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6.4: Productos especiales de factor

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    51720
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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Factor de trinomios cuadrados perfectos
    • Diferencias factoriales de cuadrados
    • Sumas factoriales y diferencias de cubos

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar: \((3x^2)^3\).
    2. Multiplicar: \((m+4)^2\).
    3. Multiplicar: \((x−3)(x+3)\).

    Hemos visto que algunos binomios y trinomios resultan de productos especiales: cuadrar binomios y multiplicar conjugados. Si aprendes a reconocer este tipo de polinomios, puedes usar los patrones de productos especiales para factorizarlos mucho más rápidamente.

    Trinomios cuadrados perfectos del factor

    Algunos trinomios son cuadrados perfectos. Resultan de multiplicar un binomio por sí mismo. Cuadramos un binomio utilizando el patrón Cuadrados Binomiales en un capítulo anterior.

    En paréntesis abiertos 3x más 4 paréntesis cerrar al cuadrado, 3x es a y 4 es b. escribiéndolo como un cuadrado más 2ab más b al cuadrado, obtenemos paréntesis abiertos 3x paréntesis de cierre al cuadrado más 2 veces 3x veces 4 más 4 al cuadrado. Esto es igual a 9 x al cuadrado más 24x más 16.

    El trinomio \(9x^2+24x+16\) se llama trinomio cuadrado perfecto. Es la plaza del binomio \(3x+4\).

    En este capítulo, comenzarás con un trinomio cuadrado perfecto y lo factorizarás en sus factores primos . Se podría factorizar este trinomio utilizando los métodos descritos en el último apartado, ya que es de la forma \(ax^2+bx+c\). Pero si reconoces que el primer y último término son cuadrados y el trinomio encaja con el patrón de trinomios cuadrados perfectos, te ahorrarás mucho trabajo. Aquí está el patrón: el reverso del patrón de cuadrados binomiales.

    PATRINA PERFECTA CUADRADOS

    Si \(a\) y \(b\) son números reales

    \[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\nonumber\]

    \[a^2−2ab+b^2=(a−b)^2\nonumber\]

    Para hacer uso de este patrón, hay que reconocer que un trinomio dado le encaja. Verifique primero para ver si el coeficiente principal es un cuadrado perfecto, \(a^2\). A continuación comprueba que el último término sea un cuadrado perfecto, \(b^2\). Entonces revisa el término medio — es el producto, \(2ab\)? Si todo comprueba, puedes escribir fácilmente los factores.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\): Cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos

    Factor: \(9x^2+12x+4\).

    Contestar

    El paso 1 es comprobar si el trinomio encaja con el patrón de trinomios cuadrados perfectos, un cuadrado más 2ab más b cuadrado. Para ello comprobamos si el primer término es un cuadrado perfecto. 9 x al cuadrado es el cuadrado de 3x. A continuación comprobamos si el último término es un cuadrado perfecto. 4 es el cuadrado de 2. A continuación comprobamos si el término medio es 2ab. 12 x es dos veces 3x veces 2. De ahí que tengamos un trinomio cuadrado perfecto.El paso 2 es escribir esto como el cuadrado de un binomio. Lo escribimos como paréntesis abiertos 3x más 2 paréntesis de cierre al cuadrado.El paso 3 es comprobar multiplicando.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Factor: \(4x^2+12x+9\).

    Contestar

    \((2x+3)^2\)

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Factor: \(9y^2+24y+16\).

    Contestar

    \((3y+4)^2\)

    El signo del término medio determina qué patrón utilizaremos. Cuando el término medio es negativo, utilizamos el patrón \(a^2−2ab+b^2\), que factores a \((a−b)^2\).

    Aquí se resumen los pasos.

    FACTOR TRINOMIALES CUADRADOS

    \(\begin{array} {lllll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the trinomial fit the pattern?} &\quad &\hspace{7mm} a^2+2ab+b^2 &\hspace{7mm} a^2−2ab+b^2 \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} &\quad & &\\ &\text{Write them as squares.} &\quad &\hspace{5mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 &\hspace{6mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 \\ &\text{Check the middle term. Is it }2ab? &\quad &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write the square of the binomial.} &\quad &\hspace{13mm} (a+b)^2 &\hspace{13mm} (a−b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Check by multiplying.} & & & \end{array}\)

    Trabajaremos uno ahora donde el mediano plazo sea negativo.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Factor: \(81y^2−72y+16\).

    Contestar

    El primer y último término son cuadrados. Ver si el término medio encaja con el patrón de un trinomio cuadrado perfecto . El término medio es negativo, por lo que lo sería el cuadrado binomial \((a−b)^2\).

      \(81 y^{2}-72 y+16\)
    ¿Son los primeros y últimos términos cuadrados perfectos? .
    Consulta el mediano plazo. .
    ¿Coincide \((a−b)^2\)? Sí. .
    Escribir como el cuadrado de un binomio. \((9 y-4)^{2}\)
    Comprobar multiplicando:

    \[(9y−4)^2\nonumber\]\[(9y)^2−2·9y·4+4^2\nonumber\]\[81y^2−72y+16\checkmark\nonumber\]
     
    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Factor: \(64y^2−80y+25\).

    Contestar

    \((8y−5)^2\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Factor: \(16z^2−72z+81\).

    Contestar

    \((4z−9)^2\)

    El siguiente ejemplo será un trinomio cuadrado perfecto con dos variables.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Factor: \(36x^2+84xy+49y^2\).

    Contestar
      \(36 x^{2}+84 x y+49 y^{2}\)
    Pruebe cada término para verificar el patrón. .
    Factor. \((6 x+7 y)^{2}\)
    Verifica multiplicando.

    \[(6x+7y)^2\nonumber\]\[(6x)^2+2·6x·7y+(7y)^2\nonumber\]\[36x^2+84xy+49y^2\checkmark\nonumber\]
     
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Factor: \(49x^2+84xy+36y^2\).

    Contestar

    \((7x+6y)^2\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Factor: \(64m^2+112mn+49n^2\).

    Contestar

    \((8m+7n)^2\)

    Recuerda que el primer paso en factoring es buscar un factor común más grande. Los trinomios cuadrados perfectos pueden tener un GCF en los tres términos y debe tenerse en cuenta primero. Y, a veces, una vez que se haya factorizado el GCF, reconocerás un trinomio cuadrado perfecto.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Factor: \(100x^2y−80xy+16y\).

    Contestar
      \(100 x^{2} y-80 x y+16 y\)
    ¿Existe un FGC? Sí, \(4y\), así que descríbalo. \(4 y\left(25 x^{2}-20 x+4\right)\)
    ¿Es este un trinomio cuadrado perfecto?  
    Verificar el patrón. .
    Factor. \(4 y(5 x-2)^{2}\)
    Recuerda: Conservar el factor 4y en el producto final.  

    Comprobar:

    \[4y(5x−2)^2\nonumber\]\[4y[(5x)2−2·5x·2+22]\nonumber\]

    \[4y(25x2−20x+4)\nonumber\]100x2y−80xy+16y\ marca de verificación\]

     
    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Factor: \(8x^2y−24xy+18y\).

    Contestar

    \(2y(2x−3)^2\)

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Factor: \(27p^2q+90pq+75q\).

    Contestar

    \(3q(3p+5)^2\)

    Diferencias factoriales de los cuadrados

    El otro producto especial que viste en el capítulo anterior fue el patrón Producto de Conjugados. Utilizaste esto para multiplicar dos binomios que eran conjugados. Aquí hay un ejemplo:

    Tenemos paréntesis abiertos 3x menos 4 paréntesis de cierre paréntesis abiertos 3x más 4. Esta es de la forma a menos b, a más b. Reescribimos como paréntesis abiertos 3x paréntesis de cierre al cuadrado menos 4 al cuadrado. Aquí, 3x es a y 4 es b Esto es igual a 9 x al cuadrado menos 16.

    Factores de diferencia de cuadrados a un producto de conjugados.

    PATRÓN DE DIFERENCIAS DE

    Si \(a\) y \(b\) son números reales,

    a cuadrado menos b al cuadrado equivale a a menos b, a más b. Aquí, a cuadrado menos b al cuadrado es diferencia de cuadrados y a menos b, a más b son conjugados.

    Recuerda, “diferencia” se refiere a resta. Entonces, para usar este patrón debes asegurarte de tener un binomio en el que se están restando dos cuadrados.

    Ejemplo \(\PageIndex{13}\): Cómo factorizar un trinomio usando la diferencia de cuadrados

    Factor: \(64y^2−1\).

    Contestar

    El paso 1 es comprobar si el binomio 64 y al cuadrado menos 1 se ajusta al patrón. Para eso comprobamos lo siguiente: ¿Es esto una diferencia? Sí. ¿Son los primeros y últimos términos cuadrados perfectos? Sí.
    El paso 2 es escribir ambos términos como cuadrados, Por lo tanto, tenemos paréntesis abiertos 8y cerrar paréntesis al cuadrado menos 1 cuadrado.
    El paso 3 es escribir el producto de conjugados 8y menos 1, 8y más 1.
    El paso 4 es comprobar. Nos multiplicamos para obtener el binomio original

    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Factor: \(121m^2−1\).

    Contestar

    \((11m−1)(11m+1)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Factor: \(81y^2−1\).

    Contestar

    \((9y−1)(9y+1)\)

    DIFERENCIAS DE LOS FACTORES DE

    \(\begin{array} {llll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the binomial fit the pattern?} &\qquad &\hspace{5mm} a^2−b^2 \\ &\text{Is this a difference?} &\qquad &\hspace{2mm} \text{____−____} \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} & & \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write them as squares.} &\qquad &\hspace{3mm} (a)^2−(b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Write the product of conjugates.} &\qquad &(a−b)(a+b) \\ \textbf{Step 4.} &\text{Check by multiplying.} & & \end{array}\)

    Es importante recordar que las sumas de cuadrados no tienen en cuenta un producto de binomios. No existen factores binomiales que se multipliquen juntos para obtener una suma de cuadrados. Después de eliminar cualquier GCF, ¡la expresión \(a^2+b^2\) es primordial!

    El siguiente ejemplo muestra variables en ambos términos.

    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    Factor: \(144x^2−49y^2\).

    Contestar

    \(\begin{array} {lll} &\quad &144x^2−49y^2 \\ \text{Is this a difference of squares? Yes.} &\quad &(12x)^2−(7y)^2 \\ \text{Factor as the product of conjugates.} &\quad &(12x−7y)(12x+7y) \\ \text{Check by multiplying.} &\quad &(12x−7y)(12x+7y) \\ \text{Check by multiplying.} &\quad & \\ &\quad & \\ &\quad & \\ \hspace{14mm} (12x−7y)(12x+7y) &\quad & \\ \hspace{21mm} 144x^2−49y^2\checkmark &\quad & \end{array}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    Factor: \(196m^2−25n^2\).

    Contestar

    \((14m−5n)(14m+5n)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    Factor: \(121p^2−9q^2\).

    Contestar

    \((11p−3q)(11p+3q)\)

    Como siempre, primero debes buscar un factor común siempre que tengas una expresión a factor. A veces un factor común puede “disfrazar” la diferencia de cuadrados y no reconocerás los cuadrados perfectos hasta que factor el GCF.

    Además, para factorizar completamente el binomio en el siguiente ejemplo, ¡factorizaremos una diferencia de cuadrados dos veces!

    Ejemplo \(\PageIndex{19}\)

    Factor: \(48x^4y^2−243y^2\).

    Contestar

    \(\begin{array} {ll} &48x^4y^2−243y^2 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }3y^2\text{—factor it out!} &3y^2(16x^4−81) \\ \text{Is the binomial a difference of squares? Yes.} &3y^2\left((4x^2)^2−(9)^2\right) \\ \text{Factor as a product of conjugates.} &3y^2(4x^2−9)(4x^2+9) \\ \text{Notice the first binomial is also a difference of squares!} &3y^2((2x)^2−(3)^2)(4x^2+9) \\ \text{Factor it as the product of conjugates.} &3y^2(2x−3)(2x+3)(4x^2+9) \end{array}\)

    El último factor, la suma de cuadrados, no se puede factorizar.

    \(\begin{array} {l} \text{Check by multiplying:} \\ \hspace{10mm} 3y^2(2x−3)(2x+3)(4x^2+9) \\ \\ \\ \hspace{15mm} 3y^2(4x^2−9)(4x^2+9) \\ \hspace{20mm} 3y^2(16x^4−81) \\ \hspace{19mm} 48x^4y^2−243y^2\checkmark\end{array}\)

    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Factor: \(2x^4y^2−32y^2\).

    Contestar

    \(2y^2(x−2)(x+2)(x^2+4)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Factor: \(7a^4c^2−7b^4c^2\).

    Contestar

    \(7c^2(a−b)(a+b)(a^2+b^2)\)

    El siguiente ejemplo tiene un polinomio con 4 términos. Hasta el momento, cuando esto ocurrió agrupamos los términos en dos y factorizamos a partir de ahí. Aquí notaremos que los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto.

    Ejemplo \(\PageIndex{22}\)

    Factor: \(x^2−6x+9−y^2\).

    Contestar

    Note que los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto.

      \(x^{2}-6 x+9-y^{2}\)
    Factor agrupando los tres primeros términos. \(\underbrace{x^{2}-6 x+9} - y^{2}\)
    Usa el patrón trinomio cuadrado perfecto. \((x-3)^{2}-y^{2}\)
    ¿Es esto una diferencia de plazas? Sí.  
    Sí, escríbelos como cuadrados. .
    Factor como producto de conjugados. .
      \((x-3-y)(x-3+y)\)

    Es posible que desee reescribir la solución como \((x−y−3)(x+y−3)\).

    Ejemplo \(\PageIndex{23}\)

    Factor: \(x^2−10x+25−y^2\).

    Contestar

    \((x−5−y)(x−5+y)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{24}\)

    Factor: \(x^2+6x+9−4y^2\).

    Contestar

    \((x+3−2y)(x+3+2y)\)

    Sumas factoriales y diferencias de cubos

    Hay otro patrón especial para el factoraje, uno que no usamos cuando multiplicamos polinomios. Este es el patrón para la suma y diferencia de cubos. Escribiremos estas fórmulas primero y luego las revisaremos por multiplicación.

    \[a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2\nonumber\]

    \[a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)\nonumber\]

    Revisaremos el primer patrón y te dejaremos el segundo.

      \(\color{red}(a+b) \color{black} \left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\)
    Distribuir. \(\color{red}a \color{black}\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)+ \color{red}b \color{black}\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\)
    Multiplicar. \(a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b-a b^{2}+b^{3}\)
    Combina términos similares. \(a^{3}+b^{3}\)
    PATRÓN SUMA Y DIFERENCIA DE CUBO

    \[a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2\nonumber\]\[a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)\nonumber\]

    Los dos patrones se ven muy similares, ¿no? Pero fíjate en los signos en los factores. El signo del factor binomial coincide con el signo en el binomio original. Y el signo del término medio del factor trinomial es lo opuesto al signo en el binomio original. Si reconoces el patrón de los signos, puede ayudarte a memorizar los patrones.

    a al cubo más b en cubo es paréntesis abiertos a más b paréntesis de cierre paréntesis abiertos a cuadrado menos ab más b al cuadrado paréntesis cerrados. a al cubo menos b en cubos es paréntesis abiertos a menos paréntesis de cierre paréntesis abiertos a cuadrado más ab más b al cuadrado paréntesis de cierre. En ambos casos, el signo del primer término en el lado derecho de la ecuación es el mismo que el signo del lado izquierdo de la ecuación y el signo del segundo término es el opuesto al signo del lado izquierdo.

    El factor trinomial en el patrón de suma y diferencia de cubos no se puede factorizar.

    Será de mucha ayuda si aprendes a reconocer los cubos de los enteros del 1 al 10, al igual que has aprendido a reconocer cuadrados. Hemos enumerado los cubos de los enteros del 1 al 10 en la Tabla.

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    \(n^3\) 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
    Ejemplo \(\PageIndex{25}\): Cómo factorizar la suma o diferencia de cubos

    Factor: \(x^3+64\).

    Contestar

    El paso 1 es comprobar si el binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos. Para ello, comprobamos si se trata de una suma o diferencia. x al cubo más 64 es una suma. A continuación comprobamos si el primer y último término son cubos perfectos. Ellos sonEl paso 2 es reescribir como cubos. Por lo que reescribimos como x en cubos más 4 en cubos.El paso 3 es usar el patrón de suma o diferencia de cubos. Dado que se trata de una suma de cubos, obtenemos paréntesis abiertos x más 4 paréntesis de cierre paréntesis abiertos x al cuadrado menos 4x más 4 al cuadrado.El paso 4 es simplificar dentro de los paréntesis. Ya está simplificadoEl paso 5 es verificar multiplicando los factores.

    Ejemplo \(\PageIndex{26}\)

    Factor: \(x^3+27\).

    Contestar

    \((x+3)(x^2−3x+9)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{27}\)

    Factor: \(y^3+8\).

    Contestar

    \((y+2)(y^2−2y+4)\)

    FACTOR LA SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.
    1. ¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos?
      ¿ Es una suma o diferencia?
      ¿ Los primeros y últimos términos son cubos perfectos?
    2. Escríbelos como cubos.
    3. Utilice el patrón de suma o diferencia de cubos.
    4. Simplificar dentro de los paréntesis.
    5. Verificar multiplicando los factores.
    Ejemplo \(\PageIndex{28}\)

    Factor: \(27u^3−125v^3\).

    Contestar
      \(27 u^{3}-125 v^{3}\)
    Este binomio es una diferencia. El primer y último
    término son cubos perfectos.
     
    Escribe los términos como cubos. .
    Utilice la diferencia de patrón de cubos. .
    Simplificar. .
    Verifica multiplicando. Te dejaremos el cheque.
    Ejemplo \(\PageIndex{29}\)

    Factor: \(8x^3−27y^3\).

    Contestar

    \((2x−3y)(4x^2+6xy+9y^2)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{30}\)

    Factor: \(1000m^3−125n^3\).

    Contestar

    \((10m−5n)(100m^2+50mn+25n^2)\)

    En el siguiente ejemplo, primero tenemos en cuenta el FCM. Entonces podemos reconocer la suma de cubos.

    Ejemplo \(\PageIndex{31}\)

    Factor: \(6x^3y+48y^4\).

    Contestar
      \(6 x^{3} y+48 y^{4}\)
    Factor el factor común. \(6 y\left(x^{3}+8 y^{3}\right)\)
    Este binomio es una suma Los primeros y últimos
    términos son cubos perfectos.
     
    Escribe los términos como cubos. .
    Utilice el patrón de suma de cubos. .
    Simplificar. .

    Chequear:

    Para comprobar, es posible que le resulte más fácil multiplicar primero la suma de los factores de cubos, luego multiplicar ese producto por 6y.6y. Te dejaremos la multiplicación.

    Ejemplo \(\PageIndex{32}\)

    Factor: \(500p^3+4q^3\).

    Contestar

    \(4(5p+q)(25p^2−5pq+q^2)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{33}\)

    Factor: \(432c^3+686d^3\).

    Contestar

    \(2(6c+7d)(36c^2−42cd+49d^2)\)

    El primer término en el siguiente ejemplo es un binomio en cubos.

    Ejemplo \(\PageIndex{34}\)

    Factor: \((x+5)^3−64x^3\).

    Contestar
      \((x+5)^{3}-64 x^{3}\)
    Este binomio es una diferencia. El primer y
    último término son cubos perfectos.
     
    Escribe los términos como cubos. .
    Utilice la diferencia de patrón de cubos. .
    Simplificar. \((x+5-4 x)\left(x^{2}+10 x+25+4 x^{2}+20 x+16 x^{2}\right)\)
      \((-3 x+5)\left(21 x^{2}+30 x+25\right)\)
    Verifica multiplicando. Te dejaremos el cheque.
    Ejemplo \(\PageIndex{35}\)

    Factor: \((y+1)^3−27y^3\).

    Contestar

    \((−2y+1)(13y^2+5y+1)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{36}\)

    Factor: \((n+3)^3−125n^3\).

    Contestar

    \((−4n+3)(31n^2+21n+9)\)

    Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con productos especiales de factoraje.

    Conceptos Clave

    • Patrón de trinomios cuadrados perfectos: Si a y b son números reales,

      \[\begin{array} {l} a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \\ a^2−2ab+b^2=(a−b)^2\end{array} \nonumber\]

    • Cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos.
      \(\begin{array} {lllll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the trinomial fit the pattern?} &\quad &\hspace{7mm} a^2+2ab+b^2 &\hspace{7mm} a^2−2ab+b^2 \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} &\quad & &\\ &\text{Write them as squares.} &\quad &\hspace{5mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 &\hspace{6mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 \\ &\text{Check the middle term. Is it }2ab? &\quad &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write the square of the binomial.} &\quad &\hspace{13mm} (a+b)^2 &\hspace{13mm} (a−b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Check by multiplying.} & & & \end{array}\)
    • Patrón de diferencia de cuadrados: Si a, ba, b son números reales,
      a cuadrado menos b cuadrado es a menos b, a más b. Aquí, a cuadrado menos b al cuadrado es la diferencia de cuadrados y a menos b, a más b son conjugados.
    • Cómo factorizar las diferencias de los cuadrados.
      \(\begin{array} {llll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the binomial fit the pattern?} &\qquad &\hspace{5mm} a^2−b^2 \\ &\text{Is this a difference?} &\qquad &\hspace{2mm} \text{____−____} \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} & & \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write them as squares.} &\qquad &\hspace{3mm} (a)^2−(b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Write the product of conjugates.} &\qquad &(a−b)(a+b) \\ \textbf{Step 4.} &\text{Check by multiplying.} & & \end{array}\)
    • Patrón de Suma y Diferencia de Cubos
      \(\begin{array} {l} a^3+b3=(a+b)(a^2−ab+b^2) \\ a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2) \end{array} \)
    • Cómo factorizar la suma o diferencia de cubos.
      1. ¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos?
        ¿ Es una suma o diferencia?
        ¿ Los primeros y últimos términos son cubos perfectos?
      2. Escríbelos como cubos.
      3. Utilice el patrón de suma o diferencia de cubos.
      4. Simplificar dentro de los paréntesis
      5. Verificar multiplicando los factores.

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