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2.5: Notación de forma polar y forma rectangular para números complejos

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    Para trabajar con números complejos sin dibujar vectores, primero necesitamos algún tipo de notación matemática estándar. Existen dos formas básicas de notación numérica compleja: polar y rectangular.

    Forma polar de un número complejo

    La forma polar es donde un número complejo se denota por la longitud (también conocida como la magnitud, valor absoluto o módulo) y el ángulo de su vector (generalmente denotado por un símbolo de ángulo que se ve así:).

    Para usar la analogía del mapa, la notación polar para el vector de la ciudad de Nueva York a San Diego sería algo así como “2400 millas, suroeste”. Aquí hay dos ejemplos de vectores y sus notaciones polares:

    02041.png

    Vectores con notaciones polares.

    La orientación estándar para los ángulos vectoriales en los cálculos de circuitos de CA define 0 o como estar a la derecha (horizontal), haciendo 90 o recto hacia arriba, 180 o a la izquierda y 270 o recto hacia abajo. Tenga en cuenta que los vectores en ángulo “hacia abajo” pueden tener ángulos representados en forma polar como números positivos superiores a 180, o números negativos menores a 180. Por ejemplo, también se puede decir que un vector angulado 270 o (recto hacia abajo) tiene un ángulo de -90 o. (Figura abajo) El vector anterior a la derecha (7.81 230.19 o) también se puede denotar como 7.81 -129.81 o.

    02026.png

    La brújula vectorial

    Forma rectangular de un número complejo

    La forma rectangular, por otro lado, es donde un número complejo se denota por sus respectivos componentes horizontales y verticales. En esencia, el vector en ángulo se toma como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, descrito por las longitudes de los lados adyacentes y opuestos. En lugar de describir la longitud y dirección de un vector denotando magnitud y ángulo, se describe en términos de “qué tan lejos izquierda/derecha” y “qué tan arriba/abajo”.

    Estas figuras bidimensionales (horizontal y vertical) están simbolizadas por dos figuras numéricas. Para distinguir las dimensiones horizontal y vertical entre sí, la vertical se prefija con una “i” minúscula (en matemáticas puras) o “j” (en electrónica). Estas letras minúsculas no representan una variable física (como la corriente instantánea, también simbolizada por una letra minúscula “i”), sino que son operadores matemáticos utilizados para distinguir la componente vertical del vector de su componente horizontal. Como un número complejo completo, las cantidades horizontal y vertical se escriben como una suma: (Figura a continuación)

    02042.png

    En forma “rectangular” la longitud y dirección del vector se denotan en términos de su lapso horizontal y vertical, representando el primer número la horizontal (“real”) y el segundo número (con el prefijo “j”) las dimensiones verticales (“imaginarias”).

    El componente horizontal es referido como el componente real, ya que esa dimensión es compatible con números normales, escalares (“reales”). El componente vertical es referido como el componente imaginario, ya que esa dimensión se encuentra en una dirección diferente, totalmente ajena a la escala de los números reales. (Figura abajo)

    02043.png

    Vector brújula que muestra ejes reales e imaginarios

    El eje “real” de la gráfica corresponde a la línea numérica familiar que vimos anteriormente: la que tiene valores tanto positivos como negativos en ella. El eje “imaginario” de la gráfica corresponde a otra recta numérica situada a 90 o a la “real”. Siendo vectores cosas bidimensionales, debemos tener un “mapa” bidimensional sobre el que expresarlos, así las dos líneas numéricas perpendiculares entre sí: (Figura abajo)

    02044.png

    Brújula vectorial con líneas numéricas reales e imaginarias (“j”).

    Conversión de Forma Polar a Forma Rectangular

    Cualquiera de los dos métodos de notación es válido para números complejos. La razón principal para tener dos métodos de notación es la facilidad de cálculo de la banda larga, la forma rectangular que se presta a la suma y la resta, y la forma polar que se presta a la multiplicación y división. La conversión entre las dos formas notacionales implica trigonometría simple. Para convertir de polar a rectangular, encuentra el componente real multiplicando la magnitud polar por el coseno del ángulo, y el componente imaginario multiplicando la magnitud polar por el seno del ángulo. Esto puede entenderse más fácilmente dibujando las cantidades como lados de un triángulo rectángulo, representando la hipotenusa del triángulo el vector mismo (su longitud y ángulo con respecto a la horizontal que constituye la forma polar), representando los lados horizontal y vertical lo “real” e “imaginario” componentes rectangulares, respectivamente: (Figura abajo)

    02045.png

    Vector de magnitud en términos de componentes reales (4) e imaginarios (j3).

    12005.png

    Conversión de Forma Rectangular a Forma Polar

    Para convertir de rectangular a polar, encuentra la magnitud polar mediante el uso del Teorema de Pitágoras (la magnitud polar es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y los componentes real e imaginario son los lados adyacentes y opuestos, respectivamente), y el ángulo tomando el arcoangente del imaginario componente dividido por el componente real:

    12006.png

    Revisar

    • La notación polar denota un número complejo en términos de la longitud de su vector y la dirección angular desde el punto de partida. Ejemplo: volar 45 millas 203 o (Oeste por Sudoeste).
    • La notación rectangular denota un número complejo en términos de sus dimensiones horizontal y vertical. Ejemplo: conducir 41 millas al oeste, luego girar y conducir 18 millas al sur.
    • En notación rectangular, la primera cantidad es el componente “real” (dimensión horizontal del vector) y la segunda cantidad es el componente “imaginario” (dimensión vertical del vector). El componente imaginario está precedido por una “j” minúscula, a veces llamada operador j.
    • Tanto las formas polares como rectangulares de notación para un número complejo pueden relacionarse gráficamente en forma de triángulo rectángulo, con la hipotenusa representando el vector mismo (forma polar: hipotenusa longitud = magnitud; ángulo con respecto al lado horizontal = ángulo), representando el lado horizontal el componente rectangular “real”, y el lado vertical que representa el componente rectangular “imaginario”.

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