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10.6: Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted será capaz de:

• Resolver ecuaciones logarítmicas usando las propiedades de logaritmos
• Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos
• Usar modelos exponenciales en aplicaciones

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Resolver: $$x^{2}=16$$.
Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 6.46.
2. Resolver: $$x^{2}−5x+6=0$$.
Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 6.45.
3. Resolver: $$x(x+6)=2x+5$$.
Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 6.47.

Resolver ecuaciones logarítmicas usando las propiedades de logaritmos

En la sección sobre funciones logarítmicas, resolvimos algunas ecuaciones reescribiendo la ecuación en forma exponencial. Ahora que tenemos las propiedades de los logaritmos, tenemos métodos adicionales que podemos usar para resolver ecuaciones logarítmicas.

Si nuestra ecuación tiene dos logaritmos podemos usar una propiedad que diga que si $$\log _{a} M=\log _{a} N$$ entonces es cierto que $$M=N$$. Esta es la propiedad uno a uno de las ecuaciones logarítmicas.

Definición $$\PageIndex{1}$$

Propiedad uno a uno de ecuaciones logarítmicas

Para $$M>0,N>0,a>0$$, y $$a≠1$$ es cualquier número real:

Si $$\log _{a} M=\log _{a} N,$$ entonces $$M=N$$.

Para utilizar esta propiedad, debemos estar seguros de que ambos lados de la ecuación están escritos con la misma base.

Recuerde que los logaritmos se definen sólo para números reales positivos. Consulta tus resultados en la ecuación original. Es posible que hayas obtenido un resultado que da un logaritmo de cero o un número negativo.

Ejemplo $$\PageIndex{1}$$

Resolver: $$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$$.

Solución:

$$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$$

$$\log _{5} x^{2}=\log _{5} 81$$

Utilice la propiedad uno a uno, si $$\log _{a} M=\log _{a} N$$, entonces $$M=N$$.

$$x^{2}=81$$

$$x=\pm 9$$

Eliminamos $$x=-9$$ como no podemos tomar el logaritmo de un número negativo.

$$x=9, \cancel{x=-9}$$

Chequear. $$x=9$$

\begin{aligned}2 \log _{5} x&=\log _{5} 81 \\ 2 \log _{5} 9 &\stackrel{?}{=} \log _{5} 81 \\ \log _{5} 9^{2} & \stackrel{?}{=}\log _{5} 81 \\ \log _{5} 81 & =\log _{5} 81\end{aligned}

Ejercicio $$\PageIndex{1}$$

Resolver: $$2 \log _{3} x=\log _{3} 36$$

Contestar

$$x=6$$

Ejercicio $$\PageIndex{2}$$

Resolver: $$3 \log x=\log 64$$

Contestar

$$x=4$$

Otra estrategia a utilizar para resolver ecuaciones logarítmicas es condensar sumas o diferencias en un solo logaritmo.

Ejemplo $$\PageIndex{2}$$

Resolver: $$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$$.

Solución:

$$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$$

Utilizar la Propiedad del Producto, $$\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N$$.

$$\log _{3} x(x-8)=2$$

Reescribir en forma exponencial.

$$3^{2}=x(x-8)$$

Simplificar.

$$9=x^{2}-8 x$$

Resta $$9$$ de cada lado.

$$0=x^{2}-8 x-9$$

Factor.

$$0=(x-9)(x+1)$$

Utilice la propiedad de producto cero

$$x-9=0, \quad x+1=0$$

$$x=9, \quad \cancel{x=-1}$$

Chequear. $$x=-1$$

\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8)&=2 \\ \log _{3}(-1)+\log _{3}(-1-8) &\stackrel{?}{=}2\end{aligned}

No podemos tomar la bitácora de un número negativo.

Chequear. $$x=9$$

\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8) &=2 \\ \log _{3} 9+\log _{3}(9-8) & \stackrel{?}{=} 2 \\ 2+0 &\stackrel{?}{=}2 \\ 2 &=2 \end{aligned}

Ejercicio $$\PageIndex{3}$$

Resolver: $$\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3$$

Contestar

$$x=4$$

Ejercicio $$\PageIndex{4}$$

Resolver: $$\log _{2} x+\log _{2}(x-6)=4$$

Contestar

$$x=8$$

Ejemplo $$\PageIndex{3}$$

Resolver: $$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$$.

Solución:

$$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$$

$$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} x^{-1}$$

Reescribir $$x^{-1}=\frac{1}{x}$$.

$$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} \frac{1}{x}$$

Utilice la propiedad uno a uno, si $$\log _{a} M=\log _{a} N$$, entonces $$M=N$$.

$$\frac{x+6}{2 x+5}=\frac{1}{x}$$

Resolver la ecuación racional.

$$x(x+6)=2 x+5$$

Distribuir.

$$x^{2}+6 x=2 x+5$$

Escribir en forma estándar.

$$x^{2}+4 x-5=0$$

Factor.

$$(x+5)(x-1)=0$$

$$x+5=0, \quad x-1=0$$

$$\cancel{x=-5}, \quad x=1$$

Chequear.

Te dejamos el cheque.

Ejercicio $$\PageIndex{5}$$

Resolver: $$\log (x+2)-\log (4 x+3)=-\log x$$.

Contestar

$$x=3$$

Ejercicio $$\PageIndex{6}$$

Resolver: $$\log (x-2)-\log (4 x+16)=\log \frac{1}{x}$$.

Contestar

$$x=8$$

Ejemplo $$\PageIndex{4}$$ Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos

Resolver $$5^{x}=11$$. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

Solución:

$$5^{x}=11$$

$$\log 5^{x}=\log 11$$

Utilice la Propiedad de Poder para obtener el $$x$$ como un factor, no un exponente.

$$x \log 5=\log 11$$

Resolver para $$x$$. Encuentra la respuesta exacta.

$$x=\frac{\log 11}{\log 5}$$

Aproximar la respuesta.

$$x \approx 1.490$$

Desde $$5^{1}=5$$ y $$5^{2}=25$$, ¿tiene sentido eso $$5^{1.490}≈11$$?

Ejercicio $$\PageIndex{7}$$

Resolver $$7^{x}=43$$. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

Contestar

$$x=\frac{\log 43}{\log 7} \approx 1.933$$

Ejercicio $$\PageIndex{8}$$

Resolver $$8^{x}=98$$. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

Contestar

$$x=\frac{\log 98}{\log 8} \approx 2.205$$

Cuando tomamos el logaritmo de ambos lados obtendremos el mismo resultado si usamos el logaritmo común o el logaritmo natural (intente usar el logaritmo natural en el último ejemplo. ¿Obtuvo el mismo resultado?) Cuando el exponencial tiene base $$e$$, utilizamos el logaritmo natural.

Ejemplo $$\PageIndex{5}$$

Resolver $$3e^{x+2}=24$$. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

Solución:

$$3 e^{x+2}=24$$

Aísle el exponencial dividiendo ambos lados por $$3$$.

$$e^{x+2}=8$$

Toma el logaritmo natural de ambos lados.

$$\ln e^{x+2}=\ln 8$$

Utilice la Propiedad de Poder para obtener el $$x$$ como un factor, no un exponente.

$$(x+2) \ln e=\ln 8$$

Utilice la propiedad $$\ln e=1$$ para simplificar.

$$x+2=\ln 8$$

Resuelve la ecuación. Encuentra la respuesta exacta.

$$x=\ln 8-2$$

Aproximar la respuesta.

$$x \approx 0.079$$

Ejercicio $$\PageIndex{9}$$

Resolver $$2e^{x−2}=18$$. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

Contestar

$$x=\ln 9+2 \approx 4.197$$

Ejercicio $$\PageIndex{10}$$

Resolver $$5e^{2x}=25$$. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

Contestar

$$x=\frac{\ln 5}{2} \approx 0.805$$

Uso de modelos exponenciales en aplicaciones

En secciones anteriores pudimos resolver algunas aplicaciones que fueron modeladas con ecuaciones exponenciales. Ahora que tenemos tantas opciones más para resolver estas ecuaciones, somos capaces de resolver más aplicaciones.

Nuevamente usaremos las Fórmulas de Interés Compuesto y así las enumeramos aquí para referencia.

Definición $$\PageIndex{2}$$

Interés Compuesto

Para un principal, $$P$$, invertido a una tasa de interés, $$r$$, por $$t$$ años, el nuevo saldo, $$A$$ es:

$$\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$$

Ejemplo $$\PageIndex{6}$$

Los padres de Jermael pusieron $$$10,000$$ en inversiones para sus gastos universitarios en su primer cumpleaños. Esperan que las inversiones valgan$$$50,000$$ cuando se vuelva $$18$$. Si el interés se compone continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitarán para lograr su objetivo?

Solución:

Identificar las variables en la fórmula.

\begin{aligned} A &=\ 50,000 \\ P &=\ 10,000 \\ r &=? \\ t &=17 \text { years } \\ A &=P e^{r t} \end{aligned}

Sustituir los valores en la fórmula.

$$50,000=10,000 e^{r \cdot 17}$$

Resolver para $$r$$. Divide cada lado por $$10,000$$.

$$5=e^{17 r}$$

$$\ln 5=\ln e^{17 r}$$

$$\ln 5=17 r \ln e$$

Simplificar.

$$\ln 5=17 r$$

Divide cada lado por $$17$$.

$$\frac{\ln 5}{17}=r$$

Aproximar la respuesta.

$$r \approx 0.095$$

Convertir a un porcentaje.

$$r \approx 9.5 \%$$

Necesitan que la tasa de crecimiento sea de aproximadamente $$9.5$$%.

Ejercicio $$\PageIndex{11}$$

Héctor invierte $$$10,000$$ a la edad $$21$$. Espera que las inversiones valgan$$$150,000$$ cuando vuelva $$50$$. Si el interés se compone continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo?

Contestar

$$r \approx 9.3 \%$$

Ejercicio $$\PageIndex{12}$$

Rachel invierte $$$15,000$$ a la edad $$25$$. Ella espera que las inversiones valgan$$$90,000$$ cuando vuelva $$40$$. Si el interés se compone continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo?

Contestar

$$r \approx 11.9 \%$$

Hemos visto que el crecimiento y la decadencia son modelados por funciones exponenciales. Para el crecimiento y la descomposición utilizamos la fórmula $$A=A_{0} e^{k t}$$. El crecimiento exponencial tiene una tasa positiva de crecimiento o constante de crecimiento, $$k$$, y el decaimiento exponencial tiene una tasa negativa de crecimiento o decaimiento constante, $$k$$.

Definición $$\PageIndex{3}$$

Crecimiento exponencial y decaimiento

Para una cantidad original, $$A_{0}$$, que crece o decae a una tasa, $$k$$, por un tiempo determinado, $$t$$, la cantidad final, $$A$$, es:

$$A=A_{0} e^{k t}$$

Ahora podemos resolver aplicaciones que nos den suficiente información para determinar la tasa de crecimiento. Entonces podemos usar esa tasa de crecimiento para predecir otras situaciones.

Ejemplo $$\PageIndex{7}$$

Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de $$100$$ a $$300$$ en $$3$$ horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá $$24$$ horas desde el inicio del experimento?

Solución:

Este problema requiere dos pasos principales. Primero debemos encontrar la tasa desconocida, $$k$$. Entonces usamos ese valor de $$k$$ para ayudarnos a encontrar el número desconocido de bacterias.

Identificar las variables en la fórmula.

\begin{aligned} A &=300 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=3 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}

Sustituir los valores de la fórmula.

$$300=100 e^{k \cdot 3}$$

Resolver para $$k$$. Divide cada lado por $$100$$.

$$3=e^{3 k}$$

$$\ln 3=\ln e^{3 k}$$

$$\ln 3=3 k \ln e$$

Simplificar.

$$\ln 3=3 k$$

Divide cada lado por $$3$$.

$$\frac{\ln 3}{3}=k$$

Aproximar la respuesta.

$$k \approx 0.366$$

Utilizamos esta tasa de crecimiento para predecir el número de bacterias que habrá en $$24$$ horas.

\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 3}{3} \\ t &=24 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}

Sustituir en los valores.

$$A=100 e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot 24}$$

Evaluar.

$$A \approx 656,100$$

A este ritmo de crecimiento, pueden esperar $$656,100$$ bacterias.

Ejercicio $$\PageIndex{13}$$

Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de $$100$$ a $$500$$ en $$6$$ horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá $$24$$ horas desde el inicio del experimento?

Contestar

Habrá $$62,500$$ bacterias.

Ejercicio $$\PageIndex{14}$$

Los investigadores registraron que cierta población de bacterias disminuyó de $$700,000$$ a $$400,000$$ en $$5$$ horas después de la administración de la medicación. A este ritmo de descomposición, ¿cuántas bacterias habrá $$24$$ horas desde el inicio del experimento?

Contestar

Habrá $$5,870,061$$ bacterias.

Las sustancias radiactivas se descomponen o se descomponen de acuerdo con la fórmula de desintegración exponencial. La cantidad de tiempo que tarda la sustancia en descomponerse a la mitad de su cantidad original se denomina vida media de la sustancia.

De manera similar al ejemplo anterior, podemos utilizar la información dada para determinar la constante de decaimiento, y luego usar esa constante para responder otras preguntas.

Ejemplo $$\PageIndex{8}$$

La semivida del radio-226 es de $$1,590$$ años. ¿Cuánto de una muestra de $$100$$ mg quedará en $$500$$ años?

Solución:

Este problema requiere dos pasos principales. Primero debemos encontrar la constante de decaimiento $$k$$. Si empezamos con $$100$$-mg, a la semivida quedará $$50$$-mg restante. Utilizaremos esta información para encontrar $$k$$. Entonces usamos ese valor de $$k$$ para ayudarnos a encontrar la cantidad de muestra que quedará en $$500$$ años.

Identificar las variables en la fórmula.

\begin{aligned} A &=50 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=1590 \text { years } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}

Sustituir los valores de la fórmula.

$$50=100 e^{k \cdot 1590}$$

Resolver para $$k$$. Divide cada lado por $$100$$.

$$0.5=e^{1590 k}$$

$$\ln 0.5=\ln e^{1590 k}$$

$$\ln 0.5=1590 k \ln e$$

Simplificar.

$$\ln 0.5=1590 k$$

Divide cada lado por $$1590$$.

$$\frac{\ln 0.5}{1590}=k$$ respuesta exacta

Utilizamos esta tasa de crecimiento para predecir la cantidad que quedará en $$500$$ años.

\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 0.5}{1590} \\ t &=500\: \mathrm{years} \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}

Sustituir en los valores.

$$A=100 e^{\frac{1 \mathrm{n} 0.5}{1500} \cdot 500}$$

Evaluar.

$$A \approx 80.4 \mathrm{mg}$$

En $$500$$ años quedarían aproximadamente $$80.4$$ mg restantes.

Ejercicio $$\PageIndex{15}$$

La vida media del magnesio-27 es de $$9.45$$ minutos. ¿Cuánto de una muestra de $$10$$-mg quedará en $$6$$ minutos?

Contestar

Quedará $$6.43$$ mg.

Ejercicio $$\PageIndex{16}$$

La vida media del yodo radiactivo es de $$60$$ días. ¿Cuánto de una muestra de $$50$$-mg quedará en $$40$$ días?

Contestar

Quedará $$31.5$$ mg.

Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Conceptos Clave

• Propiedad uno a uno de las ecuaciones logarítmicas: Para $$M>0, N>0, a>0$$, y $$a≠1$$ es cualquier número real:

Si $$\log _{a} M=\log _{a} N,$$ entonces $$M=N$$

• Interés Compuesto:
Para un principal, $$P$$, invertido a una tasa de interés $$r$$,, para $$t$$ años, el nuevo saldo, $$A$$, es:

$$\begin{array}{ll}{A} & {=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A} & {=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$$

• Crecimiento exponencial y decaimiento: Para una cantidad original, $$A_{0}$$ que crece o decae a un ritmo $$r$$,, por cierto tiempo $$t$$, la cantidad final, $$A$$, es $$A=A_{0} e^{r t}$$.

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