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4.11: Resolver ecuaciones simultáneas- El método de sustitución y el método de adición

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    ¿Qué son las ecuaciones simultáneas y los sistemas de ecuaciones?

    Los términos ecuaciones simultáneas y sistemas de ecuaciones se refieren a condiciones donde dos o más variables desconocidas se relacionan entre sí a través de un número igual de ecuaciones.

    Ejemplo:

    11068.png

    Para este conjunto de ecuaciones, no hay más que una sola combinación de valores para x e y que satisfará a ambos. Cualquiera de las dos ecuaciones, consideradas por separado, tiene infinitud de soluciones válidas (x, y), pero juntas sólo hay una. Trazada en una gráfica, esta condición se vuelve obvia:

    11069.png

    Cada línea es en realidad un continuo de puntos que representan posibles pares de soluciones x e y para cada ecuación. Cada ecuación, por separado, tiene un número infinito de soluciones de pares ordenados (x, y). Solo hay un punto donde las dos funciones lineales x + y = 24 y 2x - y = -6 se cruzan (donde una de sus muchas soluciones independientes resulta funcionar para ambas ecuaciones), y es ahí donde x es igual a un valor de 6 e y es igual a un valor de 18.

    Por lo general, sin embargo, la gráfica no es una forma muy eficiente de determinar el conjunto de soluciones simultáneas para dos o más ecuaciones. Es especialmente poco práctico para sistemas de tres o más variables. En un sistema de tres variables, por ejemplo, la solución se encontraría por la intersección puntual de tres planos en un espacio de coordenadas tridimensional, no un escenario fácil de visualizar.

    Resolver ecuaciones simultáneas usando el método de sustitución

    Existen varias técnicas algebraicas para resolver ecuaciones simultáneas. Quizás el más fácil de comprender es el método de sustitución.

    Tomemos, por ejemplo, nuestro problema de ejemplo de dos variables:

    11068 (1) .png

    En el método de sustitución, manipulamos una de las ecuaciones de tal manera que una variable se define en términos de la otra:

    11070 (1) .png

    Entonces, tomamos esta nueva definición de una variable y la sustituimos por la misma variable en la otra ecuación. En este caso, tomamos la definición de y, que es 24 - x y sustituimos esto por el término y que se encuentra en la otra ecuación:

    11071.webp

    Ahora que tenemos una ecuación con una sola variable (x), podemos resolverla usando técnicas algebraicas “normales”:

    11072.png

    Ahora que se conoce x, podemos enchufar este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y obtener un valor para y. O, para salvarnos algo de trabajo, podemos enchufar este valor (6) en la ecuación que acabamos de generar para definir y en términos de x, siendo que ya está en una forma a resolver para y:

    11073.png

    Aplicar el método de sustitución a sistemas de tres o más variables implica un patrón similar, solo que con más trabajo involucrado. Esto es generalmente cierto para cualquier método de solución: el número de pasos requeridos para obtener soluciones aumenta rápidamente con cada variable adicional en el sistema.

    Para resolver tres variables desconocidas, necesitamos al menos tres ecuaciones. Considera este ejemplo:

    11074.png

    Siendo que la primera ecuación tiene los coeficientes más simples (1, -1, y 1, para x, y y z, respectivamente), parece lógico utilizarla para desarrollar una definición de una variable en términos de las otras dos. En este ejemplo, voy a resolver para x en términos de y y z:

    11075.png

    Ahora, podemos sustituir esta definición de x donde x aparece en las otras dos ecuaciones:

    11076.png

    Reduciendo estas dos ecuaciones a sus formas más simples:

    11077.png

    Hasta el momento, nuestros esfuerzos han reducido el sistema de tres variables en tres ecuaciones a dos variables en dos ecuaciones. Ahora, podemos aplicar nuevamente la técnica de sustitución a las dos ecuaciones 4y - z = 4 y -3y + 4z = 36 para resolver ya sea para y o z. Primero, manipularé la primera ecuación para definir z en términos de y:

    11078.png

    A continuación, sustituiremos esta definición de z en términos de y donde vemos z en la otra ecuación:

    11079.png

    Ahora que y es un valor conocido, podemos conectarlo a la ecuación que define z en términos de y y obtener una cifra para z:

    11080.png

    Ahora, con valores para y y z conocidos, podemos conectarlos a la ecuación donde definimos x en términos de y y z, para obtener un valor para x:

    11081.png

    Para terminar, hemos encontrado valores para x, y y z de 2, 4 y 12, respectivamente, que satisfacen las tres ecuaciones.

    Resolver ecuaciones simultáneas usando el método de adición

    Si bien el método de sustitución puede ser el más fácil de comprender a nivel conceptual, existen otros métodos de solución disponibles para nosotros. Uno de esos métodos es el llamado método de adición, mediante el cual las ecuaciones se agregan entre sí con el propósito de cancelar términos variables.

    Tomemos nuestro sistema de dos variables utilizado para demostrar el método de sustitución:

    11068 (2) .png

    Una de las reglas más utilizadas del álgebra es que puedes realizar cualquier operación aritmética que desees a una ecuación siempre y cuando la hagas por igual a ambos lados. Con referencia a la suma, esto significa que podemos agregar cualquier cantidad que queramos a ambos lados de una ecuación, siempre y cuando sea la misma cantidad, sin alterar la verdad de la ecuación.

    Una opción que tenemos, entonces, es sumar los lados correspondientes de las ecuaciones juntos para formar una nueva ecuación. Dado que cada ecuación es una expresión de igualdad (la misma cantidad a cada lado del signo =), sumar el lado izquierdo de una ecuación al lado izquierdo de la otra ecuación es válido siempre y cuando también sumemos los lados derecho de las dos ecuaciones. En nuestro conjunto de ecuaciones de ejemplo, por ejemplo, podemos agregar x + y a 2x - y, y sumar 24 y -6 juntos también para formar una nueva ecuación. ¿Qué beneficio tiene esto para nosotros? Examine lo que sucede cuando hacemos esto a nuestro conjunto de ecuaciones de ejemplo:

    11082.png

    Debido a que la ecuación superior pasó a contener un término y positivo mientras que la ecuación inferior pasó a contener un término y negativo, estos dos términos se cancelaron entre sí en el proceso de suma, sin dejar término y en la suma. Lo que nos queda es una nueva ecuación, pero una con una sola variable desconocida, ¡x! Esto nos permite resolver fácilmente por el valor de x:

    11083.png

    Una vez que tenemos un valor conocido para x, por supuesto, determinar el valor de y es simplemente cuestión de sustitución (reemplazando x por el número 6) en una de las ecuaciones originales. En este ejemplo, la técnica de sumar las ecuaciones funcionó bien para producir una ecuación con una sola variable desconocida. ¿Y un ejemplo donde las cosas no son tan simples? Considere el siguiente conjunto de ecuaciones:

    11084.png

    Podríamos sumar estas dos ecuaciones juntas, siendo esta una operación algebraica completamente válida, pero no nos beneficiaría en el objetivo de obtener valores para x e y:

    11085.png

    La ecuación resultante todavía contiene dos variables desconocidas, al igual que lo hacen las ecuaciones originales, y así no estamos más lejos en la obtención de una solución. Sin embargo, ¿y si pudiéramos manipular una de las ecuaciones para tener un término negativo que cancelara el término respectivo en la otra ecuación cuando se agregara? Entonces, el sistema se reduciría a una sola ecuación con una sola variable desconocida al igual que con el último ejemplo (fortuito).

    Si tan solo pudiéramos convertir el término y en la ecuación inferior en un término - 2y, de modo que cuando se sumaran las dos ecuaciones, ambos términos y en las ecuaciones se cancelarían, dejándonos solo con un término x, esto nos acercaría a una solución. Afortunadamente, esto no es difícil de hacer. Si multiplicamos todos y cada uno de los términos de la ecuación inferior por un -2, producirá el resultado que buscamos:

    11086.png

    Ahora, podemos agregar esta nueva ecuación a la ecuación original, superior:

    11087.png

    Resolviendo para x, obtenemos un valor de 3:

    11088.png

    Sustituyendo este nuevo valor encontrado por x en una de las ecuaciones originales, el valor de y se determina fácilmente:

    11089.png

    El uso de esta técnica de solución en un sistema de tres variables es un poco más complejo. Al igual que con la sustitución, se debe utilizar esta técnica para reducir el sistema de tres ecuaciones de tres variables a dos ecuaciones con dos variables, luego aplicarla nuevamente para obtener una sola ecuación con una variable desconocida. Para demostrarlo, usaré el sistema de ecuaciones de tres variables de la sección de sustitución:

    11074 (1) .png

    Siendo que la ecuación superior tiene valores de coeficiente de 1 para cada variable, será una ecuación fácil de manipular y usar como herramienta de cancelación. Por ejemplo, si queremos cancelar el término 3x de la ecuación media, todo lo que necesitamos hacer es tomar la ecuación superior, multiplicar cada uno de sus términos por -3, luego agregarlo a la ecuación media así:

    11090.png

    Podemos librar la ecuación inferior de su término -5x de la misma manera: tomar la ecuación superior original, multiplicar cada uno de sus términos por 5, luego agregar esa ecuación modificada a la ecuación inferior, dejando una nueva ecuación con solo términos y y z:

    11091.png

    En este punto, tenemos dos ecuaciones con las mismas dos variables desconocidas, y y z:

    11092.png

    Por inspección, debería ser evidente que el término -z de la ecuación superior podría aprovecharse para cancelar el término 4z en la ecuación inferior si solo multiplicamos cada término de la ecuación superior por 4 y sumamos las dos ecuaciones juntas:

    11093.png

    Tomando la nueva ecuación 13y = 52 y resolviendo para y (dividiendo ambos lados por 13), obtenemos un valor de 4 para y. Sustituir este valor de 4 por y en cualquiera de las ecuaciones de dos variables nos permite resolver para z. Sustituir ambos valores de y y z en cualquiera de las ecuaciones originales de tres variables nos permite resolver para x. El resultado final (¡te ahorraré los pasos algebraicos ya que ya deberías estar familiarizado con ellos!) es que x = 2, y = 4, y z = 12.


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