12.4: Secuencias geométricas y series
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Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Determinar si una secuencia es geométrica
- Encuentra el término general (\(n\)th término) de una secuencia geométrica
- Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia geométrica
- Encuentra la suma de una serie geométrica infinita
- Aplicar secuencias geométricas y series en el mundo real
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Simplificar: \(\frac{24}{32}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.24. - Evaluar: a. \(3^{4}\) b \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.19. - Si \(f(x)=4 \cdot 3^{x}\), encuentra a. \(f(1)\) b \(f(3)\). \(f(2)\) c.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.49.
Determinar si una secuencia es geométrica
Ahora estamos listos para mirar el segundo tipo especial de secuencia, la secuencia geométrica.
Una secuencia se denomina secuencia geométrica si la relación entre términos consecutivos es siempre la misma. La relación entre términos consecutivos en una secuencia geométrica es \(r\), la relación común, donde \(n\) es mayor o igual a dos.
Una secuencia geométrica es una secuencia donde la relación entre términos consecutivos es siempre la misma.
La relación entre términos consecutivos, \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\), es \(r\), la relación común. \(n\) es mayor o igual a dos.
Considera estas secuencias.
Determina si cada secuencia es geométrica. Si es así, indique la relación común.
- \(4,8,16,32,64,128, \dots\)
- \(-2,6,-12,36,-72,216, \dots\)
- \(27,9,3,1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \ldots\)
Solución:
Para determinar si la secuencia es geométrica, encontramos la relación de los términos consecutivos mostrados.
a. Encuentra la relación de los términos consecutivos
\(\begin{aligned} 4, \quad& \:8, \quad 16, \quad 32, \quad 64, \quad 128, \dots \\ &\frac{8}{4} \quad\frac{16}{8}\quad\frac{32}{16}\quad\frac{64}{32}\quad\frac{128}{64} \\ &\:2 \quad\:\:\: 2 \quad\quad2\quad\quad2\quad\quad2 \end{aligned}\)
La secuencia es geométrica. La ración común es \(r=2\).
b. Encontrar la relación de los términos consecutivos
\(\begin{aligned}-\:2,\quad &\:\:\:6,\quad -12,\quad 36,\quad \:-72\quad \:\:216,\dots \\ & \frac{6}{-2}\quad\frac{-12}{6}\quad\frac{36}{-12}\quad\frac{-72}{36}\quad\frac{216}{-72} \\ & -3\quad -2\quad\:\: -3\quad \:\:\:-2\quad \:\:-3 \end{aligned}\)
La secuencia no es geométrica. No hay una relación común.
c. Encontrar la relación de los términos consecutivos
\(\begin{aligned}27,\quad &\:\:9,\quad 3,\quad 1,\quad \frac{1}{3},\quad \frac{1}{9}, \ldots\\ & \frac{9}{27}\quad\frac{3}{9}\quad\frac{1}{3}\quad\frac{\frac{1}{3}}{1}\quad\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}\\ &\frac{1}{3}\quad\;\:\frac{1}{3}\quad\frac{1}{3}\quad\:\frac{1}{3}\quad\:\frac{1}{3}\end{aligned}\)
La secuencia es geométrica. La relación común es \(r=\frac{1}{3}\).
Determina si cada secuencia es geométrica. Si es así indicar la relación común.
- \(7,21,63,189,567,1,701, \dots\)
- \(64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)
- \(2,4,12,48,240,1,440, \dots\)
- Responder
-
- La secuencia es geométrica con relación común \(r=3\).
- La secuencia es geométrica con relación común \(d=\frac{1}{4}\).
- La secuencia no es geométrica. No hay una relación común.
Determina si cada secuencia es geométrica. Si es así indicar la relación común.
- \(-150,-30,-15,-5,-\frac{5}{2}, 0, \dots\)
- \(5,10,20,40,80,160, \dots\)
- \(8,4,2,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots\)
- Responder
-
- La secuencia no es geométrica. No hay una relación común.
- La secuencia es geométrica con relación común \(r=2\).
- La secuencia es geométrica con relación común \(r=\frac{1}{2}\).
Si conocemos el primer término, \(a_{1}\), y la relación común, \(r\), podemos enumerar un número finito de términos de la secuencia.
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia donde está el primer término \(3\) y la relación común es \(r=−2\).
Solución:
Comenzamos con el primer término y lo multiplicamos por la relación común. Después multiplicamos ese resultado por la relación común para obtener el siguiente término, y así sucesivamente.
\(\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} & {a_{4}} & {a_{5}} \\ {3} & {3 \cdot(-2)} & {-6 \cdot(-2)} & {12 \cdot(-2)} & {-24 \cdot(-2)} \\& {-6} & {12} & {-24} & {48}\end{array}\)
Respuesta:
La secuencia es \(3,-6,12,-24,48, \dots\)
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia donde está el primer término \(7\) y la relación común es \(r=−3\).
- Contestar
-
\(7,-21,63,-189,567\)
Escribe los primeros cinco términos de la secuencia donde está el primer término \(6\) y la relación común es \(r=−4\).
- Contestar
-
\(6,-24,96,-384,1536\)
Encuentra el Término General (\(n\)th Término) de una Secuencia Geométrica
Así como encontramos una fórmula para el término general de una secuencia y una secuencia aritmética, también podemos encontrar una fórmula para el término general de una secuencia geométrica.
Escribamos los primeros términos de la secuencia donde está el primer término \(a_{1}\) y está la relación común \(r\). Después buscaremos un patrón.
Al buscar un patrón en los cinco términos anteriores, vemos que cada uno de los términos comienza con \(a_{1}\).
El primer término, \(a_{1}\), no se multiplica por ninguno \(r\). En el segundo término, el \(a_{1}\) se multiplica por \(r\). En el tercer término, el \(a_{1}\) se multiplica por \(r\) dos veces (\(r⋅r\) o \(r^{2}\)). En el cuarto término, el \(a_{1}\) se multiplica por \(r\) tres veces (\(r⋅r⋅r\) o \(r^{3}\)) y en el quinto término, el \(a_{1}\) se multiplica por \(r\) cuatro veces. En cada término, el número de veces que \(a_{1}\) se multiplica por \(r\) es uno menor que el número del término. Esto nos lleva a la siguiente
\(a_{n}=a_{1} r^{n-1}\)
El término general de una secuencia geométrica con primer término \(a_{1}\) y la relación común \(r\) es
\(a_{n}=a_{1} r^{n-1}\)
Utilizaremos esta fórmula en el siguiente ejemplo para encontrar el decimocuarto término de una secuencia.
Encuentra el decimocuarto término de una secuencia donde está el primer término \(64\) y la relación común es \(r=\frac{1}{2}\).
Solución:
\(a_{n}=a_{1} r^{n-1}\)
Para encontrar el decimocuarto término \(a_{14}\),, utilice la fórmula con \(a_{1}=64\) y \(r=\frac{1}{2}\).
\(a_{14}=64\left(\frac{1}{2}\right)^{14-1}\)
Sustituir en los valores.
\(a_{14}=64\left(\frac{1}{2}\right)^{13}\)
Simplificar.
\(a_{14}=\frac{1}{128}\)
Encuentra el decimotercer término de una secuencia donde está el primer término \(81\) y la relación común es \(r=\frac{1}{3}\).
- Contestar
-
\(\frac{1}{6,561}\)
Encuentra el duodécimo término de una secuencia donde está el primer término \(256\) y la relación común es \(r=\frac{1}{4}\).
- Contestar
-
\(\frac{1}{16,384}\)
En ocasiones desconocemos la relación común y debemos utilizar la información dada para encontrarla antes de encontrar el término solicitado.
Encuentra el duodécimo término de la secuencia \(3, 6, 12, 24, 48, 96, …\) Encuentra el término general para la secuencia.
Solución:
Para encontrar el duodécimo término, utilizamos la fórmula \(a_{n}=a_{1} r^{n-1}\),, por lo que necesitamos primero determinar \(a_{1}\) y la relación común \(r\).
El primer mandato es de tres.
\(3,6,12,24,48,96, \dots\)
\(a_{1}=3\)
Encuentra la relación común.
\(\begin{array}{l}{\frac{6}{3} \quad \frac{12}{6} \quad \frac{24}{12} \quad \frac{48}{24} \quad \frac{96}{48}} \\ {2 \:\:\:\quad 2 \quad \:\:2 \quad\:\:\: 2 \:\:\quad \:2} \\ {\text { The common ratio is } r=2}\end{array}\)
Para encontrar el duodécimo término \(a_{12}\),, utilice la fórmula con \(a_{1}=3\) y \(r=2\).
\(a_{n}=a_{1} r^{n-1}\)
Sustituir en los valores.
\(a_{12}=3 \cdot 2^{12-1}\)
Simplificar.
\(a_{12}=3 \cdot 2^{11}\)
\(a_{12}=6,144\)
Encuentra el término general. Usamos la fórmula con \(a_{1}=3\) y \(r=2\).
\(a_{n}=a_{1} r^{n-1}\)
\(a_{n}=3(2)^{n-1}\)
Encuentra el noveno término de la secuencia \(6, 18, 54, 162, 486, 1,458, … \) Luego encuentra el término general para la secuencia.
- Contestar
-
\(a_{9}=39,366 .\) El término general es \(a_{n}=6(3)^{n-1}\).
Encuentra el undécimo término de la secuencia \(7, 14, 28, 56, 112, 224, …\) Luego encuentra el término general para la secuencia.
- Contestar
-
\(a_{11}=7,168 .\) El término general es \(a_{n}=7(2)^{n-1}\).
Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia geométrica
Encontramos la suma de las secuencias generales y la secuencia aritmética. Ahora haremos lo mismo para las secuencias geométricas. La suma, \(S_{n}\), de los primeros \(n\) términos de una secuencia geométrica se escribe como \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}\). Podemos escribir esta suma comenzando con el primer término, \(a_{1}\), y seguir multiplicando por \(r\) para obtener el siguiente término como:
\(S_{n}=a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+\ldots+a_{1} r^{n-1}\)
Multiplicemos también ambos lados de la ecuación por \(r\).
\(r S_{n}=a_{1} r+a_{1} r^{2}+a_{1} r^{3}+\ldots+a_{1} r^{n}\)
A continuación, restamos estas ecuaciones. Veremos que cuando restemos, todos menos el primer término de la ecuación superior y el último término de la ecuación inferior restan a cero.
\(\begin{aligned} S_{n}&= a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+a_{1} r^{3}+\ldots+a_{1} r^{n-1} \\ r S_{n} &= a_{1} r+a_{1} r^{2}+a_{1} r^{3}+\ldots+a_{1} r^{n-1}+a_{1} r^{n}\\\hline S_{n}-r S_{n} &= a_{1} -a_{1}r^{n} \end{aligned}\)
Tenemos en cuenta ambos lados.
\(S_{n}(1-r)=a_{1}\left(1-r^{n}\right)\)
Para obtener la fórmula para \(S_{n}\), divida ambos lados por \((1-r)\).
\(S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\)
La suma, \(S_{n}\), de los primeros \(n\) términos de una secuencia geométrica es
\(S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\)
donde \(a_{1}\) es el primer término y \(r\) es la relación común, y no \(r\) es igual a uno.
Aplicamos esta fórmula en el siguiente ejemplo donde se dan los primeros términos de la secuencia. Observe que la suma de una secuencia geométrica suele ser muy grande cuando la relación común es mayor que uno.
Encuentra la suma de los primeros \(20\) términos de la secuencia geométrica \(7, 14, 28, 56, 112, 224, …\)
Solución:
Para encontrar la suma, usaremos la fórmula \(S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\). Sabemos \(a_{1}=7\), \(r=2\), y \(n=20\),
Conocer \(a_{1}=7, r=2\), y \(n=20\), utilizar la fórmula de suma.
\(S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\)
Sustituir en los valores.
\(S_{20}=\frac{7\left(1-2^{20}\right)}{1-2}\)
Simplificar.
\(S_{20}=7,340,025\)
Encuentra la suma de los primeros \(20\) términos de la secuencia geométrica \(3, 6, 12, 24, 48, 96, …\)
- Contestar
-
\(3,145,725\)
Encuentra la suma de los primeros \(20\) términos de la secuencia geométrica \(6, 18, 54, 162, 486, 1,458, …\)
- Contestar
-
\(10,460,353,200\)
En el siguiente ejemplo, se nos da la suma en notación de suma. Si bien agregar todos los términos podría ser posible, la mayoría de las veces es más fácil usar la fórmula para encontrar la suma de los primeros \(n\) términos.
Para usar la fórmula, necesitamos \(r\). Podemos encontrarlo escribiendo los primeros términos de la secuencia y encontrar su relación. Otra opción es darse cuenta de que en la notación de suma, se escribe una secuencia en la forma \(\sum_{i=1}^{k} a(r)^{i}\), donde \(r\) está la relación común.
Encuentra la suma: \(\sum_{i=1}^{15} 2(3)^{i}\).
Solución:
Para encontrar la suma, utilizaremos la fórmula \(S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\), que requiere \(a_{1}\) y \(r\). Escribiremos algunos de los términos, para que podamos obtener la información necesaria.
| Escribe los primeros términos. | |
| Identificar \(a_{1}\). | |
| Encuentra la relación común. | |
| Sabiendo \(a_{1}=6\), \(r=3\), y \(n=15\), utilizar la fórmula de suma. | |
| Sustituir en los valores. | |
| Simplificar. |
Encuentra la suma: \(\sum_{i=1}^{15} 6(2)^{i}\).
- Contestar
-
\(393,204\)
Encuentra la suma: \(\sum_{i=1}^{10} 5(2)^{i}\).
- Contestar
-
\(10,230\)
Encuentra la suma de una serie geométrica infinita
Si tomamos una secuencia geométrica y agregamos los términos, tenemos una suma que se llama serie geométrica. Una serie geométrica infinita es una suma infinita cuyo primer término es \(a_{1}\) y relación común es \(r\) y está escrito
\(a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+\ldots+a_{1} r^{n-1}+\ldots\)
Una serie geométrica infinita es una suma infinita cuyo primer término es \(a_{1}\) y relación común es \(r\) y está escrito
\(a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+\ldots+a_{1} r^{n-1}+\dots\)
Sabemos encontrar la suma de los primeros \(n\) términos de una serie geométrica utilizando la fórmula, \(S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\). Pero, ¿cómo encontramos la suma de una suma infinita?
Echemos un vistazo a las infinitas series geométricas \(3+6+12+24+48+96+….\). Cada término se hace cada vez más grande por lo que tiene sentido que la suma del número infinito de términos se haga más grande. Echemos un vistazo a algunas sumas parciales para esta serie. Vemos \(a_{1}=3\) y \(r=2\)
\(\begin{array}{lll}{S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}} & {S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}} & {S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}}\\ {S_{10}=\frac{3\left(1-2^{10}\right)}{1-2}} & {S_{30}=\frac{3\left(1-2^{30}\right)}{1-2}} & {S_{50}=\frac{3\left(1-2^{50}\right)}{1-2}} \\ {S_{10}=3,069} & {S_{30}=3,221,225,469} & {S_{50}\approx 3.38 \times 10^{15}}\end{array}\)
A medida \(n\) que se hace más grande y más grande, la suma se hace cada vez más grande. Esto es cierto cuando \(|r|≥1\) y llamamos a la serie divergente. No podemos encontrar una suma de una serie geométrica infinita cuando \(|r|≥1\).
Veamos una serie geométrica infinita cuya relación común es una fracción menor que uno,
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\). Aquí los términos se hacen cada vez más pequeños a medida que \(n\) se hacen más grandes. Echemos un vistazo a algunas sumas finitas para esta serie. Vemos \(a_{1}=\frac{1}{2}\) y \(r=\frac{1}{2}\).
\(\begin{array}{lll}{S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}} & {S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}} & {S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}}\\ {S_{10}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}^{10}\right)}{1-\frac{1}{2}}} & {S_{20}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}^{20}\right)}{1-\frac{1}{2}}} & {S_{30}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}^{30}\right)}{1-\frac{1}{2}}} \\ {S_{10}\approx 0.9990234375} & {S_{20}\approx 0.9999990463} & {S_{30}\approx 0.9999999991}\end{array}\)
Observe que la suma se hace cada vez más grande pero también se acerca cada vez más a uno. Cuando \(|r|<1\), la expresión \(r^{n}\) se hace cada vez más pequeña. En este caso, llamamos a la serie convergente. A medida que se \(n\) acerca al infinito, (se vuelve infinitamente grande), \(r^{n}\) se acerca cada vez más a cero. En nuestra fórmula de suma, podemos reemplazar el \(r^{n}\) por cero y luego obtenemos una fórmula para la suma, \(S\), para una serie geométrica infinita cuando \(|r|<1\).
\(\begin{aligned} S_{n} &=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \\ S &=\frac{a_{1}(1-0)}{1-r} \\ S &=\frac{a_{1}}{1-r} \end{aligned}\)
Esta fórmula nos da la suma de la secuencia geométrica infinita. Observe que el \(S\) no tiene el subíndice \(n\) \(S_{n}\) como en ya que no estamos agregando un número finito de términos.
Para una serie geométrica infinita cuyo primer término es \(a_{1}\) y relación común \(r\),
Si \(|r|<1\), la suma es
\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)
Si \(|r|≥1\), la serie geométrica infinita no tiene una suma. Decimos que la serie diverge.
Encuentra la suma de la serie geométrica infinita \(54+18+6+2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\ldots\)
Solución:
Para encontrar la suma, primero tenemos que verificar que la relación común \(|r|<1\) y luego podemos usar la fórmula de suma \(S=\frac{a_{1}}{1-r}\).
Encuentra la relación común.
\(\begin{array}{ll}{r=\frac{18}{54}} & {r=\frac{6}{18} \dots} \\ {r=\frac{1}{3}} & {r=\frac{1}{3} \quad|r|<1}\end{array}\)
Identificar \(a_{1}\).
\(a_{1}=54\)
Sabiendo \(a_{1}=54, r=\frac{1}{3}\), usa la fórmula de suma.
\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)
Sustituir en los valores.
\(S=\frac{54}{1-\frac{1}{3}}\)
Simplificar.
\(S=81\)
Respuesta:
\(S=80\)
Encuentra la suma de la serie geométrica infinita \(48+24+12+6+3+\frac{3}{2}+\dots\)
- Contestar
-
\(96\)
Encuentra la suma de la serie geométrica infinita \(64+16+4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\dots\)
- Contestar
-
\(\frac{256}{3}\)
Un uso interesante de series geométricas infinitas es escribir un decimal repetitivo como fracción.
Escribe el decimal repetitivo \(0.5\) como fracción.
Solución:
Reescribe el \(0.5\) mostrando los cinco que se repiten. Use el valor posicional para reescribir esto como una suma. Se trata de una serie geométrica infinita.
0.55555555555\(\ldots\)
\(0.5+0.05+0.005+0.0005+\dots\)
Encuentra la relación común.
\(\begin{array}{ll}{r=\frac{0.05}{0.5}} & {r=\frac{0.005}{0.05} \dots} \\ {r=0.1} & {r=0.1 \quad|r|<1}\end{array}\)
Identificar \(a_{1}\)
\(a_{1}=0.5\)
Sabiendo \(a_{1}=0.5 ,r=0.1\), usa la fórmula de suma.
\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)
Sustituir en los valores.
\(S=\frac{0.5}{1-0.1}\)
Simplificar.
\(S=\frac{0.5}{0.9}\)
Multiplica el numerador y el denominador por \(10\).
\(S=\frac{5}{9}\)
Se nos pide que encontremos la forma fraccionaria.
\(0.5 = \frac{5}{9}\)
Escribe el decimal repetitivo \(0.4\) como fracción.
- Contestar
-
\(\frac{4}{9}\)
Escribe el decimal repetitivo \(0.8\) como fracción.
- Contestar
-
\(\frac{8}{9}\)
Aplicar secuencias geométricas y series en el mundo real
Una aplicación de secuencias geométricas tiene que ver con el gasto del consumidor. Si se le da un descuento fiscal a cada hogar, el efecto en la economía es muchas veces el monto de la devolución individual.
El gobierno ha decidido dar una rebaja de\(1,000\) impuestos de $ a cada hogar con el fin de estimular la economía. Las estadísticas gubernamentales dicen que cada hogar gastará \(80\)% de la rebaja en bienes y servicios. Los negocios e individuos que se beneficiaron de ese \(80\)% pasarán entonces \(80\)% de lo que recibieron y así sucesivamente. El resultado se llama efecto multiplicador. ¿Cuál es el efecto total del rebaja en la economía?
Solución:
Cada vez que el dinero entra a la economía, \(80\)% de él se gasta y luego se gasta en la economía. Nuevamente, \(80\)% de este dinero se gasta nuevamente en la economía. Esta situación continúa y así nos lleva a una serie geométrica infinita.
\(1000+1000(0.8)+1000(0.8)^{2}+\ldots\)
Aquí el primer término es \(1,000, a_{1}=1000\). La relación común es \(0.8, r=0.8\). Podemos evaluar esta suma desde \(0.8<1\). Usamos la fórmula para la suma en una serie geométrica infinita.
\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)
Sustituir en los valores, \(a_{1}=1,000\) y \(r=0.8\).
\(S=\frac{1,000}{1-0.8}\)
Evaluar.
\(S=5,000\)
Respuesta:
El efecto total de los $\(1,000\) recibidos por cada hogar será un\(5,000\) crecimiento de $ en la economía.
¿Cuál es el efecto total en la economía de una rebaja de impuestos gubernamentales de $\(1,000\) a cada hogar con el fin de estimular la economía si cada hogar gastará \(90\)% de la rebaja en bienes y servicios?
- Contestar
-
$\(10,000\)
¿Cuál es el efecto total en la economía de una rebaja de impuestos gubernamentales de $\(500\) a cada hogar con el fin de estimular la economía si cada hogar gastará \(85\)% de la rebaja en bienes y servicios?
- Contestar
-
$\(3,333.33\)
Hemos mirado una fórmula de interés compuesto donde un principal, \(P\), se invierte a una tasa de interés, \(r\), durante \(t\) años. El nuevo saldo, \(A\), es \(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\) cuando los intereses se agravan \(n\) veces al año. Esta fórmula se aplica cuando se invirtió una suma global por adelantado y nos indica el valor después de cierto período de tiempo.
Una anualidad es una inversión que es una secuencia de depósitos periódicos iguales. Estaremos buscando anualidades que paguen los intereses al momento de los depósitos. A medida que desarrollamos la fórmula para el valor de una anualidad, vamos a dejar \(n=1\). Eso significa que hay un depósito por año.
\(\begin{aligned} &A =P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t} \\ \text { Let } n=1 .\quad & A=P\left(1+\frac{r}{1}\right)^{1 t} \\ \text { Simplify. }\quad & A=P(1+r)^{t} \end{aligned}\)
Supongamos que los \(P\) dólares se invierten al final de cada año. Un año después ese depósito vale \(P(1+r)^{1}\) dólares, y otro año después vale \(P(1+r)^{2}\) dólares. Después de \(t\) años, valdrá \(P(1+r)^{t}\) dólares.
| Fin de año \(1\) | Fin de año \(2\) | Fin de año \(3\) | |
|---|---|---|---|
| Primer Depósito \(P\) @ fin de año \(1\) | \ (1\) ">\(P\) | \ (2\) ">Importe \(1\) año después \(P(1+r)^{1}\) | \ (3\) ">Monto \(2\) años después \(P(1+r)^{2}\) |
| \(2\)nd Depósito \(P\) @ fin de año \(2\) | \ (1\) "> | \ (2\) ">\(P\) | \ (3\) ">Importe \(1\) año después \(P(1+r)^{1}\) |
| \(3\)rd Deposito \(P\) @ fin de año \(3\) | \ (1\) "> | \ (2\) "> | \ (3\) ">\(P\) |
Después de tres años, el valor de la anualidad es
Esto es una suma de los términos de una secuencia geométrica donde está el primer término \(P\) y la relación común es \(1+r\). Sustituimos estos valores en la fórmula de suma. Ten cuidado, tenemos dos usos diferentes de \(r\). El \(r\) en la fórmula de suma es la relación común de la secuencia. En este caso, ahí es \(1+r\) donde \(r\) está la tasa de interés.
\(\begin{aligned} &S_{t} =\frac{a_{1}\left(1-r^{t}\right)}{1-r} \\ \text { Substitute in the values. }\quad & S_{t}=\frac{P\left(1-(1+r)^{t}\right)}{1-(1+r)} \\ \text { Simplify. }\quad & S_{t} =\frac{P\left(1-(1+r)^{t}\right)}{-r} \\ &S_{t} =\frac{P\left((1+r)^{t}-1\right)}{r} \end{aligned}\)
Recuerda que nuestra premisa era que se realizaba un depósito al final de cada año.
Podemos adaptar esta fórmula para \(n\) los depósitos realizados por año y el interés se complica \(n\) veces al año.
Para un principal, \(P\), invertido al final de un periodo compuesto, con una tasa de interés, \(r\), que se compone \(n\) veces al año, el nuevo saldo, \(A\), después de \(t\) años, es
\(A_{t}=\frac{P\left(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}-1\right)}{\frac{r}{n}}\)
Los nuevos padres deciden invertir $\(100\) al mes en una anualidad para su hijita. La cuenta pagará \(5\)% de interés anual el cual se agrava mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de la niña a los dieciocho años?
Solución:
Para encontrar la fórmula de Anualidad \(A_{t}=\frac{P\left(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}-1\right)}{\frac{r}{n}}\),, necesitamos identificar \(P, r, n\), y \(t\).
Identificar \(P\), el monto invertido cada mes.
\(P=100\)
Identificar \(r\), la tasa de interés anual, en forma decimal.
\(r=0.05\)
Identificar \(n\), el número de veces que se realizará el depósito y los intereses compuestos cada año.
\(n=12\)
Identificar \(t\), el número de años.
\(t=18\)
Conocer \(P=100, r=0.05, n=12\) y \(t=18\), utilizar la fórmula de suma.
\(A_{t}=\frac{P\left(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}-1\right)}{\frac{r}{n}}\)
Sustituir en los valores.
\(A_{t}=\frac{100\left(\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{12.18}-1\right)}{\frac{0.05}{12}}\)
Utilice la calculadora para evaluar. Asegúrese de usar paréntesis según sea necesario.
\(A_{t}=34.920 .20\)
Respuesta:
El niño tendrá $\(34,920.20\)
Los nuevos abuelos deciden invertir $\(200\) al mes en una anualidad para su nieto. La cuenta pagará \(5\)% de interés anual el cual se agrava mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta del niño en su vigésimo primer cumpleaños?
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$\(88,868.36\)
Arturo acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la universidad a la edad \(27\). Decidió invertir $\(200\) al mes en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es de \(8\)%, el cual se compone mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de Arturo cuando se retire en su sexagésimo séptimo cumpleaños?
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$\(698,201.57\)
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Conceptos Clave
- Término General (\(n\)th term) de una Secuencia Geométrica: El término general de una secuencia geométrica con primer término \(a_{1}\) y la relación común \(r\) es
\(a_{n}=a_{1} r^{n-1}\)
- Suma de los primeros \(n\) términos de una serie geométrica: La suma, \(S_{n}\), de los \(n\) términos de una secuencia geométrica es
\(S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\)
donde \(a_{1}\) es el primer término y \(r\) es la relación común. Serie geométrica infinita: Una serie geométrica infinita es una suma infinita cuyo primer término es \(a_{1}\) y relación común es \(r\) y está escrito\(a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+\ldots+a_{1} r^{n-1}+\ldots\)
- Suma de una serie geométrica infinita: Para una serie geométrica infinita cuyo primer término es \(a_{1}\) y relación común \(r\),
Si \(|r|<1\), la suma es
\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)
Decimos que la serie converge.
Si \(|r|≥1\), la serie geométrica infinita no tiene una suma. Decimos que la serie diverge.
- Valor de una Anualidad con Interés Compuesto \(n\) Veces al Año: Para un principal \(P\),, invertido al final de un periodo compuesto, con una tasa de interés, \(r\), que se compone \(n\) veces al año, el nuevo saldo, \(A\), después \(t\) años, es
\(A_{t}=\frac{P\left(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}-1\right)}{\frac{r}{n}}\)
Glosario
- anualidad
- Una anualidad es una inversión que es una secuencia de depósitos periódicos iguales.
- relación común
- La relación entre términos consecutivos en una secuencia geométrica \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\), \(r\), es, la relación común, donde \(r\) mayor o igual a dos.
- secuencia geométrica
- Una secuencia geométrica es una secuencia donde la relación entre términos consecutivos es siempre la misma
- serie geométrica infinita
- Una serie geométrica infinita es una secuencia geométrica infinita suma infinita.