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8.2: Simplificar expresiones con raíces

  • Page ID
    51739
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Simplifica expresiones con raíces
    • Estimar y aproximar raíces
    • Simplifica expresiones variables con raíces

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar: a. \((−9)^{2}\) b. \(-9^{2}\) c. \((−9)^{3}\)
      Si se le pasó este problema, revise Ejemplo 2.21.
    2. Redondear \(3.846\) a la centésima más cercana.
      Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 1.34.
    3. Simplificar: a. \(x^{3} \cdot x^{3}\) b. \(y^{2} \cdot y^{2} \cdot y^{2}\) c. \(z^{3} \cdot z^{3} \cdot z^{3} \cdot z^{3}\)
      Si se perdió este problema, revise Ejemplo 5.12.

    Simplifique expresiones con raíces

    En Fundaciones, analizamos brevemente las raíces cuadradas. Recuerda que cuando un número real \(n\) se multiplica por sí mismo, lo escribimos \(n^{2}\) y leemos '\(n^{2}\) cuadrado'. Este número se llama el cuadrado de \(n\), y \(n\) se llama la raíz cuadrada . Por ejemplo,

    \(13^{2}\) se lee "\(13\) al cuadrado”

    \(169\) se llama la plaza de \(13\), ya que \(13^{2}=169\)

    \(13\) es una raíz cuadrada de \(169\)

    Definición \(\PageIndex{1}\): Raíz cuadrada y cuadrada de un número

    Square

    Si \(n^{2}=m\), entonces \(m\) es la plaza de \(n\).

    Raíz Cuadrada

    Si \(n^{2}=m\), entonces \(n\) es una raíz cuadrada de \(m\).

    Note \((−13)^{2} = 169\) también, por lo que también \(−13\) es una raíz cuadrada de \(169\). Por lo tanto, ambos \(13\) y \(−13\) son raíces cuadradas de \(169\).

    Entonces, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. ¿Y si sólo quisiéramos la raíz cuadrada positiva de un número positivo? Usamos un signo radical, y escribimos, \(\sqrt{m}\), que denota la raíz cuadrada positiva de \(m\). La raíz cuadrada positiva también se llama raíz cuadrada principal.

    También utilizamos el signo radical para la raíz cuadrada de cero. Porque \(0^{2}=0, \sqrt{0}=0\). Observe que cero tiene sólo una raíz cuadrada.

    Definición \(\PageIndex{2}\): Notación de raíz cuadrada

    \(\sqrt{m}\) se lee “la raíz cuadrada de” \(m\).

    Si \(n^{2}=m\), entonces \(n=\sqrt{m}\), para \(n\geq 0\).

    \[\color{cyan} \text{radical sign} \longrightarrow \color{black} \sqrt{m} \color{cyan} \longleftarrow \text{radicand} \nonumber\]
    Figura 8.1.1

    Sabemos que cada número positivo tiene dos raíces cuadradas y el signo radical indica el positivo. Nosotros escribimos \(\sqrt{169}=13\). Si queremos encontrar la raíz cuadrada negativa de un número, colocamos un negativo frente al signo radical. Por ejemplo, \(-\sqrt{169}=-13\).

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{144}\)
    2. \(-\sqrt{289}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt{144}\)

    Desde \(12^{2}=144\).

    \(12\)

    b.

    \(-\sqrt{289}\)

    Desde \(17^{2}=289\) y lo negativo está frente al signo radical.

    \(-17\)

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Simplificar:

    1. \(-\sqrt{64}\)
    2. \(\sqrt{225}\)
    Responder
    1. \(-8\)
    2. \(15\)
    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{100}\)
    2. \(-\sqrt{121}\)
    Responder
    1. \(10\)
    2. \(-11\)

    ¿Podemos simplificar \(-\sqrt{49}\)? ¿Hay un número cuya plaza sea \(-49\)?

    \((\)___\( )^{2}=-49\)

    Cualquier número positivo al cuadrado es positivo. Cualquier número negativo al cuadrado es positivo. No hay un número real igual a \(\sqrt{-49}\). La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{-196}\)
    2. \(-\sqrt{64}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt{-196}\)

    No hay un número real cuyo cuadrado sea \(-196\).

    \(\sqrt{-196}\) no es un número real.

    b.

    \(-\sqrt{64}\)

    El negativo está frente a lo radical.

    \(-8\)

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{-169}\)
    2. \(-\sqrt{81}\)
    Responder
    1. no es un número real
    2. \(-9\)
    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Simplificar:

    1. \(-\sqrt{49}\)
    2. \(\sqrt{-121}\)
    Responder
    1. \(-7\)
    2. no es un número real

    Por ahora sólo hemos hablado de cuadrados y raíces cuadradas. Extendamos ahora nuestro trabajo para incluir poderes superiores y raíces superiores.

    Revisemos un poco de vocabulario primero.

    \(\begin{array}{ll}{\text { We write: }} & {\text { We say: }} \\ {n^{2}} & {n \text { squared }} \\ {n^{3}} & {n \text { cubed }} \\ {n^{4}} & {n \text { to the fourth power }} \\ {n^{5}} & {n \text { to the fifth power }}\end{array}\)

    Los términos 'cuadrado' y 'cubo' provienen de las fórmulas para área de un cuadrado y volumen de un cubo.

    Será útil tener una tabla de los poderes de los enteros de \(−5\) a \(5\). Ver Figura 8.1.2

    La figura contiene dos tablas. La primera tabla tiene 9 filas y 5 columnas. La primera fila es una fila de cabecera con las cabeceras “number€, “square€, “cube€, “Fourth powerâ€, y “quinto powerâ€. La segunda fila contiene las expresiones n, n al cuadrado, n en cubos, n a la cuarta potencia y n a la quinta potencia. La tercera fila contiene el número 1 en cada columna. La cuarta fila contiene los números 2, 4, 8, 16, 32. La quinta fila contiene los números 3, 9, 27, 81, 243. La sexta fila contiene los números 4, 16, 64, 256, 1024. La séptima fila contiene los números 5, 25, 125 625, 3125. La octava fila contiene las expresiones x, x al cuadrado, x en cubos, x a la cuarta potencia y x a la quinta potencia. La última fila contiene las expresiones x al cuadrado, x a la cuarta potencia, x a la sexta potencia, x a la octava potencia, y x a la décima potencia. La segunda tabla tiene 7 filas y 5 columnas. La primera fila es una fila de cabecera con las cabeceras “number€, “square€, “cube€, “Fourth powerâ€, y “quinto powerâ€. La segunda fila contiene las expresiones n, n al cuadrado, n en cubos, n a la cuarta potencia y n a la quinta potencia. La tercera fila contiene los números negativos 1, 1 negativo 1, 1, negativo 1. La cuarta fila contiene los números negativos 2, 4, negativo 8, 16, negativo 32. La quinta fila contiene los números negativos 3, 9, negativo 27, 81, negativo 243. La sexta fila contiene los números negativos 4, 16, negativo 64, 256, negativo 1024. La última fila contiene los números negativos 5, 25, negativo 125, 625, negativo 3125.
    Figura 8.1.2

    Observe los letreros en la tabla. Todos los poderes de los números positivos son positivos, por supuesto. Pero cuando tenemos un número negativo, los poderes pares son positivos y los poderes impar son negativos. Copiaremos la fila con los poderes de \(−2\) para ayudarte a ver esto.

    La imagen contiene una tabla con 2 filas y 5 columnas. La primera fila contiene las expresiones n, n al cuadrado, n en cubos, n a la cuarta potencia y n a la quinta potencia. La segunda fila contiene los números negativos 2, 4, negativo 8, 16, negativo 32. Las flechas apuntan a la segunda y cuarta columnas con la etiqueta “Even power Resultado positivo€. Las flechas apuntan a la primera tercera y quinta columnas con la etiqueta “Odd power Resultado negativo€.
    Figura 8.1.3

    Ahora extenderemos la definición de raíz cuadrada a raíces superiores.

    Definición \(\PageIndex{3}\):Raíz N de un Número

    Si \(b^{n}=a\), entonces \(b\) es una \(n^{th}\) raíz de \(a\).

    La \(n^{th}\) raíz principal de \(a\) está escrita \(\sqrt[n]{a}\).

    El \(n\) se llama el índice de lo radical.

    Al igual que usamos la palabra 'cubed' for \(b^{3}\), usamos el término 'raíz de cubo' para \(\sqrt[3]{a}\).

    Podemos referirnos a la Figura 8.1.2 para ayudar a encontrar raíces más altas.

    \(\begin{aligned} 4^{3} &=64 & \sqrt[3]{64}&=4 \\ 3^{4} &=81 & \sqrt[4]{81}&=3 \\(-2)^{5} &=-32 & \sqrt[5]{-32}&=-2 \end{aligned}\)

    ¿Podríamos tener una raíz pareja de un número negativo? Sabemos que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Lo mismo es cierto para cualquier raíz parejo. Incluso las raíces de los números negativos no son números reales. Las raícesimpares de los números negativos son números reales.

    Propiedades de \(\sqrt[n]{a}\)

    Cuando \(n\) es un número par y

    • \(a \geq 0\), entonces \(\sqrt[n]{a}\) es un número real.
    • \(a<0\), entonces no \(\sqrt[n]{a}\) es un número real.

    Cuando \(n\) es un número impar, \(\sqrt[n]{a}\) es un número real para todos los valores de \(a\).

    Aplicaremos estas propiedades en los siguientes dos ejemplos.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{64}\)
    2. \(\sqrt[4]{81}\)
    3. \(\sqrt[5]{32}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt[3]{64}\)

    Desde \(4^{3}=64\).

    \(4\)

    b.

    \(\sqrt[4]{81}\)

    Desde \((3)^{4}=81\).

    \(3\)

    c.

    \(\sqrt[5]{32}\)

    Desde \((2)^{5}=32\).

    \(2\)

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{27}\)
    2. \(\sqrt[4]{256}\)
    3. \(\sqrt[5]{243}\)
    Responder
    1. \(3\)
    2. \(4\)
    3. \(3\)
    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{1000}\)
    2. \(\sqrt[4]{16}\)
    3. \(\sqrt[5]{243}\)
    Responder
    1. \(10\)
    2. \(2\)
    3. \(3\)

    En este ejemplo estar alerta de los signos negativos así como de los poderes pares e impares.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{-125}\)
    2. \(\sqrt[4]{16}\)
    3. \(\sqrt[5]{-243}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt[3]{-125}\)

    Desde \((-5)^{3}=-125\).

    \(-5\)

    b.

    \(\sqrt[4]{16}\)

    Piensa, \((?)^{4}=-16\). Ningún número real elevado a la cuarta potencia es negativo.

    No es un número real.

    c.

    \(\sqrt[5]{-243}\)

    Desde \((-3)^{5}=-243\).

    \(-3\)

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{-27}\)
    2. \(\sqrt[4]{-256}\)
    3. \(\sqrt[5]{-32}\)
    Responder
    1. \(-3\)
    2. no real
    3. \(-2\)
    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{-216}\)
    2. \(\sqrt[4]{-81}\)
    3. \(\sqrt[5]{-1024}\)
    Responder
    1. \(-6\)
    2. no real
    3. \(-4\)

    Estimar y Aproximar Raíces

    Cuando vemos un número con un signo radical, muchas veces no pensamos en su valor numérico. Si bien probablemente sabemos que el \(\sqrt{4}=2\), ¿cuál es el valor de \(\sqrt{21}\) o \(\sqrt[3]{50}\)? En algunas situaciones una estimación rápida es significativa y en otras es conveniente tener una aproximación decimal.

    Para obtener una estimación numérica de una raíz cuadrada, buscamos números cuadrados perfectos más cercanos a la radicanda. Para encontrar una estimación de \(\sqrt{11}\), vemos \(11\) es entre números cuadrados perfectos \(9\) y \(16\), más cerca de \(9\). Su raíz cuadrada entonces estará entre \(3\) y \(4\), pero más cerca de \(3\).

    La figura contiene dos tablas. La primera tabla tiene 5 filas y 2 columnas. La primera fila es una fila de cabecera con los encabezados “Number€ y “Square Rootâ€. La segunda fila tiene los números 4 y 2. La tercera fila es 9 y 3. La cuarta fila es 16 y 4. La última fila es 25 y 5. Una llamada que contiene el número 11 se dirige entre el 9 y el 16 en la primera columna. Otro rótulo que contiene el número raíz cuadrada de 11 se dirige entre el 3 y el 4 de la segunda columna. Debajo de la tabla están las desigualdades 9 es menor que 11 es menor que 16 y 3 es menor que raíz cuadrada de 11 es menor que 4. La segunda tabla tiene 5 filas y 2 columnas. La primera fila es una fila de cabecera con los encabezados “Number€ y “Cube Rootâ€. La segunda fila tiene los números 8 y 2. La tercera fila es 27 y 3. La cuarta fila es 64 y 4. La última fila es 125 y 5. Una llamada que contiene el número 91 se dirige entre los 64 y 125 en la primera columna. Otra llamada que contiene el número raíz cúbica de 91 se dirige entre el 4 y 5 de la segunda columna. Debajo de la tabla están las desigualdades 64 es menor que 91 es menor que 125 y 4 es menor que raíz cúbica de 91 es menor que 5.
    Figura 8.1.4

    Del mismo modo, para estimar \(\sqrt[3]{91}\), vemos que \(91\) está entre números de cubo perfecto \(64\) y \(125\). La raíz cúbica entonces estará entre \(4\) y \(5\).

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Estimar cada raíz entre dos números enteros consecutivos:

    1. \(\sqrt{105}\)
    2. \(\sqrt[3]{43}\)

    Solución:

    a. Piensa en los números cuadrados perfectos más cercanos \(105\). Haz una pequeña mesa de estos cuadrados perfectos y sus cuadrados raíces.

    Cuadro 8.1.1
      \(\sqrt{105}\)
      .
    Localizar \(105\) entre dos cuadrados perfectos consecutivos. \(100<\color{red}105 \color{black} <121\)
    \(\sqrt{105}\) está entre sus raíces cuadradas. \(10< \color{red}\sqrt{105}< \color{black}11\)

    b. De igual manera ubicamos \(43\) entre dos números de cubo perfectos.

    Cuadro 8.1.2
      \(\sqrt[3]{43}\)
      .
    Ubique \(43\) entre dos cubos perfectos consecutivos. .
    \(\sqrt[3]{43}\) está entre sus raíces cúbicas. .
    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Estimar cada raíz entre dos números enteros consecutivos:

    1. \(\sqrt{38}\)
    2. \(\sqrt[3]{93}\)
    Responder
    1. \(6<\sqrt{38}<7\)
    2. \(4<\sqrt[3]{93}<5\)
    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Estimar cada raíz entre dos números enteros consecutivos:

    1. \(\sqrt{84}\)
    2. \(\sqrt[3]{152}\)
    Responder
    1. \(9<\sqrt{84}<10\)
    2. \(5<\sqrt[3]{152}<6\)

    Existen métodos matemáticos para aproximar raíces cuadradas, pero hoy en día la mayoría de la gente usa una calculadora para encontrar raíces cuadradas. Para encontrar una raíz cuadrada usarás la \(\sqrt{x}\) clave de tu calculadora. Para encontrar una raíz cúbica, o cualquier raíz con mayor índice, usarás la \(\sqrt[y]{x}\) clave.

    Cuando usas estas claves, obtienes un valor aproximado. Es una aproximación, precisa al número de dígitos que se muestran en la pantalla de su calculadora. El símbolo para una aproximación es \(≈\) y se lee 'aproximadamente'.

    Supongamos que su calculadora tiene una pantalla de \(10\) dígitos. Verías que

    \(\sqrt{5} \approx 2.236067978\) redondeado a dos decimales es \(\sqrt{5} \approx 2.24\)

    \(\sqrt[4]{93} \approx 3.105422799\) redondeado a dos decimales es \(\sqrt[4]{93} \approx 3.11\)

    ¿Cómo sabemos que estos valores son aproximaciones y no los valores exactos? Mira lo que sucede cuando los cuadramos:

    \(\begin{aligned}(2.236067978)^{2} &=5.000000002 &(3.105422799)^{4}&=92.999999991 \\(2.24)^{2} &=5.0176 & (3.11)^{4}&=93.54951841 \end{aligned}\)

    Sus plazas están cerca \(5\), pero no son exactamente iguales a \(5\). Los cuartos poderes son cercanos \(93\), pero no iguales a \(93\).

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Redondear a dos decimales:

    1. \(\sqrt{17}\)
    2. \(\sqrt[3]{49}\)
    3. \(\sqrt[4]{51}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt{17}\)

    Utilice la clave raíz cuadrada de la calculadora.

    \(4.123105626 \dots\)

    Redondear a dos decimales.

    \(4.12\)

    \(\sqrt{17} \approx 4.12\)

    b.

    \(\sqrt[3]{49}\)

    Usa la \(\sqrt[y]{x}\) llave de la calculadora.

    \(3.659305710 \ldots\)

    Redondear a dos decimales.

    \(3.66\)

    \(\sqrt[3]{49} \approx 3.66\)

    c.

    \(\sqrt[4]{51}\)

    Usa la \(\sqrt[y]{x}\) llave de la calculadora.

    \(2.6723451177 \ldots\)

    Redondear a dos decimales.

    \(2.67\)

    \(\sqrt[4]{51} \approx 2.67\)

    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Redondear a dos decimales:

    1. \(\sqrt{11}\)
    2. \(\sqrt[3]{71}\)
    3. \(\sqrt[4]{127}\)
    Responder
    1. \(\approx 3.32\)
    2. \(\approx 4.14\)
    3. \(\approx 3.36\)
    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Redondear a dos decimales:

    1. \(\sqrt{13}\)
    2. \(\sqrt[3]{84}\)
    3. \(\sqrt[4]{98}\)
    Responder
    1. \(\approx 3.61\)
    2. \(\approx 4.38\)
    3. \(\approx 3.15\)

    Simplifique expresiones variables con raíces

    La raíz impar de un número puede ser positiva o negativa. Por ejemplo,

    Se escriben tres expresiones equivalentes: la raíz cúbica de 4 cubos, la raíz cúbica de 64 y 4. Hay flechas que apuntan a las 4 que se cuban en la primera expresión y las 4 en la última expresión etiquetándolas como “sameâ€. También se escriben tres expresiones equivalentes más: la raíz cúbica de la cantidad negativa 4 entre paréntesis en cubos, la raíz cúbica de negativo 64 y negativo 4. El negativo 4 en la primera expresión y el negativo 4 en la última expresión se etiquetan como el “sameâ€.
    Figura 8.1.13

    Pero ¿qué pasa con una raíz parejo? Queremos la raíz principal, entonces \(\sqrt[4]{625}=5\).

    Pero fíjate,

    Se escriben tres expresiones equivalentes: la cuarta raíz de la cantidad 5 a la cuarta potencia entre paréntesis, la cuarta raíz de 625, y 5. Hay flechas que apuntan al 5 en la primera expresión y las 5 en la última expresión etiquetándolas como “sameâ€. También se escriben tres expresiones equivalentes más: la cuarta raíz de la cantidad negativa 5 entre paréntesis a la cuarta potencia entre paréntesis, la cuarta raíz de 625, y 5. El negativo 5 en la primera expresión y el 5 en la última expresión se etiquetan como el “differentâ€.
    Figura 8.1.14

    ¿Cómo podemos asegurarnos de que la cuarta raíz de \(−5\) elevado al cuarto poder sea \(5\)? Podemos usar el valor absoluto. \(|−5|=5\). Por lo que decimos que cuando \(n\) es parejo \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\). Esto garantiza que la raíz principal sea positiva.

    Definición \(\PageIndex{4}\): Simplificación de raíces pares e impares

    Para cualquier entero \(n\geq 2\),

    cuando el índice \(n\) es impar \(\sqrt[n]{a^{n}}=a\)

    cuando el índice \(n\) es par \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\)

    Debemos utilizar los signos de valor absoluto cuando tomamos una raíz pareja de una expresión con una variable en el radical.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{x^{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{n^{3}}\)
    3. \(\sqrt[4]{p^{4}}\)
    4. \(\sqrt[5]{y^{5}}\)

    Solución:

    a. Usamos el valor absoluto para asegurarnos de obtener la raíz positiva.

    \(\sqrt{x^{2}}\)

    Ya que el índice \(n\) es parejo, \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).

    b. Esta es una raíz indexada impar por lo que no hay necesidad de un signo de valor absoluto.

    \(\sqrt[3]{m^{3}}\)

    Ya que el índice \(n\) es impar, \(\sqrt[n]{a^{n}}=a\).

    \(m\)

    c.

    \(\sqrt[4]{p^{4}}\)

    Ya que el índice \(n\) es parejo \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).

    \(|p|\)

    d.

    \(\sqrt[5]{y^{5}}\)

    Dado que el índice \(n\) es impar, \(\sqrt[n]{a^{n}}=a\).

    \(y\)

    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{b^{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{w^{3}}\)
    3. \(\sqrt[4]{m^{4}}\)
    4. \(\sqrt[5]{q^{5}}\)
    Responder
    1. \(|b|\)
    2. \(w\)
    3. \(|m|\)
    4. \(q\)
    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{y^{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{p^{3}}\)
    3. \(\sqrt[4]{z^{4}}\)
    4. \(\sqrt[5]{q^{5}}\)
    Responder
    1. \(|y|\)
    2. \(p\)
    3. \(|z|\)
    4. \(q\)

    ¿Qué pasa con las raíces cuadradas de los poderes superiores de las variables? Dice la propiedad de poder de los exponentes \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\). Entonces si cuadramos \(a^{m}\), el exponente se convertirá \(2m\).

    \(\left(a^{m}\right)^{2}=a^{2 m}\)

    Mirando ahora a la raíz cuadrada.

    \(\sqrt{a^{2 m}}\)

    Desde \(\left(a^{m}\right)^{2}=a^{2 m}\).

    \(\sqrt{\left(a^{m}\right)^{2}}\)

    Ya que \(n\) es parejo \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).

    \(\left|a^{m}\right|\)

    Por lo que \(\sqrt{a^{2 m}}=\left|a^{m}\right|\).

    Aplicamos este concepto en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{x^{6}}\)
    2. \(\sqrt{y^{16}}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt{x^{6}}\)

    Desde \(\left(x^{3}\right)^{2}=x^{6}\).

    \(\sqrt{\left(x^{3}\right)^{2}}\)

    Ya que el índice \(n\) es parejo \(\sqrt{a^{n}}=|a|\).

    \(\left|x^{3}\right|\)

    b.

    \(\sqrt{y^{16}}\)

    Desde \(\left(y^{8}\right)^{2}=y^{16}\).

    \(\sqrt{\left(y^{8}\right)^{2}}\)

    Ya que el índice \(n\) es parejo \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).

    \(y^{8}\)

    En este caso no es necesario el signo de valor absoluto como \(y^{8}\) es positivo.

    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{y^{18}}\)
    2. \(\sqrt{z^{12}}\)
    Responder
    1. \(|y^{9}|\)
    2. \(z^{6}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{m^{4}}\)
    2. \(\sqrt{b^{10}}\)
    Responder
    1. \(m^{2}\)
    2. \(|b^{5}|\)

    El siguiente ejemplo utiliza la misma idea para raíces superiores.

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{y^{18}}\)
    2. \(\sqrt[4]{z^{8}}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt[3]{y^{18}}\)

    Desde \(\left(y^{6}\right)^{3}=y^{18}\).

    \(\sqrt[3]{\left(y^{6}\right)^{3}}\)

    Ya que \(n\) es impar, \(\sqrt[n]{a^{n}}=a\).

    \(y^{6}\)

    b.

    \(\sqrt[4]{z^{8}}\)

    Desde \(\left(z^{2}\right)^{4}=z^{8}\).

    \(\sqrt[4]{\left(z^{2}\right)^{4}}\)

    Ya que \(z^{2}\) es positivo, no necesitamos un signo de valor absoluto.

    \(z^{2}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[4]{u^{12}}\)
    2. \(\sqrt[3]{v^{15}}\)
    Responder
    1. \(|u^{3}|\)
    2. \(v^{5}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[5]{c^{20}}\)
    2. \(\sqrt[6]{d^{24}}\)
    Responder
    1. \(c^{4}\)
    2. \(d^{4}\)

    En el siguiente ejemplo, ahora tenemos un coeficiente frente a la variable. El concepto \(\sqrt{a^{2 m}}=\left|a^{m}\right|\) funciona de la misma manera.

    \(\sqrt{16 r^{22}}=4\left|r^{11}\right|\) porque \(\left(4 r^{11}\right)^{2}=16 r^{22}\).

    Pero aviso \(\sqrt{25 u^{8}}=5 u^{4}\) y no se necesita signo de valor absoluto como siempre \(u^{4}\) es positivo.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{16 n^{2}}\)
    2. \(-\sqrt{81 c^{2}}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt{16 n^{2}}\)

    Desde \((4 n)^{2}=16 n^{2}\).

    \(\sqrt{(4 n)^{2}}\)

    Ya que el índice \(n\) es parejo \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).

    \(4|n|\)

    b.

    \(-\sqrt{81 c^{2}}\)

    Desde \((9 c)^{2}=81 c^{2}\).

    \(-\sqrt{(9 c)^{2}}\)

    Ya que el índice \(n\) es parejo \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).

    \(-9|c|\)

    Ejercicio \(\PageIndex{19}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{64 x^{2}}\)
    2. \(-\sqrt{100 p^{2}}\)
    Responder
    1. \(8|x|\)
    2. \(-10|p|\)
    Ejercicio \(\PageIndex{20}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{169 y^{2}}\)
    2. \(-\sqrt{121 y^{2}}\)
    Responder
    1. \(13|y|\)
    2. \(-11|y|\)

    Este ejemplo sólo lleva la idea más lejos ya que tiene raíces de mayor índice.

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{64 p^{6}}\)
    2. \(\sqrt[4]{16 q^{12}}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt[3]{64 p^{6}}\)

    Reescribir \(64p^{6}\) como \(\left(4 p^{2}\right)^{3}\).

    \(\sqrt[3]{\left(4 p^{2}\right)^{3}}\)

    Toma la raíz cubica.

    \(4p^{2}\)

    b.

    \(\sqrt[4]{16 q^{12}}\)

    Reescribir el radicando como un cuarto poder.

    \(\sqrt[4]{\left(2 q^{3}\right)^{4}}\)

    Toma la cuarta raíz.

    \(2|q^{3}|\)

    Ejercicio \(\PageIndex{21}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{27 x^{27}}\)
    2. \(\sqrt[4]{81 q^{28}}\)
    Responder
    1. \(3x^{9}\)
    2. \(3|q^{7}|\)
    Ejercicio \(\PageIndex{22}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt[3]{125 q^{9}}\)
    2. \(\sqrt[5]{243 q^{25}}\)
    Responder
    1. \(5p^{3}\)
    2. \(3q^{5}\)

    Los siguientes ejemplos tienen dos variables.

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{36 x^{2} y^{2}}\)
    2. \(\sqrt{121 a^{6} b^{8}}\)
    3. \(\sqrt[3]{64 p^{63} q^{9}}\)

    Solución:

    a.

    \(\sqrt{36 x^{2} y^{2}}\)

    Desde \((6 x y)^{2}=36 x^{2} y^{2}\)

    \(\sqrt{(6 x y)^{2}}\)

    Toma la raíz cuadrada.

    \(6|xy|\)

    b.

    \(\sqrt{121 a^{6} b^{8}}\)

    Desde \(\left(11 a^{3} b^{4}\right)^{2}=121 a^{6} b^{8}\)

    \(\sqrt{\left(11 a^{3} b^{4}\right)^{2}}\)

    Toma la raíz cuadrada.

    \(11\left|a^{3}\right| b^{4}\)

    c.

    \(\sqrt[3]{64 p^{63} q^{9}}\)

    Desde \(\left(4 p^{21} q^{3}\right)^{3}=64 p^{63} q^{9}\)

    \(\sqrt[3]{\left(4 p^{21} q^{3}\right)^{3}}\)

    Toma la raíz cubica.

    \(4p^{21}q^{3}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{23}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{100 a^{2} b^{2}}\)
    2. \(\sqrt{144 p^{12} q^{20}}\)
    3. \(\sqrt[3]{8 x^{30} y^{12}}\)
    Responder
    1. \(10|ab|\)
    2. \(12p^{6}q^{10}\)
    3. \(2x^{10}y^{4}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{24}\)

    Simplificar:

    1. \(\sqrt{225 m^{2} n^{2}}\)
    2. \(\sqrt{169 x^{10} y^{14}}\)
    3. \(\sqrt[3]{27 w^{36} z^{15}}\)
    Responder
    1. \(15|mn|\)
    2. \(13\left|x^{5} y^{7}\right|\)
    3. \(3w^{12}z^{5}\)

    Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con expresiones simplificadoras con raíces.

    • Simplificación de variables exponentes con raíces usando valores absolutos

    Conceptos Clave

    • Notación de raíz cuadrada
      • \(\sqrt{m}\) se lee 'la raíz cuadrada de \(m\)'
      • Si \(n^{2}=m\), entonces \(n=\sqrt{m}\), para \(n≥0\).
        La imagen muestra la variable m dentro de un símbolo de raíz cuadrada. El símbolo es una línea que sube a lo largo del lado izquierdo y luego plana por encima de la variable. El símbolo está etiquetado como “signo radical”. La variable m está etiquetada como “radicando”.
        Figura 8.1.1
      • La raíz cuadrada de \(m\), \(\sqrt{m}\), es un número positivo cuyo cuadrado es \(m\).
    • nésimaraíz de un número
      • Si \(b^{n}=a\), entonces \(b\) es una \(n^{th}\) raíz de \(a\).
      • La \(n^{th}\) raíz principal de \(a\) está escrita \(\sqrt[n]{a}\).
      • \(n\) se llama el índice del radical.
    • Propiedades de \(\sqrt[n]{a}\)
      • Cuando \(n\) es un número par y
        • \(a≥0\), entonces \(\sqrt[n]{a}\) es un número real
        • \(a<0\), entonces no \(\sqrt[n]{a}\) es un número real
      • Cuando \(n\) es un número impar, \(\sqrt[n]{a}\) es un número real para todos los valores de \(a\).
    • Simplificación de raíces pares e impares
      • Para cualquier entero \(n≥2\),
        • cuando \(n\) es impar \(\sqrt[n]{a^{n}}=a\)
        • cuando \(n\) es parejo \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\)
      • Debemos utilizar los signos de valor absoluto cuando tomamos una raíz pareja de una expresión con una variable en el radical.

    Glosario

    cuadrado de un número
    Si \(n^{2}=m\), entonces \(m\) es la plaza de \(n\).
    raíz cuadrada de un número
    Si \(n^{2}=m\), entonces \(n\) es una raíz cuadrada de \(m\).

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