9.3: Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
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Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Completa el cuadrado de una expresión binomial
- Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \(x^{2}+bx+c=0\) completando el cuadrado
- Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \(ax^{2}+bx+c=0\) completando el cuadrado
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Expandir: \((x+9)^{2}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.32. - Factor \(y^{2}-14 y+49\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.9. - Factor \(5 n^{2}+40 n+80\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.14.
Hasta ahora hemos resuelto ecuaciones cuadráticas mediante el factoraje y el uso de la Propiedad Raíz Cuadrada. En este apartado, resolveremos ecuaciones cuadráticas mediante un proceso llamado completar el cuadrado, lo cual es importante para nuestro trabajo sobre las cónicas más adelante.
Completa el cuadrado de una expresión binomial
En la última sección, pudimos utilizar la Propiedad Raíz Cuadrada para resolver la ecuación \((y-7)^{2}=12\) porque el lado izquierdo era un cuadrado perfecto.
\(\begin{aligned}(y-7)^{2} &=12 \\ y-7 &=\pm \sqrt{12} \\ y-7 &=\pm 2 \sqrt{3} \\ y &=7 \pm 2 \sqrt{3} \end{aligned}\)
También resolvimos una ecuación en la que el lado izquierdo era un trinomio cuadrado perfecto, pero tuvimos que reescribirlo la forma \((x−k)^{2}\) para usar la Propiedad Raíz Cuadrada.
\(\begin{aligned} x^{2}-10 x+25 &=18 \\(x-5)^{2} &=18 \end{aligned}\)
¿Qué pasa si la variable no forma parte de un cuadrado perfecto? ¿Podemos usar álgebra para hacer un cuadrado perfecto?
Echemos un vistazo a dos ejemplos que nos ayuden a reconocer los patrones.
\(\begin{array}{cc}{(x+9)^{2}} & {(y-7)^{2}} \\ {(x+9 )(x+9)} & {(y-7)(y-7)} \\ {x^{2}+9 x+9 x+81} & {y^{2}-7 y-7 y+49} \\ {x^{2}+18 x+81} & {y^{2}-14 y+49}\end{array}\)
Reafirmamos los patrones aquí para referencia.
Si \(a\) y \(b\) son números reales,
Podemos usar este patrón para “hacer” un cuadrado perfecto.
Empezaremos con la expresión \(x^{2}+6 x\). Dado que hay un signo más entre los dos términos, usaremos el \((a+b)^{2}\) patrón, \(a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}\).
En última instancia necesitamos encontrar el último término de este trinomio que lo convierta en un trinomio cuadrado perfecto. Para ello tendremos que encontrar \(b\). Pero primero empezamos por determinar \(a\). Nótese que el primer término de \(x^{2}+6x\) es un cuadrado, \(x^{2}\). Esto nos dice eso \(a=x\).
¿Qué número, \(b\), cuando se multiplica por \(2x\) da \(6x\)? Tendría que ser \(3\), que es \(\frac{1}{2}(6)\). Entonces \(b=3\).
Ahora para completar el trinomio cuadrado perfecto, encontraremos el último término por cuadratura \(b\), que es \(3^{2}=9\).
Ahora podemos factorizar.
Por lo que encontramos que añadiendo \(9\) a \(x^{2}+6 x\) 'completa la plaza', y lo escribimos como \((x+3)^{2}\).
- Identificar \(b\), el coeficiente de \(x\).
- Encuentra \(\left(\frac{1}{2} b\right)^{2}\), el número para completar la plaza.
- Añadir el\(\left(\frac{1}{2} b\right)^{2}\) a \(x^{2}+bx\).
- Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado.
Completa la plaza para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Después escribe el resultado como un binomial cuadrado.
- \(x^{2}-26 x\)
- \(y^{2}-9 y\)
- \(n^{2}+\frac{1}{2} n\)
Solución:
a.
 |
|
| El coeficiente de \(x\) es -26. | |
|
Encuentra \(\left(\frac{1}{2} b\right)^{2}\). \(\left(\frac{1}{2} \cdot(-26)\right)^{2}\) |
|
| Añádase \(169\) al binomio para completar el cuadrado. |
\(x^{2}-26 x+169\) |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. |
\((x-13)^{2}\) |
b.
 |
|
| El coeficiente de \(y\) es \(-9\). | |
|
Encuentra \(\left(\frac{1}{2} b\right)^{2}\). \(\left(\frac{1}{2} \cdot(-9)\right)^{2}\) |
|
| Añádase \(\frac{81}{4}\) al binomio para completar el cuadrado. |
\(y^{2}-9 y+\frac{81}{4}\) |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. |
\(\left(y-\frac{9}{2}\right)^{2}\) |
c.
| El coeficiente de \(n\) es \(\frac{1}{2}\). | |
|
Encuentra \(\left(\frac{1}{2} b\right)^{2}\). \(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^{2}\) |
|
| Añádase \(\frac{1}{16}\) al binomio para completar el cuadrado. | \(n^{2}+\frac{1}{2} n+\frac{1}{16}\) |
| Reescribir como cuadrado binomial. | \(\left(n+\frac{1}{4}\right)^{2}\) |
Completa la plaza para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Después escribe el resultado como un binomial cuadrado.
- \(a^{2}-20 a\)
- \(m^{2}-5 m\)
- \(p^{2}+\frac{1}{4} p\)
- Contestar
-
- \((a-10)^{2}\)
- \(\left(b-\frac{5}{2}\right)^{2}\)
- \(\left(p+\frac{1}{8}\right)^{2}\)
Completa la plaza para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Después escribe el resultado como un binomial cuadrado.
- \(b^{2}-4 b\)
- \(n^{2}+13 n\)
- \(q^{2}-\frac{2}{3} q\)
- Contestar
-
- \((b-2)^{2}\)
- \(\left(n+\frac{13}{2}\right)^{2}\)
- \(\left(q-\frac{1}{3}\right)^{2}\)
Resuelve Ecuaciones Cuadráticas de la Forma \(x^{2}+bx+c=0\) Completando el Cuadrado
Al resolver ecuaciones, siempre debemos hacer lo mismo a ambos lados de la ecuación. Esto es cierto, por supuesto, cuando resolvemos una ecuación cuadrática completando también el cuadrado . Cuando agregamos un término a un lado de la ecuación para hacer un trinomio cuadrado perfecto, también debemos agregar el mismo término al otro lado de la ecuación.
Por ejemplo, si empezamos con la ecuación \(x^{2}+6x=40\), y queremos completar el cuadrado de la izquierda, sumaremos 9 a ambos lados de la ecuación.
| Agrega \(9\) a ambos lados para completar el cuadrado. |
Ahora la ecuación está en la forma para resolver usando la Propiedad Raíz Cuadrada! Completar el cuadrado es una forma de transformar una ecuación en la forma que necesitamos para poder utilizar la Propiedad Raíz Cuadrada.
Resuelve completando la plaza: \(x^{2}+8x=48\).
Solución:
| Paso 1: Aislar los términos variables por un lado y los términos constantes en el otro. | Esta ecuación tiene todas las variables a la izquierda. | \(\begin{array}{l}{\color{red}{x^{2}+b x\quad\:\:\: c }} \\ {x^{2}+8 x=48}\end{array}\) |
| Paso 2: Encuentra \(\left(\frac{1}{2} \cdot b\right)^{2}\), el número para completar el cuadrado. Agréguelo a ambos lados de la ecuación. |
Toma la mitad de \(8\) y cuadráralo. \(4^{2}=16\) Agregar \(16\) a AMBOS lados de la ecuación. |
\(x^{2}+8 x+\frac{}{\color{red}{\left(\frac{1}{2} \cdot 8\right)^{2}}}\color{black}{=}48 \) \(x^{2}+8 x\color{red}{+16}\color{black}{=}48\color{red}{+16}\) |
| Paso 3: Factor el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial. |
\(x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}\) Agrega los términos a la derecha. |
\((x+4)^{2}=64\) |
| Paso 4: Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. | \(x+4=\pm \sqrt{64}\) | |
| Paso 5: Simplifica el radical y luego resuelve las dos ecuaciones resultantes. |
\(x+4=\pm 8\) \(\begin{aligned} x+4 &=8 \quad x+4=-8 \\ x &=4 \quad\quad\:\:\: x=-12 \end{aligned}\) |
|
| Paso 6: Revise las soluciones. | Pon cada respuesta en la ecuación original para comprobar. Sustituto \(x=4\) y \(x=-12\). |
\(\begin{array}{r}{x^{2}+8 x=48} \\ {(\color{red}{4}\color{black}{)}^{2}+8(\color{red}{4}\color{black}{)} \stackrel{?}{=} 48} \\ {16+32\stackrel{?}{=}48} \\ {48=48}\end{array}\) \(\begin{array}{r}{x^{2}+8 x=48} \\ {(\color{red}{-12}\color{black}{)}^{2}+8(\color{red}{-12}\color{black}{)}\stackrel{?}{=} 48} \\ {144-96 \stackrel{?}{=} 48} \\ {48=48}\end{array}\) |
Resuelve completando la plaza: \(x^{2}+4 x=5\).
- Contestar
-
\(x=-5, x=-1\)
Resuelve completando la plaza: \(y^{2}−10y=−9\).
- Contestar
-
\(y=1, y=9\)
Los pasos para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado se enumeran aquí.
Resuelve una ecuación cuadrática de la forma \(x^{2}+bx+c=0\) completando el cuadrado
- Aísle los términos variables por un lado y los términos constantes en el otro.
- Encuentra \(\left(\frac{1}{2} \cdot b\right)^{2}\), el número necesario para completar la plaza. Agréguelo a ambos lados de la ecuación.
- Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado a la izquierda y simplificándolo añadiendo los términos a la derecha
- Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada.
- Simplifica el radical y luego resuelve las dos ecuaciones resultantes.
- Consulta las soluciones.
Cuando resolvemos una ecuación completando el cuadrado, las respuestas no siempre serán enteros.
Resuelve completando la plaza: \(x^{2}+4 x=-21\).
Solución:
|
Los términos variables están en el lado izquierdo. Toma la mitad de \(4\) y cuadráralo. |
 |
| \(\left(\frac{1}{2}(4)\right)^{2}=4\) | |
| Añadir \(4\) a ambos lados. | |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. |  |
| Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. |  |
| Simplificar usando números complejos. | |
| Resta \(2\) de cada lado. | |
| Reescribir para mostrar dos soluciones. | |
| Te dejamos el cheque. |
Resuelve completando la plaza: \(y^{2}-10 y=-35\).
- Contestar
-
\(y=5+\sqrt{15} i, y=5-\sqrt{15 i}\)
Resuelve completando la plaza: \(z^{2}+8 z=-19\).
- Contestar
-
\(z=-4+\sqrt{3} i, z=-4-\sqrt{3} i\)
En el ejemplo anterior, nuestras soluciones fueron números complejos. En el siguiente ejemplo, las soluciones serán números irracionales.
Resuelve completando la plaza: \(y^{2}-18 y=-6\).
Solución:
| Los términos variables están en el lado izquierdo. Toma la mitad de \(-18\) y cuadráralo. | |
| \(\left(\frac{1}{2}(-18)\right)^{2}=81\) | |
| Añadir \(81\) a ambos lados. | |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. | |
| Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. | |
| Simplifica lo radical. | |
| Resolver para \(y\). | |
|
Consultar. |
Otra forma de comprobar esto sería usar una calculadora. Evaluar \(y^{2}−18y\) para ambas soluciones. La respuesta debe ser \(−6\).
Resuelve completando la plaza: \(x^{2}-16 x=-16\).
- Contestar
-
\(x=8+4 \sqrt{3}, x=8-4 \sqrt{3}\)
Resuelve completando la plaza: \(y^{2}+8 y=11\).
- Contestar
-
\(y=-4+3 \sqrt{3}, y=-4-3 \sqrt{3}\)
Empezaremos el siguiente ejemplo aislando los términos variables en el lado izquierdo de la ecuación.
Resuelve completando la plaza: \(x^{2}+10 x+4=15\).
Solución:
| Aísle los términos variables en el lado izquierdo. Resta \(4\) para obtener los términos constantes en el lado derecho. | |
| Toma la mitad de \(10\) y cuadráralo. | |
| \(\left(\frac{1}{2}(10)\right)^{2}=25\) | |
| Añadir \(25\) a ambos lados. | |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. | |
| Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. | |
| Simplifica lo radical. | |
| Resolver para \(x\). | |
| Reescribir para mostrar dos soluciones. | |
| Resuelve las ecuaciones. | |
|
Comprobar: |
Resuelve completando la plaza: \(a^{2}+4 a+9=30\).
- Contestar
-
\(a=-7, a=3\)
Resuelve completando la plaza: \(b^{2}+8 b-4=16\).
- Contestar
-
\(b=-10, b=2\)
Para resolver la siguiente ecuación, primero debemos recoger todos los términos variables en el lado izquierdo de la ecuación. Entonces procedemos como lo hicimos en los ejemplos anteriores.
Resuelve completando la plaza: \(n^{2}=3 n+11\).
Solución:
| Restar \(3n\) para obtener los términos variables en el lado izquierdo. | |
| Toma la mitad de \(-3\) y cuadráralo. | |
| \(\left(\frac{1}{2}(-3)\right)^{2}=\frac{9}{4}\) | |
| Añadir \(\frac{9}{4}\) a ambos lados. | |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. | |
| Agrega las fracciones del lado derecho. | |
| Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. | |
| Simplifica lo radical. | |
| Resolver para \(n\). | |
| Reescribir para mostrar dos soluciones. | |
|
Comprobar: ¡Te dejamos el cheque! |
Resuelve completando la plaza: \(p^{2}=5 p+9\).
- Contestar
-
\(p=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{61}}{2}, p=\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{61}}{2}\)
Resuelve completando la plaza: \(q^{2}=7 q-3\).
- Contestar
-
\(q=\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{37}}{2}, q=\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{37}}{2}\)
Observe que el lado izquierdo de la siguiente ecuación está en forma factorizada. Pero el lado derecho no es cero. Entonces, no podemos usar la Propiedad de Producto Cero ya que dice “Si \(a⋅b=0\), entonces \(a=0\) o” \(b=0\). En cambio, multiplicamos los factores y luego ponemos la ecuación en forma estándar para resolver completando el cuadrado.
Resuelve completando la plaza: \((x-3)(x+5)=9\).
Solución:
| Múltiples los binomios de la izquierda. | |
| Agregar \(15\) para aislar los términos constantes de la derecha. | |
| Toma la mitad de \(2\) y cuadráralo. | |
| \(\left(\frac{1}{2} \cdot(2)\right)^{2}=1\) | |
| Añadir \(1\) a ambos lados. | |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. | |
| Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. | |
| Resolver para \(x\). | |
| Reescribir para mostrar dos soluciones. | |
| Simplificar. | |
|
Comprobar: ¡Te dejamos el cheque! |
Resuelve completando la plaza: \((c-2)(c+8)=11\).
- Contestar
-
\(c=-9, c=3\)
Resuelve completando la plaza: \((d-7)(d+3)=56\).
- Contestar
-
\(d=11, d=-7\)
Resuelve Ecuaciones Cuadráticas de la Forma \(ax^{2}+bx+c=0\) Completando el Cuadrado
El proceso de completar el cuadrado funciona mejor cuando el coeficiente de \(x^{2}\) es \(1\), por lo que el lado izquierdo de la ecuación es de la forma \(x^{2}+bx+c\). Si el \(x^{2}\) término tiene un coeficiente distinto al \(1\), damos algunos pasos preliminares para que el coeficiente sea igual a \(1\).
A veces el coeficiente se puede factorizar a partir de los tres términos del trinomio. Esta será nuestra estrategia en el siguiente ejemplo.
Resuelve completando la plaza: \(3 x^{2}-12 x-15=0\).
Solución:
Para completar el cuadrado, necesitamos el coeficiente de \(x^{2}\) ser uno. Si factorizamos el coeficiente de \(x^{2}\) como factor común, podemos continuar con la solución de la ecuación completando el cuadrado.
| Factor fuera el factor común más grande. | |
| Dividir ambos lados por \(3\) para aislar el trinomio con coeficiente \(1\). | |
| Simplificar. | |
| Agregar \(5\) para obtener los términos constantes en el lado derecho. | |
| Toma la mitad de \(4\) y cuadráralo. | |
| \(\left(\frac{1}{2}(-4)\right)^{2}=4\) | |
| Añadir \(4\) a ambos lados. | |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. | |
| Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. | |
| Resolver para \(x\). | |
| Reescribir para mostrar dos soluciones. | |
| Simplificar. | |
|
Comprobar: |
Resuelve completando la plaza: \(2 m^{2}+16 m+14=0\).
- Contestar
-
\(m=-7, m=-1\)
Resuelve completando la plaza: \(4 n^{2}-24 n-56=8\).
- Contestar
-
\(n=-2, n=8\)
Para completar el cuadrado, el coeficiente del \(x^{2}\) debe ser \(1\). Cuando elcoeficiente principal no sea un factor de todos los términos, ¡dividiremos ambos lados de la ecuación por el coeficiente principal! Esto nos dará una fracción para el segundo coeficiente. Ya hemos visto cómo completar el cuadrado con fracciones en este apartado.
Resuelve completando la plaza: \(2 x^{2}-3 x=20\).
Solución:
Para completar el cuadrado necesitamos el coeficiente de \(x^{2}\) ser uno. Dividiremos ambos lados de la ecuación por el coeficiente de \(x^{2}\). Entonces podemos continuar con la solución de la ecuación completando el cuadrado.
| Divide ambos lados por \(2\) para obtener el coeficiente \(x^{2}\) de ser \(1\). | |
| Simplificar. | |
| Toma la mitad de \(-\frac{3}{2}\) y cuadráralo. | |
| \(\left(\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\right)^{2}=\frac{9}{16}\) | |
| Añadir \(\frac{9}{16}\) a ambos lados. | |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. | |
| Agrega las fracciones del lado derecho. | |
| Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. | |
| Simplifica lo radical. | |
| Resolver para \(x\). | |
| Reescribir para mostrar dos soluciones. | |
| Simplificar. | |
|
Comprobar: ¡Te dejamos el cheque! |
Resuelve completando la plaza: \(3 r^{2}-2 r=21\).
- Contestar
-
\(r=-\frac{7}{3}, r=3\)
Resuelve completando la plaza: \(4 t^{2}+2 t=20\).
- Contestar
-
\(t=-\frac{5}{2}, t=2\)
Ahora que hemos visto que el coeficiente de \(x^{2}\) debe ser \(1\) para que completemos el cuadrado, actualizamos nuestro procedimiento para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado para incluir ecuaciones de la forma \(a x^{2}+b x+c=0\).
- Dividir por aa para hacer el coeficiente de \(x^{2}\) término \(1\).
- Aísle los términos variables por un lado y los términos constantes en el otro.
- Encuentra \(\left(\frac{1}{2} \cdot b\right)^{2}\), el número necesario para completar la plaza. Agréguelo a ambos lados de la ecuación.
- Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado a la izquierda y simplificándolo añadiendo los términos a la derecha
- Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada.
- Simplifica el radical y luego resuelve las dos ecuaciones resultantes.
- Consulta las soluciones.
Resuelve completando la plaza: \(3 x^{2}+2 x=4\).
Solución:
Nuevamente, nuestro primer paso será hacer el coeficiente de \(x^{2}\) uno. Al dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de \(x^{2}\), podemos entonces continuar con la solución de la ecuación completando el cuadrado.
| Divida ambos lados por \(3\) para hacer el coeficiente de \(x^{2}\) igual \(1\). | |
| Simplificar. | |
| Toma la mitad de \(\frac{2}{3}\) y cúbrela. | |
| \(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\) | |
| Añadir \(\frac{1}{9}\) a ambos lados. | |
| Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado. | |
| Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada. | |
| Simplifica lo radical. | |
| Resolver para \(x\). | |
| Reescribir para mostrar dos soluciones. | |
|
Comprobar: ¡Te dejamos el cheque! |
Resuelve completando la plaza: \(4 x^{2}+3 x=2\).
- Contestar
-
\(x=-\frac{3}{8}+\frac{\sqrt{41}}{8}, x=-\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{41}}{8}\)
Resuelve completando la plaza: \(3 y^{2}-10 y=-5\).
- Contestar
-
\(y=\frac{5}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}, y=\frac{5}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3}\)
Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con completar la plaza.
Conceptos Clave
- Patrón de cuadrados binomiales
Si \(a\) y \(b\) son números reales,
- Cómo Completar un Cuadrado
- Identificar \(b\), el coeficiente de \(x\).
- Encuentra \(\left(\frac{1}{2} b\right)^{2}\), el número para completar la plaza.
- Añadir el \(\left(\frac{1}{2} b\right)^{2}\) a \(x^{2}+bx\)
- Reescribir el trinomio como cuadrado binomial
- Cómo resolver una ecuación cuadrática de la forma \(a x^{2}+b x+c=0\) completando el cuadrado.
- Dividir por \(a\) para hacer el coeficiente de \(x^{2}\) término \(1\).
- Aísle los términos variables por un lado y los términos constantes en el otro.
- Encuentra \(\left(\frac{1}{2} \cdot b\right)^{2}\), el número necesario para completar la plaza. Agréguelo a ambos lados de la ecuación.
- Factor el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado a la izquierda y simplificándolo añadiendo los términos a la derecha.
- Utilice la Propiedad Raíz Cuadrada.
- Simplifica el radical y luego resuelve las dos ecuaciones resultantes.
- Consulta las soluciones.