6.4: Productos especiales de factor
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Factor de trinomios cuadrados perfectos
- Diferencias factoriales de cuadrados
- Sumas factoriales y diferencias de cubos
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Simplificar: \((3x^2)^3\) .
- Multiplicar: \((m+4)^2\) .
- Multiplicar: \((x−3)(x+3)\) .
Hemos visto que algunos binomios y trinomios resultan de productos especiales: cuadrar binomios y multiplicar conjugados. Si aprendes a reconocer este tipo de polinomios, puedes usar los patrones de productos especiales para factorizarlos mucho más rápidamente.
Trinomios cuadrados perfectos del factor
Algunos trinomios son cuadrados perfectos. Resultan de multiplicar un binomio por sí mismo. Cuadramos un binomio utilizando el patrón Cuadrados Binomiales en un capítulo anterior.
El trinomio \(9x^2+24x+16\) se llama trinomio cuadrado perfecto . Es la plaza del binomio \(3x+4\) .
En este capítulo, comenzarás con un trinomio cuadrado perfecto y lo factorizarás en sus factores primos . Se podría factorizar este trinomio utilizando los métodos descritos en el último apartado, ya que es de la forma \(ax^2+bx+c\) . Pero si reconoces que el primer y último término son cuadrados y el trinomio encaja con el patrón de trinomios cuadrados perfectos, te ahorrarás mucho trabajo. Aquí está el patrón: el reverso del patrón de cuadrados binomiales.
Si \(a\) y \(b\) son números reales
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\nonumber\]
\[a^2−2ab+b^2=(a−b)^2\nonumber\]
Para hacer uso de este patrón, hay que reconocer que un trinomio dado le encaja. Verifique primero para ver si el coeficiente principal es un cuadrado perfecto, \(a^2\) . A continuación comprueba que el último término sea un cuadrado perfecto, \(b^2\) . Entonces revisa el término medio — es el producto, \(2ab\) ? Si todo comprueba, puedes escribir fácilmente los factores.
Factor: \(9x^2+12x+4\) .
- Contestar
-
Factor: \(4x^2+12x+9\) .
- Contestar
-
\((2x+3)^2\)
Factor: \(9y^2+24y+16\) .
- Contestar
-
\((3y+4)^2\)
El signo del término medio determina qué patrón utilizaremos. Cuando el término medio es negativo, utilizamos el patrón \(a^2−2ab+b^2\) , que factores a \((a−b)^2\) .
Aquí se resumen los pasos.
\(\begin{array} {lllll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the trinomial fit the pattern?} &\quad &\hspace{7mm} a^2+2ab+b^2 &\hspace{7mm} a^2−2ab+b^2 \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} &\quad & &\\ &\text{Write them as squares.} &\quad &\hspace{5mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 &\hspace{6mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 \\ &\text{Check the middle term. Is it }2ab? &\quad &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write the square of the binomial.} &\quad &\hspace{13mm} (a+b)^2 &\hspace{13mm} (a−b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Check by multiplying.} & & & \end{array}\)
Trabajaremos uno ahora donde el mediano plazo sea negativo.
Factor: \(81y^2−72y+16\) .
- Contestar
-
El primer y último término son cuadrados. Ver si el término medio encaja con el patrón de un trinomio cuadrado perfecto . El término medio es negativo, por lo que lo sería el cuadrado binomial \((a−b)^2\) .
\(81 y^{2}-72 y+16\) ¿Son los primeros y últimos términos cuadrados perfectos? Consulta el mediano plazo. ¿Coincide \((a−b)^2\) ? Sí. Escribir como el cuadrado de un binomio. \((9 y-4)^{2}\) Comprobar multiplicando:
\[(9y−4)^2\nonumber\] \[(9y)^2−2·9y·4+4^2\nonumber\] \[81y^2−72y+16\checkmark\nonumber\]
Factor: \(64y^2−80y+25\) .
- Contestar
-
\((8y−5)^2\)
Factor: \(16z^2−72z+81\) .
- Contestar
-
\((4z−9)^2\)
El siguiente ejemplo será un trinomio cuadrado perfecto con dos variables.
Factor: \(36x^2+84xy+49y^2\) .
- Contestar
-
\(36 x^{2}+84 x y+49 y^{2}\) Pruebe cada término para verificar el patrón. Factor. \((6 x+7 y)^{2}\) Verifica multiplicando.
\[(6x+7y)^2\nonumber\] \[(6x)^2+2·6x·7y+(7y)^2\nonumber\] \[36x^2+84xy+49y^2\checkmark\nonumber\]
Factor: \(49x^2+84xy+36y^2\) .
- Contestar
-
\((7x+6y)^2\)
Factor: \(64m^2+112mn+49n^2\) .
- Contestar
-
\((8m+7n)^2\)
Recuerda que el primer paso en factoring es buscar un factor común más grande. Los trinomios cuadrados perfectos pueden tener un GCF en los tres términos y debe tenerse en cuenta primero. Y, a veces, una vez que se haya factorizado el GCF, reconocerás un trinomio cuadrado perfecto.
Factor: \(100x^2y−80xy+16y\) .
- Contestar
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\(100 x^{2} y-80 x y+16 y\) ¿Existe un FGC? Sí, \(4y\) , así que descríbalo. \(4 y\left(25 x^{2}-20 x+4\right)\) ¿Es este un trinomio cuadrado perfecto? Verificar el patrón. Factor. \(4 y(5 x-2)^{2}\) Recuerda: Conservar el factor 4 y en el producto final. Comprobar:
\[4y(5x−2)^2\nonumber\] \[4y[(5x)2−2·5x·2+22]\nonumber\]\[4y(25x2−20x+4)\nonumber\] 100x2y−80xy+16y\ marca de verificación\]
Factor: \(8x^2y−24xy+18y\) .
- Contestar
-
\(2y(2x−3)^2\)
Factor: \(27p^2q+90pq+75q\) .
- Contestar
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\(3q(3p+5)^2\)
Diferencias factoriales de los cuadrados
El otro producto especial que viste en el capítulo anterior fue el patrón Producto de Conjugados. Utilizaste esto para multiplicar dos binomios que eran conjugados. Aquí hay un ejemplo:
Factores de diferencia de cuadrados a un producto de conjugados.
Si \(a\) y \(b\) son números reales,
Recuerda, “diferencia” se refiere a resta. Entonces, para usar este patrón debes asegurarte de tener un binomio en el que se están restando dos cuadrados.
Factor: \(64y^2−1\) .
- Contestar
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Factor: \(121m^2−1\) .
- Contestar
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\((11m−1)(11m+1)\)
Factor: \(81y^2−1\) .
- Contestar
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\((9y−1)(9y+1)\)
\(\begin{array} {llll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the binomial fit the pattern?} &\qquad &\hspace{5mm} a^2−b^2 \\ &\text{Is this a difference?} &\qquad &\hspace{2mm} \text{____−____} \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} & & \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write them as squares.} &\qquad &\hspace{3mm} (a)^2−(b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Write the product of conjugates.} &\qquad &(a−b)(a+b) \\ \textbf{Step 4.} &\text{Check by multiplying.} & & \end{array}\)
Es importante recordar que las sumas de cuadrados no tienen en cuenta un producto de binomios . No existen factores binomiales que se multipliquen juntos para obtener una suma de cuadrados. Después de eliminar cualquier GCF, ¡la expresión \(a^2+b^2\) es primordial!
El siguiente ejemplo muestra variables en ambos términos.
Factor: \(144x^2−49y^2\) .
- Contestar
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\(\begin{array} {lll} &\quad &144x^2−49y^2 \\ \text{Is this a difference of squares? Yes.} &\quad &(12x)^2−(7y)^2 \\ \text{Factor as the product of conjugates.} &\quad &(12x−7y)(12x+7y) \\ \text{Check by multiplying.} &\quad &(12x−7y)(12x+7y) \\ \text{Check by multiplying.} &\quad & \\ &\quad & \\ &\quad & \\ \hspace{14mm} (12x−7y)(12x+7y) &\quad & \\ \hspace{21mm} 144x^2−49y^2\checkmark &\quad & \end{array}\)
Factor: \(196m^2−25n^2\) .
- Contestar
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\((14m−5n)(14m+5n)\)
Factor: \(121p^2−9q^2\) .
- Contestar
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\((11p−3q)(11p+3q)\)
Como siempre, primero debes buscar un factor común siempre que tengas una expresión a factor. A veces un factor común puede “disfrazar” la diferencia de cuadrados y no reconocerás los cuadrados perfectos hasta que factor el GCF.
Además, para factorizar completamente el binomio en el siguiente ejemplo, ¡factorizaremos una diferencia de cuadrados dos veces!
Factor: \(48x^4y^2−243y^2\) .
- Contestar
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\(\begin{array} {ll} &48x^4y^2−243y^2 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }3y^2\text{—factor it out!} &3y^2(16x^4−81) \\ \text{Is the binomial a difference of squares? Yes.} &3y^2\left((4x^2)^2−(9)^2\right) \\ \text{Factor as a product of conjugates.} &3y^2(4x^2−9)(4x^2+9) \\ \text{Notice the first binomial is also a difference of squares!} &3y^2((2x)^2−(3)^2)(4x^2+9) \\ \text{Factor it as the product of conjugates.} &3y^2(2x−3)(2x+3)(4x^2+9) \end{array}\)
El último factor, la suma de cuadrados, no se puede factorizar.
\(\begin{array} {l} \text{Check by multiplying:} \\ \hspace{10mm} 3y^2(2x−3)(2x+3)(4x^2+9) \\ \\ \\ \hspace{15mm} 3y^2(4x^2−9)(4x^2+9) \\ \hspace{20mm} 3y^2(16x^4−81) \\ \hspace{19mm} 48x^4y^2−243y^2\checkmark\end{array}\)
Factor: \(2x^4y^2−32y^2\) .
- Contestar
-
\(2y^2(x−2)(x+2)(x^2+4)\)
Factor: \(7a^4c^2−7b^4c^2\) .
- Contestar
-
\(7c^2(a−b)(a+b)(a^2+b^2)\)
El siguiente ejemplo tiene un polinomio con 4 términos. Hasta el momento, cuando esto ocurrió agrupamos los términos en dos y factorizamos a partir de ahí. Aquí notaremos que los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto.
Factor: \(x^2−6x+9−y^2\) .
- Contestar
-
Note que los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto.
\(x^{2}-6 x+9-y^{2}\) Factor agrupando los tres primeros términos. \(\underbrace{x^{2}-6 x+9} - y^{2}\) Usa el patrón trinomio cuadrado perfecto. \((x-3)^{2}-y^{2}\) ¿Es esto una diferencia de plazas? Sí. Sí, escríbelos como cuadrados. Factor como producto de conjugados. \((x-3-y)(x-3+y)\) Es posible que desee reescribir la solución como \((x−y−3)(x+y−3)\) .
Factor: \(x^2−10x+25−y^2\) .
- Contestar
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\((x−5−y)(x−5+y)\)
Factor: \(x^2+6x+9−4y^2\) .
- Contestar
-
\((x+3−2y)(x+3+2y)\)
Sumas factoriales y diferencias de cubos
Hay otro patrón especial para el factoraje, uno que no usamos cuando multiplicamos polinomios. Este es el patrón para la suma y diferencia de cubos. Escribiremos estas fórmulas primero y luego las revisaremos por multiplicación.
\[a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2\nonumber\]
\[a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)\nonumber\]
Revisaremos el primer patrón y te dejaremos el segundo.
| \(\color{red}(a+b) \color{black} \left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\) | |
| Distribuir. | \(\color{red}a \color{black}\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)+ \color{red}b \color{black}\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\) |
| Multiplicar. | \(a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b-a b^{2}+b^{3}\) |
| Combina términos similares. | \(a^{3}+b^{3}\) |
\[a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2\nonumber\] \[a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)\nonumber\]
Los dos patrones se ven muy similares, ¿no? Pero fíjate en los signos en los factores. El signo del factor binomial coincide con el signo en el binomio original. Y el signo del término medio del factor trinomial es lo opuesto al signo en el binomio original. Si reconoces el patrón de los signos, puede ayudarte a memorizar los patrones.
El factor trinomial en el patrón de suma y diferencia de cubos no se puede factorizar.
Será de mucha ayuda si aprendes a reconocer los cubos de los enteros del 1 al 10, al igual que has aprendido a reconocer cuadrados. Hemos enumerado los cubos de los enteros del 1 al 10 en la Tabla.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n^3\) | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
Factor: \(x^3+64\) .
- Contestar
-
Factor: \(x^3+27\) .
- Contestar
-
\((x+3)(x^2−3x+9)\)
Factor: \(y^3+8\) .
- Contestar
-
\((y+2)(y^2−2y+4)\)
-
¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos?
¿ Es una suma o diferencia?
¿ Los primeros y últimos términos son cubos perfectos? - Escríbelos como cubos.
- Utilice el patrón de suma o diferencia de cubos.
- Simplificar dentro de los paréntesis.
- Verificar multiplicando los factores.
Factor: \(27u^3−125v^3\) .
- Contestar
-
\(27 u^{3}-125 v^{3}\) Este binomio es una diferencia. El primer y último
término son cubos perfectos.Escribe los términos como cubos. Utilice la diferencia de patrón de cubos. Simplificar. Verifica multiplicando. Te dejaremos el cheque.
Factor: \(8x^3−27y^3\) .
- Contestar
-
\((2x−3y)(4x^2+6xy+9y^2)\)
Factor: \(1000m^3−125n^3\) .
- Contestar
-
\((10m−5n)(100m^2+50mn+25n^2)\)
En el siguiente ejemplo, primero tenemos en cuenta el FCM. Entonces podemos reconocer la suma de cubos.
Factor: \(6x^3y+48y^4\) .
- Contestar
-
\(6 x^{3} y+48 y^{4}\) Factor el factor común. \(6 y\left(x^{3}+8 y^{3}\right)\) Este binomio es una suma Los primeros y últimos
términos son cubos perfectos.Escribe los términos como cubos. Utilice el patrón de suma de cubos. Simplificar. Chequear:
Para comprobar, es posible que le resulte más fácil multiplicar primero la suma de los factores de cubos, luego multiplicar ese producto por 6y.6y. Te dejaremos la multiplicación.
Factor: \(500p^3+4q^3\) .
- Contestar
-
\(4(5p+q)(25p^2−5pq+q^2)\)
Factor: \(432c^3+686d^3\) .
- Contestar
-
\(2(6c+7d)(36c^2−42cd+49d^2)\)
El primer término en el siguiente ejemplo es un binomio en cubos.
Factor: \((x+5)^3−64x^3\) .
- Contestar
-
\((x+5)^{3}-64 x^{3}\) Este binomio es una diferencia. El primer y
último término son cubos perfectos.Escribe los términos como cubos. Utilice la diferencia de patrón de cubos. Simplificar. \((x+5-4 x)\left(x^{2}+10 x+25+4 x^{2}+20 x+16 x^{2}\right)\) \((-3 x+5)\left(21 x^{2}+30 x+25\right)\) Verifica multiplicando. Te dejaremos el cheque.
Factor: \((y+1)^3−27y^3\) .
- Contestar
-
\((−2y+1)(13y^2+5y+1)\)
Factor: \((n+3)^3−125n^3\) .
- Contestar
-
\((−4n+3)(31n^2+21n+9)\)
Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con productos especiales de factoraje.
Conceptos Clave
-
Patrón de trinomios cuadrados perfectos:
Si
a
y
b
son números reales,
\[\begin{array} {l} a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \\ a^2−2ab+b^2=(a−b)^2\end{array} \nonumber\]
-
Cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos.
\(\begin{array} {lllll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the trinomial fit the pattern?} &\quad &\hspace{7mm} a^2+2ab+b^2 &\hspace{7mm} a^2−2ab+b^2 \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} &\quad & &\\ &\text{Write them as squares.} &\quad &\hspace{5mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 &\hspace{6mm}(a)^2\hspace{16mm} (b)^2 \\ &\text{Check the middle term. Is it }2ab? &\quad &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} &\hspace{12mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{2·a·b}{\,}^{\swarrow} \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write the square of the binomial.} &\quad &\hspace{13mm} (a+b)^2 &\hspace{13mm} (a−b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Check by multiplying.} & & & \end{array}\) -
Patrón de diferencia de cuadrados:
Si a, ba, b son números reales,
-
Cómo factorizar las diferencias de los cuadrados.
\(\begin{array} {llll} \textbf{Step 1.} &\text{Does the binomial fit the pattern?} &\qquad &\hspace{5mm} a^2−b^2 \\ &\text{Is this a difference?} &\qquad &\hspace{2mm} \text{____−____} \\ &\text{Are the first and last terms perfect squares?} & & \\ \textbf{Step 2.} &\text{Write them as squares.} &\qquad &\hspace{3mm} (a)^2−(b)^2 \\ \textbf{Step 3.} &\text{Write the product of conjugates.} &\qquad &(a−b)(a+b) \\ \textbf{Step 4.} &\text{Check by multiplying.} & & \end{array}\) -
Patrón de Suma y Diferencia de Cubos
\(\begin{array} {l} a^3+b3=(a+b)(a^2−ab+b^2) \\ a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2) \end{array} \) -
Cómo factorizar la suma o diferencia de cubos.
-
¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos?
¿ Es una suma o diferencia?
¿ Los primeros y últimos términos son cubos perfectos? - Escríbelos como cubos.
- Utilice el patrón de suma o diferencia de cubos.
- Simplificar dentro de los paréntesis
- Verificar multiplicando los factores.
-
¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos?