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# 12.2E: Ejercicios

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## La práctica hace a la perfección

##### Ejercicio $$\PageIndex{25}$$ Escribir los primeros términos de una secuencia

En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

1. $$a_{n}=2 n-7$$
2. $$a_{n}=5 n-1$$
3. $$a_{n}=3 n+1$$
4. $$a_{n}=4 n+2$$
5. $$a_{n}=2^{n}+3$$
6. $$a_{n}=3^{n}-1$$
7. $$a_{n}=3^{n}-2 n$$
8. $$a_{n}=2^{n}-3 n$$
9. $$a_{n}=\frac{2^{n}}{n^{2}}$$
10. $$a_{n}=\frac{3^{n}}{n^{3}}$$
11. $$a_{n}=\frac{4 n-2}{2^{n}}$$
12. $$a_{n}=\frac{3 n+3}{3^{n}}$$
13. $$a_{n}=(-1)^{n} \cdot 2 n$$
14. $$a_{n}=(-1)^{n} \cdot 3 n$$
15. $$a_{n}=(-1)^{n+1} n^{2}$$
16. $$a_{n}=(-1)^{n+1} n^{4}$$
17. $$a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}$$
18. $$a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2 n}$$
Contestar

1. $$-5,-3,-1,1,3$$

3. $$4,7,10,13,16$$

5. $$5,7,11,19,35$$

7. $$1,5,21,73,233$$

9. $$2,1, \frac{8}{9}, 1, \frac{32}{25}$$

11. $$1, \frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{8}, \frac{9}{16}$$

13. $$-2,4,-6,8,-10$$

15. $$1,-4,9,-16,25$$

17. $$1,-\frac{1}{4}, \frac{1}{9},-\frac{1}{16}, \frac{1}{25}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{26}$$ Encuentra una Fórmula para el Término General ($$n$$th Término) de una Secuencia

En los siguientes ejercicios, encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

1. $$8,16,24,32,40, \dots$$
2. $$7,14,21,28,35, \ldots$$
3. $$6,7,8,9,10, \dots$$
4. $$-3,-2,-1,0,1, \dots$$
5. $$e^{3}, e^{4}, e^{5}, e^{6}, e^{7}, \ldots$$
6. $$\frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, e^{2}, \ldots$$
7. $$-5,10,-15,20,-25, \dots$$
8. $$-6,11,-16,21,-26, \dots$$
9. $$-1,8,-27,64,-125, \dots$$
10. $$2,-5,10,-17,26, \dots$$
11. $$-2,4,-6,8,-10, \dots$$
12. $$1,-3,5,-7,9, \dots$$
13. $$\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{256}, \frac{1}{1,024}, \dots$$
14. $$\frac{1}{1}, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots$$
15. $$-\frac{1}{2},-\frac{2}{3},-\frac{3}{4},-\frac{4}{5},-\frac{5}{6}, \dots$$
16. $$-2,-\frac{3}{2},-\frac{4}{3},-\frac{5}{4},-\frac{6}{5}, \dots$$
17. $$-\frac{5}{2},-\frac{5}{4},-\frac{5}{8},-\frac{5}{16},-\frac{5}{32}, \dots$$
18. $$4, \frac{1}{2}, \frac{4}{27}, \frac{4}{64}, \frac{4}{125}, \dots$$
Contestar

1. $$a_{n}=8 n$$

3. $$a_{n}=n+5$$

5. $$a_{n}=e^{n+2}$$

7. $$a_{n}=(-1)^{n} 5 n$$

9. $$a_{n}=(-1)^{n} n^{3}$$

11. $$a_{n}=(-1)^{n} 2 n$$

13. $$a_{n}=\frac{1}{4^{n}}$$

15. $$a_{n}=-\frac{n}{n+1}$$

17. $$-\frac{5}{2^{n}}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{27}$$ Uso Notación Factorial

En los siguientes ejercicios, utilizando notación factorial, escribir los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

1. $$a_{n}=\frac{4}{n !}$$
2. $$a_{n}=\frac{5}{n !}$$
3. $$a_{n}=3 n !$$
4. $$a_{n}=2 n !$$
5. $$a_{n}=(2 n) !$$
6. $$a_{n}=(3 n) !$$
7. $$a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n) !}$$
8. $$a_{n}=\frac{n !}{(n+1) !}$$
9. $$a_{n}=\frac{n !}{n^{2}}$$
10. $$a_{n}=\frac{n^{2}}{n !}$$
11. $$a_{n}=\frac{(n+1) !}{n^{2}}$$
12. $$a_{n}=\frac{(n+1) !}{2 n}$$
Contestar

1. $$4,2, \frac{2}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{30}$$

3. $$3,6,18,72,360$$

5. $$2,24,720,40320,3628800$$

7. $$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$$

9. $$1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{24}{5}$$

11. $$2, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{2}, \frac{144}{5}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{28}$$ Encuentra la suma parcial

En los siguientes ejercicios, expande la suma parcial y encuentra su valor.

1. $$\sum_{i=1}^{5} i^{2}$$
2. $$\sum_{i=1}^{5} i^{3}$$
3. $$\sum_{i=1}^{6}(2 i+3)$$
4. $$\sum_{i=1}^{6}(3 i-2)$$
5. $$\sum_{i=1}^{4} 2^{i}$$
6. $$\sum_{i=1}^{4} 3^{i}$$
7. $$\sum_{k=0}^{3} \frac{4}{k !}$$
8. $$\sum_{k=0}^{4}-\frac{1}{k !}$$
9. $$\sum_{k=1}^{5} k(k+1)$$
10. $$\sum_{k=1}^{5} k(2 k-3)$$
11. $$\sum_{n=1}^{5} \frac{n}{n+1}$$
12. $$\sum_{n=1}^{4} \frac{n}{n+2}$$
Contestar

1. $$1+4+9+16+25=55$$

3. $$5+7+9+11+13+15=60$$

5. $$2+4+8+16=30$$

7. $$\frac{4}{1}+\frac{4}{1}+\frac{4}{2}+\frac{4}{6}+\frac{32}{3}=10 \frac{2}{3}$$

9. $$2+6+12+20+30=70$$

11. $$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}=\frac{71}{20}$$

##### Ejercicio $$\PageIndex{29}$$ Use la notación de suma para escribir una suma

En los siguientes ejercicios, escribe cada suma utilizando la notación de suma.

1. $$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}$$
2. $$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}$$
3. $$1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\frac{1}{125}$$
4. $$\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}$$
5. $$2+1+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{2}{5}$$
6. $$3+\frac{3}{2}+1+\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}$$
7. $$3-6+9-12+15$$
8. $$-5+10-15+20-25$$
9. $$-2+4-6+8-10+\ldots+20$$
10. $$1-3+5-7+9+\ldots+21$$
11. $$14+16+18+20+22+24+26$$
12. $$9+11+13+15+17+19+21$$
Contestar

1. $$\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{3^{n}}$$

3. $$\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n^{3}}$$

5. $$\sum_{n=1}^{5} \frac{2}{n}$$

7. $$\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n+1} 3 n$$

9. $$\sum_{n=1}^{10}(-1)^{n} 2 n$$

11. $$\sum_{n=1}^{7}(2 n+12)$$

##### Ejercicios de $$\PageIndex{30}$$ escritura de ejercicios
1. En tus propias palabras, explica cómo escribir los términos de una secuencia cuando conoces la fórmula. Muestra un ejemplo para ilustrar tu explicación.
2. ¿Qué términos de la secuencia son negativos cuando el $$n^{th}$$ término de la secuencia es $$a_{n}=(-1)^{n}(n+2)$$?
3. En tus propias palabras, explica lo que se entiende por $$n!$$ Mostrar algunos ejemplos para ilustrar tu explicación.
4. Explica lo que $$\sum_{k=1}^{12} 2 k$$ significa cada parte de la notación.
Contestar

1. Las respuestas variarán.

3. Las respuestas variarán.

## Autocomprobación

a. Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

b. Si la mayoría de sus cheques fueron:

... con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos de esta sección. Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir utilizándolas. ¿Qué hiciste para tener confianza en tu capacidad para hacer estas cosas? Sea específico.

... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos previos. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

... no - ¡No lo pillo! Esta es una señal de advertencia y no debes ignorarla. Debe obtener ayuda de inmediato o rápidamente se verá abrumado. Consulta a tu instructor lo antes posible para discutir tu situación. Juntos pueden idear un plan para conseguirle la ayuda que necesita.

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