Saltar al contenido principal

# 7.4: Simplificar expresiones racionales complejas

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$
##### Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Simplifica una expresión racional compleja escribiéndola como división
• Simplifique una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar: $$\dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{9}{10}}$$.
Si te perdiste este problema, revisa [link].
2. Simplificar: $$\dfrac{1−\dfrac{1}{3}}{4^2+4·5}$$.
Si te perdiste este problema, revisa [link].
3. Resolver: $$\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$$.
Si te perdiste este problema, revisa [link].

Fracción compleja

Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador y/o el denominador contiene una fracción.

Anteriormente simplificamos fracciones complejas como estas:

$\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \quad \quad \quad \dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x y}{6}} \nonumber$

En este apartado, simplificaremos expresiones racionales complejas, que son expresiones racionales con expresiones racionales en el numerador o denominador.

Expresión Racional Compleja

Una expresión racional compleja es una expresión racional en la que el numerador y/o el denominador contiene una expresión racional.

Aquí hay algunas expresiones racionales complejas:

$\dfrac{\dfrac{4}{y-3}}{\dfrac{8}{y^{2}-9}} \quad \quad \dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \quad \quad \dfrac{\dfrac{2}{x+6}}{\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{x^{2}-36}} \nonumber$

Recuerda, siempre excluimos valores que harían que cualquier denominador sea cero.

Utilizaremos dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas.

Ya hemos visto esta compleja expresión racional anteriormente en este capítulo.

$\dfrac{\dfrac{6 x^{2}-7 x+2}{4 x-8}}{\dfrac{2 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-5 x+6}} \nonumber$

Señalamos que las barras de fracciones nos dicen dividir, por lo que lo reescribimos como el problema de la división:

$\left(\dfrac{6 x^{2}-7 x+2}{4 x-8}\right) \div\left(\dfrac{2 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-5 x+6}\right) \nonumber$

Entonces, multiplicamos la primera expresión racional por la recíproca de la segunda, tal como lo hacemos cuando dividimos dos fracciones.

Este es un método para simplificar expresiones racionales complejas. Nos aseguramos de que la expresión racional compleja sea de la forma donde una fracción está sobre una fracción. Después lo escribimos como si estuviéramos dividiendo dos fracciones.

##### Ejemplo $$\PageIndex{1}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{\dfrac{6}{x-4}}{\dfrac{3}{x^{2}-16}} \nonumber$

Solución

Reescribir la fracción compleja como división. $\dfrac{6}{x-4} \div \dfrac{3}{x^{2}-16} \nonumber$

Reescribir como el producto de primeras veces el recíproco de la segunda.Reescribir como el producto de primeras veces el recíproco de la segunda.Reescribir como el producto de primeras veces el recíproco de la segunda.

$\dfrac{6}{x-4} \cdot \dfrac{x^{2}-16}{3} \nonumber$

Factor.

$\dfrac{3 \cdot 2}{x-4} \cdot \dfrac{(x-4)(x+4)}{3} \nonumber$

Multiplicar.

$\dfrac{3 \cdot 2(x-4)(x+4)}{3(x-4)}\nonumber$

Eliminar los factores comunes.

$\dfrac{\cancel{3} \cdot 2 \cancel {(x-4)}(x+4)}{\cancel{3} \cancel {(x-4)}} \nonumber$

Simplificar.

$2(x+4) \nonumber$

¿Hay algún valor (s) de $$x$$ que no se deba permitir? La expresión racional compleja original tenía denominadores de $$x-4$$ y $$x^2-16$$$.$Esta expresión quedaría indefinida si $$x=4$$ o $$x=-4$$.

##### Pruébalo $$\PageIndex{1}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{\dfrac{2}{x^{2}-1}}{\dfrac{3}{x+1}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{2}{3(x-1)}$$

##### Pruébalo $$\PageIndex{2}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{\dfrac{1}{x^{2}-7 x+12}}{\dfrac{2}{x-4}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{1}{2(x-3)}$$

Las barras de fracciones actúan como símbolos de agrupación. Entonces, para seguir el Orden de Operaciones, simplificamos lo más posible el numerador y el denominador antes de poder hacer la división.

##### Ejemplo $$\PageIndex{2}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} \nonumber$

Solución

Simplifica el numerador y el denominador. Encuentra el LCD y agrega las fracciones en el numerador. Encuentra el LCD y resta las fracciones en el denominador.

$\dfrac{\dfrac{1 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1 \cdot {\color{red}3}}{2 \cdot {\color{red}3}}-\dfrac{1 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}}} \nonumber$

$\dfrac{\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}} \nonumber$

Reescribir la compleja expresión racional como problema de división.

$\dfrac{3}{6} \div \dfrac{1}{6} \nonumber$

Multiplica el primero por el recíproco del segundo.

$\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{6}{1} \nonumber$

Simplificar.

$3 \nonumber$

##### Pruébalo $$\PageIndex{3}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{12}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{14}{11}$$

##### Pruébalo $$\PageIndex{4}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{6}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{10}{23}$$

Seguimos el mismo procedimiento cuando la expresión racional compleja contiene variables.

##### Ejemplo $$\PageIndex{3}$$: Cómo simplificar una expresión racional compleja usando la división

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber$

Solución

$\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber$

$\dfrac{\dfrac{1 \cdot {\color{red}y}}{x \cdot {\color{red}y}}+\dfrac{1 \cdot {\color{red}x}}{y \cdot {\color{red}x}}}{\dfrac{x \cdot {\color{red}x}}{y \cdot {\color{red}x}}-\dfrac{y \cdot {\color{red}y}}{x \cdot {\color{red}y}}} \nonumber$

$\dfrac{\dfrac{y}{x y}+\dfrac{x}{x y}}{\dfrac{x^{2}}{x y}-\dfrac{y^{2}}{x y}} \nonumber$

$\dfrac{\dfrac{y+x}{x y}}{\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x y}} \nonumber$

Ahora tenemos una sola expresión racional en el numerador y otra en el denominador.

Paso 2. Reescribir la compleja expresión racional como problema de división.

$\left(\dfrac{y+x}{x y}\right) \div\left(\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x y}\right) \nonumber$

Paso 3. Divide las expresiones.

Multiplica el primero por el recíproco del segundo.

$\left(\dfrac{y+x}{x y}\right) \cdot\left(\dfrac{x y}{x^{2}-y^{2}}\right) \nonumber$

Factor cualquier expresión si es posible.

$\dfrac{x y(y+x)}{x y(x-y)(x+y)} \nonumber$

Eliminar los factores comunes.

$\dfrac{\cancel {x y}\cancel {(y+x)}}{\cancel {x y}(x-y)\cancel {(x+y)}} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{1}{x-y} \nonumber$

##### Pruébalo $$\PageIndex{5}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{y+x}{y-x}$$

##### Pruébalo $$\PageIndex{6}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a^{2}}-\dfrac{1}{b^{2}}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{a b}{b-a}$$

Aquí resumimos los pasos.

##### Cómo simplificar una expresión racional compleja escribiéndola como división.
1. Reescribir la compleja expresión racional como problema de división.
2. Divide las expresiones.
##### Ejemplo $$\PageIndex{4}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{n-\dfrac{4 n}{n+5}}{\dfrac{1}{n+5}+\dfrac{1}{n-5}} \nonumber$

Solución

$\dfrac{\dfrac{n{\color{red}(n+5)}}{1{\color{red}(n+5)}}-\dfrac{4 n}{n+5}}{\dfrac{1{\color{red}(n-5)}}{(n+5){\color{red}(n-5)}}+\dfrac{1{\color{red}(n+5)}}{(n-5){\color{red}(n+5)}}} \nonumber$

$\dfrac{\dfrac{n^{2}+5 n}{n+5}-\dfrac{4 n}{n+5}} {\dfrac{n-5}{(n+5)(n-5)}+\dfrac{n+5}{(n-5)(n+5)}} \nonumber$

Restar las expresiones racionales en el numerador y sumar en el denominador.

$\dfrac{\dfrac{n^{2}+5 n-4 n}{n+5}}{\dfrac{n-5+n+5}{(n+5)(n-5)}} \nonumber$

Simplificar. (Ahora tenemos una expresión racional sobre una expresión racional.)

$\dfrac{\dfrac{n^{2}+n}{n+5}}{\dfrac {2n}{(n+5)(n-5)}} \nonumber$

Reescribir como división fraccionaria.

$\dfrac{n^{2}+n}{n+5} \div \dfrac{2 n}{(n+5)(n-5)} \nonumber$

Multiplica las primeras veces el recíproco del segundo.

$\dfrac{n^{2}+n}{n+5} \cdot \dfrac{(n+5)(n-5)}{2 n} \nonumber$

Factor cualquier expresión si es posible.

$\dfrac{n(n+1)(n+5)(n-5)}{(n+5) 2 n} \nonumber$

Eliminar los factores comunes.

$\dfrac{\cancel{n}(n+1)\cancel {(n+5)}(n-5)}{\cancel {(n+5)} 2 \cancel {n}} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{(n+1)(n-5)}{2} \nonumber$

##### Pruébalo $$\PageIndex{7}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{b-\dfrac{3 b}{b+5}}{\dfrac{2}{b+5}+\dfrac{1}{b-5}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{b(b+2)(b-5)}{3 b-5}$$

##### Pruébalo $$\PageIndex{8}$$

Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: $\dfrac{1-\dfrac{3}{c+4}}{\dfrac{1}{c+4}+\dfrac{c}{3}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{3}{c+3}$$

## Simplifique una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD

“Despejamos” las fracciones multiplicando por el LCD cuando resolvimos ecuaciones con fracciones. Podemos usar esa estrategia aquí para simplificar expresiones racionales complejas. Multiplicaremos el numerador y denominador por el LCD de todas las expresiones racionales.

Veamos la compleja expresión racional que simplificamos de una manera en el Ejemplo 7.4.2. Aquí lo simplificaremos multiplicando el numerador y denominador por el LCD. Cuando multiplicamos por $$\dfrac{LCD}{LCD}$$ estamos multiplicando por 1, por lo que el valor permanece igual.

##### Ejemplo $$\PageIndex{5}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} \nonumber$

Solución

El LCD de todas las fracciones en toda la expresión es 6.

$\dfrac{{\color{red}6} \cdot\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right)}{{\color{red}6} \cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)} \nonumber$

Distribuir.

$\dfrac{6 \cdot \dfrac{1}{3}+6 \cdot \dfrac{1}{6}}{6 \cdot \dfrac{1}{2}-6 \cdot \dfrac{1}{3}} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{2+1}{3-2} \nonumber$

$\dfrac{3}{1}\nonumber$

$3\nonumber$

##### Pruébalo $$\PageIndex{9}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{7}{3}$$

##### Pruébalo $$\PageIndex{10}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{16}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{10}{3}$$

Usaremos el mismo ejemplo que en el Ejemplo 7.4.3. Decide qué método funciona mejor para ti.

##### Ejemplo $$\PageIndex{6}$$: Cómo simplificar una expresión racional compleja usando la pantalla LCD

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber$

Solución

Paso 1. Encuentra el LCD de todas las fracciones en la expresión racional es compleja.

El LCD de todas las fracciones $$xy$$.

$\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber$

Multiplica tanto el numerador como el denominador por $$xy$$.

$\dfrac{{\color{red}x y} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)}{{\color{red}x y} \cdot\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}\right)} \nonumber$

Paso 3. Simplifica la expresión.

Distribuir.

$\dfrac{xy \cdot \dfrac{1}{x}+xy \cdot \dfrac{1}{y}}{xy \cdot \dfrac{x}{y}-xy \cdot \dfrac{y}{x}} \nonumber$

$\dfrac{y+x}{x^{2}-y^{2}} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{\cancel{(y+x)}}{(x-y)\cancel{(x+y)}} \nonumber$

Eliminar los factores comunes.

$\dfrac{1}{x-y} \nonumber$

##### Pruébalo $$\PageIndex{11}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{b+a}{a^{2}+b^{2}}$$

##### Pruébalo $$\PageIndex{12}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{y-x}{x y}$$

##### Cómo simplificar una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD.
2. Simplifica la expresión.

Asegúrate de comenzar factorizando todos los denominadores para que puedas encontrar la pantalla LCD.

##### Ejemplo $$\PageIndex{7}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{2}{x+6}}{\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{x^{2}-36}} \nonumber$

Solución

Encuentra el LCD de todas las fracciones en la compleja expresión racional. El LCD es:

$x^{2}-36=(x+6)(x-6) \nonumber$

$\dfrac{(x+6)(x-6) \dfrac{2}{x+6}}{(x+6)(x-6)\left(\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{(x+6)(x-6)}\right)} \nonumber$

Simplifica la expresión.

$\dfrac{(x+6)(x-6) \dfrac{2}{x+6}}{{\color{red}(x+6)(x-6)}\left(\dfrac{4}{x-6}\right)-{\color{red}(x+6)(x-6)}\left(\dfrac{4}{(x+6)(x-6)}\right)} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{\cancel{(x+6)}(x-6) \dfrac{2}{\cancel{x+6}}}{{\color{red}(x+6)\cancel{(x-6)}}\left(\dfrac{4}{x-6}\right)-{\color{red}\cancel{(x+6)(x-6)}}\left(\dfrac{4}{\cancel{(x+6)(x-6)}}\right)} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{2(x-6)}{4(x+6)-4} \nonumber$

Para simplificar el denominador, distribuir y combinar términos similares.

$\dfrac{2(x-6)}{4 x+20} \nonumber$

$\dfrac{2(x-6)}{4(x+5)} \nonumber$

Eliminar los factores comunes.

$\dfrac{\cancel{2}(x-6)}{\cancel{2} \cdot 2(x+5)} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{x-6}{2(x+5)} \nonumber$

##### Pruébalo $$\PageIndex{13}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{3}{x+2}}{\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{3}{x^{2}-4}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{3(x-2)}{5 x+7}$$

##### Pruébalo $$\PageIndex{14}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{2}{x-7}-\dfrac{1}{x+7}}{\dfrac{6}{x+7}-\dfrac{1}{x^{2}-49}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{x+21}{6 x-43}$$

##### Ejemplo $$\PageIndex{8}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{4}{m^{2}-7 m+12}}{\dfrac{3}{m-3}-\dfrac{2}{m-4}} \nonumber$

Solución

Encuentra el LCD de todas las fracciones en la compleja expresión racional.

El LCD es $$(m−3)(m−4)$$.

$\dfrac{(m-3)(m-4) \dfrac{4}{(m-3)(m-4)}}{(m-3)(m-4)\left(\dfrac{3}{m-3}-\dfrac{2}{m-4}\right)} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{\cancel {(m-3)(m-4)}\dfrac{4}{\cancel {(m-3)(m-4)}}}{\cancel {(m-3)}(m-4)\left(\dfrac{3}{\cancel {m-3}}\right)-(m-3)\cancel {(m-4)}\left(\dfrac{2}{\cancel {m-4}}\right)} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{4}{3(m-4)-2(m-3)} \nonumber$

Distribuir.

$\dfrac{4}{3m-12-2m+6} \nonumber$

Combina términos similares.

$\dfrac{4}{m-6} \nonumber$

##### Pruébalo $$\PageIndex{15}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{3}{x^{2}+7 x+10}}{\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{3}{5 x+22}$$

##### Pruébalo $$\PageIndex{16}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{4 y}{y+5}+\dfrac{2}{y+6}}{\dfrac{3 y}{y^{2}+11 y+30}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{2\left(2 y^{2}+13 y+5\right)}{3 y}$$

##### Ejemplo $$\PageIndex{9}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{y}{y+1}}{1+\dfrac{1}{y-1}} \nonumber$

Solución

Encuentra el LCD de todas las fracciones en la compleja expresión racional.

El LCD es $$(y+1)(y−1)$$.

$\dfrac{(y+1)(y-1) \dfrac{y}{y+1}}{(y+1)(y-1)\left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)} \nonumber$

Distribuir en el denominador y simplificar.

$\dfrac{\cancel{(y+1)}(y-1) \dfrac{y}{\cancel {y+1}}}{(y+1)(y-1)(1)+(y+1)\cancel{(y-1)}\left(\dfrac{1}{\cancel{(y-1)}}\right)} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{(y-1) y}{(y+1)(y-1)+(y+1)} \nonumber$

$\dfrac{y(y-1)}{y^{2}-1+y+1} \nonumber$

$\dfrac{y(y-1)}{y^{2}+y} \nonumber$

$\dfrac{\cancel {y}(y-1)}{\cancel {y}(y+1)} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{y-1}{y+1} \nonumber$

##### Pruébalo $$\PageIndex{17}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{\dfrac{x}{x+3}}{1+\dfrac{1}{x+3}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{x}{x+4}$$

##### Pruébalo $$\PageIndex{18}$$

Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: $\dfrac{1+\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{3}{x+1}} \nonumber$

Responder

$$\dfrac{x(x+1)}{3(x-1)}$$

Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con fracciones complejas.

• Fracciones Complejas

## Conceptos Clave

• Cómo simplificar una expresión racional compleja escribiéndola como división.