Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

9.7E: Grafica funciones cuadráticas usando propiedades (ejercicios)

  1. Última actualización
  2. Guardar como PDF
  • Page ID
    51796

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La práctica hace a la perfección

    Ejercicios 1 - 4: Reconocer la Gráfica de una Función Cuadrática

    En los siguientes ejercicios, grafica las funciones trazando puntos.

    1. \(f(x)=x^{2}+3\)

    2. \(f(x)=x^{2}-3\)

    3. \(y=-x^{2}+1\)

    4. \(f(x)=-x^{2}-1\)

    Contestar

    1.

    3.

    Ejercicios 5 - 8: Reconocer la Gráfica de una Función Cuadrática

    Para cada uno de los siguientes ejercicios, determine si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

    5. a. \(f(x)=-2 x^{2}-6 x-7\) b. \(f(x)=6 x^{2}+2 x+3\)

    6. a. \(f(x)=4 x^{2}+x-4\) b. \(f(x)=-9 x^{2}-24 x-16\)

    7. a. \(f(x)=-3 x^{2}+5 x-1\) b. \(f(x)=2 x^{2}-4 x+5\)

    8. a. \(f(x)=x^{2}+3 x-4\) b. \(f(x)=-4 x^{2}-12 x-9\)

    Contestar

    5. a. abajo b. arriba

    7. a. abajo b. arriba

    Ejercicios 9 - 12: Encuentra el Eje de Simetría y Vértice de una Parábola

    En las siguientes funciones, encuentra

    1. La ecuación del eje de simetría
    2. El vértice de su gráfica

    9. \(f(x)=x^{2}+8 x-1\)

    10. \(f(x)=x^{2}+10 x+25\)

    11. \(f(x)=-x^{2}+2 x+5\)

    12. \(f(x)=-2 x^{2}-8 x-3\)

    Contestar

    9. a. Eje de simetría: \(x=-4\) b. Vértice: \((-4,-17)\)

    11. a. Eje de simetría: \(x=1\) b. Vértice: \((1,2)\)

    Ejercicios 13 - 24: Encuentra las Intercepciones de una Parábola

    En los siguientes ejercicios, encuentra las intercepciones de la parábola cuya función se da.

    13. \(f(x)=x^{2}+7 x+6\)

    14. \(f(x)=x^{2}+10 x-11\)

    15. \(f(x)=x^{2}+8 x+12\)

    16. \(f(x)=x^{2}+5 x+6\)

    17. \(f(x)=-x^{2}+8 x-19\)

    18. \(f(x)=-3 x^{2}+x-1\)

    19. \(f(x)=x^{2}+6 x+13\)

    20. \(f(x)=x^{2}+8 x+12\)

    21. \(f(x)=4 x^{2}-20 x+25\)

    22. \(f(x)=-x^{2}-14 x-49\)

    23. \(f(x)=-x^{2}-6 x-9\)

    24. \(f(x)=4 x^{2}+4 x+1\)

    Contestar

    13. \(y\)-intercepción: \((0,6)\); \(x\)-interceptación (es): \((-1,0), (-6,0)\)

    15. \(y\)-intercepción: \((0,12)\); \(x\)-interceptación (es): \((-2,0), (-6,0)\)

    17. \(y\)-intercepción: \((0,-19)\); \(x\)-interceptación (es): ninguna

    19. \(y\)-intercepción: \((0,13)\); \(x\)-interceptación (es): ninguna

    21. \(y\)-intercepción: \((0,-16)\); \(x\)-interceptación (es): \((\frac{5}{2},0)\)

    23. \(y\)-intercepción: \((0,9)\); \(x\)-interceptación (es): \((-3,0)\)

    Ejercicios 25 - 42: Graficar funciones cuadráticas usando propiedades

    En los siguientes ejercicios, grafica la función utilizando sus propiedades.

    25. \(f(x)=x^{2}+6 x+5\)

    26. \(f(x)=x^{2}+4 x-12\)

    27. \(f(x)=x^{2}+4 x+3\)

    28. \(f(x)=x^{2}-6 x+8\)

    29. \(f(x)=9 x^{2}+12 x+4\)

    30. \(f(x)=-x^{2}+8 x-16\)

    31. \(f(x)=-x^{2}+2 x-7\)

    32. \(f(x)=5 x^{2}+2\)

    33. \(f(x)=2 x^{2}-4 x+1\)

    34. \(f(x)=3 x^{2}-6 x-1\)

    35. \(f(x)=2 x^{2}-4 x+2\)

    36. \(f(x)=-4 x^{2}-6 x-2\)

    37. \(f(x)=-x^{2}-4 x+2\)

    38. \(f(x)=x^{2}+6 x+8\)

    39. \(f(x)=5 x^{2}-10 x+8\)

    40. \(f(x)=-16 x^{2}+24 x-9\)

    41. \(f(x)=3 x^{2}+18 x+20\)

    42. \(f(x)=-2 x^{2}+8 x-10\)

    Contestar

    25.

    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (negativo 3, negativo 4). La intercepción y, punto (0, 5), se grafica al igual que las intercepciones x, (negativo 5, 0) y (negativo 1, 0).
    Figura 9.6.136

    27.

    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (negativo 2, negativo 1). La intercepción y, punto (0, 3), se grafica al igual que las intercepciones x, (negativo 3, 0) y (negativo 1, 0).
    Figura 9.6.137

    29.

    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 4 a 4. El eje y del plano va de negativo 4 a 4. La parábola tiene un vértice en (menos 2 tercios, 0). Se traza la intercepción y, punto (0, 4). El eje de simetría, x es igual a 2 tercios negativos, se traza como una línea vertical discontinua.
    Figura 9.6.138

    31.

    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 15 a 10. La parábola tiene un vértice en (1, menos 6). Se traza la intercepción y, punto (0, negativo 7). El eje de simetría, x es igual a 1, se traza como una línea vertical discontinua.
    Figura 9.6.139

    33.

    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (1, negativo 1). La intercepción y, punto (0, 1), se grafica al igual que las intercepciones x, aproximadamente (0.3, 0) y (1.7, 0). El eje de simetría es la línea vertical x es igual a 1, trazada como una línea discontinua.
    Figura 9.6.140

    35.

    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (1, 0). Este punto es el único x-intercept. Se traza la intercepción y, punto (0, 2). El eje de simetría es la línea vertical x es igual a 1, trazada como una línea discontinua.
    Figura 9.6.141

    37.

    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (negativo 2, 6). La intercepción y, punto (0, 2), se grafica al igual que las intercepciones x, aproximadamente (negativo 4.4, 0) y (0.4, 0). El eje de simetría es la línea vertical x es igual a 2, trazada como una línea discontinua.
    Figura 9.6.142

    39.

    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (1, 3). Se traza la intercepción y, punto (0, 8); no hay intercepciones x. El eje de simetría es la línea vertical x es igual a 1, trazada como una línea discontinua.
    Figura 9.6.143

    41.

    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (negativo 3, negativo 7). Las intercepciones x se trazan en los puntos aproximados (menos 4.5, 0) y (negativo 1.5, 0). El eje de simetría es la línea vertical x es igual a negativo 3, trazada como una línea discontinua.
    Figura 9.6.144
    Ejercicios 43 - 48: Resolver Aplicaciones Máximas y Mínimas

    En los siguientes ejercicios, encuentra el valor máximo o mínimo de cada función.

    43. \(f(x)=2 x^{2}+x-1\)

    44. \(y=-4 x^{2}+12 x-5\)

    45. \(y=x^{2}-6 x+15\)

    46. \(y=-x^{2}+4 x-5\)

    47. \(y=-9 x^{2}+16\)

    48. \(y=4 x^{2}-49\)

    Contestar

    43. El valor mínimo es \(−\frac{9}{8}\) cuando \(x=−\frac{1}{4}\).

    45. El valor máximo es \(6\) cuando \(x=3\).

    47. El valor máximo es \(16\) cuando \(x=0\).

    Ejercicios 49 - 60: Resolver Aplicaciones Máximas y Mínimas

    En los siguientes ejercicios, resuelve. Redondear respuestas a la décima más cercana.

    49. Una flecha se dispara verticalmente hacia arriba desde una plataforma \(45\) pies de altura a una velocidad de \(168\) pies/seg. Usa la función cuadrática \(h(t)=-16 t^{2}+168 t+45\) encuentra cuánto tiempo tardará la flecha en alcanzar su altura máxima, y luego encuentra la altura máxima.

    50. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde una plataforma que tiene \(20\) pies de altura a una velocidad de \(160\) pies/seg. Usa la función cuadrática \(h(t)=-16 t^{2}+160 t+20\) para encontrar cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar su altura máxima, y luego encontrar la altura máxima.

    51. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de \(109\) pies/seg. Usa la función cuadrática \(h(t)=-16 t^{2}+109 t+0\) para encontrar cuánto tiempo tardará la pelota en alcanzar su altura máxima, y luego encontrar la altura máxima.

    52. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de \(122\) pies/seg. Usa la función cuadrática \(h(t)=-16 t^{2}+122 t+0\) para encontrar cuánto tiempo tardará la pelota en alcanzar su altura máxima, y luego encontrar la altura máxima.

    53. El dueño de una tienda de informática estima que al cobrar \(x\) dólares cada uno por una determinada computadora, puede vender \(40 − x\) computadoras cada semana. La función cuadrática \(R(x)=-x^{2}+40 x\) se utiliza para encontrar los ingresos, \(R\), recibidos cuando el precio de venta de una computadora es \(x\), Encuentra el precio de venta que le dará el máximo de ingresos, y luego encontrar el monto de los ingresos máximos.

    54. Un minorista que vende mochilas estima que al venderlas por \(x\) dólares cada una, podrá vender \(100 − x\) mochilas al mes. La función cuadrática \(R(x)=-x^{2}+100 x\) se utiliza para encontrar el \(R\), recibido cuando el precio de venta de una mochila es \(x\). Encuentra el precio de venta que le dará el máximo de ingresos, y luego encuentra el monto de los ingresos máximos.

    55. Un minorista que vende botas de moda estima que al venderlas por \(x\) dólares cada uno, podrá vender \(70 − x\) botas a la semana. Utilice la función cuadrática \(R(x)=-x^{2}+70 x\) para encontrar los ingresos recibidos cuando el precio promedio de venta de un par de botas de moda es \(x\). Encuentra el precio de venta que le dará el máximo de ingresos, y luego encuentra el monto de los ingresos máximos por día.

    56. Una compañía de telefonía celular estima que al cobrar \(x\) dólares cada uno por un determinado teléfono celular, pueden vender \(8 − x\) celulares por día. Utilice la función cuadrática \(R(x)=-x^{2}+8 x\) para encontrar los ingresos recibidos por día cuando el precio de venta de un teléfono celular es \(x\). Encuentra el precio de venta que les dará el máximo de ingresos por día, y luego encuentra el monto de los ingresos máximos.

    57. Un ganadero va a bardear tres lados de un corral junto a un río. Necesita maximizar el área del corral usando \(240\) pies de esgrima. La ecuación cuadrática \(A(x)=x(240-2 x)\) da el área del corral, \(A\), para la longitud, \(x\), del corral a lo largo del río. Encuentra la longitud del corral a lo largo del río que dará la superficie máxima, y luego encuentra la máxima área del corral.

    58. Un veterinario está encerrando un área rectangular al aire libre contra su edificio para los perros que cuida. Necesita maximizar el área usando \(100\) pies de esgrima. La función cuadrática \(A(x)=x(100-2 x)\) da el área, \(A\), del perro corre por la longitud, \(x\), del edificio que bordeará la carrera canina. Encuentra la longitud del edificio que debe bordear la carrera canina para dar el área máxima, y luego encuentra el área máxima de la carrera canina.

    59. Un propietario de terreno está planeando construir un patio cercado en rectangular detrás de su cochera, utilizando su cochera como una de las “paredes”. Quiere maximizar el área usando \(80\) pies de esgrima. La función cuadrática \(A(x)=x(80-2 x)\) da el área del patio, donde \(x\) está el ancho de un lado. Encuentra el área máxima del patio.

    60. Una familia de tres niños pequeños se acaba de mudar a una casa con un patio que no está cercado. El anterior dueño les dio \(300\) pies de esgrima para usar para encerrar parte de su patio trasero. Utilice la función cuadrática \(A(x)=x(300-2 x)\) para determinar el área máxima del cercado en patio.

    Contestar

    49. En \(5.3\) seg la flecha alcanzará la altura máxima de \(486\) ft.

    51. En \(3.4\) segundos la pelota alcanzará su máxima altura de \(185.6\) pies.

    53. \(20\) computadoras darán el máximo de $\(400\) en recibos.

    55. Podrá vender \(35\) pares de botas a los ingresos máximos de $\(1,225\).

    57. La longitud del lado a lo largo del río del corral es de \(120\) pies y el área máxima es de pies \(7,200\) cuadrados.

    59. El área máxima del patio es de \(800\) pies.

    Ejercicios 61 - 64: Ejercicios de escritura

    61. ¿En qué se \(f(x)=x^{2}−1\) diferencian \(f(x)=x^{2}\) y difieren las gráficas de las funciones? Los graficamos al inicio de esta sección. ¿Cuál es la diferencia entre sus gráficas? ¿Cómo son iguales sus gráficas?

    62. Explicar el proceso de encontrar el vértice de una parábola.

    63. Explicar cómo encontrar las intercepciones de una parábola.

    64. ¿Cómo se puede utilizar el discriminante cuando se está graficando una función cuadrática?

    Contestar

    1. Las respuestas variarán.

    3. Las respuestas variarán.

    Autocomprobación

    a. Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    Esta tabla proporciona una lista de verificación para evaluar el dominio de los objetivos de esta sección. Elige cómo responderías a la declaración “I puede reconocer la gráfica de una ecuacion cuadrática.†“Con confianza, †“con alguna ayuda, †o “No, no, yo don’ t get it.†Elige cómo responderías a la declaración “I puede encontrar el eje de simetría y vértice de una parabola.†“Con confianza, †€ “con alguna ayuda, †o “No, yo don’ t get it.†Elige cómo responderías a la declaración “I puede encontrar las intercepciones de una parabola.†“confidently, †“with un poco de ayuda, †o “No, yo don’ t obtenlo.†Elige cómo responderías a la declaración “I can graph quadrr†ecuaciones en dos variables.††œConfidently, †“with algo de ayuda, †o “No, I don’ t get it.†Elige cómo respondería a la declaración “I puede resolver las aplicaciones máximas y mínimas. †“confidently, †“with un poco de ayuda, †o “No, yo don’ t obtenlo.â€
    Figura 9.6.145

    b. Después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para la siguiente sección? ¿Por qué o por qué no?

    This page titled 9.7E: Grafica funciones cuadráticas usando propiedades (ejercicios) is shared under a CC BY 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by OpenStax via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.