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# 9.8: Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones

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##### Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Grafica las funciones cuadráticas de la forma $$f(x)=x^{2}+k$$
• Grafica las funciones cuadráticas de la forma $$f(x)=(x−h)^{2}$$
• Grafica las funciones cuadráticas de la forma $$f(x)=ax^{2}$$
• Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones
• Encuentra una función cuadrática a partir de su gráfica

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Grafica la función $$f(x)=x^{2}$$ trazando puntos.
Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 3.54.
2. Factor completamente: $$y^{2}−14y+49$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.24.
3. Factor completamente: $$2x^{2}−16x+32$$.
Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 6.26.

## Funciones Cuadráticas Gráficas de la Forma $$f(x)=x^{2}+k$$

En la última sección, aprendimos a graficar funciones cuadráticas usando sus propiedades. Otro método consiste en comenzar con la gráfica básica de $$f(x)=x^{2}$$ y 'moverla' de acuerdo a la información dada en la ecuación de función. Llamamos a esto graficar funciones cuadráticas usando transformaciones.

En el primer ejemplo, graficaremos la función cuadrática $$f(x)=x^{2}$$ trazando puntos. Entonces veremos qué efecto sumando una constante, $$k$$, a la ecuación tendrá en la gráfica de la nueva función $$f(x)=x^{2}+k$$.

##### Ejemplo $$\PageIndex{1}$$

Gráfica $$f(x)=x^{2}$$, $$g(x)=x^{2}+2$$, y $$h(x)=x^{2}−2$$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.

Solución:

Trazar puntos nos ayudará a ver el efecto de las constantes en la $$f(x)=x^{2}$$ gráfica básica. Llenamos el gráfico para las tres funciones.

Los $$g(x)$$ valores son dos más que los $$f(x)$$ valores. Además, los $$h(x)$$ valores son dos menores que los $$f(x)$$ valores. Ahora graficaremos las tres funciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

La gráfica de $$g(x)=x^{2}+2$$ es la misma que la gráfica de $$2$$ unidades $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazada hacia arriba.

El gráfico de $$h(x)=x^{2}−2$$ es el mismo que el gráfico de $$2$$ unidades $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazado hacia abajo.

##### Ejercicio $$\PageIndex{1}$$
1. Gráfica $$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+1,$$ y $$h(x)=x^{2}-1$$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
Responder

a.

b. La gráfica de $$g(x)=x^{2}+1$$ es la misma que la gráfica de la $$1$$ unidad $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazada hacia arriba. El gráfico de $$h(x)=x^{2}−1$$ es el mismo que el gráfico de $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazado hacia abajo de $$1$$ la unidad.

##### Ejercicio $$\PageIndex{2}$$
1. Gráfica $$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+6,$$ y $$h(x)=x^{2}-6$$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
Contestar

a.

b. La gráfica de $$h(x)=x^{2}+6$$ es la misma que la gráfica de $$6$$ unidades $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazada hacia arriba. El gráfico de $$h(x)=x^{2}-6$$ es el mismo que el gráfico de $$6$$ unidades $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazado hacia abajo.

El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma $$f(x)=x^{2}+k$$, tomamos la gráfica básica de parábola de $$f(x)=x^{2}$$ y la desplazamos verticalmente hacia arriba $$(k>0)$$ o hacia abajo $$(k<0)$$.

A esta transformación se le llama desplazamiento vertical.

### Grafica una función cuadrática de la forma $$f(x)=x^{2}+k$$ usando un desplazamiento vertical

La gráfica de $$f(x)=x^{2}+k$$ desplaza la gráfica de $$k$$ unidades $$f(x)=x^{2}$$ verticalmente.

• Si $$k>0$$, desplazar la parábola verticalmente hacia arriba $$k$$ unidades.
• Si $$k<0$$, desplazar la parábola verticalmente hacia abajo $$|k|$$ unidades.

Ahora que hemos visto el efecto de la constante, $$k$$, es fácil graficar funciones de la forma $$f(x)=x^{2}+k$$. Simplemente empezamos con la parábola básica de $$f(x)=x^{2}$$ y luego la desplazamos hacia arriba o hacia abajo.

Puede ser útil practicar el bosquejo $$f(x)=x^{2}$$ rápidamente. Conocemos los valores y podemos esbozar la gráfica a partir de ahí.

Una vez que conozcamos esta parábola, será fácil aplicar las transformaciones. El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento vertical.

##### Ejemplo $$\PageIndex{2}$$

Gráfica $$f(x)=x^{2}−3$$ usando un desplazamiento vertical.

Solución:

 Primero dibujamos la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$ en la cuadrícula. Determinar $$k$$. Desplaza la gráfica $$f(x)=x^{2}$$ hacia abajo $$3$$.
##### Ejercicio $$\PageIndex{3}$$

Gráfica $$f(x)=x^{2}−5$$ usando un desplazamiento vertical.

Contestar
##### Ejercicio $$\PageIndex{4}$$

Gráfica $$f(x)=x^{2}+7$$ usando un desplazamiento vertical.

Contestar

## Funciones Cuadráticas Gráficas de la Forma $$f(x)=(x-h)^{2}$$

En el primer ejemplo, graficamos la función cuadrática $$f(x)=x^{2}$$ trazando puntos y luego vimos el efecto de agregar una constante $$k$$ a la función tenía en la gráfica resultante de la nueva función $$f(x)=x^{2}+k$$.

Ahora exploraremos el efecto de restar una constante, $$h$$, de $$x$$ tiene en la gráfica resultante de la nueva función $$f(x)=(x−h)^{2}$$.

##### Ejemplo $$\PageIndex{3}$$

Gráfica $$f(x)=x^{2}, g(x)=(x-1)^{2},$$ y $$h(x)=(x+1)^{2}$$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.

Solución:

Trazar puntos nos ayudará a ver el efecto de las constantes en la $$f(x)=x^{2}$$ gráfica básica. Llenamos el gráfico para las tres funciones.

Los $$g(x)$$ valores y los $$h(x)$$ valores comparten los números comunes $$0, 1, 4, 9$$, y $$16$$, pero se desplazan.

##### Ejercicio $$\PageIndex{5}$$
1. Gráfica $$f(x)=x^{2}, g(x)=(x+2)^{2},$$ y $$h(x)=(x-2)^{2}$$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
Contestar

a.

b. La gráfica de $$g(x)=(x+2)^{2}$$ es la misma que la gráfica de las $$2$$ unidades izquierdas $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazadas. La gráfica de $$h(x)=(x−2)^{2}$$ es la misma que la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazar $$2$$ unidades a la derecha.

##### Ejercicio $$\PageIndex{6}$$
1. Gráfica $$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+5,$$ y $$h(x)=x^{2}-5$$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función en la parábola básica.
Contestar

a.

b. La gráfica de $$g(x)=(x+5)^{2}$$ es la misma que la gráfica de las $$5$$ unidades izquierdas $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazadas. La gráfica de $$h(x)=(x-5)^{2}$$ es la misma que la gráfica de las $$5$$ unidades derechas $$f(x)=x^{2}$$ pero desplazadas.

El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma $$f(x)=(x−h)^{2}$$, tomamos la gráfica básica de parábola de $$f(x)=x^{2}$$ y la desplazamos a la izquierda $$(h>0)$$ o la desplazamos a la derecha $$(h<0)$$.

A esta transformación se le llama desplazamiento horizontal.

### Grafica una función cuadrática de la forma $$f(x)=(x-h)^{2}$$ usando un desplazamiento horizontal

La gráfica de $$f(x)=(x-h)^{2}$$ desplaza la gráfica de $$h$$ unidades $$f(x)=x^{2}$$ horizontalmente.

• Si $$h>0$$, desplazar la parábola horizontalmente a la izquierda $$h$$ unidades.
• Si $$h<0$$, desplazar la parábola horizontalmente $$|h|$$ unidades a la derecha.

Ahora que hemos visto el efecto de la constante, $$h$$, es fácil graficar funciones de la forma $$f(x)=(x−h)^{2}$$. Simplemente empezamos con la parábola básica de $$f(x)=x^{2}$$ y luego la desplazamos a izquierda o derecha.

El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento horizontal.

##### Ejemplo $$\PageIndex{4}$$

Gráfica $$f(x)=(x−6)^{2}$$ usando un desplazamiento horizontal.

Solución:

 Primero dibujamos la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$ en la cuadrícula. Determinar $$h$$. Desplaza la gráfica $$f(x)=x^{2}$$ a las $$6$$ unidades de la derecha.
##### Ejercicio $$\PageIndex{7}$$

Gráfica $$f(x)=(x−4)^{2}$$ usando un desplazamiento horizontal.

Contestar
##### Ejercicio $$\PageIndex{8}$$

Gráfica $$f(x)=(x+6)^{2}$$ usando un desplazamiento horizontal.

Contestar

Ahora que conocemos el efecto de las constantes $$h$$ y $$k$$, graficaremos una función cuadrática de la forma $$f(x)=(x-h)^{2}+k$$ dibujando primero la parábola básica y luego haciendo un desplazamiento horizontal seguido de un desplazamiento vertical. Podríamos hacer el desplazamiento vertical seguido del desplazamiento horizontal, pero la mayoría de los estudiantes prefieren el desplazamiento horizontal seguido por el vertical.

##### Ejemplo $$\PageIndex{5}$$

Gráfica $$f(x)=(x+1)^{2}-2$$ mediante transformaciones.

Solución:

Esta función implicará dos transformaciones y necesitamos un plan.

Primero identifiquemos las constantes $$h, k$$.

La $$h$$ constante nos da un desplazamiento horizontal y la nos $$k$$ da un desplazamiento vertical.

Primero dibujamos la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$ en la cuadrícula.

##### Ejercicio $$\PageIndex{9}$$

Gráfica $$f(x)=(x+2)^{2}-3$$ mediante transformaciones.

Contestar
##### Ejercicio $$\PageIndex{10}$$

Gráfica $$f(x)=(x-3)^{2}+1$$ mediante transformaciones.

Contestar

## Funciones Cuadráticas Gráficas de la Forma $$f(x)=ax^{2}$$

Hasta ahora graficamos la función cuadrática $$f(x)=x^{2}$$ y luego vimos el efecto de incluir una constante $$h$$ o $$k$$ en la ecuación que tuvo en la gráfica resultante de la nueva función. Ahora exploraremos el efecto del coeficiente $$a$$ en la gráfica resultante de la nueva función $$f(x)=ax^{2}$$.

Si graficamos estas funciones, podemos ver el efecto de la constante $$a$$, asumiendo $$a>0$$.

Para graficar una función con constante $$a$$ es más fácil elegir unos puntos $$f(x)=x^{2}$$ y multiplicar los $$y$$-valores por $$a$$.

### Gráfica de una función cuadrática de la forma $$f(x)=ax^{2}$$

El coeficiente $$a$$ en la función $$f(x)=ax^{2}$$ afecta a la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$ estirándola o comprimiéndola.

• Si $$0<|a|<1$$, la gráfica de $$f(x)=ax^{2}$$ será “más ancha” que la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$.
• Si $$|a|>1$$, la gráfica de $$f(x)=ax^{2}$$ será “más delgada” que la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$.
##### Ejemplo $$\PageIndex{6}$$

Gráfica $$f(x)=3x^{2}$$.

Solución:

Gráficaremos las funciones $$f(x)=x^{2}$$ y $$g(x)=3x^{2}$$ en la misma cuadrícula. Escogeremos unos puntos $$f(x)=x^{2}$$ y luego multiplicaremos los $$y$$-valores por $$3$$ para obtener los puntos para $$g(x)=3x^{2}$$.

##### Ejercicio $$\PageIndex{11}$$

Gráfica $$f(x)=-3x^{2}$$.

Contestar
##### Ejercicio $$\PageIndex{12}$$

Gráfica $$f(x)=2x^{2}$$.

Contestar

## Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones

Hemos aprendido cómo las constantes $$a, h$$, y $$k$$ en las funciones, $$f(x)=x^{2}+k, f(x)=(x−h)^{2}$$, y $$f(x)=ax^{2}$$ afectan a sus gráficas. Ahora podemos juntar esto y graficar funciones $$f(x)=ax^{2}+bx+c$$ cuadráticas poniéndolas primero en la forma $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ completando el cuadrado. Esta forma se conoce a veces como la forma del vértice o forma estándar.

Cuando completamos el cuadrado en una función con un coeficiente de $$x^{2}$$ que no es uno, tenemos que factorizar ese coeficiente a partir de sólo los $$x$$-términos. No lo factorizamos desde el término constante. A menudo es útil mover el término constante un poco hacia la derecha para que sea más fácil enfocarse solo en los $$x$$-términos.

Una vez que obtenemos la constante que queremos completar el cuadrado, debemos recordar multiplicarlo por ese coeficiente antes de luego restarlo.

##### Ejemplo $$\PageIndex{7}$$

Reescribir $$f(x)=−3x^{2}−6x−1$$ en el $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ formulario completando el cuadrado.

Solución:

 Separar los $$x$$ términos de la constante. Factor el coeficiente de $$x^{2}, -3$$. Prepárense para completar la plaza. Toma la mitad de $$2$$ y luego cuadrácelo para completar la plaza $$(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$$ La constante $$1$$ completa el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por $$-3$$. Entonces realmente estamos sumando $$-3$$. Debemos entonces sumar $$3$$ para no cambiar el valor de la función. Reescribir el trinomio como cuadrado y restar las constantes. La función está ahora en la $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ forma.
##### Ejercicio $$\PageIndex{13}$$

Reescribir $$f(x)=−4x^{2}−8x+1$$ en el $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ formulario completando el cuadrado.

Contestar

$$f(x)=-4(x+1)^{2}+5$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{14}$$

Reescribir $$f(x)=2x^{2}−8x+3$$ en el $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ formulario completando el cuadrado.

Contestar

$$f(x)=2(x-2)^{2}-5$$

Una vez que ponemos la función en la $$f(x)=(x−h)^{2}+k$$ forma, podemos utilizar las transformaciones como lo hicimos en los últimos problemas. El siguiente ejemplo nos mostrará cómo hacerlo.

##### Ejemplo $$\PageIndex{8}$$

Gráfica $$f(x)=x^{2}+6x+5$$ mediante el uso de transformaciones.

Solución:

Paso 1: Reescribe la función en forma de $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ vértice completando el cuadrado.

 Separar los $$x$$ términos de la constante. Toma la mitad de $$6$$ y luego cuadrácelo para completar la plaza. $$(\frac{1}{2}\cdot 6)^{2}=9$$ Ambos sumamos $$9$$ y restamos $$9$$ para no cambiar el valor de la función. Reescribir el trinomio como cuadrado y restar las constantes. La función está ahora en la $$f(x)=(x-h)^{2}+k$$ forma.

Paso 2: Grafica la función usando transformaciones.

Mirando los $$h, k$$ valores, vemos que la gráfica tomará la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$ y la desplazará a las $$3$$ unidades de la izquierda y a las $$4$$ unidades hacia abajo.

Primero dibujamos la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$ en la cuadrícula.

##### Ejercicio $$\PageIndex{15}$$

Gráfica $$f(x)=x^{2}+2x-3$$ mediante el uso de transformaciones.

Contestar
##### Ejercicio $$\PageIndex{16}$$

Gráfica $$f(x)=x^{2}-8x+12$$ mediante el uso de transformaciones.

Contestar

Enumeramos los pasos para tomar una gráfica una función cuadrática usando transformaciones aquí.

### Grafica una función cuadrática usando transformaciones

1. Reescribe la función en $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ forma completando el cuadrado.
2. Grafica la función usando transformaciones.
##### Ejemplo $$\PageIndex{9}$$

Gráfica $$f(x)=-2x^{2}-4x+2$$ mediante el uso de transformaciones.

Solución:

Paso 1: Reescribe la función en forma de $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ vértice completando el cuadrado.

 Separar los $$x$$ términos de la constante. Necesitamos el coeficiente de $$x^{2}$$ ser uno. Tenemos en cuenta $$-2$$ a partir de los $$x$$-términos. Toma la mitad de $$2$$ y luego cuadrácelo para completar la plaza. $$(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$$ Añadimos $$1$$ para completar el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por $$-2$$. Entonces realmente estamos sumando $$-2$$. Para no cambiar el valor de la función agregamos $$2$$. Reescribir el trinomio como un cuadrado ad restar las constantes. La función está ahora en la $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ forma.

Paso 2: Grafica la función usando transformaciones.

Primero dibujamos la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$ en la cuadrícula.

##### Ejercicio $$\PageIndex{17}$$

Gráfica $$f(x)=-3x^{2}+12x-4$$ mediante el uso de transformaciones.

Contestar
##### Ejercicio $$\PageIndex{18}$$

Gráfica $$f(x)=−2x^{2}+12x−9$$ mediante el uso de transformaciones.

Contestar

Ahora que hemos completado el cuadrado para poner en $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ forma una función cuadrática, también podemos utilizar esta técnica para graficar la función utilizando sus propiedades como en el apartado anterior.

Si miramos hacia atrás en los últimos ejemplos, vemos que el vértice está relacionado con las constantes $$h$$ y $$k$$.

En cada caso, el vértice es $$(h,k)$$. También el eje de simetría es la línea $$x=h$$.

Reescribimos nuestros pasos para graficar una función cuadrática usando propiedades para cuando la función está en $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ forma.

### Grafica una función cuadrática en el formulario $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ usando propiedades

1. Reescribe la $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ forma de función.
2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba, $$a>0$$, o hacia abajo, $$a<0$$.
3. Encuentra el eje de simetría, $$x=h$$.
4. Encuentra el vértice, $$(h,k$$.
5. Encuentra la $$y$$-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la $$y$$-intercepción a través del eje de simetría.
6. Encuentra las $$x$$-intercepciones.
7. Grafica la parábola.
##### Ejemplo $$\PageIndex{10}$$
1. Reescribir $$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$$ en $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ forma
2. Grafica la función usando propiedades

Solución:

 Reescribe la función en $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ forma completando el cuadrado. $$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$$ $$f(x)=2\left(x^{2}+2 x\right)+5$$ $$f(x)=2\left(x^{2}+2 x+1\right)+5-2$$ $$f(x)=2(x+1)^{2}+3$$ Identificar las constantes $$a, h, k$$. $$a=2 h=-1 k=3$$ Desde entonces $$a=2$$, la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es $$x=h$$. El eje de simetría es $$x=-1$$. El vértice es $$(h,k)$$. El vértice es $$(-1,3)$$. Encuentra la $$y$$-intercepción mediante la búsqueda $$f(0)$$. $$f(0)=2 \cdot 0^{2}+4 \cdot 0+5$$ $$f(0)=5$$ $$y$$-interceptar $$(0,5)$$ Encuentra el punto simétrico a $$(0,5)$$ través del eje de simetría. $$(-2,5)$$ Encuentra las $$x$$-intercepciones. El discriminante es negativo, por lo que no hay $$x$$-interceptos. Grafica la parábola.
##### Ejercicio $$\PageIndex{19}$$
1. Reescribir $$f(x)=3 x^{2}-6 x+5$$ en $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ forma
2. Grafica la función usando propiedades
Contestar
1. $$f(x)=3(x-1)^{2}+2$$

2. Figura 9.7.66
##### Ejercicio $$\PageIndex{20}$$
1. Reescribir $$f(x)=-2 x^{2}+8 x-7$$ en $$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ forma
2. Grafica la función usando propiedades
Contestar
1. $$f(x)=-2(x-2)^{2}+1$$

2. Figura 9.7.67

## Encuentra una función cuadrática a partir de su gráfica

Hasta ahora hemos empezado con una función y luego encontramos su gráfica.

Ahora vamos a revertir el proceso. Empezando por la gráfica, encontraremos la función.

##### Ejemplo $$\PageIndex{11}$$

Determinar la función cuadrática cuya gráfica se muestra.

Solución:

Ya que es cuadrática, comenzamos con la $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ forma.

El vértice, $$(h,k)$$, es $$(−2,−1)$$ así $$h=−2$$ y $$k=−1$$.

$$f(x)=a(x-(-2))^{2}-1$$

Para encontrar $$a$$, utilizamos la $$y$$-intercepción, $$(0,7)$$.

Entonces $$f(0)=7$$.

$$7=a(0+2)^{2}-1$$

Resolver para $$a$$.

$$\begin{array}{l}{7=4 a-1} \\ {8=4 a} \\ {2=a}\end{array}$$

Escribe la función.

$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$

Sustituto en $$h=-2, k=-1$$ y $$a=2$$.

$$f(x)=2(x+2)^{2}-1$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{21}$$

Escribir la función cuadrática en $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ forma cuya gráfica se muestra.

Contestar

$$f(x)=(x-3)^{2}-4$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{22}$$

Determinar la función cuadrática cuya gráfica se muestra.

Contestar

$$f(x)=(x+3)^{2}-1$$

Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con funciones cuadráticas gráficas utilizando transformaciones.

## Conceptos Clave

• Grafica una función cuadrática de la forma $$f(x)=x^{2}+k$$ usando un desplazamiento vertical
• La gráfica de $$f(x)=x^{2}+k$$ desplaza la gráfica de $$k$$ unidades $$f(x)=x^{2}$$ verticalmente.
• Si $$k>0$$, desplazar la parábola verticalmente hacia arriba $$k$$ unidades.
• Si $$k<0$$, desplazar la parábola verticalmente hacia abajo $$|k|$$ unidades.
• Grafica una función cuadrática de la forma $$f(x)=(x−h)^{2}$$ usando un desplazamiento horizontal
• La gráfica de $$f(x)=(x−h)^{2}$$ desplaza la gráfica de $$h$$ unidades $$f(x)=x^{2}$$ horizontalmente.
• Si $$h>0$$, desplazar la parábola horizontalmente a la izquierda $$h$$ unidades.
• Si $$h<0$$, desplazar la parábola horizontalmente $$|h|$$ unidades a la derecha.
• Gráfica de una función cuadrática de la forma $$f(x)=ax^{2}$$
• El coeficiente $$a$$ en la función $$f(x)=ax^{2}$$ afecta a la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$ estirándola o comprimiéndola.
Si $$0<|a|<1$$, entonces la gráfica de $$f(x)=ax^{2}$$ será “más ancha” que la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$.
Si $$|a|>1$$, entonces la gráfica de $$f(x)=ax^{2}$$ será “más delgada” que la gráfica de $$f(x)=x^{2}$$.
• Cómo graficar una función cuadrática usando transformaciones
1. Reescribe la función en $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ forma completando el cuadrado.
2. Grafica la función usando transformaciones.
• Grafica una función cuadrática en la forma del vértice $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ usando propiedades
1. Reescribe la función en $$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ forma.
2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba, $$a>0$$, o hacia abajo, $$a<0$$.
3. Encuentra el eje de simetría, $$x=h$$.
4. Encuentra el vértice, $$(h,k)$$.
5. Encuentra la $$y$$-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la $$y$$-intercepción a través del eje de simetría.
6. Encuentre los $$x$$-interceptos, si es posible.
7. Grafica la parábola.

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