14.7: Transformación de Impedancia

Las ondas estacionarias en los puntos de frecuencia resonante de una línea de transmisión abierta o cortocircuitada producen efectos inusuales. Cuando la frecuencia de la señal es tal que exactamente 1/2 onda o algún múltiplo de la misma coincide con la longitud de la línea, la fuente “ve” la impedancia de carga tal como es. El siguiente par de ilustraciones muestra una línea de circuito abierto operando a 1/2 (Figura abajo) y 1 longitud de onda (Figura abajo) frecuencias:

La fuente ve abierta, igual que el final de la línea de media longitud de onda.

La fuente ve abierta, igual que el final de la longitud de onda completa (2x línea de media longitud de onda)

En cualquier caso, la línea tiene antinodos de voltaje en ambos extremos, y nodos de corriente en ambos extremos. Es decir, hay voltaje máximo y corriente mínima en cada extremo de la línea, lo que corresponde a la condición de un circuito abierto. El hecho de que esta condición exista en ambos extremos de la línea nos dice que la línea reproduce fielmente su impedancia de terminación en el extremo fuente, de manera que la fuente “ve” un circuito abierto donde se conecta a la línea de transmisión, igual que si estuviera directamente en circuito abierto.

Lo mismo es cierto si la línea de transmisión se termina por un corto: a frecuencias de señal correspondientes a 1/2 longitud de onda (Figura abajo) o algún múltiplo (Figura a continuación) de la misma, la fuente “ve” un cortocircuito, con voltaje mínimo y corriente máxima presentes en los puntos de conexión entre fuente y línea de transmisión:

Fuente ve corto, igual que el final de la línea de longitud de media onda.

Fuente ve corto, igual que el final de la línea de longitud de onda completa (2x media longitud de onda).

Sin embargo, si la frecuencia de la señal es tal que la línea resuena a 1/4 de longitud de onda o algún múltiplo de la misma, la fuente “verá” exactamente lo contrario de la impedancia de terminación. Es decir, si la línea está en circuito abierto, la fuente “verá” un cortocircuito en el punto donde se conecta a la línea; y si la línea está cortocircuitada, la fuente “verá” un circuito abierto: (Figura abajo)

Línea de circuito abierto; fuente “ve” un cortocircuito: en línea de cuarto de longitud de onda (Figura abajo), en línea de tres cuartos de longitud de onda (Figura abajo)

Fuente ve corto, reflejado desde abierto al final de la línea de cuarto de longitud de onda.

Fuente ve corto, reflejado desde abierto al final de la línea de longitud de onda de tres cuartos.

Línea cortocircuitada; fuente “ve” un circuito abierto: en línea de cuarto de longitud de onda (Figura abajo), en línea de tres cuartos de longitud de onda (Figura abajo)

Fuente ve abierto, reflejado desde corto al final de la línea de cuarto de longitud de onda.

Fuente ve abierto, reflejado desde corto al final de la línea de longitud de onda de tres cuartos.

A estas frecuencias, la línea de transmisión en realidad funciona como un transformador de impedancia, transformando una impedancia infinita en impedancia cero, o viceversa. Por supuesto, esto solo ocurre en puntos resonantes dando como resultado una onda estacionaria de 1/4 de ciclo (la frecuencia resonante fundamental de la línea) o algún múltiplo impar (3/4, 5/4, 7/4, 9/4.), pero si la frecuencia de la señal es conocida e invariable, este fenómeno puede usarse para hacer coincidir impedancias que de otro modo no coincidan con cada una otro.

Tomemos por ejemplo el circuito de ejemplo de la última sección donde una fuente de 75 Ω se conecta a una línea de transmisión de 75 Ω, terminando en una impedancia de carga de 100 Ω. A partir de las cifras numéricas obtenidas a través de SPICE, determinemos qué impedancia “ve” la fuente en su extremo de la línea de transmisión en las frecuencias resonantes de la línea: cuarto de longitud de onda (Figura abajo), longitud de media onda (Figura abajo), tres cuartos de longitud de onda (Figura abajo) longitud de onda completa (Figura abajo)

La fuente ve 56.25 Ω reflejada desde la carga de 100 Ω al final de la línea de cuarto de longitud de onda

Fuente ve 100 Ω reflejados desde la carga de 100 Ω al final de la línea de media longitud de onda.

La fuente ve 56.25 Ω reflejada desde la carga de 100 Ω al final de la línea de tres cuartos de longitud de onda (igual que un cuarto de longitud de onda

La fuente ve 100 Ω reflejados desde la carga de 100 Ω al final de la línea de longitud de onda completa (igual que la media longitud de onda

Una ecuación simple relaciona la impedancia de línea (Z ₀), la impedancia de carga (_carga Z) y la impedancia de entrada (_entrada Z) para una línea de transmisión no coincidente que opera en un armónico impar de su frecuencia fundamental:

Una aplicación práctica de este principio sería hacer coincidir una carga de 300 Ω con una fuente de señal de 75 Ω a una frecuencia de 50 MHz. Todo lo que tenemos que hacer es calcular la impedancia adecuada de la línea de transmisión (Z ₀), y la longitud de manera que exactamente 1/4 de una onda se “parará” en la línea a una frecuencia de 50 MHz.

Primero, calculando la impedancia de línea: tomando los 75 Ω que deseamos que la fuente “vea” en el extremo fuente-extremo de la línea de transmisión, y multiplicando por la resistencia de carga de 300 Ω, obtenemos una cifra de 22,500. Tomando la raíz cuadrada de 22,500 rinde 150 Ω para una impedancia de línea característica.

Ahora, para calcular la longitud de línea necesaria: asumiendo que nuestro cable tiene un factor de velocidad de 0.85, y usando una cifra de velocidad de luz de 186,000 millas por segundo, la velocidad de propagación será de 158,100 millas por segundo. Tomando esta velocidad y dividiendo por la frecuencia de la señal nos da una longitud de onda de 0.003162 millas, o 16.695 pies. Dado que solo necesitamos una cuarta parte de esta longitud para que el cable soporte un cuarto de onda, la longitud requerida del cable es de 4.1738 pies.

Aquí hay un diagrama esquemático para el circuito, que muestra los números de nodo para el análisis SPICE que estamos a punto de ejecutar: (Figura a continuación)

La sección de cuarto de onda de la línea de transmisión de 150 Ω coincide con la fuente de 75 Ω con la carga

Podemos especificar la longitud del cable en SPICE en términos de retardo de principio a fin. Dado que la frecuencia es de 50 MHz, el periodo de señal será el recíproco de eso, o 20 nano-segundos (20 ns). Un cuarto de ese tiempo (5 ns) será el retardo de tiempo de una línea de transmisión de un cuarto de longitud de onda:

A una frecuencia de 50 MHz, nuestra fuente de señal de 1 voltio cae la mitad de su voltaje a través de la impedancia de la serie 75 Ω (v (1,2)) y la otra mitad de su voltaje a través de los terminales de entrada de la línea de transmisión (v (2)). Esto significa que la fuente “piensa” que está alimentando una carga de 75 Ω. La impedancia de carga real, sin embargo, recibe un voltaje completo de 1 voltio, como lo indica la cifra de 1.000 en v (3). Con 0.5 voltios caídos a través de 75 Ω, la fuente está disipando 3.333 mW de potencia: lo mismo que disipado por 1 voltio a través de la carga de 300 Ω, lo que indica una coincidencia perfecta de impedancia, de acuerdo con el Teorema de Transferencia de Potencia Máxima. El segmento de línea de transmisión de 1/4 de longitud de onda, 150 Ω, ha emparejado con éxito la carga de 300 Ω con la fuente de 75 Ω.

Tengan en cuenta, por supuesto, que esto sólo funciona para 50 MHz y sus armónicos impares. Para que cualquier otra frecuencia de señal reciba el mismo beneficio de impedancias coincidentes, la línea de 150 Ω tendría que alargarse o acortarse en consecuencia para que fuera exactamente 1/4 de longitud de onda de largo.

Curiosamente, la misma línea exacta también puede hacer coincidir una carga de 75 Ω con una fuente de 300 Ω, lo que demuestra cómo este fenómeno de transformación de impedancia es fundamentalmente diferente en principio del de un transformador convencional de dos devanados:

Aquí, vemos el voltaje fuente de 1 voltio dividido equitativamente entre la impedancia de fuente de 300 Ω (v (1,2)) y la entrada de la línea (v (2)), indicando que la carga “aparece” como una impedancia de 300 Ω desde la perspectiva de la fuente donde se conecta a la línea de transmisión. Esta caída de 0.5 voltios a través de la impedancia interna de 300 Ω de la fuente produce una cifra de potencia de 833.33 µW, lo mismo que los 0.25 voltios a través de la carga de 75 Ω, como lo indica la figura de voltaje v (3). Una vez más, los valores de impedancia de fuente y carga han sido emparejados por el segmento de línea de transmisión.

Esta técnica de adaptación de impedancia se usa a menudo para hacer coincidir los diferentes valores de impedancia de la línea de transmisión y la antena en los sistemas de radiotransmisores, ya que la frecuencia del transmisor es generalmente bien conocida e inmutable. El uso de un “transformador” de impedancia de 1/4 de longitud de onda proporciona una adaptación de impedancia utilizando la longitud de conductor más corta posible. (Figura abajo)

La sección de línea de transmisión de 150 Ω de cuarto de onda coincide con la línea de 75 Ω con la antena

REVISIÓN:

• Se puede usar una línea de transmisión con ondas estacionarias para hacer coincidir diferentes valores de impedancia si se opera a la (s) frecuencia (es) correcta (es)
• Cuando se opera a una frecuencia correspondiente a una onda estacionaria de 1/4 de longitud de onda a lo largo de la línea de transmisión, la impedancia característica de la línea necesaria para la transformación de impedancia debe ser igual a la raíz cuadrada del producto de la impedancia de la fuente y la impedancia de la carga.