8.5: Sumar, restar y multiplicar expresiones radicales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Sumar y restar expresiones radicales
• Multiplicar expresiones radicales
• Usar multiplicación polinómica para multiplicar expresiones radicales

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Añadir: \(3x^{2}+9x−5−(x^{2}−2x+3)\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.5.
2. Simplificar: \((2+a)(4−a)\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.28.
3. Simplificar: \((9−5y)^{2}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.31.

Sumar y restar expresiones radicales

Agregar expresiones radicales con el mismo índice y el mismo radicand es igual que agregar términos similares. Llamamos a radicales con el mismo índice y los mismos radicales como radicales para recordarnos que trabajan igual que términos similares.

Definición \(\PageIndex{1}\): Como Radicales

Al igual que los radicales son expresiones radicales con el mismo índice y el mismo radicando.

Sumaremos y restamos como radicales de la misma manera que sumamos y restamos términos similares. Sabemos que \(3x+8x\) es \(11x\).Del mismo modo agregamos \(3 \sqrt{x}+8 \sqrt{x}\) y el resultado es \(11 \sqrt{x}\).

Piensa en agregar términos similares con variables como lo haces en los siguientes ejemplos. Cuando tienes como radicales, sólo sumes o restas los coeficientes. Cuando los radicales no son como, no se pueden combinar los términos.

Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

Simplificar:

1. \(2 \sqrt{2}-7 \sqrt{2}\)
2. \(5 \sqrt[3]{y}+4 \sqrt[3]{y}\)
3. \(7 \sqrt[4]{x}-2 \sqrt[4]{y}\)

Solución:

a.

\(2 \sqrt{2}-7 \sqrt{2}\)

Ya que los radicales son similares, restamos los coeficientes.

\(-5 \sqrt{2}\)

b.

\(5 \sqrt[3]{y}+4 \sqrt[3]{y}\)

Ya que los radicales son como, sumamos los coeficientes.

\(9 \sqrt[3]{y}\)

c.

\(7 \sqrt[4]{x}-2 \sqrt[4]{y}\)

Los índices son los mismos pero los radicales son diferentes. Estos no son como los radicales. Ya que los radicales no son como, no podemos restarlos.

Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

Simplificar:

1. \(8 \sqrt{2}-9 \sqrt{2}\)
2. \(4 \sqrt[3]{x}+7 \sqrt[3]{x}\)
3. \(3 \sqrt[4]{x}-5 \sqrt[4]{y}\)

Contestar

1. \(-\sqrt{2}\)
2. \(11 \sqrt[3]{x}\)
3. \(3 \sqrt[4]{x}-5 \sqrt[4]{y}\)

Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

Simplificar:

1. \(5 \sqrt{3}-9 \sqrt{3}\)
2. \(5 \sqrt[3]{y}+3 \sqrt[3]{y}\)
3. \(5 \sqrt[4]{m}-2 \sqrt[3]{m}\)

Contestar

1. \(-4 \sqrt{3}\)
2. \(8 \sqrt[3]{y}\)
3. \(5 \sqrt[4]{m}-2 \sqrt[3]{m}\)

Para que los radicales sean como, deben tener el mismo índice y radicando. Cuando los radicandos contienen más de una variable, siempre y cuando todas las variables y sus exponentes sean idénticos, los radicandos son iguales.

Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

Simplificar:

1. \(2 \sqrt{5 n}-6 \sqrt{5 n}+4 \sqrt{5 n}\)
2. \(\sqrt[4]{3 x y}+5 \sqrt[4]{3 x y}-4 \sqrt[4]{3 x y}\)

Solución:

a.

\(2 \sqrt{5 n}-6 \sqrt{5 n}+4 \sqrt{5 n}\)

Ya que los radicales son como, los combinamos.

\(0 \sqrt{5 n}\)

Simplificar.

\(0\)

b.

\(\sqrt[4]{3 x y}+5 \sqrt[4]{3 x y}-4 \sqrt[4]{3 x y}\)

Ya que los radicales son como, los combinamos.

\(2 \sqrt[4]{3 x y}\)

Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{7 x}-7 \sqrt{7 x}+4 \sqrt{7 x}\)
2. \(4 \sqrt[4]{5 x y}+2 \sqrt[4]{5 x y}-7 \sqrt[4]{5 x y}\)

Contestar

1. \(-2 \sqrt{7 x}\)
2. \(-\sqrt[4]{5 x y}\)

Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

Simplificar:

1. \(4 \sqrt{3 y}-7 \sqrt{3 y}+2 \sqrt{3 y}\)
2. \(6 \sqrt[3]{7 m n}+\sqrt[3]{7 m n}-4 \sqrt[3]{7 m n}\)

Contestar

1. \(-\sqrt{3 y}\)
2. \(3 \sqrt[3]{7 m n}\)

Recuerda que siempre simplificamos los radicales al eliminar el factor más grande del radicando que es una potencia del índice. Una vez que se simplifica cada radical, entonces podemos decidir si son como radicales.

Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{20}+3 \sqrt{5}\)
2. \(\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{375}\)
3. \(\frac{1}{2} \sqrt[4]{48}-\frac{2}{3} \sqrt[4]{243}\)

Solución:

a.

\(\sqrt{20}+3 \sqrt{5}\)

Simplificar los radicales, cuando sea posible.

\(\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}+3 \sqrt{5}\)

\(2 \sqrt{5}+3 \sqrt{5}\)

Combina los radicales similares.

\(5 \sqrt{5}\)

b.

\(\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{375}\)

Simplifica los radicales.

\(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{3}\)

\(2 \sqrt[3]{3}-5 \sqrt[3]{3}\)

Combina los radicales similares.

\(-3 \sqrt[3]{3}\)

c.

\(\frac{1}{2} \sqrt[4]{48}-\frac{2}{3} \sqrt[4]{243}\)

Simplifica los radicales.

\(\frac{1}{2} \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{3}-\frac{2}{3} \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}\)

\(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt[4]{3}-\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt[4]{3}\)

\(\sqrt[4]{3}-2 \sqrt[4]{3}\)

Combina los radicales similares.

\(-\sqrt[4]{3}\)

Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{18}+6 \sqrt{2}\)
2. \(6 \sqrt[3]{16}-2 \sqrt[3]{250}\)
3. \(\frac{2}{3} \sqrt[3]{81}-\frac{1}{2} \sqrt[3]{24}\)

Contestar

1. \(9 \sqrt{2}\)
2. \(2 \sqrt[3]{2}\)
3. \(\sqrt[3]{3}\)

Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{27}+4 \sqrt{3}\)
2. \(4 \sqrt[3]{5}-7 \sqrt[3]{40}\)
3. \(\frac{1}{2} \sqrt[3]{128}-\frac{5}{3} \sqrt[3]{54}\)

Contestar

1. \(7 \sqrt{3}\)
2. \(-10 \sqrt[3]{5}\)
3. \(-3 \sqrt[3]{2}\)

En el siguiente ejemplo, eliminaremos factores tanto constantes como variables de los radicales. Ahora que hemos practicado tomar las raíces pares e impares de las variables, es práctica común en este punto que asumamos que todas las variables son mayores o iguales a cero para que no se necesiten valores absolutos. Usaremos este supuesto en el resto de este capítulo.

Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

Simplificar:

1. \(9 \sqrt{50 m^{2}}-6 \sqrt{48 m^{2}}\)
2. \(\sqrt[3]{54 n^{5}}-\sqrt[3]{16 n^{5}}\)

Solución:

a.

\(9 \sqrt{50 m^{2}}-6 \sqrt{48 m^{2}}\)

Simplifica los radicales.

\(9 \sqrt{25 m^{2}} \cdot \sqrt{2}-6 \sqrt{16 m^{2}} \cdot \sqrt{3}\)

\(9 \cdot 5 m \cdot \sqrt{2}-6 \cdot 4 m \cdot \sqrt{3}\)

\(45 m \sqrt{2}-24 m \sqrt{3}\)

Los radicales no son como y por lo tanto no se pueden combinar.

b.

\(\sqrt[3]{54 n^{5}}-\sqrt[3]{16 n^{5}}\)

Simplifica los radicales.

\(\sqrt[3]{27 n^{3}} \cdot \sqrt[3]{2 n^{2}}-\sqrt[3]{8 n^{3}} \cdot \sqrt[3]{2 n^{2}}\)

\(3 n \sqrt[3]{2 n^{2}}-2 n \sqrt[3]{2 n^{2}}\)

Combina los radicales similares.

\(n \sqrt[3]{2 n^{2}}\)

Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{32 m^{7}}-\sqrt{50 m^{7}}\)
2. \(\sqrt[3]{135 x^{7}}-\sqrt[3]{40 x^{7}}\)

Contestar

1. \(-m^{3} \sqrt{2 m}\)
2. \(x^{2} \sqrt[3]{5 x}\)

Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{27 p^{3}}-\sqrt{48 p^{3}}\)
2. \(\sqrt[3]{256 y^{5}}-\sqrt[3]{32 n^{5}}\)

Contestar

1. \(-p \sqrt{3 p}\)
2. \(4 y \sqrt[3]{4 y^{2}}-2 n \sqrt[3]{4 n^{2}}\)

Multiplicar expresiones radicales

Hemos utilizado la Propiedad del Producto de Raíces para simplificar las raíces cuadradas eliminando los factores cuadrados perfectos. Podemos utilizar la Propiedad del Producto de Raíces 'en reversa' para multiplicar raíces cuadradas. Recuerde, asumimos que todas las variables son mayores o iguales a cero.

Reescribiremos la Propiedad del Producto de Raíces para que veamos ambos caminos juntos.

Definición \(\PageIndex{2}\): Propiedad del producto de las raíces

Para cualquier número real, \(\sqrt[n]{a}\) y \(\sqrt[b]{n}\), y para cualquier número entero \(n≥2\)

\(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { and } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)

Cuando multiplicamos dos radicales deben tener el mismo índice. Una vez multiplicamos los radicales, buscamos los factores que son un poder del índice y simplificamos el radical siempre que sea posible.

Multiplicar radicales con coeficientes es muy parecido a multiplicar variables con coeficientes. Para multiplicar \(4x⋅3y\) multiplicamos los coeficientes juntos y luego las variables. El resultado es \(12xy\). Ten esto en cuenta al hacer estos ejemplos.

Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

Simplificar:

1. \((6 \sqrt{2})(3 \sqrt{10})\)
2. \((-5 \sqrt[3]{4})(-4 \sqrt[3]{6})\)

Solución:

a.

\((6 \sqrt{2})(3 \sqrt{10})\)

Multiplicar usando la Propiedad del Producto.

\(18\sqrt{20}\)

Simplifica lo radical.

\(18 \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}\)

Simplificar.

\(18 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}\)

\(36 \sqrt{5}\)

b.

\((-5 \sqrt[3]{4})(-4 \sqrt[3]{6})\)

Multiplicar usando la Propiedad del Producto.

\(20 \sqrt[3]{24}\)

Simplifica lo radical.

\(20 \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3}\)

Simplificar.

\(20 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{3}\)

\(40 \sqrt[3]{3}\)

Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

Simplificar:

1. \((3 \sqrt{2})(2 \sqrt{30})\)
2. \((2 \sqrt[3]{18})(-3 \sqrt[3]{6})\)

Contestar

1. \(12 \sqrt{15}\)
2. \(-18 \sqrt[3]{2}\)

Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

Simplificar:

1. \((3 \sqrt{3})(3 \sqrt{6})\)
2. \((-4 \sqrt[3]{9})(3 \sqrt[3]{6})\)

Contestar

1. \(27 \sqrt{2}\)
2. \(-36 \sqrt[3]{2}\)

Seguimos los mismos procedimientos cuando hay variables en los radicandos.

Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

Simplificar:

1. \(\left(10 \sqrt{6 p^{3}}\right)(4 \sqrt{3 p})\)
2. \(\left(2 \sqrt[4]{20 y^{2}}\right)\left(3 \sqrt[4]{28 y^{3}}\right)\)

Solución:

a.

\(\left(10 \sqrt{6 p^{3}}\right)(4 \sqrt{3 p})\)

Multiplicar.

\(40 \sqrt{18 p^{4}}\)

Simplifica lo radical.

\(40 \sqrt{9 p^{4}} \cdot \sqrt{2}\)

Simplificar.

\(40 \cdot 3 p^{2} \cdot \sqrt{3}\)

\(120 p^{2} \sqrt{3}\)

b. Cuando los radicandos involucran a grandes números, a menudo es ventajoso factorizarlos para encontrar los poderes perfectos.

\(\left(2 \sqrt[4]{20 y^{2}}\right)\left(3 \sqrt[4]{28 y^{3}}\right)\)

Multiplicar.

\(6 \sqrt[4]{4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 7 y^{5}}\)

Simplifica lo radical.

\(6 \sqrt[4]{16 y^{4}} \cdot \sqrt[4]{35 y}\)

Simplificar.

\(6 \cdot 2 y \sqrt[4]{35 y}\)

Multiplicar.

\(12 y \sqrt[4]{35 y}\)

Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

Simplificar:

1. \(\left(6 \sqrt{6 x^{2}}\right)\left(8 \sqrt{30 x^{4}}\right)\)
2. \(\left(-4 \sqrt[4]{12 y^{3}}\right)\left(-\sqrt[4]{8 y^{3}}\right)\)

Contestar

1. \(36 x^{3} \sqrt{5}\)
2. \(8 y \sqrt[4]{3 y^{2}}\)

Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

Simplificar:

1. \(\left(2 \sqrt{6 y^{4}}\right)(12 \sqrt{30 y})\)
2. \(\left(-4 \sqrt[4]{9 a^{3}}\right)\left(3 \sqrt[4]{27 a^{2}}\right)\)

Contestar

1. \(144 y^{2} \sqrt{5 y}\)
2. \(-36 \sqrt[4]{3 a}\)

Usar multiplicación polinómica para multiplicar expresiones radicales

En los siguientes ejemplos, utilizaremos la Propiedad Distributiva para multiplicar expresiones con radicales. Primero distribuiremos y luego simplificaremos los radicales cuando sea posible.

Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{18})\)
2. \(\sqrt[3]{9}(5-\sqrt[3]{18})\)

Solución:

a.

\(\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{18})\)

Multiplicar.

\(\sqrt{12}+\sqrt{108}\)

Simplificar.

\(\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}+\sqrt{36} \cdot \sqrt{3}\)

Simplificar.

\(2 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}\)

Combina como radicales.

\(8\sqrt{3}\)

b.

\(\sqrt[3]{9}(5-\sqrt[3]{18})\)

Distribuir.

\(5 \sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{162}\)

Simplificar.

\(5 \sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{6}\)

Simplificar.

\(5 \sqrt[3]{9}-3 \sqrt[3]{6}\)

Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{6}(1+3 \sqrt{6})\)
2. \(\sqrt[3]{4}(-2-\sqrt[3]{6})\)

Contestar

1. \(18+\sqrt{6}\)
2. \(-2 \sqrt[3]{4}-2 \sqrt[3]{3}\)

Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

Simplificar:

1. \(\sqrt{8}(2-5 \sqrt{8})\)
2. \(\sqrt[3]{3}(-\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6})\)

Contestar

1. \(-40+4 \sqrt{2}\)
2. \(-3-\sqrt[3]{18}\)

Cuando trabajamos con polinomios, multiplicamos los binomios por binomios. Recuerda, esto nos dio cuatro productos antes de combinar cualquier término similar. Para asegurarnos de obtener los cuatro productos, organizamos nuestro trabajo, generalmente por el método FOILE.

Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

Simplificar:

1. \((3-2 \sqrt{7})(4-2 \sqrt{7})\)
2. \((\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x}+4)\)

Solución:

a.

\((3-2 \sqrt{7})(4-2 \sqrt{7})\)

Multiplicar.

\(12-6 \sqrt{7}-8 \sqrt{7}+4 \cdot 7\)

Simplificar.

\(12-6 \sqrt{7}-8 \sqrt{7}+28\)

Combina términos similares.

\(40-14 \sqrt{7}\)

b.

\((\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x}+4)\)

Multiplicar.

\(\sqrt[3]{x^{2}}+4 \sqrt[3]{x}-2 \sqrt[3]{x}-8\)

Combina términos similares.

\(\sqrt[3]{x^{2}}+2 \sqrt[3]{x}-8\)

Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

Simplificar:

1. \((6-3 \sqrt{7})(3+4 \sqrt{7})\)
2. \((\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x}-3)\)

Contestar

1. \(-66+15 \sqrt{7}\)
2. \(\sqrt[3]{x^{2}}-5 \sqrt[3]{x}+6\)

Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

Simplificar:

1. \((2-3 \sqrt{11})(4-\sqrt{11})\)
2. \((\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[3]{x}+3)\)

Contestar

1. \(41-14 \sqrt{11}\)
2. \(\sqrt[3]{x^{2}}+4 \sqrt[3]{x}+3\)

Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

Simplificar: \((3 \sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+4 \sqrt{5})\)

Solución:

\((3 \sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+4 \sqrt{5})\)

Multiplicar.

\(3 \cdot 2+12 \sqrt{10}-\sqrt{10}-4 \cdot 5\)

Simplificar.

\(6+12 \sqrt{10}-\sqrt{10}-20\)

Combina términos similares.

\(-14+11 \sqrt{10}\)

Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

Simplificar: \((5 \sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{3}+2 \sqrt{7})\)

Contestar

\(1+9 \sqrt{21}\)

Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

Simplificar: \((\sqrt{6}-3 \sqrt{8})(2 \sqrt{6}+\sqrt{8})\)

Contestar

\(-12-20 \sqrt{3}\)

Reconocer algunos productos especiales facilitó nuestro trabajo cuando multiplicamos los binomios antes. Esto es cierto cuando multiplicamos los radicales, también. Aquí se muestran las fórmulas especiales de productos que utilizamos.

Productos Especiales

Plazas Binomiales

\(\begin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}\)

Producto de conjugados

\((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\)

Utilizaremos las fórmulas especiales de productos en los siguientes ejemplos. Empezaremos con el Producto del Patrón de Cuadrados Binomiales.

Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

Simplificar:

1. \(2+\sqrt{3})^{2}\)
2. \((4-2 \sqrt{5})^{2}\)

Solución:

a.

Cuadro 8.4.1

Multiplicar usando el Patrón Producto de Cuadrados Binomiales.
Simplificar.
Combina términos similares.

b.

Cuadro 8.4.2

Múltiple, utilizando el Patrón Producto de Cuadrados Binomiales
Simplificar.
Combina términos similares.

Ejercicio \(\PageIndex{19}\)

Simplificar:

1. \((10+\sqrt{2})^{2}\)
2. \((1+3 \sqrt{6})^{2}\)

Contestar

1. \(102+20 \sqrt{2}\)
2. \(55+6 \sqrt{6}\)

Ejercicio \(\PageIndex{20}\)

Simplificar:

1. \((6-\sqrt{5})^{2}\)
2. \((9-2 \sqrt{10})^{2}\)

Contestar

1. \(41-12 \sqrt{5}\)
2. \(121-36 \sqrt{10}\)

En el siguiente ejemplo, utilizaremos el Producto de Patrón de Conjuga. Observe que el producto final no tiene radical.

Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

Simplificar: \((5-2 \sqrt{3})(5+2 \sqrt{3})\)

Solución:

Cuadro 8.4.3

Multiplicar usando el Producto del Patrón de Conjuga.
Simplificar.

Ejercicio \(\PageIndex{21}\)

Simplificar: \((3-2 \sqrt{5})(3+2 \sqrt{5})\)

Contestar

\(-11\)

Ejercicio \(\PageIndex{22}\)

Simplificar: \((4+5 \sqrt{7})(4-5 \sqrt{7})\)

Contestar

\(-159\)

Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la adición, resta y multiplicación de expresiones radicales.

• Multiplicando Sumando Restar Radicales
• Multiplicando productos especiales: Binomios cuadrados que contienen raíces cuadradas
• Multiplicando conjugados

Conceptos Clave

• Propiedad del producto de las raíces
  • Para cualquier número real, \(\sqrt[n]{a}\) y \(\sqrt[n]{b}\), y para cualquier entero \(n≥2\) \(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) y \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)
• Productos Especiales

\(\begin{array}{c c}{\text { Binomial Squares }}& {\text{Product of Conjugates}} \\ {(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} & {(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}\)

Glosario

como radicales

Al igual que los radicales son expresiones radicales con el mismo índice y el mismo radicando.