12.2: Secuencias
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Escribe los primeros términos de una secuencia
- Encuentra una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia
- Usar notación factorial
- Encuentra la suma parcial
- Usar notación de suma para escribir una suma
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
-
Evaluar
\(2n+3\)
para los enteros
\(1, 2, 3\)
, y
\(4\)
.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.6. -
Evaluar
\((−1)^{n}\)
para los enteros
\(1, 2, 3\)
, y
\(4\)
.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.19. -
Si
\(f(n)=n^{2}+2\)
, encuentra
\(f(1)+f(2)+f(3)\)
.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.49.
Escribe los primeros términos de una secuencia
Echemos un vistazo a la función \(f(x)=2x\) y evaluémosla solo por los números de conteo.
| \(f(x)=2x\) | |
| \(x\) | \(2x\) |
| \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(4\) |
| \(3\) | \(6\) |
| \(4\) | \(8\) |
| \(5\) | \(10\) |
| \(...\) | \(...\) |
Si enumeramos los valores de la función en orden como \(2, 4, 6, 8\) \(10\) , y,... tenemos una secuencia. Una secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo.
Una secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo.
Una secuencia también se puede ver como una lista ordenada de números y cada número en la lista es un término . Una secuencia puede tener un número infinito de términos o un número finito de términos. Nuestra secuencia tiene tres puntos (puntos suspensivos) al final lo que indica que la lista nunca termina. Si el dominio es el conjunto de todos los números de conteo, entonces la secuencia es una secuencia infinita . Su dominio es todos los números de conteo y hay un número infinito de números de conteo.
\(2,4,6,8,10, \dots\)
Si limitamos el dominio a un número finito de números de conteo, entonces la secuencia es una secuencia finita . Si usamos sólo los primeros cuatro números de conteo, \(1, 2, 3, 4\) nuestra secuencia sería la secuencia finita,
\(2,4,6,8\)
A menudo cuando se trabaja con secuencias no queremos escribir todos los términos. Queremos una forma más compacta de mostrar cómo se define cada término. Cuando trabajamos con funciones, escribimos \(f(x)=2x\) y dijimos que la expresión \(2x\) era la regla que definía los valores en el rango. Si bien una secuencia es una función, no utilizamos la notación de función habitual. En lugar de escribir la función como \(f(x)=2x\) , la escribiríamos como \(a_{n}=2n\) . El \(a_{n}\) es el \(n\) th término de la secuencia, el término en la posición \(n\) th donde \(n\) es un valor en el dominio. La fórmula para escribir el \(n\) th término de la secuencia se denomina término general o fórmula de la secuencia.
El término general de la secuencia se encuentra a partir de la fórmula para escribir el \(n\) th término de la secuencia. El \(n\) th término de la secuencia, \(a_{n}\) , es el término en la posición \(n\) th donde \(n\) es un valor en el dominio.
Cuando se nos da el término general de la secuencia, podemos encontrar los términos reemplazando por \(n\) los números de conteo en orden. Para \(a_{n}=2 n\) ,
| \(n\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| \(a_{n}\) | 2 \(\cdot 1\) | 2 \(\cdot 2\) | 2 \(\cdot 3\) | 2 \(\cdot 4\) | 2 \(\cdot 5\) | 2 \(\cdot 6\) |
| \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(10\) |
\(a_{1}, \quad a_{2}, \quad a_{3}, \quad a_{4}, \quad a_{5}, \ldots, \quad a_{n}, \dots\)
\(2, \quad 4, \quad 6, \quad 8, \quad10, \dots\)
Para encontrar los valores de una secuencia, sustituimos en los números de conteo en orden en el término general de la secuencia.
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=4 n-3\) .
Solución :
Sustituimos los valores \(1, 2, 3, 4\) , y \(5\) en la fórmula, \(a_{n}=4n−3\) , en orden.
Respuesta :
Los primeros cinco términos de la secuencia son \(1, 5, 9, 13\) , y \(17\) .
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=3n-4\) .
- Contestar
-
\(-1,2,5,8,11\)
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=2n-5\) .
- Contestar
-
\(-3,-1,1,3,5\)
Para algunas secuencias, la variable es un exponente.
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=2^{n}+1\) .
Solución :
Sustituimos los valores \(1, 2, 3, 4\) , y \(5\) en la fórmula, \(a_{n}=2^{n}+1\) , en orden.
Respuesta :
Los primeros cinco términos de la secuencia son \(3, 5, 9, 17\) , y \(33\) .
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=3^{n}+4\) .
- Contestar
-
\(7,13,31,85,247\)
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=2^{n}-5\) .
- Contestar
-
\(-3,-1,3,11,27\)
No es raro ver las expresiones \((−1)^{n}\) o \((−1)^{n+1}\) en el término general para una secuencia. Si evaluamos cada una de estas expresiones por unos cuantos valores, vemos que esta expresión alterna el signo para los términos.
| \(n\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \ (n\) "> \((-1)^{n}\) |
\ (1\) ">
\((-1)^{1}\)
\(-1\) |
\ (2\) ">
\((-1)^{2}\)
1 |
\ (3\) ">
\((-1)^{3}\)
\(-1\) |
\ (4\) ">
\((-1)^{4}\)
\(1\) |
\ (5\) ">
\((-1)^{5}\)
\(-1\) |
| \ (n\) "> \((-1)^{n+1}\) |
\ (1\) ">
\((-1)^{1+1}\)
1 |
\ (2\) ">
\((-1)^{2+1}\)
\(-1\) |
\ (3\) ">
\((-1)^{3+1}\)
1 |
\ (4\) ">
\((-1)^{4+1}\)
\(-1\) |
\ (5\) ">
\((-1)^{5+1}\)
1 |
\(a_{1}, \quad a_{2}, \quad a_{3}, \quad a_{4}, \quad a_{5}, \dots, \quad a_{n}, \dots\)
\(\begin{array}{rrrr}{-1,} & {1,} & {-1,} & {1,} & {-1 \ldots} \\ {1,} & {-1,} & {1,} & {-1,} & {1 \ldots}\end{array}\)
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=(-1)^{n} n^{3}\) .
Solución :
Sustituimos los valores \(1, 2, 3, 4\) , y \(5\) en la fórmula, \(a_{n}=(-1)^{n} n^{3}\) , en orden.
Respuesta :
Los primeros cinco términos de la secuencia son \(−1, 8, −27, 64, −1, 8, −27, 64\) , y \(−125\) .
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=(-1)^{n} n^{2}\) .
- Contestar
-
\(-1,4,-9,16,-25\)
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{3}\) .
- Contestar
-
\(1,-8,27,-64,125\)
Encuentra una Fórmula para el Término General ( \(n\) th Término) de una Secuencia
A veces tenemos algunos términos de una secuencia y sería útil conocer el término general o \(n\) th término. Para encontrar el término general, buscamos patrones en los términos. A menudo los patrones involucran múltiplos o potencias. También buscamos un patrón en los signos de los términos.
Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran. \(4,8,12,16,20, \dots\)
Solución :
-
Buscamos un patrón en los términos. Los números son todos múltiplos de \(4\) . El término general de la secuencia es \(a_{n}=4n\) . Cuadro 12.1.4 Respuesta :
El término general de la secuencia es \(a_{n}=4n\) .
Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.
\(3,6,9,12,15, \dots\)
- Contestar
-
\(a_{n}=3 n\)
Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.
\(5,10,15,20,25, \dots\)
- Contestar
-
\(a_{n}=5 n\)
Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran. \(2,-4,8,-16,32, \dots\)
Solución :
-
Buscamos un patrón en los términos. Los números son poderes de \(2\) . Los signos se alternan, con incluso \(n\) negativos. El término general de la secuencia es \(a_{n}=(-1)^{n+1} 2^{n}\) Cuadro 12.1.5 Respuesta :
El término general de la secuencia es \(a_{n}=(-1)^{n+1}2^{n}\) .
Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.
\(-3,9,-27,81,-243, \dots\)
- Contestar
-
\(a_{n}=(-1)^{n} 3^{n}\)
Encuentra un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran
\(1,-4,9,-16,25, \dots\)
- Contestar
-
\(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{2}\)
Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran. \(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243}, \dots\)
Solución :
-
Buscamos un patrón en los términos. Los numeradores son todos \(1\) . Los denominadores son poderes de \(3\) . El término general de la secuencia es \(a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\) . Cuadro 12.1.6 Respuesta :
El término general de la secuencia es \(a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\) .
Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.
\(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \dots\)
- Contestar
-
\(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)
Encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.
\(\frac{1}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}, \dots\)
- Contestar
-
\(a_{n}=\frac{1}{n^{2}}\)
Usar notación factorial
Las secuencias suelen tener términos que son productos de enteros consecutivos. Indicamos estos productos con una notación especial llamada notación factorial . Por ejemplo, \(5!\) , leer \(5\) factorial, significa \(5⋅4⋅3⋅2⋅1\) . El signo de exclamación no es puntuación aquí; indica la notación factorial .
Si \(n\) es un entero positivo, entonces \(n!\) es
\(n !=n(n-1)(n-2) \dots\)
Definimos \(0!\) como \(1\) , así \(0!=1\) .
Se muestran los valores de \(n!\) para los primeros enteros \(5\) positivos.
\(\begin{array}{ccccc}{1 !} & {2 !} & {3 !} & {4 !} & {5 !} \\ {1} & \quad{2 \cdot 1} & \quad {3 \cdot 2 \cdot 1} & \quad{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} & \quad {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ {1} & {2} & {6} & {24} & {120}\end{array}\)
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=\frac{1}{n !}\) .
Solución :
Sustituimos los valores \(1, 2, 3, 4, 5\) en la fórmula, \(a_{n}=\frac{1}{n !}\) , en orden.
Respuesta :
Los primeros cinco términos de la secuencia son \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{24}, \frac{1}{120}\) .
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=\frac{2}{n !}\) .
- Contestar
-
\(2,1, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}, \frac{1}{60}\)
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=\frac{3}{n !}\) .
- Contestar
-
\(3, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{40}\)
Cuando hay una fracción con factoriales en el numerador y denominador, alineamos los factores verticalmente para facilitar nuestros cálculos.
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=\frac{(n+1) !}{(n-1) !}\) .
Solución :
Sustituimos los valores \(1, 2, 3, 4, 5\) en la fórmula, \(a_{n}=\frac{(n+1) !}{(n-1) !}\) , en orden.
Respuesta :
Los primeros cinco términos de la secuencia son \(2, 6, 12, 20\) , y \(30\) .
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1) !}\)
- Contestar
-
\(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}\)
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general es \(a_{n}=\frac{n !}{(n+1) !}\) .
- Contestar
-
\(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}\)
Encuentra la suma parcial
A veces en las aplicaciones, en lugar de simplemente enumerar los términos, es importante que agreguemos los términos de una secuencia. En lugar de simplemente conectar los términos con signos más, podemos usar la notación de suma .
Por ejemplo, se \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\) puede escribir como \(\sum_{i=1}^{5} a_{i}\) . Leemos esto como “la suma de \(a\) sub \(i\) de \(i\) es igual a uno a cinco”. El símbolo \(∑\) significa sumar y el \(i\) es el índice de suma. El nos \(1\) dice por dónde empezar (valor inicial) y el nos \(5\) dice dónde terminar (valor terminal).
La suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia \(n\) cuyo término \(a_{n}\) está escrito en notación sumaria como:
\(\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots+a_{n}\)
El \(i\) es el índice de suma y el nos \(1\) dice por dónde empezar y el nos \(n\) dice por dónde terminar.
Cuando agregamos un número finito de términos, llamamos a la suma suma parcial .
Expandir la suma parcial y encontrar su valor: \(\sum_{i=1}^{5} 2 i\) .
Solución :
-
\(\sum_{i=1}^{5} 2 i\) Sustituimos los valores \(1, 2, 3, 4, 5\) en orden. \(2 \cdot 1+2 \cdot 2+2 \cdot 3+2 \cdot 4 + 2 \cdot 5\) Simplificar. \(2+4+6+8+10\) Añadir. \(\begin{array} {c} 30\\ \sum_{i=1}^{5} 2 i=30 \end{array}\) Cuadro 12.1.7 Respuesta :
\(\begin{array} {c} 30\\ \sum_{i=1}^{5} 2 i=30 \end{array}\)
Expandir la suma parcial y encontrar su valor: \(\sum_{i=1}^{5} 3 i\) .
- Contestar
-
\(45\)
Expandir la suma parcial y encontrar su valor: \(\sum_{i=1}^{5} 4 i\) .
- Contestar
-
\(60\)
El índice no siempre tiene que ser \(i\) podemos usar cualquier letra, pero \(i\) y \(k\) son de uso común. El índice no tiene que comenzar con ninguno \(1\) de los dos, puede comenzar y terminar con cualquier entero positivo.
Expandir la suma parcial y encontrar su valor: \(\sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k !}\) .
Solución :
\(\begin{array}{c c} {}&{\sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k !}} \\ {We\:substitute\:the\:values\:0,1,2,3\:in\:order.}&{\frac{1}{1}+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}} \\ {Evaluate\:the\:factorials.}& {\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{6}} \\ {Simplify.}&{1+1+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}} \\{Simplify.}& {\frac{16}{6}} \\ {Simplify.}&{\frac{8}{3}} \\{}& {\sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k !}=\frac{8}{3}}\end{array}\)
Expandir la suma parcial y encontrar su valor: \(\sum_{k=0}^{3} \frac{2}{k !}\) .
- Contestar
-
\(\frac{16}{3}\)
Expandir la suma parcial y encontrar su valor: \(\sum_{k=0}^{3} \frac{3}{k !}\) .
- Contestar
-
\(8\)
Usar notación de suma para escribir una suma
En los dos últimos ejemplos, pasamos de la notación de suma a escribir la suma. Ahora comenzaremos con una suma y la cambiaremos a notación de suma. Esto es muy similar a encontrar el término general de una secuencia. Tendremos que mirar los términos y encontrar un patrón. A menudo los patrones involucran múltiplos o potencias.
Escribir la suma utilizando la notación de suma: \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\) .
Solución :
\(\begin{array} {}&{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}} \\ {}&{n : 1,2,3,4,5} \\ {\text{We look for a pattern in the terms.}}&{\text { Terms: } 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}} \\ {\text{The numerators are all one.}}&{\text { Pattern: } \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots \frac{1}{n}} \\ {\text{The denominators are the counting numbers from one to five.}}&{\text{The sum written in summation notation}} \\ {}&{1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\sum^{5}_{n=1} \frac{1}{n}.} \end{array}\)
Escribir la suma utilizando la notación de suma: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\) .
- Contestar
-
\(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2^{n}}\)
Escriba la suma usando la notación de suma: \(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}\)
- Contestar
-
\(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n^{2}}\)
Cuando los términos de una suma tienen coeficientes negativos, debemos analizar cuidadosamente el patrón de los signos.
Escribir la suma utilizando la notación de suma: \(-1+8-27+64-125\) .
Solución :
-
Buscamos un patrón en los términos. Los signos de los términos se alternan,
y los términos impares son negativos.Los números son los cubos de los números de
conteo del uno al cinco.La suma escrita en notación sumaria es \(-1+8-27+64-125=\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \cdot n^{3}\) Cuadro 12.1.8
Escribir cada suma utilizando la notación de suma: \(1-4+9-16+25\) .
- Contestar
-
\(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n+1} n^{2}\)
Escribir cada suma utilizando la notación de suma: \(-2+4-6+8-10\) .
- Contestar
-
\(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} 2 n\)
Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con secuencias.
Conceptos Clave
- Notación Factorial
Si \(n\) es un entero positivo, entonces \(n!\) es
\(n !=n(n-1)(n-2) \ldots(3)(2)(1)\)
Definimos \(0!\) como \(1\) , por lo que \(0!=1\)
- Notación de suma
La suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia cuyo \(n\) th término \(a_{n}\) está escrito en notación sumaria como:
\(\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots+a_{n}\)
El \(i\) es el índice de suma y el nos \(1\) dice por dónde empezar y el nos \(n\) dice por dónde terminar.
Glosario
- secuencia finita
- Una secuencia con un dominio que se limita a un número finito de números de conteo.
- término general de una secuencia
- El término general de la secuencia es la fórmula para escribir el \(n\) th término de la secuencia. El \(n\) th término de la secuencia, \(a_{n}\) , es el término en la posición \(n\) th donde \(n\) es un valor en el dominio.
- secuencia infinita
- Una secuencia cuyo dominio es todos los números de conteo y hay un número infinito de números de conteo.
- suma parcial
- Cuando agregamos un número finito de términos de una secuencia, llamamos a la suma una suma parcial.
- secuencia
- Una secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo.