencia, eleve el numerador y el denominador a esa potencia. - Resumen de Propiedades del exponente
Si \(a\) y \(b\) son números reales, \(m\) y y \(n\) son enteros, entoncesPropiedad Descripción Propiedad del producto \(a^m·a^n=a^{m+n}\) Propiedad de energía \((a^m)^n=a^{m·n}\) Producto a una potencia \((ab)^n=a^nb^n\) Propiedad de cociente \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}, a\neq 0\) Propiedad Cero Exponente \(a^0=1,a\neq 0\) Cociente a una propiedad de poder: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}, b\neq 0\) Propiedades de los exponentes negativos \(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) y \(\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n\) Cociente a un exponente negativo \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\) - Notación Científica
Un número se expresa en notación científica cuando es de la forma\[a\space\times\space10^n \text{ where }1\leq a<10\text{ and } n \text{ is an integer.} \nonumber \]
- Cómo convertir un decimal a notación científica.
- Mueva el punto decimal para que el primer factor sea mayor o igual a 1 pero menor que 10.
- Contar el número de decimales, \(n\), que se movió el punto decimal.
- Escriba el número como un producto con una potencia de 10. Si el número original es.
- mayor que 1, la potencia de 10 será \(10^n\).
- entre 0 y 1, la potencia de 10 será \(10^{−n}\).
- Chequear.
- Cómo convertir la notación científica a forma decimal.
- Determinar el exponente, \(n\), sobre el factor 10.
- Mueva los \(n\) decimales, agregando ceros si es necesario.
- Si el exponente es positivo, mueva los puntos \(n\) decimales hacia la derecha.
- Si el exponente es negativo, mueva los puntos \(|n|\) decimales hacia la izquierda.
- Chequear.
Glosario
- Propiedad del producto
- De acuerdo con la Propiedad del Producto, \(a\) a los \(m\) tiempos \(a\) a los \(a\) iguales \(a\) al \(m\) más \(n\).
- Propiedad de energía
- De acuerdo con la Propiedad de Poder, \(a\) a la \(m\) a los \(n\) iguales \(a\) a los \(m\) tiempos \(n\).
- Producto a una potencia
- De acuerdo con el Producto a una Propiedad de Poder, \(a\) tiempos entre \(b\) paréntesis a los \(m\) iguales \(a\) a los \(m\) tiempos \(b\) a la \(m\).
- Propiedad de cociente
- De acuerdo con la Propiedad Cociente, \(a\) a la \(m\) dividida por \(a\) a los \(n\) iguales \(a\) al \(m\) menos \(n\) siempre y cuando no \(a\) sea cero.
- Propiedad Cero Exponente
- De acuerdo con la Propiedad Cero Exponente, \(a\) al cero es \(1\) siempre y cuando no \(a\) es cero.
- Cociente a una propiedad de poder
- De acuerdo con el Cociente a una Propiedad de Poder, \(a\) dividido por \(b\) entre paréntesis al poder de \(m\) es igual \(a\) a lo \(m\) dividido por \(b\) al \(m\) como siempre y cuando no \(b\) sea cero.
- Propiedades de los Exponentes Negativos
- De acuerdo con las Propiedades de los Exponentes Negativos, \(a\) a lo negativo \(n\) es igual \(1\) dividido por \(a\) al \(n\) y \(1\) dividido por \(a\) al negativo \(n\) es igual \(a\) a la \(n\).
- Cociente a un exponente negativo
- Elevar un cociente a un exponente negativo ocurre cuando se \(a\) divide entre \(b\) paréntesis a la potencia de los \(n\) iguales negativos \(b\) dividido por entre \(a\) paréntesis al poder de \(n\).