7.4: Simplificar expresiones racionales complejas
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Simplifica una expresión racional compleja escribiéndola como división
- Simplifique una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD
Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador y/o el denominador contiene una fracción.
Anteriormente simplificamos fracciones complejas como estas:
\[\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \quad \quad \quad \dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x y}{6}} \nonumber \]
En este apartado, simplificaremos expresiones racionales complejas, que son expresiones racionales con expresiones racionales en el numerador o denominador.
Una expresión racional compleja es una expresión racional en la que el numerador y/o el denominador contiene una expresión racional.
Aquí hay algunas expresiones racionales complejas:
\[\dfrac{\dfrac{4}{y-3}}{\dfrac{8}{y^{2}-9}} \quad \quad \dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \quad \quad \dfrac{\dfrac{2}{x+6}}{\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{x^{2}-36}} \nonumber \]
Recuerda, siempre excluimos valores que harían que cualquier denominador sea cero.
Utilizaremos dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas.
Ya hemos visto esta compleja expresión racional anteriormente en este capítulo.
\[\dfrac{\dfrac{6 x^{2}-7 x+2}{4 x-8}}{\dfrac{2 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-5 x+6}} \nonumber \]
Señalamos que las barras de fracciones nos dicen dividir, por lo que lo reescribimos como el problema de la división:
\[\left(\dfrac{6 x^{2}-7 x+2}{4 x-8}\right) \div\left(\dfrac{2 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-5 x+6}\right) \nonumber \]
Entonces, multiplicamos la primera expresión racional por la recíproca de la segunda, tal como lo hacemos cuando dividimos dos fracciones.
Este es un método para simplificar expresiones racionales complejas. Nos aseguramos de que la expresión racional compleja sea de la forma donde una fracción está sobre una fracción. Después lo escribimos como si estuviéramos dividiendo dos fracciones.
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{\dfrac{6}{x-4}}{\dfrac{3}{x^{2}-16}} \nonumber \]
Solución
Reescribir la fracción compleja como división. \[\dfrac{6}{x-4} \div \dfrac{3}{x^{2}-16} \nonumber \]
Reescribir como el producto de primeras veces el recíproco de la segunda.Reescribir como el producto de primeras veces el recíproco de la segunda.Reescribir como el producto de primeras veces el recíproco de la segunda.
\[\dfrac{6}{x-4} \cdot \dfrac{x^{2}-16}{3} \nonumber \]
Factor.
\[\dfrac{3 \cdot 2}{x-4} \cdot \dfrac{(x-4)(x+4)}{3} \nonumber \]
Multiplicar.
\[\dfrac{3 \cdot 2(x-4)(x+4)}{3(x-4)}\nonumber \]
Eliminar los factores comunes.
\[\dfrac{\cancel{3} \cdot 2 \cancel {(x-4)}(x+4)}{\cancel{3} \cancel {(x-4)}} \nonumber \]
Simplificar.
\[2(x+4) \nonumber \]
¿Hay algún valor (s) de \(x\) que no se deba permitir? La expresión racional compleja original tenía denominadores de \(x-4\) y \(x^2-16\) Esta expresión quedaría indefinida si \(x=4\) o \(x=-4\) .
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{\dfrac{2}{x^{2}-1}}{\dfrac{3}{x+1}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{2}{3(x-1)}\)
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{\dfrac{1}{x^{2}-7 x+12}}{\dfrac{2}{x-4}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{1}{2(x-3)}\)
Las barras de fracciones actúan como símbolos de agrupación. Entonces, para seguir el Orden de Operaciones, simplificamos lo más posible el numerador y el denominador antes de poder hacer la división.
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} \nonumber \]
Solución
Simplifica el numerador y el denominador. Encuentra el LCD y agrega las fracciones en el numerador. Encuentra el LCD y resta las fracciones en el denominador.
\[\dfrac{\dfrac{1 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1 \cdot {\color{red}3}}{2 \cdot {\color{red}3}}-\dfrac{1 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}}} \nonumber \]
Simplifica el numerador y el denominador.
\[\dfrac{\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}} \nonumber \]
Reescribir la compleja expresión racional como problema de división.
\[\dfrac{3}{6} \div \dfrac{1}{6} \nonumber \]
Multiplica el primero por el recíproco del segundo.
\[\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{6}{1} \nonumber \]
Simplificar.
\[3 \nonumber \]
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{12}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{14}{11}\)
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{6}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{10}{23}\)
Seguimos el mismo procedimiento cuando la expresión racional compleja contiene variables.
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber \]
Solución
Paso 1 . Simplifica el numerador.
Simplificaremos la suma en y denominador. el numerador y diferencia en el denominador.
\[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber \]
Encuentra un denominador común y agrega las fracciones en el numerador.
\[\dfrac{\dfrac{1 \cdot {\color{red}y}}{x \cdot {\color{red}y}}+\dfrac{1 \cdot {\color{red}x}}{y \cdot {\color{red}x}}}{\dfrac{x \cdot {\color{red}x}}{y \cdot {\color{red}x}}-\dfrac{y \cdot {\color{red}y}}{x \cdot {\color{red}y}}} \nonumber \]
\[\dfrac{\dfrac{y}{x y}+\dfrac{x}{x y}}{\dfrac{x^{2}}{x y}-\dfrac{y^{2}}{x y}} \nonumber \]
Encuentra un denominador común y resta las fracciones en el denominador.
\[\dfrac{\dfrac{y+x}{x y}}{\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x y}} \nonumber \]
Ahora tenemos una sola expresión racional en el numerador y otra en el denominador.
Paso 2 . Reescribir la compleja expresión racional como problema de división.
Escribimos el numerador dividido por el denominador.
\[\left(\dfrac{y+x}{x y}\right) \div\left(\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x y}\right) \nonumber \]
Paso 3 . Divide las expresiones.
Multiplica el primero por el recíproco del segundo.
\[\left(\dfrac{y+x}{x y}\right) \cdot\left(\dfrac{x y}{x^{2}-y^{2}}\right) \nonumber \]
Factor cualquier expresión si es posible.
\[\dfrac{x y(y+x)}{x y(x-y)(x+y)} \nonumber \]
Eliminar los factores comunes.
\[\dfrac{\cancel {x y}\cancel {(y+x)}}{\cancel {x y}(x-y)\cancel {(x+y)}} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{1}{x-y} \nonumber \]
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{y+x}{y-x}\)
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a^{2}}-\dfrac{1}{b^{2}}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{a b}{b-a}\)
Aquí resumimos los pasos.
- Reescribir la compleja expresión racional como problema de división.
- Divide las expresiones.
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{n-\dfrac{4 n}{n+5}}{\dfrac{1}{n+5}+\dfrac{1}{n-5}} \nonumber \]
Solución
Simplifica el numerador y el denominador. Encuentre denominadores comunes para el numerador y el denominador.
\[\dfrac{\dfrac{n{\color{red}(n+5)}}{1{\color{red}(n+5)}}-\dfrac{4 n}{n+5}}{\dfrac{1{\color{red}(n-5)}}{(n+5){\color{red}(n-5)}}+\dfrac{1{\color{red}(n+5)}}{(n-5){\color{red}(n+5)}}} \nonumber \]
Simplifica los numeradores.
\[\dfrac{\dfrac{n^{2}+5 n}{n+5}-\dfrac{4 n}{n+5}} {\dfrac{n-5}{(n+5)(n-5)}+\dfrac{n+5}{(n-5)(n+5)}} \nonumber \]
Restar las expresiones racionales en el numerador y sumar en el denominador.
\[\dfrac{\dfrac{n^{2}+5 n-4 n}{n+5}}{\dfrac{n-5+n+5}{(n+5)(n-5)}} \nonumber \]
Simplificar. (Ahora tenemos una expresión racional sobre una expresión racional.)
\[\dfrac{\dfrac{n^{2}+n}{n+5}}{\dfrac {2n}{(n+5)(n-5)}} \nonumber \]
Reescribir como división fraccionaria.
\[\dfrac{n^{2}+n}{n+5} \div \dfrac{2 n}{(n+5)(n-5)} \nonumber \]
Multiplica las primeras veces el recíproco del segundo.
\[\dfrac{n^{2}+n}{n+5} \cdot \dfrac{(n+5)(n-5)}{2 n} \nonumber \]
Factor cualquier expresión si es posible.
\[\dfrac{n(n+1)(n+5)(n-5)}{(n+5) 2 n} \nonumber \]
Eliminar los factores comunes.
\[\dfrac{\cancel{n}(n+1)\cancel {(n+5)}(n-5)}{\cancel {(n+5)} 2 \cancel {n}} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{(n+1)(n-5)}{2} \nonumber \]
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{b-\dfrac{3 b}{b+5}}{\dfrac{2}{b+5}+\dfrac{1}{b-5}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{b(b+2)(b-5)}{3 b-5}\)
Simplifica la compleja expresión racional escribiéndola como división: \[\dfrac{1-\dfrac{3}{c+4}}{\dfrac{1}{c+4}+\dfrac{c}{3}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{3}{c+3}\)
Simplifique una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD
“Despejamos” las fracciones multiplicando por el LCD cuando resolvimos ecuaciones con fracciones. Podemos usar esa estrategia aquí para simplificar expresiones racionales complejas. Multiplicaremos el numerador y denominador por el LCD de todas las expresiones racionales.
Veamos la compleja expresión racional que simplificamos de una manera en el Ejemplo 7.4.2 . Aquí lo simplificaremos multiplicando el numerador y denominador por el LCD. Cuando multiplicamos por \(\dfrac{LCD}{LCD}\) estamos multiplicando por 1, por lo que el valor permanece igual.
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} \nonumber \]
Solución
El LCD de todas las fracciones en toda la expresión es 6.
Borrar las fracciones multiplicando el numerador y denominador por esa LCD.
\[\dfrac{{\color{red}6} \cdot\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right)}{{\color{red}6} \cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)} \nonumber \]
Distribuir.
\[\dfrac{6 \cdot \dfrac{1}{3}+6 \cdot \dfrac{1}{6}}{6 \cdot \dfrac{1}{2}-6 \cdot \dfrac{1}{3}} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{2+1}{3-2} \nonumber \]
\[\dfrac{3}{1}\nonumber \]
\[3\nonumber \]
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{7}{3}\)
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{16}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{10}{3}\)
Usaremos el mismo ejemplo que en el Ejemplo 7.4.3 . Decide qué método funciona mejor para ti.
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber \]
Solución
Paso 1 . Encuentra el LCD de todas las fracciones en la expresión racional es compleja.
El LCD de todas las fracciones \(xy\) .
\[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber \]
Paso 2 . Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.
Multiplica tanto el numerador como el denominador por \(xy\) .
\[\dfrac{{\color{red}x y} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)}{{\color{red}x y} \cdot\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}\right)} \nonumber \]
Paso 3 . Simplifica la expresión.
Distribuir.
\[\dfrac{xy \cdot \dfrac{1}{x}+xy \cdot \dfrac{1}{y}}{xy \cdot \dfrac{x}{y}-xy \cdot \dfrac{y}{x}} \nonumber \]
\[\dfrac{y+x}{x^{2}-y^{2}} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{\cancel{(y+x)}}{(x-y)\cancel{(x+y)}} \nonumber \]
Eliminar los factores comunes.
\[\dfrac{1}{x-y} \nonumber \]
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{b+a}{a^{2}+b^{2}}\)
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{y-x}{x y}\)
- Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.
- Simplifica la expresión.
Asegúrate de comenzar factorizando todos los denominadores para que puedas encontrar la pantalla LCD.
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{2}{x+6}}{\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{x^{2}-36}} \nonumber \]
Solución
Encuentra el LCD de todas las fracciones en la compleja expresión racional. El LCD es:
\[x^{2}-36=(x+6)(x-6) \nonumber \]
Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.
\[\dfrac{(x+6)(x-6) \dfrac{2}{x+6}}{(x+6)(x-6)\left(\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{(x+6)(x-6)}\right)} \nonumber \]
Simplifica la expresión.
Distribuir en el denominador.
\[\dfrac{(x+6)(x-6) \dfrac{2}{x+6}}{{\color{red}(x+6)(x-6)}\left(\dfrac{4}{x-6}\right)-{\color{red}(x+6)(x-6)}\left(\dfrac{4}{(x+6)(x-6)}\right)} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{\cancel{(x+6)}(x-6) \dfrac{2}{\cancel{x+6}}}{{\color{red}(x+6)\cancel{(x-6)}}\left(\dfrac{4}{x-6}\right)-{\color{red}\cancel{(x+6)(x-6)}}\left(\dfrac{4}{\cancel{(x+6)(x-6)}}\right)} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{2(x-6)}{4(x+6)-4} \nonumber \]
Para simplificar el denominador, distribuir y combinar términos similares.
\[\dfrac{2(x-6)}{4 x+20} \nonumber \]
Factor el denominador.
\[\dfrac{2(x-6)}{4(x+5)} \nonumber \]
Eliminar los factores comunes.
\[\dfrac{\cancel{2}(x-6)}{\cancel{2} \cdot 2(x+5)} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{x-6}{2(x+5)} \nonumber \]
Observe que no hay más factores comunes al numerador y denominador.
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{3}{x+2}}{\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{3}{x^{2}-4}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{3(x-2)}{5 x+7}\)
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{2}{x-7}-\dfrac{1}{x+7}}{\dfrac{6}{x+7}-\dfrac{1}{x^{2}-49}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{x+21}{6 x-43}\)
Asegúrese de factorizar primero los denominadores. Proceder con cuidado ya que las matemáticas pueden ser desordenadas!
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{4}{m^{2}-7 m+12}}{\dfrac{3}{m-3}-\dfrac{2}{m-4}} \nonumber \]
Solución
Encuentra el LCD de todas las fracciones en la compleja expresión racional.
El LCD es \((m−3)(m−4)\) .
Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.
\[\dfrac{(m-3)(m-4) \dfrac{4}{(m-3)(m-4)}}{(m-3)(m-4)\left(\dfrac{3}{m-3}-\dfrac{2}{m-4}\right)} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{\cancel {(m-3)(m-4)}\dfrac{4}{\cancel {(m-3)(m-4)}}}{\cancel {(m-3)}(m-4)\left(\dfrac{3}{\cancel {m-3}}\right)-(m-3)\cancel {(m-4)}\left(\dfrac{2}{\cancel {m-4}}\right)} \nonumber\]
Simplificar.
\[\dfrac{4}{3(m-4)-2(m-3)} \nonumber \]
Distribuir.
\[\dfrac{4}{3m-12-2m+6} \nonumber \]
Combina términos similares.
\[\dfrac{4}{m-6} \nonumber \]
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{3}{x^{2}+7 x+10}}{\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{3}{5 x+22}\)
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{4 y}{y+5}+\dfrac{2}{y+6}}{\dfrac{3 y}{y^{2}+11 y+30}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{2\left(2 y^{2}+13 y+5\right)}{3 y}\)
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{y}{y+1}}{1+\dfrac{1}{y-1}} \nonumber \]
Solución
Encuentra el LCD de todas las fracciones en la compleja expresión racional.
El LCD es \((y+1)(y−1)\) .
Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.
\[\dfrac{(y+1)(y-1) \dfrac{y}{y+1}}{(y+1)(y-1)\left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)} \nonumber \]
Distribuir en el denominador y simplificar.
\[\dfrac{\cancel{(y+1)}(y-1) \dfrac{y}{\cancel {y+1}}}{(y+1)(y-1)(1)+(y+1)\cancel{(y-1)}\left(\dfrac{1}{\cancel{(y-1)}}\right)} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{(y-1) y}{(y+1)(y-1)+(y+1)} \nonumber \]
Simplifica el denominador y deja el numerador factorizado.
\[\dfrac{y(y-1)}{y^{2}-1+y+1} \nonumber \]
\[\dfrac{y(y-1)}{y^{2}+y} \nonumber \]
Factor el denominador y eliminar factores comunes con el numerador.
\[\dfrac{\cancel {y}(y-1)}{\cancel {y}(y+1)} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{y-1}{y+1} \nonumber \]
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{\dfrac{x}{x+3}}{1+\dfrac{1}{x+3}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{x}{x+4}\)
Simplifique la expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD: \[\dfrac{1+\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{3}{x+1}} \nonumber \]
- Responder
-
\(\dfrac{x(x+1)}{3(x-1)}\)
Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con fracciones complejas.
- Fracciones Complejas
Conceptos Clave
-
Cómo simplificar una expresión racional compleja escribiéndola como división.
- Simplifica el numerador y el denominador.
- Reescribir la compleja expresión racional como problema de división.
- Divide las expresiones.
-
Cómo simplificar una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD.
- Encuentra el LCD de todas las fracciones en la compleja expresión racional.
- Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.
- Simplifica la expresión.
Glosario
- expresión racional compleja
- Una expresión racional compleja es una expresión racional en la que el numerador y/o denominador contiene una expresión racional.