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10.6E: Ejercicios

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    51746
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    La práctica hace a la perfección

    Ejercicio \(\PageIndex{17}\) Resolver ecuaciones logarítmicas usando las propiedades de logaritmos

    En los siguientes ejercicios, resuelve para \(x\).

    1. \(\log _{4} 64=2 \log _{4} x\)
    2. \(\log 49=2 \log x\)
    3. \(3 \log _{3} x=\log _{3} 27\)
    4. \(3 \log _{6} x=\log _{6} 64\)
    5. \(\log _{5}(4 x-2)=\log _{5} 10\)
    6. \(\log _{3}\left(x^{2}+3\right)=\log _{3} 4 x\)
    7. \(\log _{3} x+\log _{3} x=2\)
    8. \(\log _{4} x+\log _{4} x=3\)
    9. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-3)=2\)
    10. \(\log _{3} x+\log _{3}(x+6)=3\)
    11. \(\log x+\log (x+3)=1\)
    12. \(\log x+\log (x-15)=2\)
    13. \(\log (x+4)-\log (5 x+12)=-\log x\)
    14. \(\log (x-1)-\log (x+3)=\log \frac{1}{x}\)
    15. \(\log _{5}(x+3)+\log _{5}(x-6)=\log _{5} 10\)
    16. \(\log _{5}(x+1)+\log _{5}(x-5)=\log _{5} 7\)
    17. \(\log _{3}(2 x-1)=\log _{3}(x+3)+\log _{3} 3\)
    18. \(\log (5 x+1)=\log (x+3)+\log 2\)
    Contestar

    2. \(x=7\)

    4. \(x=4\)

    6. \(x=1, x=3\)

    8. \(x=8\)

    10. \(x=3\)

    12. \(x=20\)

    14. \(x=3\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=\frac{5}{3}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{18}\) Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación exponencial. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

    1. \(3^{x}=89\)
    2. \(2^{x}=74\)
    3. \(5^{x}=110\)
    4. \(4^{x}=112\)
    5. \(e^{x}=16\)
    6. \(e^{x}=8\)
    7. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=6\)
    8. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=8\)
    9. \(4 e^{x+1}=16\)
    10. \(3 e^{x+2}=9\)
    11. \(6 e^{2 x}=24\)
    12. \(2 e^{3 x}=32\)
    13. \(\frac{1}{4} e^{x}=3\)
    14. \(\frac{1}{3} e^{x}=2\)
    15. \(e^{x+1}+2=16\)
    16. \(e^{x-1}+4=12\)
    Contestar

    2. \(x=\frac{\log 74}{\log 2} \approx 6.209\)

    4. \(x=\frac{\log 112}{\log 4} \approx 3.404\)

    6. \(x=\ln 8 \approx 2.079\)

    8. \(x=\frac{\log 8}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.893\)

    10. \(x=\ln 3-2 \approx-0.901\)

    12. \(x=\frac{\ln 16}{3} \approx 0.924\)

    14. \(x=\ln 6 \approx 1.792\)

    16. \(x=\ln 8+1 \approx 3.079\)

    Ejercicio \(\PageIndex{19}\) Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación.

    1. \(3^{3 x+1}=81\)
    2. \(6^{4 x-17}=216\)
    3. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{14}}=e^{5 x}\)
    4. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{20}\)
    5. \(\log _{a} 64=2\)
    6. \(\log _{a} 81=4\)
    7. \(\ln x=-8\)
    8. \(\ln x=9\)
    9. \(\log _{5}(3 x-8)=2\)
    10. \(\log _{4}(7 x+15)=3\)
    11. \(\ln e^{5 x}=30\)
    12. \(\ln e^{6 x}=18\)
    13. \(3 \log x=\log 125\)
    14. \(7 \log _{3} x=\log _{3} 128\)
    15. \(\log _{6} x+\log _{6}(x-5)=\log _{6} 24\)
    16. \(\log _{9} x+\log _{9}(x-4)=\log _{9} 12\)
    17. \(\log _{2}(x+2)-\log _{2}(2 x+9)=-\log _{2} x\)
    18. \(\log _{6}(x+1)-\log _{6}(4 x+10)=\log _{6} \frac{1}{x}\)
    Contestar

    2. \(x=5\)

    4. \(x=-4, x=5\)

    6. \(a=3\)

    8. \(x=e^{9}\)

    10. \(x=7\)

    12. \(x=3\)

    14. \(x=2\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=5\)

    Ejercicio \(\PageIndex{20}\) Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos

    En los siguientes ejercicios, resuelve para \(x\), dando una respuesta exacta así como una aproximación a tres decimales.

    1. \(6^{x}=91\)
    2. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=10\)
    3. \(7 e^{x-3}=35\)
    4. \(8 e^{x+5}=56\)
    Contestar

    2. \(x=\frac{\log 10}{\log \frac{1}{2}} \approx-3.322\)

    4. \(x=\ln 7-5 \approx-3.054\)

    Ejercicio \(\PageIndex{21}\) Uso Modelos Exponenciales en Aplicaciones

    En los siguientes ejercicios, resuelve.

    1. Sung Lee invierte $\(5,000\) a la edad \(18\). Espera que las inversiones valgan $\(10,000\) cuando vuelva \(25\). Si el interés se compone continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo? ¿Es eso una expectativa razonable?
    2. Alice invierte $\(15,000\) a la edad \(30\) del bono de firma de su nuevo trabajo. Ella espera que las inversiones valgan $\(30,000\) cuando vuelva \(40\). Si el interés se compone continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo?
    3. Coralee invierte $\(5,000\) en una cuenta que multiplica intereses mensuales y gana \(7\)%. ¿Cuánto tardará en duplicarse su dinero?
    4. Simone invierte $\(8,000\) en una cuenta que multiplica intereses trimestralmente y gana \(5\)%. ¿Cuánto tardará en duplicarse su dinero?
    5. Los investigadores registraron que cierta población de bacterias disminuyó de \(100,000\) a \(100\) en \(24\) horas. A este ritmo de descomposición, ¿cuántas bacterias habrá en \(16\) horas?
    6. Los investigadores registraron que cierta población de bacterias disminuyó de \(800,000\) a \(500,000\) en \(6\) horas después de la administración de la medicación. A este ritmo de descomposición, ¿cuántas bacterias habrá en \(24\) horas?
    7. Un virus tarda \(6\) días en duplicar su población original \(\left(A=2 A_{0}\right)\). ¿Cuánto tardará en triplicar su población?
    8. Una bacteria duplica su población original en \(24\) horas \(\left(A=2 A_{0}\right)\). ¿Qué tan grande será su población en \(72\) horas?
    9. El carbono-14 se utiliza para la datación arqueológica por carbono. Su vida media es de \(5,730\) años. ¿Cuánto de una muestra \(100\)-gram de Carbono-14 quedará en \(1000\) años?
    10. El tecnecio-99m radioactivo se usa a menudo en medicina diagnóstica ya que tiene una vida media relativamente corta pero dura lo suficiente como para obtener las pruebas necesarias realizadas en el paciente. Si su vida media es de \(6\) horas, ¿cuánto del material radiactivo forma una inyección de \(0.5\) ml estará en el cuerpo en \(24\) horas?
    Contestar

    2. \(6.9\)%

    4. \(13.9\) años

    6. \(122,070\) bacterias

    8. \(8\) veces tan grande como la población original

    10. \(0.03\) mL

    Ejercicios de \(\PageIndex{22}\) escritura de ejercicios
    1. Explica el método que usarías para resolver estas ecuaciones: \(3^{x+1}=81\), \(3^{x+1}=75\). ¿Su método requiere logaritmos para ambas ecuaciones? ¿Por qué o por qué no?
    2. ¿Cuál es la diferencia entre la ecuación de crecimiento exponencial versus la ecuación de decaimiento exponencial?
    Contestar

    2. Las respuestas variarán.

    Autocomprobación

    a. Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    Figura 10.5.1

    b. Después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para la siguiente sección? ¿Por qué o por qué no?


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