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2.1: Introducción a los números complejos

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    Si necesitara describir la distancia entre dos ciudades, podría dar una respuesta consistente en un solo número en millas, kilómetros o alguna otra unidad de medida lineal. No obstante, si tuviera que describir cómo viajar de una ciudad a otra, tendría que proporcionar más información que solo la distancia entre esas dos ciudades; también tendría que proporcionar información sobre la dirección a recorrer, también.

    El tipo de información que expresa una sola dimensión, como la distancia lineal, se denomina cantidad escalar en matemáticas. Los números escalares son el tipo de números que has usado en la mayoría de tus aplicaciones matemáticas hasta ahora. El voltaje producido por una batería, por ejemplo, es una cantidad escalar. Así es la resistencia de un trozo de cable (ohmios), o la corriente a través de él (amperios).

    Sin embargo, cuando comenzamos a analizar los circuitos de corriente alterna, encontramos que las cantidades de voltaje, corriente e incluso resistencia (llamada impedancia en CA) no son las cantidades unidimensionales familiares que estamos acostumbrados a medir en circuitos de CC. Más bien, estas cantidades, por ser dinámicas (alternando en dirección y amplitud), poseen otras dimensiones que deben tenerse en cuenta. La frecuencia y el desplazamiento de fase son dos de estas dimensiones que entran en juego. Incluso con circuitos de CA relativamente simples, donde solo estamos tratando con una sola frecuencia, todavía tenemos la dimensión de desplazamiento de fase con la que lidiar además de la amplitud.

    Para analizar con éxito los circuitos de CA, necesitamos trabajar con objetos matemáticos y técnicas capaces de representar estas cantidades multidimensionales. Aquí es donde tenemos que abandonar los números escalares por algo más adecuado: los números complejos. Al igual que el ejemplo de dar indicaciones de una ciudad a otra, las cantidades de CA en un circuito de frecuencia única tienen tanto amplitud (analogía: distancia) como desplazamiento de fase (analogía: dirección). Un número complejo es una sola cantidad matemática capaz de expresar estas dos dimensiones de amplitud y desplazamiento de fase a la vez.

    Los números complejos son más fáciles de entender cuando se representan gráficamente. Si dibujo una línea con cierta longitud (magnitud) y ángulo (dirección), tengo una representación gráfica de un número complejo que se conoce comúnmente en física como vector: (Figura a continuación)

    02025.png

    Un vector tiene tanto magnitud como dirección.

    Al igual que las distancias y las indicaciones en un mapa, debe haber algún marco de referencia común para que las figuras angulares tengan algún significado. En este caso, directamente a la derecha se considera 0 o, y los ángulos se cuentan en una dirección positiva en sentido contrario a las agujas del reloj: (Figura a continuación)

    02026.png

    La brújula vectorial

    La idea de representar un número en forma gráfica no es nada nuevo. Todos aprendimos esto en la escuela primaria con la “línea numérica”: (Figura abajo)

    02027.png

    Línea numérica.

    Incluso aprendimos cómo funciona la suma y la resta al ver cómo se apilan las longitudes (magnitudes) para dar una respuesta final: (Figura a continuación)

    02028.png

    Suma en una “línea numérica”.

    Posteriormente, aprendimos que había formas de designar los valores entre los números enteros marcados en la línea. Estas fueron cantidades fraccionarias o decimales: (Figura a continuación)

    02029.png

    Localizar una fracción en la “línea numérica”

    Más tarde, sin embargo, nos enteramos de que la recta numérica podría extenderse también a la izquierda de cero: (Figura abajo)

    02030.png

    “Línea numérica” muestra números tanto positivos como negativos.

    Estos campos de números (enteros, enteros, racionales, irracionales, reales, etc.) aprendidos en la escuela primaria comparten un rasgo común: todos son unidimensionales. La rectitud de la recta numérica ilustra esto gráficamente. Se puede mover hacia arriba o hacia abajo en la recta numérica, pero todo el “movimiento” a lo largo de esa línea está restringido a un solo eje (horizontal). Los números escalares unidimensionales son perfectamente adecuados para contar cuentas, representar el peso o medir el voltaje de la batería de CC, pero no logran representar algo más complejo como la distancia y dirección entre dos ciudades, o la amplitud y fase de una CA forma de onda. Para representar este tipo de cantidades, necesitamos representaciones multidimensionales. En otras palabras, necesitamos una línea numérica que pueda apuntar en diferentes direcciones, y eso es exactamente lo que es un vector.

    • REVISIÓN:

    Un número escalar es el tipo de objeto matemático que las personas están acostumbradas a usar en la vida cotidiana: una cantidad unidimensional como temperatura, longitud, peso, etc.

    Un número complejo es una cantidad matemática que representa dos dimensiones de magnitud y dirección.

    Un vector es una representación gráfica de un número complejo. Parece una flecha, con un punto de partida, una punta, una longitud definida y una dirección definida. A veces la palabra fasor se usa en aplicaciones eléctricas donde el ángulo del vector representa el desplazamiento de fase entre formas de onda.


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