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9.4: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

  • Page ID
    51779
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática
    • Usar el discriminante para predecir el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática
    • Identificar el método más apropiado a utilizar para resolver una ecuación cuadrática

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Evaluar \(b^{2}-4 a b\) cuándo \(a=3\) y \(b=−2\).
    2. Simplificar \(\sqrt{108}\).
    3. Simplificar \(\sqrt{50}\).

    Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

    Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas en la última sección completando el cuadrado, dimos los mismos pasos cada vez. Al final del conjunto de ejercicios, es posible que te hayas estado preguntando '¿no hay una manera más fácil de hacer esto?' La respuesta es 'sí'. Los matemáticos buscan patrones cuando hacen las cosas una y otra vez para facilitar su trabajo. En esta sección derivaremos y utilizaremos una fórmula para encontrar la solución de una ecuación cuadrática.

    Ya hemos visto cómo resolver una fórmula para una variable específica 'en general', de modo que haríamos los pasos algebraicos sólo una vez, y luego usar la nueva fórmula para encontrar el valor de la variable específica. Ahora pasaremos por los pasos de completar el cuadrado utilizando la forma general de una ecuación cuadrática para resolver una ecuación cuadrática para \(x\).

    Comenzamos con la forma estándar de una ecuación cuadrática y la resolvemos \(x\) completando el cuadrado.

      \(ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0\)
    Aísle los términos variables en un lado. \(ax^2 + bx \quad = -c\)
    Hacer el coeficiente de \(x^{2}\) igual a \(1\), dividiendo por \(a\). \(\dfrac{ax^2}{a} + \dfrac{b}{a}x \quad = -\dfrac{c}{a}\)
    Simplificar. \(x^2+ \dfrac{b}{a}x \quad = -\dfrac{c}{a}\)
    Para completar el cuadrado, encuéntrelo \(\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{b}{a}\right)^{2}\) y agréguelo a ambos lados de la ecuación.  
    \(\left(\dfrac{1}{2} \dfrac{b}{a}\right)^{2}=\dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}\) \(x^2 + \dfrac{b}{a}x +{\color{red}{\dfrac{b^2}{4a^2}}}{\color{black}{ = -\dfrac{c}{a}\,+\,}}{\color{red}{\dfrac{b^2}{4a^2}}}\)
    El lado izquierdo es un cuadrado perfecto, facítalo. \(\left( x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = -\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}\)
    Encuentra el denominador común del lado derecho y escribe fracciones equivalentes con el denominador común. \(\left( x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 =\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c\cdot\color{red}{4a}}{a\cdot\color{red}{4a}}\)
    Simplificar. \(\left( x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 =\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2}\)
    Combinar a una fracción. \(\left( x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 =\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\)
    Utilice la propiedad raíz cuadrada. \(x + \dfrac{b}{2a}= \pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\)
    Simplifica lo radical. \(x + \dfrac{b}{2a}= \pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
    Agregar \(-\dfrac{b}{2a}\) a ambos lados de la ecuación. \(x = -\dfrac{b}{2a} \pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
    Combina los términos en el lado derecho. \(x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

    La ecuación final se llama la “Fórmula cuadrática”.

    Definición \(\PageIndex{1}\): Fórmula cuadrática

    Las soluciones a una ecuación cuadrática de la forma \(a x^{2}+b x+c=0\), donde \(a≠0\) están dadas por la fórmula:

    \[x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \label{quad}\]

    Para utilizar la fórmula cuadrática, sustituimos los valores de \(a,b\), y \(c\) de la forma estándar por la expresión en el lado derecho de la fórmula. Entonces simplificamos la expresión. El resultado es el par de soluciones a la ecuación cuadrática.

    Observe que la Fórmula Cuadrática (Ecuación\ ref {quad}) es una ecuación. Asegúrate de usar ambos lados de la ecuación.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\) Cómo Resolver una Ecuación Cuadrática Usando la Fórmula Cuadrática

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(2 x^{2}+9 x-5=0\).

    Solución:

    Paso 1: Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar. Identificar los \(a,b,c\) valores. Esta ecuación está en forma estándar. \(\begin{aligned} \color{red}{a x^{2}+b x+c =0} \\ 2 x^{2}+9 x-5 =0 \\ a=2, b =9, c=-5 \end{aligned}\)
    Paso 2: Escribe la fórmula cuadrática. Entonces sustituya en los valores de \(a,b,c\). Sustituto en \(a=2, b=9, c=-5\) \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
    \(x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{9^{2}-4 \cdot 2 \cdot(-5)}}{2 \cdot 2}\)
    Paso 3: Simplifica la fracción, y resuelve para \(x\).   \(\begin{array}{l}{x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{81-(-40)}}{4}} \\ {x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{121}}{4}} \\ {x=\dfrac{-9 \pm 11}{4}} \\ {x=\dfrac{-9+11}{4}}\quad x=\dfrac{-9-11}{4} \\ {x=\dfrac{2}{4} \quad \quad\:\:\: x=\dfrac{-20}{4}}\\ {x=\dfrac{1}{2} \quad\quad\:\:\: x=-5}\end{array}\)
    Paso 4: Revise las soluciones. Pon cada respuesta en la ecuación original para comprobar. Sustituto \(x=\color{red}{\dfrac{1}{2}}\) y \(x=\color{red}{-5}\).

    \(\begin{aligned}2 x^{2}+9 x-5&=0 \\ 2\color{black}{\left(\color{red}{\dfrac{1}{2}}\right)}^{2}+9 \cdot \color{red}{\dfrac{1}{2}}\color{black}{-}5 &\stackrel{?}{=} 0 \\ 2\cdot\dfrac{1}{4}+0\cdot\dfrac{1}{2}-5&\stackrel{?}{=}0 \\ 2\cdot\dfrac{1}{4}+9\cdot\dfrac{1}{2}-5&\stackrel{?}{=}0 \\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}-5&\stackrel{?}{=}0 \\ \dfrac{10}{2}-5&\stackrel{?}{=}0 \\5-5&\stackrel{?}{=}0\\0&=0\end{aligned}\)

    \(\begin{array}{r}{2 x^{2}+9 x-5=0} \\ {2(\color{red}{-5}\color{black}{)}^{2}+9(\color{red}{-5}\color{black}{)}-5\stackrel{?}{=}0} \\ {2 \cdot 25-45-5\stackrel{?}{=}0} \\ {50-45-5\stackrel{?}{=}0} \\ {0=0}\end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(3 y^{2}-5 y+2=0\).

    Contestar

    \(y=1, y=\dfrac{2}{3}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(4 z^{2}+2 z-6=0\).

    Contestar

    \(z=1, z=-\dfrac{3}{2}\)

    Cómo: Resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática
    1. Escribir la ecuación cuadrática en forma estándar, \(a x^{2}+b x+c=0\). Identificar los valores de \(a,b\), y \(c\).
    2. Escribe la Fórmula Cuadrática. Entonces sustituya en los valores de \(a,b\), y \(c\).
    3. Simplificar.
    4. Consulta las soluciones.

    Si dices la fórmula mientras la escribes en cada problema, ¡la tendrás memorizada en muy poco tiempo! Y recuerda, la Fórmula Cuadrática es una ECUACIÓN. Asegúrate de empezar con “\(x=\)”.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(x^{2}-6 x=-5\).

    Solución:

     

    \(x^{2}-6 x=-5\)

    Escribe la ecuación en forma estándar añadiendo \(5\) a cada lado.

    \(x^{2}-6 x+5=0\)

    Esta ecuación se encuentra ahora en forma estándar.

    \({\color{red}{\small{ax^2+bx + c} = \small{0}}}\)
    \(x^2 - 6x + 5 = 0\)

    Identificar los valores de \(\color{cyan}a\), \(\color{red}b\), \(\color{limegreen}c\). \({\color{cyan}a=1}\), \({\color{red}b=-6}\), \({\color{limegreen}c=5}\)
    Escribe la Fórmula Cuadrática.

    \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

    Entonces sustituya en los valores de \(a, b, c\).

    \(x=\dfrac{-\color{red} (-6 ) \color{black} \pm \sqrt{\color{red}(-6) \color{black}^{2}-4 \cdot \color{cyan}1 \color{black} \cdot ( \color{limegreen}5 \color{black})}}{2 \cdot \color{cyan} 1} \)

    Simplificar.

    \(x=\dfrac{6 \pm \sqrt{36-20}}{2}\)

    \(x=\dfrac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\)

    \(x=\dfrac{6 \pm 4}{2}\)

    Reescribir para mostrar dos soluciones.

    \(x=\frac{6+4}{2}, \quad x=\frac{6-4}{2}\)

    Simplificar.

    \(x=\frac{10}{2}, \quad x=\frac{2}{2}\)

      \(x=5, \quad x=1\)

    Comprobar:

    .
     
    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(a^{2}-2 a=15\).

    Contestar

    \(a=-3, a=5\)

    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(b^{2}+24=-10 b\).

    Contestar

    \(b=-6, b=-4\)

    Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas usando la Propiedad Raíz Cuadrada, a veces obtuvimos respuestas que tenían radicales. Eso puede suceder, también, al usar la Fórmula Cuadrática. Si obtenemos un radical como solución, la respuesta final debe tener lo radical en su forma simplificada.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(2 x^{2}+10 x+11=0\).

    Solución:

      .
    Esta ecuación está en forma estándar. .
    Identificar los valores de \(a,b\) y \(c\). .
    Escribe la Fórmula Cuadrática.

    \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

    Entonces sustituya en los valores de \(a, b\), y \(c\). .
    Simplificar.

    \(x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{100-88}}{4}\)

     

    \(x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{12}}{4}\)

    Simplifica lo radical.

    \(x=\dfrac{-10 \pm 2 \sqrt{3}}{4}\)

    Factor fuera del factor común en el numerador.

    .

    \(x=\dfrac{\color{red}{2}(-5 \pm \sqrt{3})}{4}\)

    Eliminar los factores comunes.

    \(x=\dfrac{-5 \pm \sqrt{3}}{2}\)

    Reescribir para mostrar dos soluciones.

    \(x=\dfrac{-5+\sqrt{3}}{2}, \quad x=\dfrac{-5-\sqrt{3}}{2}\)

    Comprobar:

    ¡Te dejamos el cheque!

     
    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(3 m^{2}+12 m+7=0\).

    Contestar

    \(m=\dfrac{-6+\sqrt{15}}{3}, m=\dfrac{-6-\sqrt{15}}{3}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(5 n^{2}+4 n-4=0\).

    Contestar

    \(n=\dfrac{-2+2 \sqrt{6}}{5}, n=\dfrac{-2-2 \sqrt{6}}{5}\)

    Cuando sustituimos \(a, b\), y \(c\) en la Fórmula Cuadrática y la radicanda es negativa, la ecuación cuadrática tendrá soluciones imaginarias o complejas. Esto lo veremos en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(3 p^{2}+2 p+9=0\).

    Solución:

      .
    Esta ecuación está en forma estándar. .
    Identificar los valores de \(a,b,c\). .
    Escribe la Fórmula Cuadrática. .
    Entonces sustituya en los valores de \(a,b,c\). .
    Simplificar. .
      .
    Simplifica lo radical usando números complejos. .
    Simplifica lo radical. .
    Factor el factor común en el numerador. .
    Eliminar los factores comunes. .
    Reescribir en \(a+bi\) forma estándar. .
    Escribir como dos soluciones. .
    Cuadro 9.3.5
    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(4 a^{2}-2 a+8=0\).

    Contestar

    \(a=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{31}}{4} i, \quad a=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{31}}{4} i\)

    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(5 b^{2}+2 b+4=0\).

    Contestar

    \(b=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{\sqrt{19}}{5} i, \quad b=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{\sqrt{19}}{5} i\)

    Recuerde, para usar la Fórmula Cuadrática, la ecuación debe estar escrita en forma estándar, \(a x^{2}+b x+c=0\). A veces, necesitaremos hacer algo de álgebra para obtener la ecuación en forma estándar antes de poder usar la Fórmula Cuadrática.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(x(x+6)+4=0\).

    Solución:

    Nuestro primer paso es obtener la ecuación en forma estándar.

      .
    Distribuir para obtener la ecuación en forma estándar. .
    Esta ecuación se encuentra ahora en forma estándar. .
    Identificar los valores de \(a,b,c\). .
    Escribe la Fórmula Cuadrática. .
    Entonces sustituya en los valores de \(a,b,c\). .
    Simplificar. .
      .
    Simplifica lo radical. .
    Factor el factor común en el numerador. .
    Eliminar los factores comunes. .
    Escribir como dos soluciones. .

    Comprobar:

    ¡Te dejamos el cheque!

     
    Cuadro 9.3.6
    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(x(x+2)−5=0\).

    Contestar

    \(x=-1+\sqrt{6}, x=-1-\sqrt{6}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(3y(y−2)−3=0\).

    Contestar

    \(y=1+\sqrt{2}, y=1-\sqrt{2}\)

    Cuando resolvimos ecuaciones lineales, si una ecuación tenía demasiadas fracciones despejamos las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD. Esto nos dio una ecuación equivalente —sin fracciones— para resolver. Podemos utilizar la misma estrategia con ecuaciones cuadráticas.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(\dfrac{1}{2} u^{2}+\dfrac{2}{3} u=\dfrac{1}{3}\).

    Solución:

    Nuestro primer paso es despejar las fracciones.

      .
    Multiplica ambos lados por el LCD, \(6\), para despejar las fracciones. .
    Multiplicar. .
    Restar \(2\) para obtener la ecuación en forma estándar.
    Identificar los valores de \(a, b\), y \(c\).
    Escribe la Fórmula Cuadrática. .
    Entonces sustituya en los valores de \(a, b,\) y \(c\). .
    Simplificar. .
     
    Simplifica lo radical. .
    Factor el factor común en el numerador. .
    Eliminar los factores comunes. .
    Reescribir para mostrar dos soluciones. .

    Comprobar:

    ¡Te dejamos el cheque!

     
    Cuadro 9.3.7
    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(\dfrac{1}{4} c^{2}-\dfrac{1}{3} c=\dfrac{1}{12}\).

    Contestar

    \(c=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}, \quad c=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(\dfrac{1}{9} d^{2}-\dfrac{1}{2} d=-\dfrac{1}{3}\).

    Contestar

    \(d=\dfrac{9+\sqrt{33}}{4}, d=\dfrac{9-\sqrt{33}}{4}\)

    Piensa en la ecuación \((x-3)^{2}=0\). Sabemos por la Propiedad de Producto Cero que esta ecuación tiene una sola solución, \(x=3\).

    Veremos en el siguiente ejemplo cómo usar la Fórmula Cuadrática para resolver una ecuación cuya forma estándar es un trinomio cuadrado perfecto igual a \(0\) da una sola solución. Note que una vez que el radicand se simplifica se vuelve \(0\), lo que lleva a una sola solución.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(4 x^{2}-20 x=-25\).

    Solución:

      .
    Agregar \(25\) para obtener la ecuación en forma estándar. .
    Identificar los valores de \(a, b\), y \(c\). .
    Escribe la fórmula cuadrática. .
    Entonces sustituya en los valores de \(a, b\), y \(c\). .
    Simplificar. .
      .
    Simplifica lo radical. .
    Simplifica la fracción. .

    Comprobar:

    ¡Te dejamos el cheque!

     
    Cuadro 9.3.8

    ¿Reconoció que \(4 x^{2}-20 x+25\) es un trinomio cuadrado perfecto. Es equivalente a \((2 x-5)^{2}\)? Si resuelves \(4 x^{2}-20 x+25=0\) factorizando y luego usando la Propiedad Raíz Cuadrada, ¿obtienes el mismo resultado?

    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(r^{2}+10 r+25=0\).

    Contestar

    \(r=-5\)

    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Resuelva mediante el uso de la Fórmula Cuadrática: \(25 t^{2}-40 t=-16\).

    Contestar

    \(t=\dfrac{4}{5}\)

    Usar el discriminante para predecir el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática

    Cuando resolvimos las ecuaciones cuadráticas en los ejemplos anteriores, a veces obtuvimos dos soluciones reales, una solución real y otras dos soluciones complejas. ¿Hay alguna manera de predecir el número y tipo de soluciones a una ecuación cuadrática sin resolver realmente la ecuación?

    Sí, la expresión bajo el radical de la Fórmula Cuadrática nos facilita determinar el número y tipo de soluciones. A esta expresión se le llama el discriminante.

    Definición \(\PageIndex{2}\)

    Discriminante

    En la Fórmula Cuadrática, x es igual al cociente de negativo b más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 veces a veces c y 2 a, el valor bajo el radical, b cuadrado menos 4 veces a veces c, se llama el discriminante.
    Figura 9.3.85

    Veamos el discriminante de las ecuaciones en algunos de los ejemplos y el número y tipo de soluciones a esas ecuaciones cuadráticas.

    Ecuación cuadrática (en forma estándar) Discriminar \(b^{2}-4ac\) Valor del discriminante Número y Tipo de Soluciones
    \(2 x^{2}+9 x-5=0\) \ (b^ {2} -4ac\) ">\(\begin{aligned} 9^{2}-& 4 \cdot 2(-5) \\ & 121 \end{aligned}\) \(+\) \(2\) real
    \(4 x^{2}-20 x+25=0\) \ (b^ {2} -4ac\) ">\((-20)^{2}-4 \cdot 4 \cdot 25\)
    \(0\)
    \(0\) \(1\) real
    \(3 p^{2}+2 p+9=0\) \ (b^ {2} -4ac\) ">\(2^{2}-4 \cdot 3 \cdot 9\)
    \(-104\)
    \(-\) \(2\) complejo
    Cuadro 9.3.9
    Cuando el valor bajo el radical en la Fórmula Cuadrática, el discriminante, es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. Cuando el valor bajo el radical en la Fórmula Cuadrática, el discriminante, es cero, la ecuación tiene una solución real. Cuando el valor bajo el radical en la Fórmula Cuadrática, el discriminante, es negativo, la ecuación tiene dos soluciones complejas.
    Figura 9.3.86

    Usando el discriminante \(b^{2}-4ac\), para determinar el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática

    Para una ecuación cuadrática de la forma \(ax^{2}+bx+c=0\), \(a \neq 0\),

    • Si \(b^{2}-4 a c>0\), la ecuación tiene soluciones \(2\) reales.
    • si \(b^{2}-4 a c=0\), la ecuación tiene solución \(1\) real.
    • si \(b^{2}-4 a c<0\), la ecuación tiene soluciones \(2\) complejas.
    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Determinar el número de soluciones a cada ecuación cuadrática.

    1. \(3 x^{2}+7 x-9=0\)
    2. \(5 n^{2}+n+4=0\)
    3. \(9 y^{2}-6 y+1=0\)

    Solución:

    Para determinar el número de soluciones de cada ecuación cuadrática, veremos su discriminante.

    a.

    \(3 x^{2}+7 x-9=0\)

    La ecuación está en forma estándar, identificar \(a, b\), y \(c\).

    \(a=3, \quad b=7, \quad c=-9\)

    Escribe el discriminante.

    \(b^{2}-4 a c\)

    Sustituir en los valores de \(a, b\), y \(c\).

    \((7)^{2}-4 \cdot 3 \cdot(-9)\)

    Simplificar.

    \(49+108\)
    \(157\)

    Dado que el discriminante es positivo, hay soluciones \(2\) reales a la ecuación.

    b.

    \(5 n^{2}+n+4=0\)

    La ecuación está en forma estándar, identificar \(a, b\), y \(c\).

    \(a=5, \quad b=1, \quad c=4\)

    Escribe el discriminante.

    \(b^{2}-4 a c\)

    Sustituir en los valores de \(a, b\), y \(c\).

    \((1)^{2}-4 \cdot 5 \cdot 4\)

    Simplificar.

    \(1-80\)
    \(-79\)

    Dado que el discriminante es negativo, existen soluciones \(2\) complejas a la ecuación.

    c.

    \(9 y^{2}-6 y+1=0\)

    La ecuación está en forma estándar, identificar \(a, b\), y \(c\).

    \(a=9, \quad b=-6, \quad c=1\)

    Escribe el discriminante.

    \(b^{2}-4 a c\)

    Sustituir en los valores de \(a, b\), y \(c\).

    \((-6)^{2}-4 \cdot 9 \cdot 1\)

    Simplificar.

    \(36-36\)
    \(0\)

    Dado que lo discriminante es \(0\), hay solución \(1\) real a la ecuación.

    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Determinar el número y tipo de soluciones a cada ecuación cuadrática.

    1. \(8 m^{2}-3 m+6=0\)
    2. \(5 z^{2}+6 z-2=0\)
    3. \(9 w^{2}+24 w+16=0\)
    Contestar
    1. \(2\) soluciones complejas
    2. \(2\) soluciones reales
    3. \(1\) solución real
    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Determinar el número y tipo de soluciones a cada ecuación cuadrática.

    1. \(b^{2}+7 b-13=0\)
    2. \(5 a^{2}-6 a+10=0\)
    3. \(4 r^{2}-20 r+25=0\)
    Contestar
    1. \(2\) soluciones reales
    2. \(2\) soluciones complejas
    3. \(1\) solución real

    Identificar el método más apropiado para resolver una ecuación cuadrática

    A continuación resumimos los cuatro métodos que hemos utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas.

    Métodos para Resolver Ecuaciones Cuadráticas

    1. Factoring
    2. Propiedad Raíz Cuadrada
    3. Completando la Plaza
    4. Fórmula cuadrática

    Dado que tenemos cuatro métodos a utilizar para resolver una ecuación cuadrática, ¿cómo se decide cuál usar? El factoraje suele ser el método más rápido y así lo intentamos primero. Si la ecuación es \(ax^{2}=k\) o \(a(x−h)^{2}=k\) usamos la Propiedad Raíz Cuadrada. Para cualquier otra ecuación, probablemente sea mejor usar la Fórmula Cuadrática. Recuerda, puedes resolver cualquier ecuación cuadrática usando la Fórmula Cuadrática, pero ese no siempre es el método más fácil.

    ¿Qué pasa con el método de Completar la Plaza? A la mayoría de la gente le resulta engorroso ese método y prefiere no usarlo. Necesitábamos incluirlo en la lista de métodos porque completamos el cuadrado en general para derivar la Fórmula Cuadrática. También utilizarás el proceso de Completar la Plaza en otras áreas del álgebra.

    Identificar el método más apropiado para resolver una ecuación cuadrática

    1. Prueba primero Factoring . Si los factores cuadráticos fácilmente, este método es muy rápido.
    2. Prueba la Propiedad Raíz Cuadrada a continuación. Si la ecuación se ajusta a la forma \(ax^{2}=k\) o \(a(x−h)^{2}=k\), se puede resolver fácilmente mediante el uso de la Propiedad Raíz Cuadrada.
    3. Utilice la fórmula cuadrática. Cualquier otra ecuación cuadrática se resuelve mejor usando la Fórmula Cuadrática.

    El siguiente ejemplo utiliza esta estrategia para decidir cómo resolver cada ecuación cuadrática.

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Identificar el método más apropiado a utilizar para resolver cada ecuación cuadrática.

    1. \(5 z^{2}=17\)
    2. \(4 x^{2}-12 x+9=0\)
    3. \(8 u^{2}+6 u=11\)

    Solución:

    a.

    \(5z^{2}=17\)

    Dado que la ecuación está en el \(ax^{2}=k\), el método más apropiado es utilizar la Propiedad Raíz Cuadrada.

    b.

    \(4 x^{2}-12 x+9=0\)

    Reconocemos que el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que el factoring será el método más apropiado.

    c.

    \(8 u^{2}+6 u=11\)

    Poner la ecuación en forma estándar.

    \(8 u^{2}+6 u-11=0\)

    Si bien nuestro primer pensamiento puede ser intentar factorizar, pensar en todas las posibilidades para el método de ensayo y error nos lleva a elegir la Fórmula Cuadrática como el método más apropiado.

    Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

    Identificar el método más apropiado a utilizar para resolver cada ecuación cuadrática.

    1. \(x^{2}+6 x+8=0\)
    2. \((n-3)^{2}=16\)
    3. \(5 p^{2}-6 p=9\)
    Contestar
    1. Factoring
    2. Propiedad Raíz Cuadrada
    3. Fórmula cuadrática
    Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

    Identificar el método más apropiado a utilizar para resolver cada ecuación cuadrática.

    1. \(8 a^{2}+3 a-9=0\)
    2. \(4 b^{2}+4 b+1=0\)
    3. \(5 c^{2}=125\)
    Contestar
    1. Fórmula cuadrática
    2. Factoring o Propiedad Raíz Cuadrada
    3. Propiedad Raíz Cuadrada

    Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con el uso de la Fórmula Cuadrática.

    Conceptos Clave

    • Fórmula cuadrática
      • Las soluciones a una ecuación cuadrática de la forma \(a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0\) vienen dadas por la fórmula:

        \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

    • Cómo resolver una ecuación cuadrática usando la Fórmula Cuadrática
      1. Escribir la ecuación cuadrática en forma estándar, \(a x^{2}+b x+c=0\). Identificar los valores de \(a, b, c\).
      2. Escribe la Fórmula Cuadrática. Entonces sustituya en los valores de \(a, b, c\).
      3. Simplificar.
      4. Consulta las soluciones.
    • Usando el discriminante, \(b^{2}-4 a c\), para determinar el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática
      • Para una ecuación cuadrática de la forma \(a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0\),
        • Si \(b^{2}-4 a c>0\), la ecuación tiene soluciones \(2\) reales.
        • Si \(b^{2}-4 a c=0\), la ecuación tiene solución \(1\) real.
        • Si \(b^{2}-4 a c<0\), la ecuación tiene soluciones \(2\) complejas.
    • Métodos para Resolver Ecuaciones Cuadráticas:
      • Factoring
      • Propiedad Raíz Cuadrada
      • Completando la Plaza
      • Fórmula cuadrática
    • Cómo identificar el método más adecuado para resolver una ecuación cuadrática.
      1. Prueba primero Factoring. Si los factores cuadráticos fácilmente, este método es muy rápido.
      2. Prueba la Propiedad Raíz Cuadrada a continuación. Si la ecuación se ajusta a la forma \(a x^{2}=k\) o \(a(x-h)^{2}=k\), se puede resolver fácilmente mediante el uso de la Propiedad Raíz Cuadrada.
      3. Utilice la fórmula cuadrática. Cualquierotra ecuación cuadrática se resuelve mejor usando la Fórmula Cuadrática.

    Glosario

    discriminante
    En la Fórmula Cuadrática \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\),, la cantidad \(b^{2}-4 a c\) se denomina discriminante.

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