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10.2E: Ejercicios

  • Page ID
    51745
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La práctica hace a la perfección

    Ejercicio \(\PageIndex{19}\) Buscar y evaluar funciones compuestas

    En los siguientes ejercicios, encuentra

    1. \((f \circ g)(x)\)
    2. \((g \circ f)(x)\)
    3. \((f \cdot g)(x)\)
    1. \(f(x)=4 x+3\) y \(g(x)=2 x+5\)
    2. \(f(x)=3 x-1\) y \(g(x)=5 x-3\)
    3. \(f(x)=6 x-5\) y \(g(x)=4 x+1\)
    4. \(f(x)=2 x+7\) y \(g(x)=3 x-4\)
    5. \(f(x)=3 x\) y \(g(x)=2 x^{2}-3 x\)
    6. \(f(x)=2 x\) y \(g(x)=3 x^{2}-1\)
    7. \(f(x)=2 x-1\) y \(g(x)=x^{2}+2\)
    8. \(f(x)=4 x+3\) y \(g(x)=x^{2}-4\)
    Contestar

    1.

    1. \(8x+23\)
    2. \(8x+11\)
    3. \(8 x^{2}+26 x+15\)

    3.

    1. \(24x+1\)
    2. \(24x-19\)
    3. \(24x^{2}+19x-5\)

    5.

    1. \(6 x^{2}-9 x\)
    2. \(18 x^{2}-9 x\)
    3. \(6 x^{3}-9 x^{2}\)

    7.

    1. \(2 x^{2}+3\)
    2. \(4 x^{2}-4 x+3\)
    3. \(2 x^{3}-x^{2}+4 x-2\)
    Ejercicio \(\PageIndex{20}\) Buscar y evaluar funciones compuestas

    En los siguientes ejercicios, encuentre los valores descritos.

    1. Para las funciones \(f(x)=2 x^{2}+3\) y \(g(x)=5x-1\), encontrar
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-3)\)
      3. \((f \circ f)(-1)\)
    2. Para las funciones \(f(x)=5 x^{2}-1\) y \(g(x)=4x−1\), encontrar
      1. \((f \circ g)(1)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((f \circ f)(2)\)
    3. Para las funciones \(f(x)=2x^{3}\) y \(g(x)=3x^{2}+2\), encontrar
      1. \((f \circ g)(-1)\)
      2. \((g \circ f)(1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    4. Para las funciones \(f(x)=3 x^{3}+1\) y \(g(x)=2 x^{2}=3\), encontrar
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    Contestar

    1.

    1. \(245\)
    2. \(104\)
    3. \(53\)

    3.

    1. \(250\)
    2. \(14\)
    3. \(77\)
    Ejercicio \(\PageIndex{21}\) Determinar si una función es uno-a-uno

    En los siguientes ejercicios, determine si el conjunto de pares ordenados representa una función y si es así, es la función uno-a-uno.

    1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0)}, {(1,1),(2,4),(3,9) \}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{\{(9,-3),(4,-2),(1,-1),(0,0)}, {(1,1),(4,2),(9,3) \}}\end{array}\)
    3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-3),(-1,-1)}, {(0,1),(1,3),(2,5),(3,7) \}}\end{array}\)
    4. \(\begin{array}{l}{\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)}, {(1,-1),(0,-2),(-1,-3) \}}\end{array}\)
    Contestar

    1. Función; no uno a uno

    3. Función uno a uno

    Ejercicio \(\PageIndex{22}\) Determinar si una función es uno-a-uno

    En los siguientes ejercicios, determine si cada gráfica es la gráfica de una función y si es así, es uno-a-uno.

    1.


    1. Esta figura muestra una gráfica de un círculo con centro en el origen y radio 3.
      Figura 10.1.65

    2. Esta figura muestra una gráfica de una parábola que se abre hacia arriba con vértice en (0k, 2).
      Figura 10.1.66

    2.


    1. Esta figura muestra una parábola que se abre a la derecha con vértice en (negativo 2, 0).
      Figura 10.1.67

    2. Esta figura muestra una gráfica de un polinomio con orden impar, de modo que inicia en el tercer cuadrante, aumenta hasta el origen y luego continúa aumentando a través del primer cuadrante.
      Figura 10.1.68

    3.


    1. Esta figura muestra una gráfica de una curva que inicia en (negativo 6 negativo 2) aumenta hasta el origen y luego continúa aumentando lentamente a (6, 2).
      Figura 10.1.69

    2. Esta figura muestra una parábola que se abre hacia arriba con vértice en (0, negativo 4).
      Figura 10.1.70

    4.


    1. Esta figura muestra un segmento de línea recta decreciendo de (negativo 4, 6) a (2, 0), después de lo cual aumenta de (2, 0) a (6, 4).
      Figura 10.1.71

    2. Esta figura muestra un círculo con radio 4 y centro en el origen.
      Figura 10.1.72
    Contestar

    1.

    1. No es una función
    2. Función; no uno a uno

    3.

    1. Función uno a uno
    2. Función; no uno a uno
    Ejercicio \(\PageIndex{23}\) Determinar si una función es uno-a-uno

    En los siguientes ejercicios, encuentra el inverso de cada función. Determinar el dominio y rango de la función inversa.

    1. \(\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\}\)
    2. \(\{(6,2),(9,5),(12,8),(15,11)\}\)
    3. \(\{(0,-2),(1,3),(2,7),(3,12)\}\)
    4. \(\{(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\}\)
    5. \(\{(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3)\}\)
    6. \(\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)\}\)
    Contestar

    1. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} . \text { Domain: }\{1,2,3,4\} . \text { Range: }} {\{2,4,6,8\} .}\end{array}\)

    3. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-2,0),(3,1),(7,2),(12,3)\} . \text { Domain: }\{-2,3,7,12\} \text { . }} {\text { Range: }\{0,1,2,3\}}\end{array}\)

    5. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-3,-2),(-1,-1),(1,0),(3,1)\} . \text { Domain: }} {\{-3,-1,1,3\} . \text { Range: }\{-2,-1,0,1\}}\end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{24}\) Determinar si una función es uno-a-uno

    En los siguientes ejercicios, grafica, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno-a-uno mostrada.


    1. Esta figura muestra una serie de segmentos de línea desde (negativo 4, negativo 3) a (negativo 3, 0) luego a (negativo 1, 2) y luego a (3, 4).
      Figura 10.1.73

    2. Esta figura muestra una serie de segmentos de línea desde (negativo 4, negativo 4) a (negativo 3, 1) luego a (0, 2) y luego a (2, 4).
      Figura 10.1.74

    3. Esta figura muestra una serie de segmentos de línea desde (negativo 4, 4) a (0, 3) luego a (3, 2) y luego a (4, negativo 1).
      Figura 10.1.75

    4. Esta figura muestra una serie de segmentos de línea desde (negativo 4, negativo 4) a (negativo 1, negativo 3) luego a (0, 1), luego a (1, 3) y luego a (4, 4).
      Figura 10.1.76
    Contestar

    1.

    Esta figura muestra una serie de segmentos de línea desde (negativo 3, negativo 4) a (0, negativo 3) luego a (2, negativo 1), y luego a (4, 3).
    Figura 10.1.77

    3.

    Esta figura muestra una serie de segmentos de línea desde (negativo 1, 4) a (2, 3) luego a (3, 0), y luego a (4, negativo 4).
    Figura 10.1.78
    Ejercicio \(\PageIndex{25}\) Determinar si las funciones dadas son inversas

    En los siguientes ejercicios, determine si las funciones dadas son inversas o no.

    1. \(f(x)=x+8\) y \(g(x)=x-8\)
    2. \(f(x)=x-9\) y \(g(x)=x+9\)
    3. \(f(x)=7 x\) y \(g(x)=\frac{x}{7}\)
    4. \(f(x)=\frac{x}{11}\) y \(g(x)=11 x\)
    5. \(f(x)=7 x+3\) y \(g(x)=\frac{x-3}{7}\)
    6. \(f(x)=5 x-4\) y \(g(x)=\frac{x-4}{5}\)
    7. \(f(x)=\sqrt{x+2}\) y \(g(x)=x^{2}-2\)
    8. \(f(x)=\sqrt[3]{x-4}\) y \(g(x)=x^{3}+4\)
    Contestar

    1. \(g(f(x))=x,\) y \(f(g(x))=x,\) por lo tanto son inversos.

    3. \(g(f(x))=x,\) y \(f(g(x))=x,\) por lo tanto son inversos.

    5. \(g(f(x))=x,\) y \(f(g(x))=x,\) por lo tanto son inversos.

    7. \(g(f(x))=x,\) y \(f(g(x))=x,\) por lo tanto son inversos (para no negativos \(x )\)

    Ejercicio \(\PageIndex{26}\) Determinar la inversa de una función

    En los siguientes ejercicios, encuentra el inverso de cada función.

    1. \(f(x)=x-12\)
    2. \(f(x)=x+17\)
    3. \(f(x)=9 x\)
    4. \(f(x)=8 x\)
    5. \(f(x)=\frac{x}{6}\)
    6. \(f(x)=\frac{x}{4}\)
    7. \(f(x)=6 x-7\)
    8. \(f(x)=7 x-1\)
    9. \(f(x)=-2 x+5\)
    10. \(f(x)=-5 x-4\)
    11. \(f(x)=x^{2}+6, x \geq 0\)
    12. \(f(x)=x^{2}-9, x \geq 0\)
    13. \(f(x)=x^{3}-4\)
    14. \(f(x)=x^{3}+6\)
    15. \(f(x)=\frac{1}{x+2}\)
    16. \(f(x)=\frac{1}{x-6}\)
    17. \(f(x)=\sqrt{x-2}, x \geq 2\)
    18. \(f(x)=\sqrt{x+8}, x \geq-8\)
    19. \(f(x)=\sqrt[3]{x-3}\)
    20. \(f(x)=\sqrt[3]{x+5}\)
    21. \(f(x)=\sqrt[4]{9 x-5}, x \geq \frac{5}{9}\)
    22. \(f(x)=\sqrt[4]{8 x-3}, x \geq \frac{3}{8}\)
    23. \(f(x)=\sqrt[5]{-3 x+5}\)
    24. \(f(x)=\sqrt[5]{-4 x-3}\)
    Contestar

    1. \(f^{-1}(x)=x+12\)

    3. \(f^{-1}(x)=\frac{x}{9}\)

    5. \(f^{-1}(x)=6 x\)

    7. \(f^{-1}(x)=\frac{x+7}{6}\)

    9. \(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{-2}\)

    11. \(f^{-1}(x)=\sqrt{x-6}\)

    13. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+4}\)

    15. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-2\)

    17. \(f^{-1}(x)=x^{2}+2, x \geq 0\)

    19. \(f^{-1}(x)=x^{3}+3\)

    21. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+5}{9}, x \geq 0\)

    23. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}-5}{-3}\)

    Ejercicios de \(\PageIndex{27}\) escritura de ejercicios
    1. Explicar cómo la gráfica de la inversa de una función se relaciona con la gráfica de la función.
    2. Explicar cómo encontrar el inverso de una función a partir de su ecuación. Usa un ejemplo para demostrar los pasos.
    Contestar

    1. Las respuestas variarán.

    Autocomprobación

    a. Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    Esta tabla tiene cuatro filas y cuatro columnas. La primera fila, que sirve como cabecera, lee I can…, Con confianza, Con algo de ayuda, y No— I don’ t conseguirlo. La primera columna debajo de la fila del encabezado lee Buscar y evaluar funciones compuestas, determinar si una función es uno-a-uno, y encontrar la inversa de una función. El resto de las celdas están en blanco.
    Figura 10.1.79

    b. Si la mayoría de sus cheques fueron:

    ... con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos de esta sección. Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir utilizándolas. ¿Qué hiciste para tener confianza en tu capacidad para hacer estas cosas? Sea específico.

    ... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. En matemáticas cada tema se basa en trabajos previos. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

    ... ¡No—no lo pillo! Esta es una señal de advertencia y no debes ignorarla. Debe obtener ayuda de inmediato o rápidamente se verá abrumado. Consulta a tu instructor lo antes posible para discutir tu situación. Juntos pueden idear un plan para conseguirle la ayuda que necesita.


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