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6.5: Estrategia General para Factorizar Expresiones Polinómicas

  • Page ID
    51707
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Reconocer y utilizar el método apropiado para factorizar completamente un polinomio

    Reconocer y utilizar el método apropiado para factorizar completamente un polinomio

    Ahora te has familiarizado con todos los métodos de factoraje que necesitarás en este curso. La siguiente tabla resume todos los métodos de factoraje que hemos cubierto, y describe una estrategia que debe usar al factorizar polinomios.

    ESTRATEGIA GENERAL PARA FACTORING POLINOMIALES

    Este gráfico muestra las estrategias generales para factorizar polinomios. Muestra formas de encontrar FGC de binomios, trinomios y polinomios con más de 3 términos. Para binomios, tenemos diferencia de cuadrados: a cuadrado menos b cuadrado es igual a a menos b, a más b; suma de cuadrados no factor; sub de cubos: a en cubos más b en cubos es igual a paréntesis abiertos a más b paréntesis cerrar paréntesis a cuadrado menos ab más b paréntesis de cierre cuadrado; diferencia de cubos: a en cubos menos b en cubos es igual a paréntesis abiertos a menos b paréntesis de cierre paréntesis abiertos a cuadrado más ab más b al cuadrado paréntesis de cierre. Para los trinomios, tenemos x al cuadrado más bx más c donde ponemos x como término en cada factor y tenemos un cuadrado más bx más c. Aquí, si a y c son cuadrados, tenemos un más b entero al cuadrado igual a un cuadrado más 2 ab más b cuadrado y un menos b entero al cuadrado es igual a a cuadrado menos 2 ab más b cuadrado. Si a y c no son cuadrados, utilizamos el método ac. Para polinomios con más de 3 términos, utilizamos agrupación.

    UTILIZAR UNA ESTRATEGIA GENERAL PARA FACTORAR POLINOMIALES
    1. ¿Existe un factor común más grande?
      Factor it out.
    2. ¿Es el polinomio un binomio, trinomial, o hay más de tres términos?
      Si se trata de un binomio:
      • ¿Es una suma?
        ¿ De plazas? Las sumas de los cuadrados no tienen en cuenta.
        ¿ De cubitos? Utilice el patrón de suma de cubos.
      • ¿Es una diferencia?
        ¿ De plazas? Factor como producto de conjugados.
        ¿ De cubitos? Utilice la diferencia de patrón de cubos.
      Sise trata de un trinomio:
      • ¿Es de la forma \(x^2+bx+c\)? Deshacer FOLA.
      • ¿Es de la forma \(ax^2+bx+c\)?
        Si a y c son cuadrados, verifique si se ajusta al patrón cuadrático trinomial.
        Utilice el método de ensayo y error o “\(ac\)”.
      Sitiene más de tres términos:
      • Utilice el método de agrupación.
    3. Chequear.
      ¿ Se factoriza por completo?
      ¿ Los factores se multiplican de nuevo al polinomio original?

    Recuerda, un polinomio está completamente factorizado si, aparte de los monomios, ¡sus factores son primos!

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Factor completamente: \(7x^3−21x^2−70x\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} {7x^3−21x^2−70x} & \\ \text{Is there a GCF? Yes, }7x. & \\ \text{Factor out the GCF.} &7x(x^2−3x−10) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial,} & \\ \text{or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with leading coefficient 1.} & \\ \text{“Undo” FOIL.} &7x(x\hspace{8mm})(x\hspace{8mm}) \\ &7x(x+2)(x−5) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ & \\ & \\ \hspace{15mm}7x(x+2)(x−5) & \\ \hspace{10mm}7x(x^2−5x+2x−10) & \\ \hspace{15mm}7x(x^2−3x−10) & \\ \hspace{13mm}7x^3−21x^2−70x\checkmark & \end{array} \)

    Pruébalo \(\PageIndex{1}\)

    Factor completamente: \(8y^3+16y^2−24y\).

    Responder

    \(8y(y−1)(y+3)\)

    Pruébalo \(\PageIndex{2}\)

    Factor completamente: \(5y^3−15y^2−270y\).

    Responder

    \(5y(y−9)(y+6)\)

    ¡Ten cuidado cuando te piden factorizar un binomio ya que hay varias opciones!

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Factor completamente: \(24y^2−150\)

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &24y^2−150 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }6. & \\ \text{Factor out the GCF.} &6(4y^2−25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial} & \\ \text{or are there more than three terms? Binomial.} & \\ \text{Is it a sum? No.} & \\ \text{Is it a difference? Of squares or cubes? Yes, squares.} &6((2y)^2−(5)^2) \\ \text{Write as a product of conjugates.} &6(2y−5)(2y+5) \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Is the expression factored completely?} & \\ \hspace{5mm}\text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Multiply.} & \\ & \\ \hspace{15mm}6(2y−5)(2y+5) & \\ & \\ \hspace{18mm}6(4y^2−25) & \\ \hspace{18mm}24y^2−150\checkmark \end{array}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{3}\)

    Factor completamente: \(16x^3−36x\).

    Responder

    \(4x(2x−3)(2x+3)\)

    Pruébalo \(\PageIndex{4}\)

    Factor completamente: \(27y^2−48\).

    Responder

    \(3(3y−4)(3y+4)\)

    El siguiente ejemplo se puede factorizar usando varios métodos. Reconocer el patrón de cuadrados trinomios facilitará tu trabajo.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Factor completamente: \(4a^2−12ab+9b^2\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &4a^2−12ab+9b^2 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \text{Is it a binomial, trinomial, or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with }a\neq 1.\text{ But the first term is a perfect square.} \\ \text{Is the last term a perfect square? Yes.} &(2a)^2−12ab+(3b)^2 \\ \text{Does it fit the pattern, }a^2−2ab+b^2?\text{ Yes.} &(2a)^2 −12ab+ (3b)^2 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(2a)(3b)}{\,}^{\swarrow}\\ \text{Write it as a square.} &(2a−3b)^2 \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \quad\text{The binomial cannot be factored.} & \\ \text{Check your answer.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{30mm}(2a−3b)^2 \\ \hspace{20mm} (2a)^2−2·2a·3b+(3b)^2 \\ \hspace{24mm}4a^2−12ab+9b^2\checkmark & \end{array} \)

    Pruébalo \(\PageIndex{5}\)

    Factor completamente: \(4x^2+20xy+25y^2\).

    Contestar

    \((2x+5y)^2\)

    Pruébalo \(\PageIndex{6}\)

    Factor completamente: \(9x^2−24xy+16y^2\).

    Contestar

    \((3x−4y)^2\)

    Recuerda, las sumas de cuadrados no factorizan, ¡pero las sumas de cubos sí!

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Factor por completo \(12x^3y^2+75xy^2\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &12x^3y^2+75xy^2 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }3xy^2. & \\ \text{Factor out the GCF.} &3xy^2(4x^2+25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are} & \\ \text{there more than three terms? Binomial.} & \\ & \\ \text{Is it a sum? Of squares? Yes.} &\text{Sums of squares are prime.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{15mm}3xy^2(4x^2+25) & \\ \hspace{14mm}12x^3y^2+75xy^2\checkmark \end{array} \)

    Pruébalo \(\PageIndex{7}\)

    Factor completamente: \(50x^3y+72xy\).

    Contestar

    \(2xy(25x^2+36)\)

    Pruébalo \(\PageIndex{8}\)

    Factor completamente: \(27xy^3+48xy\).

    Contestar

    \(3xy(9y^2+16)\)

    Al utilizar el patrón de suma o diferencia de cubos, teniendo cuidado con los signos.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Factor completamente: \(24x^3+81y^3\).

    Solución

    ¿Existe un FGC? Sí, 3. .
    Factor it out. .
    En paréntesis, ¿es un binomio, trinomio,
    de hay más de tres términos? Binomial.
     
    ¿Es una suma o diferencia? Suma.  
    ¿De cuadrados o cubos? Suma de cubos. .
    Escríbelo usando el patrón de suma de cubos. .
    ¿Se factoriza por completo la expresión? Sí. .
    Verifica multiplicando.  
    Pruébalo \(\PageIndex{9}\)

    Factor completamente: \(250m^3+432n^3\).

    Contestar

    \(2(5m+6n)(25m^2−30mn+36n^2)\)

    Pruébalo \(\PageIndex{10}\)

    Factor completamente: \(2p^3+54q^3\).

    Contestar

    \(2(p+3q)(p^2−3pq+9q^2)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Factor completamente: \(3x^5y−48xy\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &3x^5y−48xy \\ \text{Is there a GCF? Factor out }3xy &3xy(x^4−16) \\ \begin{array} {l} \text{Is the binomial a sum or difference? Of squares or cubes?} \\ \text{Write it as a difference of squares.} \end{array} &3xy\left((x^2)^2−(4)2\right) \\ \text{Factor it as a product of conjugates} &3xy(x^2−4)(x^2+4) \\ \text{The first binomial is again a difference of squares.} &3xy\left((x)^2−(2)^2\right)(x^2+4) \\ \text{Factor it as a product of conjugates.} &3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ 3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) & \\ 3xy(x^2−4)(x^2+4) & \\ 3xy(x^4−16) & \\ 3x^5y−48xy\checkmark & \end{array}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{11}\)

    Factor completamente: \(4a^5b−64ab\).

    Contestar

    \(4ab(a^2+4)(a−2)(a+2)\)

    Pruébalo \(\PageIndex{12}\)

    Factor completamente: \(7xy^5−7xy\).

    Contestar

    \(7xy(y^2+1)(y−1)(y+1)\)

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Factor completamente: \(4x^2+8bx−4ax−8ab\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &4x^2+8bx−4ax−8ab \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4. &4(x^2+2bx−ax−2ab) \\ \text{There are four terms. Use grouping.} &4[x(x+2b)−a(x+2b)]4(x+2b)(x−a) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4(x+2b)(x−a) & \\ \hspace{20mm} 4(x^2−ax+2bx−2ab) & \\ \hspace{20mm}4x^2+8bx−4ax−8ab\checkmark \end{array}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{13}\)

    Factor completamente: \(6x^2−12xc+6bx−12bc\).

    Contestar

    \(6(x+b)(x−2c)\)

    Pruébalo \(\PageIndex{14}\)

    Factor completamente: \(16x^2+24xy−4x−6y\).

    Contestar

    \(2(4x−1)(2x+3y)\)

    Sacar el GCF completo en el primer paso siempre te facilitará el trabajo.

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Factor completamente: \(40x^2y+44xy−24y\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &40x^2y+44xy−24y \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4y. &4y(10x^2+11x−6) \\ \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. &4y(10x^2+11x−6) \\ &4y(5x−2)(2x+3) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4y(5x−2)(2x+3) & \\ \hspace{24mm}4y(10x^2+11x−6) & \\ \hspace{22mm}40x^2y+44xy−24y\checkmark \end{array}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{15}\)

    Factor completamente: \(4p^2q−16pq+12q\).

    Contestar

    \(4q(p−3)(p−1)\)

    Pruébalo \(\PageIndex{16}\)

    Factor completamente: \(6pq^2−9pq−6p\).

    Contestar

    \(3p(2q+1)(q−2)\)

    Cuando hemos factorizado un polinomio con cuatro términos, la mayoría de las veces lo separamos en dos grupos de dos términos. Recuerda que también podemos separarlo en un trinomio y luego un término.

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Factor completamente: \(9x^2−12xy+4y^2−49\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \begin{array} {l} \text{With more than 3 terms, use grouping. Last 2 terms} \\ \text{have no GCF. Try grouping first 3 terms.} \end{array} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \begin{array} {l} \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. \text{ But the first term is a} \\ \text{perfect square.} \end{array} & \\ \text{Is the last term of the trinomial a perfect square? Yes.} &(3x)^2−12xy+(2y)^2−49 \\ \text{Does the trinomial fit the pattern, }a^2−2ab+b^2? \text{ Yes.} &(3x)^2 −12xy+ (2y)^2−49 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(3x)(2y))}{\,}^{\swarrow} \\ \text{Write the trinomial as a square.} &(3x−2y)^2−49 \\ \begin{array} {ll} \text{Is this binomial a sum or difference? Of squares or} \\ \text{cubes? Write it as a difference of squares.} \end{array} &(3x−2y)^2−72 \\ \text{Write it as a product of conjugates.} &((3x−2y)−7)((3x−2y)+7) \\ &(3x−2y−7)(3x−2y+7) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{23mm}(3x−2y−7)(3x−2y+7) & \\ \hspace{10mm}9x^2−6xy−21x−6xy+4y^2+14y+21x−14y−49 \qquad & \\ \hspace{25mm}9x^2−12xy+4y^2−49\checkmark & \end{array}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{17}\)

    Factor completamente: \(4x^2−12xy+9y^2−25\).

    Contestar

    \((2x−3y−5)(2x−3y+5)\)

    Pruébalo \(\PageIndex{18}\)

    Factor completamente: \(16x^2−24xy+9y^2−64\).

    Contestar

    \((4x−3y−8)(4x−3y+8)\)

    Conceptos Clave

    Este gráfico muestra las estrategias generales para factorizar polinomios. Muestra formas de encontrar FGC de binomios, trinomios y polinomios con más de 3 términos. Para binomios, tenemos diferencia de cuadrados: a cuadrado menos b cuadrado es igual a a menos b, a más b; suma de cuadrados no factor; sub de cubos: a en cubos más b en cubos es igual a paréntesis abiertos a más b paréntesis cerrar paréntesis a cuadrado menos ab más b paréntesis de cierre cuadrado; diferencia de cubos: a en cubos menos b en cubos es igual a paréntesis abiertos a menos b paréntesis de cierre paréntesis abiertos a cuadrado más ab más b al cuadrado paréntesis de cierre. Para los trinomios, tenemos x al cuadrado más bx más c donde ponemos x como término en cada factor y tenemos un cuadrado más bx más c. Aquí, si a y c son cuadrados, tenemos un más b entero al cuadrado igual a un cuadrado más 2 ab más b cuadrado y un menos b entero al cuadrado es igual a a cuadrado menos 2 ab más b cuadrado. Si a y c no son cuadrados, utilizamos el método ac. Para polinomios con más de 3 términos, utilizamos agrupación.

    • Cómo utilizar una estrategia general para factorizar polinomios
      1. ¿Existe un factor común más grande?
        Factor it out.
      2. ¿Es el polinomio un binomio, trinomial, o hay más de tres términos?
        Si es un binomio:
        ¿Es una suma?
        ¿ De plazas? Las sumas de los cuadrados no tienen en cuenta.
        ¿ De cubitos? Utilice el patrón de suma de cubos.
        ¿ Es una diferencia?
        ¿ De plazas? Factor como producto de conjugados.
        ¿ De cubitos? Utilice la diferencia de patrón de cubos.
        Si es un trinomio:
        ¿Es de la forma \(x^2+bx+c\)? Deshacer FOLA.
        ¿ Es de la forma \(ax^2+bx+c\)?
        Si a y c son cuadrados, verifique si se ajusta al patrón cuadrático trinomial.
        Utilice el método de ensayo y error o “\(ac\)”.
        Si tiene más de tres términos:
        Utilice el método de agrupación.
      3. Chequear.
        ¿ Se factoriza por completo?
        ¿ Los factores se multiplican de nuevo al polinomio original?

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