8.4: Más sobre análisis de espectro

El análisis computarizado de Fourier, particularmente en la forma del algoritmo FFT, es una herramienta poderosa para profundizar en nuestra comprensión de las formas de onda y sus componentes espectrales relacionados. Esta misma rutina matemática programada en el simulador SPICE como la opción.fourier también se programa en una variedad de instrumentos de prueba electrónicos para realizar análisis de Fourier en tiempo real en señales medidas. Esta sección está dedicada al uso de tales herramientas y al análisis de varias formas de onda diferentes.

Primero tenemos una onda sinusoidal simple a una frecuencia de 523.25 Hz. Este valor de frecuencia particular es un tono “C” en un teclado de piano, una octava por encima de “C media”. En realidad, la señal medida para esta demostración fue creada por un conjunto de teclado electrónico para producir el tono de una panflauta, el instrumento más cercano “voz” que pude encontrar parecido a una onda sinusoidal perfecta. La gráfica a continuación se tomó de una pantalla de osciloscopio, mostrando la amplitud de la señal (voltaje) a lo largo del tiempo: (Figura a continuación)

Pantalla del osciloscopio: voltaje vs tiempo.

Visto con un osciloscopio, una onda sinusoidal parece una curva ondulada trazada horizontalmente en la pantalla. El eje horizontal de esta pantalla de osciloscopio está marcado con la palabra “Tiempo” y una flecha apuntando en la dirección de la progresión del tiempo. La propia curva, por supuesto, representa el incremento cíclico y la disminución del voltaje a lo largo del tiempo.

La observación cercana revela imperfecciones en la forma de la onda sinusoidal. Esto, desafortunadamente, es resultado del equipo específico utilizado para analizar la forma de onda. Características como estas debido a las peculiaridades de los equipos de prueba se conocen técnicamente como artefactos: fenómenos que existen únicamente por una peculiaridad en el equipo utilizado para realizar el experimento.

Si vemos esta misma tensión de CA en un analizador de espectro, el resultado es bastante diferente: (Figura abajo)

Pantalla del analizador de espectro: voltaje vs frecuencia.

Como puede ver, el eje horizontal de la pantalla está marcado con la palabra “Frecuencia”, que denota el dominio de esta medición. El pico único en la curva representa el predominio de una sola frecuencia dentro del rango de frecuencias cubiertas por el ancho de la pantalla. Si la escala de este instrumento analizador estuviera marcada con números, se vería que este pico ocurre a 523.25 Hz. La altura del pico representa la amplitud de la señal (voltaje).

Si mezclamos tres tonos diferentes de onda sinusoidal en el teclado electrónico (C-E-G, un acorde C-mayor) y medimos el resultado, tanto la pantalla del osciloscopio como la pantalla del analizador de espectro reflejan esta complejidad incrementada: (Figura a continuación)

Pantalla de Oficloscape: tres tonos.

La pantalla del osciloscopio (dominio del tiempo) muestra una forma de onda con muchos más picos y valles que antes, resultado directo de la mezcla de estas tres frecuencias. Como notarás, algunos de estos picos son más altos que los picos de la forma de onda de tono único original, mientras que otros son más bajos. Esto es el resultado de que las tres formas de onda diferentes se refuerzan y cancelan alternativamente entre sí a medida que sus respectivos desplazamientos de fase cambian en el tiempo.

Pantalla del analizador de espectro: tres tonos.

La visualización del espectro (dominio de frecuencia) es mucho más fácil de interpretar: cada tono está representado por su propio pico en la curva. (Figura anterior) La diferencia de altura entre estos tres picos es otro artefacto del equipo de prueba: consecuencia de limitaciones dentro del equipo utilizado para generar y analizar estas formas de onda, y no una característica necesaria del acorde musical en sí.

Como se dijo antes, el dispositivo utilizado para generar estas formas de onda es un teclado electrónico: un instrumento musical diseñado para imitar los tonos de muchos instrumentos diferentes. La “voz” panflauta fue elegida para las primeras demostraciones porque se parecía más a una onda sinusoidal pura (una sola frecuencia en la pantalla del analizador de espectro). Sin embargo, otras “voces” de instrumentos musicales no son tan simples como esta. De hecho, el tono único producido por cualquier instrumento es una función de su forma de onda (o espectro de frecuencias). Por ejemplo, veamos la señal para un tono de trompeta: (Figura abajo)

Pantalla de osciloscopio: forma de onda de un tono de trompeta.

La frecuencia fundamental de este tono es la misma que en el primer ejemplo de panflauta: 523.25 Hz, una octava por encima de “C media” La forma de onda en sí está lejos de ser una forma pura y simple de onda sinusoidal. Sabiendo que cualquier forma de onda repetitiva no sinusoidal es equivalente a una serie de formas de onda sinusoidales a diferentes amplitudes y frecuencias, deberíamos esperar ver múltiples picos en la pantalla del analizador de espectro: (Figura a continuación)

Espectro de tono de trompeta.

¡Efectivamente lo hacemos! El componente fundamental de frecuencia de 523.25 Hz está representado por el pico más a la izquierda, con cada armónico sucesivo representado como su propio pico a lo largo del ancho de la pantalla del analizador. El segundo armónico es el doble de la frecuencia del fundamental (1046.5 Hz), el tercer armónico tres veces el fundamental (1569.75 Hz), y así sucesivamente. Esta pantalla sólo muestra los seis primeros armónicos, pero hay muchos más que comprenden este tono complejo.

Probando una voz de instrumento diferente (el acordeón) en el teclado, obtenemos una gráfica de osciloscopio (dominio de tiempo) de manera similar compleja (Figura a continuación) y una pantalla de analizador de espectro (dominio de frecuencia): (Figura a continuación)

Pantalla de osciloscopio: forma de onda de tono acordeón.

Espectro de tono acordeón.

Observe las diferencias en las amplitudes armónicas relativas (alturas de pico) en las pantallas de espectro para trompeta y acordeón. Ambos tonos de instrumento contienen armónicos desde el primero (fundamental) hasta el sexto (¡y más allá!) , pero las proporciones no son las mismas. Cada instrumento tiene una “firma” armónica única a su tono. Hay que tener en cuenta que toda esta complejidad es en referencia a una sola nota tocada con estas dos “voces” instrumentales. Múltiples notas tocadas en un acordeón, por ejemplo, crearían una mezcla de frecuencias mucho más compleja que la que se ve aquí.

La potencia analítica del osciloscopio y analizador de espectro nos permite derivar reglas generales sobre las formas de onda y sus espectros armónicos a partir de ejemplos de formas de onda reales. Ya sabemos que cualquier desviación de una onda sinusoidal pura resulta en el equivalente de una mezcla de múltiples formas de onda sinusoidal a diferentes amplitudes y frecuencias. Sin embargo, la observación cercana nos permite ser más específicos que esto. Obsérvese, por ejemplo, los gráficos de tiempo (Figura a continuación) y en el dominio de frecuencia (Figura a continuación) para una forma de onda que se aproxima a una onda cuadrada:

Visualización de osciloscopio en el dominio del tiempo de una onda cuadrada

Espectro (dominio de frecuencia) de una onda cuadrada.

Según el análisis de espectro, esta forma de onda no contiene armónicos pares, solo impar. Aunque esta pantalla no muestra frecuencias más allá del sexto armónico, el patrón de armónicos impares en amplitud descendente continúa indefinidamente. Esto no debería sorprender, como ya hemos visto con SPICE que una onda cuadrada está compuesta por una infinitud de armónicos impares. Los tonos de trompeta y acordeón, sin embargo, contenían armónicos pares e impares. Esta diferencia en el contenido armónico es notable. Continuemos nuestra investigación con un análisis de una onda triangular: (Figura abajo)

Visualización de osciloscopio en el dominio del tiempo de una onda triangular.

Espectro de una onda triangular.

En esta forma de onda prácticamente no hay armónicos pares: (Figura anterior) los únicos picos de frecuencia significativos en la pantalla del analizador de espectro pertenecen a múltiplos impares de la frecuencia fundamental. Se pueden ver picos diminutos para el segundo, cuarto y sexto armónicos, pero esto se debe a las imperfecciones en esta forma de onda triangular particular (una vez más, artefactos del equipo de prueba utilizado en este análisis). Una forma de onda triangular perfecta no produce ni siquiera armónicos, al igual que una onda cuadrada perfecta. Debe ser obvio a partir de la inspección que el espectro armónico de la onda triangular no es idéntico al espectro de la onda cuadrada: los picos armónicos respectivos son de diferentes alturas. Sin embargo, las dos formas de onda diferentes son comunes en su falta de armónicos pares.

Examinemos otra forma de onda, esta muy similar a la onda triangular, excepto que su tiempo de subida no es lo mismo que su tiempo de caída. Conocida como onda en diente de sierra, su diagrama de osciloscopio revela que se le llama acertadamente: (Figura abajo)

Visualización en el dominio del tiempo de una onda en diente de sierra.

Cuando se traza el análisis espectral de esta forma de onda, vemos un resultado que es bastante diferente al de la onda triangular regular, para este análisis se muestra la fuerte presencia de armónicos pares (segundo y cuarto): (Figura a continuación)

Visualización en el dominio de la frecuencia de una onda en diente de sierra.

La distinción entre una forma de onda que tiene armónicos pares versus ningún armónico uniforme reside en la diferencia entre una forma de onda triangular y una forma de onda de diente de sierra. Esa diferencia es la simetría por encima y por debajo de la línea central horizontal de la onda. Una forma de onda simétrica por encima y por debajo de su línea central (la forma en ambos lados se reflejan entre sí con precisión) no contendrá armónicos pares. (Figura abajo)

Las formas de onda simétricas alrededor de su línea central del eje x contienen solo armónicos impares.

Las ondas cuadradas, las ondas triangulares y las ondas sinusoidales puras exhiben esta simetría, y todas están desprovistas de armónicos pares. Las formas de onda como el tono de trompeta, el tono de acordeón y la onda de diente de sierra son asimétricas alrededor de sus líneas centrales y, por lo tanto, contienen armónicos uniformes. (Figura abajo)

Las formas de onda asimétricas contienen armónicos uniformes.

Este principio de simetría de la línea central no debe confundirse con la simetría alrededor de la línea cero. En los ejemplos mostrados, la línea central horizontal de la forma de onda pasa a ser cero voltios en el gráfico de dominio de tiempo, pero esto no tiene nada que ver con el contenido armónico. Esta regla de contenido armónico (incluso armónicos solo con formas de onda asimétricas) se aplica tanto si la forma de onda se desplaza por encima o por debajo de cero voltios con un “componente de CC” como si no. Para mayor aclaración, mostraré los mismos conjuntos de formas de onda, cambiadas con voltaje de CC, y notaré que sus contenidos armónicos no cambian. (Figura abajo)

Estas formas de onda están compuestas exclusivamente por armónicos impares.

Nuevamente, la cantidad de voltaje CC presente en una forma de onda no tiene nada que ver con el contenido de frecuencia armónica de esa forma de onda. (Figura abajo)

Estas formas de onda contienen armónicos uniformes.

¿Por qué esta regla general armónica es una regla importante para conocer? Puede ayudarnos a comprender la relación entre los armónicos en los circuitos de CA y los componentes específicos del circuito. Dado que la mayoría de las fuentes de distorsión de onda sinusoidal en los circuitos de alimentación de CA tienden a ser simétricas, los armónicos pares rara vez se ven en esas aplicaciones. Esto es bueno saber si eres un diseñador de sistemas de potencia y estás planeando con anticipación la reducción armónica: solo tienes que preocuparte por mitigar las frecuencias armónicas impares, siendo incluso los armónicos prácticamente inexistentes. Además, si le sucede que mide incluso armónicos en un circuito de CA con un analizador de espectro o medidor de frecuencia, sabe que algo en ese circuito debe estar distorsionando asimétricamente el voltaje o corriente de onda sinusoidal, y esa pista puede ser útil para localizar la fuente de un problema (busque componentes o condiciones más propensas a distorsionar un medio ciclo de la forma de onda de CA más que el otro).

Ahora que tenemos esta regla para guiar nuestra interpretación de las formas de onda no sinusoidales, tiene más sentido que una forma de onda como la producida por un circuito rectificador contenga armónicos uniformes tan fuertes, no habiendo simetría en absoluto por encima y por debajo del centro.

Revisar

• Las formas de onda que son simétricas por encima y por debajo de sus líneas centrales horizontales no contienen armónicos pares.
• La cantidad de voltaje de “polarización” de CC presente (el “componente de CC” de una forma de onda) no tiene impacto en el contenido de frecuencia armónica de esa onda.