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9.8: Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones

  • Page ID
    51774
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Grafica las funciones cuadráticas de la forma \(f(x)=x^{2}+k\)
    • Grafica las funciones cuadráticas de la forma \(f(x)=(x−h)^{2}\)
    • Grafica las funciones cuadráticas de la forma \(f(x)=ax^{2}\)
    • Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones
    • Encuentra una función cuadrática a partir de su gráfica

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Grafica la función \(f(x)=x^{2}\) trazando puntos.
      Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 3.54.
    2. Factor completamente: \(y^{2}−14y+49\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.24.
    3. Factor completamente: \(2x^{2}−16x+32\).
      Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 6.26.

    Funciones Cuadráticas Gráficas de la Forma \(f(x)=x^{2}+k\)

    En la última sección, aprendimos a graficar funciones cuadráticas usando sus propiedades. Otro método consiste en comenzar con la gráfica básica de \(f(x)=x^{2}\) y 'moverla' de acuerdo a la información dada en la ecuación de función. Llamamos a esto graficar funciones cuadráticas usando transformaciones.

    En el primer ejemplo, graficaremos la función cuadrática \(f(x)=x^{2}\) trazando puntos. Entonces veremos qué efecto sumando una constante, \(k\), a la ecuación tendrá en la gráfica de la nueva función \(f(x)=x^{2}+k\).

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}\), \(g(x)=x^{2}+2\), y \(h(x)=x^{2}−2\) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.

    Solución:

    Trazar puntos nos ayudará a ver el efecto de las constantes en la \(f(x)=x^{2}\) gráfica básica. Llenamos el gráfico para las tres funciones.

    Una tabla que representa el efecto de las constantes sobre la función básica de x cuadrado. La tabla tiene siete columnas etiquetadas x, f de x es igual a x al cuadrado, el par ordenado (x, f de x), g de x es igual a x cuadrado más 2, el par ordenado (x, g de x), h de x es igual a x cuadrado menos 2, y el par ordenado (x, h de x). En la columna x, los valores dados son negativo 3, negativo 2, negativo 1, 0, 1, 2 y 3. En la columna f de x es igual a x cuadrada, los valores son 9, 4, 1, 0, 1, 4 y 9. En la columna (x, f de x), se dan los pares ordenados (negativo 3, 9), (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) y (3, 9). El g de x es igual a x cuadrado más 2 columna contiene las expresiones 9 más 2, 4 más 2, 1 más 2, 0 más 2, 1 más 2, 4 más 2 y 9 más 2. La columna (x, g de x) tiene los pares ordenados de (negativo 3, 11), (negativo 2, 6), (negativo 1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6) y (3, 11). En la columna h de x es igual a x al cuadrado menos 2, las expresiones dadas son 9 menos 2, 4 menos 2, 1 menos 2, 0 menos 2, 1 menos 2, 4 menos 2 y 9 menos 2. En la última columna, (x, h de x), contiene los pares ordenados (negativo 3, 7), (negativo 2, 2), (negativo 1, negativo 1), (0, negativo 2), (1, negativo 1), (2, 2), y (3, 7).
    Figura 9.7.1

    Los \(g(x)\) valores son dos más que los \(f(x)\) valores. Además, los \(h(x)\) valores son dos menores que los \(f(x)\) valores. Ahora graficaremos las tres funciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

    Esta figura muestra 3 parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. El medio es la gráfica de f de x igual a x cuadrado tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La parábola superior se ha movido hacia arriba 2 unidades, y la inferior se ha desplazado hacia abajo 2 unidades.
    Figura 9.7.2

    La gráfica de \(g(x)=x^{2}+2\) es la misma que la gráfica de \(2\) unidades \(f(x)=x^{2}\) pero desplazada hacia arriba.

    El gráfico de \(h(x)=x^{2}−2\) es el mismo que el gráfico de \(2\) unidades \(f(x)=x^{2}\) pero desplazado hacia abajo.

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
    1. Gráfica \(f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+1,\) y \(h(x)=x^{2}-1\) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
    2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
    Responder

    a.

    Esta figura muestra 3 parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La gráfica media es de f de x igual a x cuadrada tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva superior se ha movido hacia arriba 1 unidad, y la inferior se ha movido hacia abajo 1 unidad.
    Figura 9.7.3

    b. La gráfica de \(g(x)=x^{2}+1\) es la misma que la gráfica de la \(1\) unidad \(f(x)=x^{2}\) pero desplazada hacia arriba. El gráfico de \(h(x)=x^{2}−1\) es el mismo que el gráfico de \(f(x)=x^{2}\) pero desplazado hacia abajo de \(1\) la unidad.

    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
    1. Gráfica \(f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+6,\) y \(h(x)=x^{2}-6\) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
    2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
    Contestar

    a.

    Esta figura muestra 3 parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva media es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva superior se ha movido hacia arriba 6 unidades, y la inferior se ha desplazado hacia abajo 6 unidades.
    Figura 9.7.4

    b. La gráfica de \(h(x)=x^{2}+6\) es la misma que la gráfica de \(6\) unidades \(f(x)=x^{2}\) pero desplazada hacia arriba. El gráfico de \(h(x)=x^{2}-6\) es el mismo que el gráfico de \(6\) unidades \(f(x)=x^{2}\) pero desplazado hacia abajo.

    El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma \(f(x)=x^{2}+k\), tomamos la gráfica básica de parábola de \(f(x)=x^{2}\) y la desplazamos verticalmente hacia arriba \((k>0)\) o hacia abajo \((k<0)\).

    A esta transformación se le llama desplazamiento vertical.

    Grafica una función cuadrática de la forma \(f(x)=x^{2}+k\) usando un desplazamiento vertical

    La gráfica de \(f(x)=x^{2}+k\) desplaza la gráfica de \(k\) unidades \(f(x)=x^{2}\) verticalmente.

    • Si \(k>0\), desplazar la parábola verticalmente hacia arriba \(k\) unidades.
    • Si \(k<0\), desplazar la parábola verticalmente hacia abajo \(|k|\) unidades.

    Ahora que hemos visto el efecto de la constante, \(k\), es fácil graficar funciones de la forma \(f(x)=x^{2}+k\). Simplemente empezamos con la parábola básica de \(f(x)=x^{2}\) y luego la desplazamos hacia arriba o hacia abajo.

    Puede ser útil practicar el bosquejo \(f(x)=x^{2}\) rápidamente. Conocemos los valores y podemos esbozar la gráfica a partir de ahí.

    Figura 9.7.5

    Una vez que conozcamos esta parábola, será fácil aplicar las transformaciones. El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento vertical.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}−3\) usando un desplazamiento vertical.

    Solución:

    Primero dibujamos la gráfica de \(f(x)=x^{2}\) en la cuadrícula. Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y con un vértice de (0, 0) con otros puntos en la curva ubicados en (negativo 1, 1) y (1, 1). Es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado.
    Determinar \(k\). .
      .
    Desplaza la gráfica \(f(x)=x^{2}\) hacia abajo \(3\). Esta figura muestra 2 parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva superior es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado que tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva inferior se ha desplazado hacia abajo 3 unidades.
    Cuadro 9.7.1
    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}−5\) usando un desplazamiento vertical.

    Contestar
    Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva superior es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva inferior se ha desplazado hacia abajo 5 unidades.
    Figura 9.7.10
    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}+7\) usando un desplazamiento vertical.

    Contestar
    Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva inferior es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva superior se ha movido hacia arriba 7 unidades.
    Figura 9.7.11

    Funciones Cuadráticas Gráficas de la Forma \(f(x)=(x-h)^{2}\)

    En el primer ejemplo, graficamos la función cuadrática \(f(x)=x^{2}\) trazando puntos y luego vimos el efecto de agregar una constante \(k\) a la función tenía en la gráfica resultante de la nueva función \(f(x)=x^{2}+k\).

    Ahora exploraremos el efecto de restar una constante, \(h\), de \(x\) tiene en la gráfica resultante de la nueva función \(f(x)=(x−h)^{2}\).

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}, g(x)=(x-1)^{2},\) y \(h(x)=(x+1)^{2}\) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.

    Solución:

    Trazar puntos nos ayudará a ver el efecto de las constantes en la \(f(x)=x^{2}\) gráfica básica. Llenamos el gráfico para las tres funciones.

    Una tabla que representa el efecto de las constantes sobre la función básica de x cuadrado. La tabla tiene siete columnas etiquetadas x, f de x es igual a x al cuadrado, el par ordenado (x, f de x), g de x es igual a la cantidad de x menos 1 cuadrado, el par ordenado (x, g de x), h de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado, y el par ordenado (x, h de x). En la columna x, los valores dados son negativo 3, negativo 2, negativo 1, 0, 1, 2 y 3. En la columna f de x es igual a x cuadrada, los valores son 9, 4, 1, 0, 1, 4 y 9. En la columna (x, f de x), se dan los pares ordenados (negativo 3, 9), (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) y (3, 9). El g de x es igual a la cantidad de x menos 1 columna cuadrada contiene los valores de 16, 9, 4, 1, 0, 1 y 4. La columna (x, g de x) tiene los pares ordenados de (negativo 3, 1), (negativo 2, 9), (negativo 1, 4), (0, 1), (1, 0), (2, 1) y (3, 4). En la h de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado, los valores dados son 4, 1, 0, 1, 4, 9 y 16. En la última columna, (x, h de x), contiene los pares ordenados (negativo 3, 4), (negativo 2, 1), (negativo 1, 0), (0, 4), (1, negativo 1), (2, 9), y (3, 16).
    Figura 9.7.12

    Los \(g(x)\) valores y los \(h(x)\) valores comparten los números comunes \(0, 1, 4, 9\), y \(16\), pero se desplazan.

    Figura 9.7.13
    La figura dice en la primera línea que la gráfica de g de x es igual a la cantidad x menos 1 cuadrado es la misma que la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado pero desplazada a la derecha 1 unidad. La segunda línea establece que la gráfica de h de x es igual a la cantidad x más 1 cuadrado es la misma que la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado pero desplazada a la izquierda 1 unidad. La tercera línea de la figura dice g de x es igual a la cantidad x menos 1 cuadrado con una flecha debajo de ella apuntando a la derecha con 1 unidad escrita al lado. Por último, da h de x igual a la cantidad de x más 1 al cuadrado con una flecha debajo apuntando a la izquierda con 1 unidad escrita al lado.
    Figura 9.7.14
    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
    1. Gráfica \(f(x)=x^{2}, g(x)=(x+2)^{2},\) y \(h(x)=(x-2)^{2}\) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
    2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
    Contestar

    a.

    Figura 9.7.15

    b. La gráfica de \(g(x)=(x+2)^{2}\) es la misma que la gráfica de las \(2\) unidades izquierdas \(f(x)=x^{2}\) pero desplazadas. La gráfica de \(h(x)=(x−2)^{2}\) es la misma que la gráfica de \(f(x)=x^{2}\) pero desplazar \(2\) unidades a la derecha.

    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
    1. Gráfica \(f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+5,\) y \(h(x)=x^{2}-5\) en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
    2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
    Contestar

    a.

    Figura 9.7.16

    b. La gráfica de \(g(x)=(x+5)^{2}\) es la misma que la gráfica de las \(5\) unidades izquierdas \(f(x)=x^{2}\) pero desplazadas. La gráfica de \(h(x)=(x-5)^{2}\) es la misma que la gráfica de las \(5\) unidades derechas \(f(x)=x^{2}\) pero desplazadas.

    El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma \(f(x)=(x−h)^{2}\), tomamos la gráfica básica de parábola de \(f(x)=x^{2}\) y la desplazamos a la izquierda \((h>0)\) o la desplazamos a la derecha \((h<0)\).

    A esta transformación se le llama desplazamiento horizontal.

    Grafica una función cuadrática de la forma \(f(x)=(x-h)^{2}\) usando un desplazamiento horizontal

    La gráfica de \(f(x)=(x-h)^{2}\) desplaza la gráfica de \(h\) unidades \(f(x)=x^{2}\) horizontalmente.

    • Si \(h>0\), desplazar la parábola horizontalmente a la izquierda \(h\) unidades.
    • Si \(h<0\), desplazar la parábola horizontalmente \(|h|\) unidades a la derecha.

    Ahora que hemos visto el efecto de la constante, \(h\), es fácil graficar funciones de la forma \(f(x)=(x−h)^{2}\). Simplemente empezamos con la parábola básica de \(f(x)=x^{2}\) y luego la desplazamos a izquierda o derecha.

    El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento horizontal.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Gráfica \(f(x)=(x−6)^{2}\) usando un desplazamiento horizontal.

    Solución:

    Primero dibujamos la gráfica de \(f(x)=x^{2}\) en la cuadrícula. .
    Determinar \(h\).
      .
    Desplaza la gráfica \(f(x)=x^{2}\) a las \(6\) unidades de la derecha. .
    Cuadro 9.7.2
    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Gráfica \(f(x)=(x−4)^{2}\) usando un desplazamiento horizontal.

    Contestar
    Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva izquierda es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado que tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva derecha se ha desplazado a la derecha 4 unidades.
    Figura 9.7.21
    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Gráfica \(f(x)=(x+6)^{2}\) usando un desplazamiento horizontal.

    Contestar
    Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva derecha es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado que tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva izquierda se ha movido a la izquierda 6 unidades.
    Figura 9.7.22

    Ahora que conocemos el efecto de las constantes \(h\) y \(k\), graficaremos una función cuadrática de la forma \(f(x)=(x-h)^{2}+k\) dibujando primero la parábola básica y luego haciendo un desplazamiento horizontal seguido de un desplazamiento vertical. Podríamos hacer el desplazamiento vertical seguido del desplazamiento horizontal, pero la mayoría de los estudiantes prefieren el desplazamiento horizontal seguido por el vertical.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Gráfica \(f(x)=(x+1)^{2}-2\) mediante transformaciones.

    Solución:

    Esta función implicará dos transformaciones y necesitamos un plan.

    Primero identifiquemos las constantes \(h, k\).

    F de x es igual a la cantidad x felpa 1 cuadrado menos 2 se da en la línea superior con f de x es igual a la quanitidad x menos h minis cuadrados k en la segunda línea. La ecuación dada se cambió a f de x es igual a la cantidad de x menos negativo 1 cuadrado felpa negativo 2 en la tercera línea. La línea final dice que h es igual a 1 negativo y k es igual a 2 negativo.
    Figura 9.7.23

    La \(h\) constante nos da un desplazamiento horizontal y la nos \(k\) da un desplazamiento vertical.

    F de x es igual a x al cuadrado se da con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a la cantidad x más 1 al cuadrado con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a la cantidad x más 1 cuadrado menos 2. Las siguientes líneas dicen que h es igual a negativo 1 lo que significa desplazamiento a la izquierda 1 unidad y k es igual a negativo 2 que significa desplazamiento hacia abajo 2 unidades.
    Figura 9.7.24

    Primero dibujamos la gráfica de \(f(x)=x^{2}\) en la cuadrícula.

    La figura dice en la primera línea que la gráfica de f de x es igual a la cantidad x más 1 al cuadrado es la misma que la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado pero desplazada a la izquierda 1 unidad. La segunda línea establece que la gráfica de f de x es igual a la cantidad x más 1 cuadrado menos 2 es la misma que la gráfica de f de x es igual a la cantidad x más 1 al cuadrado pero desplazada hacia abajo 2 unidades.
    Figura 9.7.25
    La primera gráfica muestra 1 parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Es la gráfica de f de x igual a x cuadrada la cual tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). Al cambiar esa gráfica de f de x es igual a x cuadrada izquierda 1, pasamos a la siguiente gráfica, que muestra la f original de x es igual a x cuadrada y luego otra curva se movió a la izquierda una unidad para producir f de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado. Al mover f de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado hacia abajo 1, pasamos a la gráfica final, que muestra la f original de x es igual a x cuadrada y la f de x es igual a la cantidad de x más 1, luego otra curva se movió hacia abajo 1 para producir f de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado menos 2.
    Figura 9.7.26
    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Gráfica \(f(x)=(x+2)^{2}-3\) mediante transformaciones.

    Contestar
    Figura 9.7.27
    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Gráfica \(f(x)=(x-3)^{2}+1\) mediante transformaciones.

    Contestar
    Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). Después, la función original se mueve 3 unidades a la derecha para producir f de x es igual a la cantidad de x menos 3 al cuadrado. La curva final se produce moviendo hacia arriba 1 unidad para producir f de x es igual a la cantidad de x menos 3cuadrado más 1.
    Figura 9.7.28

    Funciones Cuadráticas Gráficas de la Forma \(f(x)=ax^{2}\)

    Hasta ahora graficamos la función cuadrática \(f(x)=x^{2}\) y luego vimos el efecto de incluir una constante \(h\) o \(k\) en la ecuación que tuvo en la gráfica resultante de la nueva función. Ahora exploraremos el efecto del coeficiente \(a\) en la gráfica resultante de la nueva función \(f(x)=ax^{2}\).

    Una tabla que representa el efecto de las constantes sobre la función básica de x cuadrado. La tabla tiene siete columnas etiquetadas x, f de x es igual a x al cuadrado, el par ordenado (x, f de x), g de x es igual a 2 veces x al cuadrado, el par ordenado (x, g de x), h de x es igual a la mitad por x al cuadrado, y el par ordenado (x, h de x). En la columna x, los valores dados son negativos 2, negativos 1, 0, 1 y 2. En la columna f de x es igual a x cuadrada, los valores son 4, 1, 0, 1 y 4. En la columna (x, f de x), se dan los pares ordenados (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 4). La columna g de x es igual a 2 veces x al cuadrado contiene las expresiones 2 por 4, 2 por 1, 2 por 0, 2 por 1 y 2 por 4. La columna (x, g de x) tiene los pares ordenados de (negativo 2, 8), (negativo 1, 2), (0, 0), (1, 2) y (2,8). En la h de x es igual a una mitad por x al cuadrado, las expresiones dadas son mitad por 4, mitad por 1, mitad por 0, mitad por 1, mitad por 1, y mitad por 4. En la última columna, (x, h de x), contiene los pares ordenados (negativo 2, 2), (negativo 1, medio), (0, 0), (1, medio), y (2, 2).
    Figura 9.7.29

    Si graficamos estas funciones, podemos ver el efecto de la constante \(a\), asumiendo \(a>0\).

    Figura 9.7.30

    Para graficar una función con constante \(a\) es más fácil elegir unos puntos \(f(x)=x^{2}\) y multiplicar los \(y\)-valores por \(a\).

    Gráfica de una función cuadrática de la forma \(f(x)=ax^{2}\)

    El coeficiente \(a\) en la función \(f(x)=ax^{2}\) afecta a la gráfica de \(f(x)=x^{2}\) estirándola o comprimiéndola.

    • Si \(0<|a|<1\), la gráfica de \(f(x)=ax^{2}\) será “más ancha” que la gráfica de \(f(x)=x^{2}\).
    • Si \(|a|>1\), la gráfica de \(f(x)=ax^{2}\) será “más delgada” que la gráfica de \(f(x)=x^{2}\).
    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Gráfica \(f(x)=3x^{2}\).

    Solución:

    Gráficaremos las funciones \(f(x)=x^{2}\) y \(g(x)=3x^{2}\) en la misma cuadrícula. Escogeremos unos puntos \(f(x)=x^{2}\) y luego multiplicaremos los \(y\)-valores por \(3\) para obtener los puntos para \(g(x)=3x^{2}\).

    La tabla muestra el efecto de las constantes sobre la función básica de x cuadrado. La tabla tiene 3 columnas etiquetadas x, f de x es igual a x al cuadrado con el par ordenado (x, f de x), y g de x es igual a 3 veces x al cuadrado con el par ordenado (x, g de x). En la columna x, los valores dados son negativos 2, negativos 1, 0, 1 y 2. En la f de x es igual a x al cuadrado con el par ordenado (x, f de x), se dan los pares ordenados (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1), y (2, 4). El g de x es igual a 3 veces x al cuadrado con el par ordenado (x, g de x) columna tiene los pares ordenados de (negativo 2, 12) porque 3 por 4 es igual a 12, (negativo 1, 3) porque 3 por 1 es igual a 3, (0, 0) porque 3 veces 0 es igual a 0, (1, 3) porque 3 por 1 es igual a 3, y (2,12) porque 3 por 4 es igual a 12. La gráfica al lado de la tabla muestra 2 parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos dados en la curva se localizan en (negativo 2, 4) (negativo 1, 1), (1, 1), y (2,4). La curva más delgada de g de x es igual a 3 veces x al cuadrado tiene un vértice en (0,0) y otros puntos dados de (negativo 2, 12), (negativo 1, 3), (1, 3) y (2,12).
    Figura 9.7.31
    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Gráfica \(f(x)=-3x^{2}\).

    Contestar
    Figura 9.7.32
    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Gráfica \(f(x)=2x^{2}\).

    Contestar
    Figura 9.7.33

    Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones

    Hemos aprendido cómo las constantes \(a, h\), y \(k\) en las funciones, \(f(x)=x^{2}+k, f(x)=(x−h)^{2}\), y \(f(x)=ax^{2}\) afectan a sus gráficas. Ahora podemos juntar esto y graficar funciones \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) cuadráticas poniéndolas primero en la forma \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) completando el cuadrado. Esta forma se conoce a veces como la forma del vértice o forma estándar.

    Debemos tener cuidado de sumar y restar el número al MISMO lado de la función para completar el cuadrado. No podemos sumar el número a ambos lados como lo hicimos cuando completamos el cuadrado con ecuaciones cuadráticas.

    Esta figura muestra la diferencia al completar el cuadrado con una ecuación cuadrática y una función cuadrática. Para la ecuación cuadrática, comience con x al cuadrado más 8 veces x más 6 es igual a cero. Resta 6 de ambos lados para obtener x al cuadrado más 8 veces x es igual a 6 negativo mientras deja espacio para completar el cuadrado. Después, completa el cuadrado agregando 16 a ambos lados para obtener x felpa cuadrada 8 veces x felpa 16 equivale a menos 6 felpa 16. Factor para obtener la cantidad x más 4 al cuadrado es igual a 10. Para la función cuadrática, comience con f de x es igual a x al cuadrado más 8 veces x más 6. La segunda línea muestra dejar espacio entre las 8 veces x y las 6 con el fin de completar el cuadrado. Completa el cuadrado sumando 16 y restando 16 en el mismo lado para obtener f de x es igual a x cuadrado más 8 veces x felpa 16 más 6 menos 16. Factor para obtener f de x es igual a la cantidad de x felpa 4 al cuadrado menos 10.
    Figura 9.7.34

    Cuando completamos el cuadrado en una función con un coeficiente de \(x^{2}\) que no es uno, tenemos que factorizar ese coeficiente a partir de sólo los \(x\)-términos. No lo factorizamos desde el término constante. A menudo es útil mover el término constante un poco hacia la derecha para que sea más fácil enfocarse solo en los \(x\)-términos.

    Una vez que obtenemos la constante que queremos completar el cuadrado, debemos recordar multiplicarlo por ese coeficiente antes de luego restarlo.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Reescribir \(f(x)=−3x^{2}−6x−1\) en el \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) formulario completando el cuadrado.

    Solución:

      .
    Separar los \(x\) términos de la constante. .
    Factor el coeficiente de \(x^{2}, -3\). .
    Prepárense para completar la plaza. .
    Toma la mitad de \(2\) y luego cuadrácelo para completar la plaza \((\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1\)  
    La constante \(1\) completa el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por \(-3\). Entonces realmente estamos sumando \(-3\). Debemos entonces sumar \(3\) para no cambiar el valor de la función. .
    Reescribir el trinomio como cuadrado y restar las constantes. .
    La función está ahora en la \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma. .
    Cuadro 9.7.3
    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Reescribir \(f(x)=−4x^{2}−8x+1\) en el \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) formulario completando el cuadrado.

    Contestar

    \(f(x)=-4(x+1)^{2}+5\)

    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Reescribir \(f(x)=2x^{2}−8x+3\) en el \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) formulario completando el cuadrado.

    Contestar

    \(f(x)=2(x-2)^{2}-5\)

    Una vez que ponemos la función en la \(f(x)=(x−h)^{2}+k\) forma, podemos utilizar las transformaciones como lo hicimos en los últimos problemas. El siguiente ejemplo nos mostrará cómo hacerlo.

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}+6x+5\) mediante el uso de transformaciones.

    Solución:

    Paso 1: Reescribe la función en forma de \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) vértice completando el cuadrado.

      .
    Separar los \(x\) términos de la constante. .
    Toma la mitad de \(6\) y luego cuadrácelo para completar la plaza. \((\frac{1}{2}\cdot 6)^{2}=9\)  
    Ambos sumamos \(9\) y restamos \(9\) para no cambiar el valor de la función. .
    Reescribir el trinomio como cuadrado y restar las constantes. .
    La función está ahora en la \(f(x)=(x-h)^{2}+k\) forma. .
    Cuadro 9.7.4

    Paso 2: Grafica la función usando transformaciones.

    Mirando los \(h, k\) valores, vemos que la gráfica tomará la gráfica de \(f(x)=x^{2}\) y la desplazará a las \(3\) unidades de la izquierda y a las \(4\) unidades hacia abajo.

    F de x es igual a x al cuadrado se da con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a la cantidad x más 3 al cuadrado con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a la cantidad x más 3 al cuadrado menos 4. Las siguientes líneas dicen que h es igual a negativo 3 lo que significa desplazamiento a la izquierda 3 unidad y k es igual a negativo 4 que significa desplazamiento hacia abajo 4 unidades
    Figura 9.7.47

    Primero dibujamos la gráfica de \(f(x)=x^{2}\) en la cuadrícula.

    Para graficar f de x es igual a la cantidad x más 3 al cuadrado, desplace la gráfica de f de x es igual a x cuadrados a la izquierda 3 unidades. Para graficar f de x es igual a la cantidad x más 3 al cuadrado menos 4, cambie la gráfica la cantidad x más 3 al cuadrado hacia abajo 4 unidades.
    Figura 9.7.48
    La primera gráfica muestra 1 parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Es la gráfica de f de x igual a x cuadrada la cual tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). Al desplazar esa gráfica de f de x es igual a x al cuadrado a la izquierda 3, pasamos a la siguiente gráfica, que muestra la f original de x es igual a x cuadrada y luego otra curva se movió a la izquierda 3 unidades para producir f de x es igual a la cantidad de x más 3 al cuadrado. Al mover f de x es igual a la cantidad de x más 3 al cuadrado abajo 2, pasamos a la gráfica final, que muestra la f original de x es igual a x cuadrada y la f de x es igual a la cantidad de x más 3 al cuadrado, luego otra curva se movió hacia abajo 4 para producir f de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado menos 4.
    Figura 9.7.49
    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}+2x-3\) mediante el uso de transformaciones.

    Contestar
    Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva a la izquierda se ha movido 1 unidad a la izquierda para producir f de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado. La tercera gráfica se ha movido hacia abajo 4 unidades para producir f de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado menos 4.
    Figura 9.7.50
    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}-8x+12\) mediante el uso de transformaciones.

    Contestar
    Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva a la derecha se ha movido 4 unidades a la derecha para producir f de x es igual a la cantidad de x menos 4 al cuadrado. La tercera gráfica se ha movido hacia abajo 4 unidades para producir f de x es igual a la cantidad de x menos 4 al cuadrado menos 4.
    Figura 9.7.51

    Enumeramos los pasos para tomar una gráfica una función cuadrática usando transformaciones aquí.

    Grafica una función cuadrática usando transformaciones

    1. Reescribe la función en \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma completando el cuadrado.
    2. Grafica la función usando transformaciones.
    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Gráfica \(f(x)=-2x^{2}-4x+2\) mediante el uso de transformaciones.

    Solución:

    Paso 1: Reescribe la función en forma de \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) vértice completando el cuadrado.

      .
    Separar los \(x\) términos de la constante. .
    Necesitamos el coeficiente de \(x^{2}\) ser uno. Tenemos en cuenta \(-2\) a partir de los \(x\)-términos. .
    Toma la mitad de \(2\) y luego cuadrácelo para completar la plaza. \((\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1\)  
    Añadimos \(1\) para completar el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por \(-2\). Entonces realmente estamos sumando \(-2\). Para no cambiar el valor de la función agregamos \(2\). .
    Reescribir el trinomio como un cuadrado ad restar las constantes. .
    La función está ahora en la \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma. .
    Cuadro 9.7.5

    Paso 2: Grafica la función usando transformaciones.

    F de x es igual a x al cuadrado se da con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a negativo 2 veces x al cuadrado con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a negativo 2 veces la cantidad x más 1 al cuadrado. Una flecha viene de ella para apuntar a f de x es igual a negativo 2 veces la cantidad x más 1 al cuadrado más 4. La siguiente línea dice a es igual a negativo 2 lo que significa multiplicar los valores y por negativo 2, luego h es igual a negativo 1 lo que significa desplazamiento a la izquierda 1 unidad y k es igual a 4 que significa desplazamiento hacia arriba 4 unidades
    Figura 9.7.58

    Primero dibujamos la gráfica de \(f(x)=x^{2}\) en la cuadrícula.

    Para graficar f de x es igual a negativo 2 veces x al cuadrado, multiplique los valores y en parábola de f de x es igual a x al cuadrado por negativo 2. Para graficar f de x es igual a negativo 2 veces la cantidad x más 1 al cuadrado, desplace la gráfica de f de x es igual a negativo 2 veces x al cuadrado a la izquierda 1 unidad. Para graficar f de x es igual a negativo 2 veces la cantidad x más 1 cuadrado más 4, desplazar la gráfica de f de x es igual a negativo 2 veces la cantidad x más 1 cuadrado arriba 4 unidades.
    Figura 9.7.59
    Figura 9.7.60
    Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

    Gráfica \(f(x)=-3x^{2}+12x-4\) mediante el uso de transformaciones.

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo en el plano de la coordenada x y con un vértice de (2,8) y otros puntos de (1,5) y (3,5).
    Figura 9.7.61
    Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

    Gráfica \(f(x)=−2x^{2}+12x−9\) mediante el uso de transformaciones.

    Contestar
    Figura 9.7.62

    Ahora que hemos completado el cuadrado para poner en \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) forma una función cuadrática, también podemos utilizar esta técnica para graficar la función utilizando sus propiedades como en el apartado anterior.

    Si miramos hacia atrás en los últimos ejemplos, vemos que el vértice está relacionado con las constantes \(h\) y \(k\).

    Figura 9.7.63

    En cada caso, el vértice es \((h,k)\). También el eje de simetría es la línea \(x=h\).

    Reescribimos nuestros pasos para graficar una función cuadrática usando propiedades para cuando la función está en \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) forma.

    Grafica una función cuadrática en el formulario \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) usando propiedades

    1. Reescribe la \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma de función.
    2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba, \(a>0\), o hacia abajo, \(a<0\).
    3. Encuentra el eje de simetría, \(x=h\).
    4. Encuentra el vértice, \((h,k\).
    5. Encuentra la \(y\)-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la \(y\)-intercepción a través del eje de simetría.
    6. Encuentra las \(x\)-intercepciones.
    7. Grafica la parábola.
    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)
    1. Reescribir \(f(x)=2 x^{2}+4 x+5\) en \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma
    2. Grafica la función usando propiedades

    Solución:

    Reescribe la función en \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma completando el cuadrado. \(f(x)=2 x^{2}+4 x+5\)
      \(f(x)=2\left(x^{2}+2 x\right)+5\)
      \(f(x)=2\left(x^{2}+2 x+1\right)+5-2\)
      \(f(x)=2(x+1)^{2}+3\)
    Identificar las constantes \(a, h, k\). \(a=2 h=-1 k=3\)
    Desde entonces \(a=2\), la parábola se abre hacia arriba.
    El eje de simetría es \(x=h\). El eje de simetría es \(x=-1\).
    El vértice es \((h,k)\). El vértice es \((-1,3)\).
    Encuentra la \(y\)-intercepción mediante la búsqueda \(f(0)\). \(f(0)=2 \cdot 0^{2}+4 \cdot 0+5\)
      \(f(0)=5\)
      \(y\)-interceptar \((0,5)\)
    Encuentra el punto simétrico a \((0,5)\) través del eje de simetría. \((-2,5)\)
    Encuentra las \(x\)-intercepciones. El discriminante es negativo, por lo que no hay \(x\)-interceptos. Grafica la parábola.
      .
    Cuadro 9.7.6
    Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
    1. Reescribir \(f(x)=3 x^{2}-6 x+5\) en \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma
    2. Grafica la función usando propiedades
    Contestar
    1. \(f(x)=3(x-1)^{2}+2\)

    2. La gráfica que se muestra es una parábola orientada hacia arriba con vértice (1, 2) e intercepción y (0, 5). Se muestra el eje de simetría, x es igual a 1.
      Figura 9.7.66
    Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
    1. Reescribir \(f(x)=-2 x^{2}+8 x-7\) en \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma
    2. Grafica la función usando propiedades
    Contestar
    1. \(f(x)=-2(x-2)^{2}+1\)


    2. Figura 9.7.67

    Encuentra una función cuadrática a partir de su gráfica

    Hasta ahora hemos empezado con una función y luego encontramos su gráfica.

    Ahora vamos a revertir el proceso. Empezando por la gráfica, encontraremos la función.

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Determinar la función cuadrática cuya gráfica se muestra.

    La gráfica que se muestra es una parábola orientada hacia arriba con vértice (negativo 2, negativo 1) e intercepción y (0, 7).
    Figura 9.7.68

    Solución:

    Ya que es cuadrática, comenzamos con la \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) forma.

    El vértice, \((h,k)\), es \((−2,−1)\) así \(h=−2\) y \(k=−1\).

    \(f(x)=a(x-(-2))^{2}-1\)

    Para encontrar \(a\), utilizamos la \(y\)-intercepción, \((0,7)\).

    Entonces \(f(0)=7\).

    \(7=a(0+2)^{2}-1\)

    Resolver para \(a\).

    \(\begin{array}{l}{7=4 a-1} \\ {8=4 a} \\ {2=a}\end{array}\)

    Escribe la función.

    \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\)

    Sustituto en \(h=-2, k=-1\) y \(a=2\).

    \(f(x)=2(x+2)^{2}-1\)

    Ejercicio \(\PageIndex{21}\)

    Escribir la función cuadrática en \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) forma cuya gráfica se muestra.

    La gráfica que se muestra es una parábola orientada hacia arriba con vértice (3, negativo 4) e intercepción y (0, 5).
    Figura 9.7.69
    Contestar

    \(f(x)=(x-3)^{2}-4\)

    Ejercicio \(\PageIndex{22}\)

    Determinar la función cuadrática cuya gráfica se muestra.

    La gráfica que se muestra es una parábola orientada hacia arriba con vértice (negativo 3, negativo 1) e intercepción y (0, 8).
    Figura 9.7.70
    Contestar

    \(f(x)=(x+3)^{2}-1\)

    Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con funciones cuadráticas gráficas utilizando transformaciones.

    Conceptos Clave

    • Grafica una función cuadrática de la forma \(f(x)=x^{2}+k\) usando un desplazamiento vertical
      • La gráfica de \(f(x)=x^{2}+k\) desplaza la gráfica de \(k\) unidades \(f(x)=x^{2}\) verticalmente.
        • Si \(k>0\), desplazar la parábola verticalmente hacia arriba \(k\) unidades.
        • Si \(k<0\), desplazar la parábola verticalmente hacia abajo \(|k|\) unidades.
    • Grafica una función cuadrática de la forma \(f(x)=(x−h)^{2}\) usando un desplazamiento horizontal
      • La gráfica de \(f(x)=(x−h)^{2}\) desplaza la gráfica de \(h\) unidades \(f(x)=x^{2}\) horizontalmente.
        • Si \(h>0\), desplazar la parábola horizontalmente a la izquierda \(h\) unidades.
        • Si \(h<0\), desplazar la parábola horizontalmente \(|h|\) unidades a la derecha.
    • Gráfica de una función cuadrática de la forma \(f(x)=ax^{2}\)
      • El coeficiente \(a\) en la función \(f(x)=ax^{2}\) afecta a la gráfica de \(f(x)=x^{2}\) estirándola o comprimiéndola.
        Si \(0<|a|<1\), entonces la gráfica de \(f(x)=ax^{2}\) será “más ancha” que la gráfica de \(f(x)=x^{2}\).
        Si \(|a|>1\), entonces la gráfica de \(f(x)=ax^{2}\) será “más delgada” que la gráfica de \(f(x)=x^{2}\).
    • Cómo graficar una función cuadrática usando transformaciones
      1. Reescribe la función en \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) forma completando el cuadrado.
      2. Grafica la función usando transformaciones.
    • Grafica una función cuadrática en la forma del vértice \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) usando propiedades
      1. Reescribe la función en \(f(x)=a(x−h)^{2}+k\) forma.
      2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba, \(a>0\), o hacia abajo, \(a<0\).
      3. Encuentra el eje de simetría, \(x=h\).
      4. Encuentra el vértice, \((h,k)\).
      5. Encuentra la \(y\)-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la \(y\)-intercepción a través del eje de simetría.
      6. Encuentre los \(x\)-interceptos, si es posible.
      7. Grafica la parábola.

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