Saltar al contenido principal

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## La práctica hace a la perfección

##### Ejercicios 1 - 4: Reconocer la Gráfica de una Función Cuadrática

En los siguientes ejercicios, grafica las funciones trazando puntos.

1. $$f(x)=x^{2}+3$$

2. $$f(x)=x^{2}-3$$

3. $$y=-x^{2}+1$$

4. $$f(x)=-x^{2}-1$$

Contestar

1.

3.

##### Ejercicios 5 - 8: Reconocer la Gráfica de una Función Cuadrática

Para cada uno de los siguientes ejercicios, determine si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

5. a. $$f(x)=-2 x^{2}-6 x-7$$ b. $$f(x)=6 x^{2}+2 x+3$$

6. a. $$f(x)=4 x^{2}+x-4$$ b. $$f(x)=-9 x^{2}-24 x-16$$

7. a. $$f(x)=-3 x^{2}+5 x-1$$ b. $$f(x)=2 x^{2}-4 x+5$$

8. a. $$f(x)=x^{2}+3 x-4$$ b. $$f(x)=-4 x^{2}-12 x-9$$

Contestar

5. a. abajo b. arriba

7. a. abajo b. arriba

##### Ejercicios 9 - 12: Encuentra el Eje de Simetría y Vértice de una Parábola

En las siguientes funciones, encuentra

1. La ecuación del eje de simetría
2. El vértice de su gráfica

9. $$f(x)=x^{2}+8 x-1$$

10. $$f(x)=x^{2}+10 x+25$$

11. $$f(x)=-x^{2}+2 x+5$$

12. $$f(x)=-2 x^{2}-8 x-3$$

Contestar

9. a. Eje de simetría: $$x=-4$$ b. Vértice: $$(-4,-17)$$

11. a. Eje de simetría: $$x=1$$ b. Vértice: $$(1,2)$$

##### Ejercicios 13 - 24: Encuentra las Intercepciones de una Parábola

En los siguientes ejercicios, encuentra las intercepciones de la parábola cuya función se da.

13. $$f(x)=x^{2}+7 x+6$$

14. $$f(x)=x^{2}+10 x-11$$

15. $$f(x)=x^{2}+8 x+12$$

16. $$f(x)=x^{2}+5 x+6$$

17. $$f(x)=-x^{2}+8 x-19$$

18. $$f(x)=-3 x^{2}+x-1$$

19. $$f(x)=x^{2}+6 x+13$$

20. $$f(x)=x^{2}+8 x+12$$

21. $$f(x)=4 x^{2}-20 x+25$$

22. $$f(x)=-x^{2}-14 x-49$$

23. $$f(x)=-x^{2}-6 x-9$$

24. $$f(x)=4 x^{2}+4 x+1$$

Contestar

13. $$y$$-intercepción: $$(0,6)$$; $$x$$-interceptación (es): $$(-1,0), (-6,0)$$

15. $$y$$-intercepción: $$(0,12)$$; $$x$$-interceptación (es): $$(-2,0), (-6,0)$$

17. $$y$$-intercepción: $$(0,-19)$$; $$x$$-interceptación (es): ninguna

19. $$y$$-intercepción: $$(0,13)$$; $$x$$-interceptación (es): ninguna

21. $$y$$-intercepción: $$(0,-16)$$; $$x$$-interceptación (es): $$(\frac{5}{2},0)$$

23. $$y$$-intercepción: $$(0,9)$$; $$x$$-interceptación (es): $$(-3,0)$$

En los siguientes ejercicios, grafica la función utilizando sus propiedades.

25. $$f(x)=x^{2}+6 x+5$$

26. $$f(x)=x^{2}+4 x-12$$

27. $$f(x)=x^{2}+4 x+3$$

28. $$f(x)=x^{2}-6 x+8$$

29. $$f(x)=9 x^{2}+12 x+4$$

30. $$f(x)=-x^{2}+8 x-16$$

31. $$f(x)=-x^{2}+2 x-7$$

32. $$f(x)=5 x^{2}+2$$

33. $$f(x)=2 x^{2}-4 x+1$$

34. $$f(x)=3 x^{2}-6 x-1$$

35. $$f(x)=2 x^{2}-4 x+2$$

36. $$f(x)=-4 x^{2}-6 x-2$$

37. $$f(x)=-x^{2}-4 x+2$$

38. $$f(x)=x^{2}+6 x+8$$

39. $$f(x)=5 x^{2}-10 x+8$$

40. $$f(x)=-16 x^{2}+24 x-9$$

41. $$f(x)=3 x^{2}+18 x+20$$

42. $$f(x)=-2 x^{2}+8 x-10$$

Contestar

25.

27.

29.

31.

33.

35.

37.

39.

41.

##### Ejercicios 43 - 48: Resolver Aplicaciones Máximas y Mínimas

En los siguientes ejercicios, encuentra el valor máximo o mínimo de cada función.

43. $$f(x)=2 x^{2}+x-1$$

44. $$y=-4 x^{2}+12 x-5$$

45. $$y=x^{2}-6 x+15$$

46. $$y=-x^{2}+4 x-5$$

47. $$y=-9 x^{2}+16$$

48. $$y=4 x^{2}-49$$

Contestar

43. El valor mínimo es $$−\frac{9}{8}$$ cuando $$x=−\frac{1}{4}$$.

45. El valor máximo es $$6$$ cuando $$x=3$$.

47. El valor máximo es $$16$$ cuando $$x=0$$.

##### Ejercicios 49 - 60: Resolver Aplicaciones Máximas y Mínimas

En los siguientes ejercicios, resuelve. Redondear respuestas a la décima más cercana.

49. Una flecha se dispara verticalmente hacia arriba desde una plataforma $$45$$ pies de altura a una velocidad de $$168$$ pies/seg. Usa la función cuadrática $$h(t)=-16 t^{2}+168 t+45$$ encuentra cuánto tiempo tardará la flecha en alcanzar su altura máxima, y luego encuentra la altura máxima.

50. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde una plataforma que tiene $$20$$ pies de altura a una velocidad de $$160$$ pies/seg. Usa la función cuadrática $$h(t)=-16 t^{2}+160 t+20$$ para encontrar cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar su altura máxima, y luego encontrar la altura máxima.

51. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de $$109$$ pies/seg. Usa la función cuadrática $$h(t)=-16 t^{2}+109 t+0$$ para encontrar cuánto tiempo tardará la pelota en alcanzar su altura máxima, y luego encontrar la altura máxima.

52. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de $$122$$ pies/seg. Usa la función cuadrática $$h(t)=-16 t^{2}+122 t+0$$ para encontrar cuánto tiempo tardará la pelota en alcanzar su altura máxima, y luego encontrar la altura máxima.

53. El dueño de una tienda de informática estima que al cobrar $$x$$ dólares cada uno por una determinada computadora, puede vender $$40 − x$$ computadoras cada semana. La función cuadrática $$R(x)=-x^{2}+40 x$$ se utiliza para encontrar los ingresos, $$R$$, recibidos cuando el precio de venta de una computadora es $$x$$, Encuentra el precio de venta que le dará el máximo de ingresos, y luego encontrar el monto de los ingresos máximos.

54. Un minorista que vende mochilas estima que al venderlas por $$x$$ dólares cada una, podrá vender $$100 − x$$ mochilas al mes. La función cuadrática $$R(x)=-x^{2}+100 x$$ se utiliza para encontrar el $$R$$, recibido cuando el precio de venta de una mochila es $$x$$. Encuentra el precio de venta que le dará el máximo de ingresos, y luego encuentra el monto de los ingresos máximos.

55. Un minorista que vende botas de moda estima que al venderlas por $$x$$ dólares cada uno, podrá vender $$70 − x$$ botas a la semana. Utilice la función cuadrática $$R(x)=-x^{2}+70 x$$ para encontrar los ingresos recibidos cuando el precio promedio de venta de un par de botas de moda es $$x$$. Encuentra el precio de venta que le dará el máximo de ingresos, y luego encuentra el monto de los ingresos máximos por día.

56. Una compañía de telefonía celular estima que al cobrar $$x$$ dólares cada uno por un determinado teléfono celular, pueden vender $$8 − x$$ celulares por día. Utilice la función cuadrática $$R(x)=-x^{2}+8 x$$ para encontrar los ingresos recibidos por día cuando el precio de venta de un teléfono celular es $$x$$. Encuentra el precio de venta que les dará el máximo de ingresos por día, y luego encuentra el monto de los ingresos máximos.

57. Un ganadero va a bardear tres lados de un corral junto a un río. Necesita maximizar el área del corral usando $$240$$ pies de esgrima. La ecuación cuadrática $$A(x)=x(240-2 x)$$ da el área del corral, $$A$$, para la longitud, $$x$$, del corral a lo largo del río. Encuentra la longitud del corral a lo largo del río que dará la superficie máxima, y luego encuentra la máxima área del corral.

58. Un veterinario está encerrando un área rectangular al aire libre contra su edificio para los perros que cuida. Necesita maximizar el área usando $$100$$ pies de esgrima. La función cuadrática $$A(x)=x(100-2 x)$$ da el área, $$A$$, del perro corre por la longitud, $$x$$, del edificio que bordeará la carrera canina. Encuentra la longitud del edificio que debe bordear la carrera canina para dar el área máxima, y luego encuentra el área máxima de la carrera canina.

59. Un propietario de terreno está planeando construir un patio cercado en rectangular detrás de su cochera, utilizando su cochera como una de las “paredes”. Quiere maximizar el área usando $$80$$ pies de esgrima. La función cuadrática $$A(x)=x(80-2 x)$$ da el área del patio, donde $$x$$ está el ancho de un lado. Encuentra el área máxima del patio.

60. Una familia de tres niños pequeños se acaba de mudar a una casa con un patio que no está cercado. El anterior dueño les dio $$300$$ pies de esgrima para usar para encerrar parte de su patio trasero. Utilice la función cuadrática $$A(x)=x(300-2 x)$$ para determinar el área máxima del cercado en patio.

Contestar

49. En $$5.3$$ seg la flecha alcanzará la altura máxima de $$486$$ ft.

51. En $$3.4$$ segundos la pelota alcanzará su máxima altura de $$185.6$$ pies.

53. $$20$$ computadoras darán el máximo de $$$400$$ en recibos. 55. Podrá vender $$35$$ pares de botas a los ingresos máximos de$$$1,225$$.

57. La longitud del lado a lo largo del río del corral es de $$120$$ pies y el área máxima es de pies $$7,200$$ cuadrados.

59. El área máxima del patio es de $$800$$ pies.

##### Ejercicios 61 - 64: Ejercicios de escritura

61. ¿En qué se $$f(x)=x^{2}−1$$ diferencian $$f(x)=x^{2}$$ y difieren las gráficas de las funciones? Los graficamos al inicio de esta sección. ¿Cuál es la diferencia entre sus gráficas? ¿Cómo son iguales sus gráficas?

62. Explicar el proceso de encontrar el vértice de una parábola.

63. Explicar cómo encontrar las intercepciones de una parábola.

64. ¿Cómo se puede utilizar el discriminante cuando se está graficando una función cuadrática?

Contestar

1. Las respuestas variarán.

3. Las respuestas variarán.

## Autocomprobación

a. Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

b. Después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para la siguiente sección? ¿Por qué o por qué no?

This page titled 9.7E: Grafica funciones cuadráticas usando propiedades (ejercicios) is shared under a CC BY 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by OpenStax via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.