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14.3: Impedancia característica

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    Los cables paralelos de longitud infinita

    Supongamos, sin embargo, que teníamos un conjunto de cables paralelos de longitud infinita, sin lámpara al final. ¿Qué pasaría cuando cerramos el interruptor? Siendo que ya no hay una carga al final de los cables, este circuito está abierto. ¿No habría corriente en absoluto? (Figura abajo)

    02356.png

    Conduciendo una línea de transmisión infinita.

    A pesar de ser capaces de evitar la resistencia de los cables mediante el uso de superconductores en este “experimento mental”, no podemos eliminar la capacitancia a lo largo de las longitudes de los cables. Cualquier par de conductores separados por un medio aislante crea capacitancia entre esos conductores: (Figura abajo)

    02359.png

    Circuito equivalente que muestra capacitancia parásita entre conductores.

    El voltaje aplicado entre dos conductores crea un campo eléctrico entre esos conductores. La energía se almacena en este campo eléctrico, y este almacenamiento de energía resulta en una oposición al cambio de voltaje. La reacción de una capacitancia frente a los cambios de voltaje se describe mediante la ecuación i = C (de/dt), que nos dice que la corriente se extraerá proporcional a la tasa de cambio del voltaje a lo largo del tiempo. Así, cuando el interruptor está cerrado, la capacitancia entre conductores reaccionará contra el aumento repentino de voltaje al cargar y extraer corriente de la fuente. Según la ecuación, un aumento instantáneo en el voltaje aplicado (producido por el cierre perfecto del interruptor) da lugar a una corriente de carga infinita.

    Capacitancia e inductancia

    Sin embargo, la corriente extraída por un par de cables paralelos no será infinita, ya que existe impedancia en serie a lo largo de los cables debido a la inductancia. (Figura abajo) Recuerde que la corriente a través de cualquier conductor desarrolla un campo magnético de magnitud proporcional. La energía se almacena en este campo magnético, (Figura abajo) y este almacenamiento de energía resulta en una oposición al cambio en la corriente. Cada cable desarrolla un campo magnético ya que transporta corriente de carga para la capacitancia entre los cables, y al hacerlo cae voltaje de acuerdo con la ecuación de inductancia e = L (di/dt). Esta caída de voltaje limita la tasa de cambio de voltaje a través de la capacitancia distribuida, evitando que la corriente alcance una magnitud infinita:

    02357.png

    Circuito equivalente que muestra capacitancia e inductancia parásitas.

    02358.png

    El voltaje carga la capacitancia, la corriente carga la inductancia.

    Debido a que los electrones en los dos cables transfieren movimiento entre sí a casi la velocidad de la luz, el “frente de onda” del cambio de voltaje y corriente se propagará por la longitud de los cables a esa misma velocidad, lo que dará como resultado que la capacitancia distribuida y la inductancia se carguen progresivamente al máximo voltaje y corriente, respectivamente, así: (Figuras abajo, abajo, abajo, abajo)

    02360.png

    Línea de transmisión sin carga.

    02361.png

    Comenzar la propagación de ondas.

    02362.png

    Continuar la propagación de las olas.

    02363.png

    Propagar a la velocidad de la luz.

    La Línea de Transmisión

    El resultado final de estas interacciones es una corriente constante de magnitud limitada a través de la fuente de la batería. Dado que los cables son infinitamente largos, su capacitancia distribuida nunca se cargará completamente a la tensión de la fuente, y su inductancia distribuida nunca permitirá una corriente de carga ilimitada. En otras palabras, este par de cables extraerá corriente de la fuente siempre y cuando el interruptor esté cerrado, comportándose como una carga constante. Ya no son los cables meramente conductores de corriente eléctrica y portadores de voltaje, sino que ahora constituyen un componente de circuito en sí mismos, con características únicas. Ya no son los dos cables simplemente un par de conductores, sino más bien una línea de transmisión.

    Como carga constante, la respuesta de la línea de transmisión al voltaje aplicado es resistiva en lugar de reactiva, a pesar de estar compuesta puramente por inductancia y capacitancia (asumiendo cables superconductores con resistencia cero). Podemos decir esto porque no hay diferencia desde la perspectiva de la batería entre una resistencia que disipa eternamente energía y una línea de transmisión infinita que absorbe eternamente energía. La impedancia (resistencia) de esta línea en ohmios se denomina impedancia característica, y se fija por la geometría de los dos conductores. Para una línea de cable paralelo con aislamiento de aire, la impedancia característica puede calcularse como tal:

    12144.png

    Si la línea de transmisión es coaxial en construcción, la impedancia característica sigue una ecuación diferente:

    12145.png

    En ambas ecuaciones, se deben utilizar unidades de medida idénticas en ambos términos de la fracción. Si el material aislante es distinto del aire (o un vacío), tanto la impedancia característica como la velocidad de propagación se verán afectadas. La relación entre la verdadera velocidad de propagación de una línea de transmisión y la velocidad de la luz en el vacío se denomina factor de velocidad de esa línea.

    El factor de velocidad es puramente un factor de la permitividad relativa del material aislante (también conocida como su constante dieléctrica), definida como la relación entre la permitividad del campo eléctrico de un material y la de un vacío puro. El factor de velocidad de cualquier tipo de cable, coaxial o de otro modo, puede calcularse simplemente mediante la siguiente fórmula:

    12148.png

    La Impedancia Natural

    La impedancia característica también se conoce como impedancia natural, y se refiere a la resistencia equivalente de una línea de transmisión si fuera infinitamente larga, debido a la capacitancia e inductancia distribuidas ya que las “ondas” de voltaje y corriente se propagan a lo largo de su longitud a una velocidad de propagación igual a una gran fracción de la velocidad de la luz.

    Se puede ver en cualquiera de las dos primeras ecuaciones que la impedancia característica de una línea de transmisión (Z 0) aumenta a medida que aumenta el espaciamiento del conductor. Si los conductores se alejan entre sí, la capacitancia distribuida disminuirá (mayor espaciamiento entre las “placas” del condensador), y la inductancia distribuida aumentará (menos cancelación de los dos campos magnéticos opuestos). Menos capacitancia paralela y más inductancia en serie da como resultado una corriente menor dibujada por la línea para cualquier cantidad dada de voltaje aplicado, que por definición es una mayor impedancia. Por el contrario, acercar los dos conductores aumenta la capacitancia paralela y disminuye la inductancia en serie. Ambos cambios dan como resultado una mayor corriente extraída para un voltaje aplicado dado, lo que equivale a una impedancia menor.

    Salvo cualquier efecto disipativo, como la “fuga” dieléctrica y la resistencia del conductor, la impedancia característica de una línea de transmisión es igual a la raíz cuadrada de la relación de la inductancia de la línea por unidad de longitud dividida por la capacitancia de la línea por unidad de longitud:

    12146.png

    Revisar

    • Una línea de transmisión es un par de conductores paralelos que exhiben ciertas características debido a la capacitancia e inductancia distribuidas a lo largo de su longitud.
    • Cuando un voltaje se aplica repentinamente a un extremo de una línea de transmisión, tanto una “onda” de voltaje como una “onda” de corriente se propagan a lo largo de la línea a una velocidad casi de la luz.
    • Si se aplica un voltaje de CC a un extremo de una línea de transmisión infinitamente larga, la línea extraerá corriente de la fuente de CC como si fuera una resistencia constante.
    • La impedancia característica (Z 0) de una línea de transmisión es la resistencia que exhibiría si fuera infinita en longitud. Esto es completamente diferente de la resistencia a fugas del dieléctrico que separa los dos conductores, y la resistencia metálica de los propios cables. La impedancia característica es puramente una función de la capacitancia e inductancia distribuidas a lo largo de la línea, y existiría incluso si el dieléctrico fuera perfecto (resistencia paralela infinita) y los cables superconductores (resistencia en serie cero).
    • El factor de velocidad es un valor fraccional que relaciona la velocidad de propagación de una línea de transmisión con la velocidad de la luz en un vacío. Los valores oscilan entre 0.66 y 0.80 para líneas típicas de dos hilos y cables coaxiales. Para cualquier tipo de cable, es igual al recíproco (1/x) de la raíz cuadrada de la permitividad relativa del aislamiento del cable.

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