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# 1.5: Decibelios

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## El Bel se utiliza para representar la ganancia

En su forma más simple, la ganancia de un amplificador es una relación de salida sobre entrada. Como todas las proporciones, esta forma de ganancia no tiene unidades. Sin embargo, existe una unidad real destinada a representar ganancia, y se llama bel.

Como una unidad, el bel en realidad se ideó como una forma conveniente de representar la pérdida de potencia en el cableado del sistema telefónico en lugar de la ganancia en los amplificadores. El nombre de la unidad se deriva de Alexander Graham Bell, el famoso inventor escocés cuyo trabajo fue instrumental en el desarrollo de sistemas telefónicos. Originalmente, el bel representaba la cantidad de pérdida de potencia de la señal debido a la resistencia sobre una longitud estándar de cable eléctrico. Ahora, se define en términos del logaritmo común (base 10) de una relación de potencia (potencia de salida dividida por potencia de entrada):

## El Bel no es lineal

Debido a que el bel es una unidad logarítmica, es no lineal. Para darte una idea de cómo funciona esto, considera la siguiente tabla de cifras, comparando pérdidas de potencia y ganancias en bels versus proporciones simples:

## Mudarse del Bel al Decibel

Posteriormente se decidió que el bel era demasiado grande de una unidad para ser utilizado directamente, por lo que se acostumbró a aplicarle el prefijo métrico deci (que significa 1/10), convirtiéndolo en deci bels, o dB. Ahora bien, la expresión “dB” es tan común que mucha gente no se da cuenta de que es una combinación de “deci-” y “-bel”, o que incluso existe una unidad como la “bel”. Para poner esto en perspectiva, aquí hay otra tabla que contrasta las relaciones de ganancia/pérdida de potencia con decibelios:

Como unidad logarítmica, este modo de expresión de ganancia de potencia cubre una amplia gama de relaciones con un lapso mínimo en cifras. Es razonable preguntar, “¿por qué alguien sintió la necesidad de inventar una unidad logarítmica para la pérdida de potencia de señal eléctrica en un sistema telefónico?” La respuesta está relacionada con la dinámica del oído humano, cuya intensidad perceptiva es de naturaleza logarítmica.

## La audición humana no es lineal

La audición humana es altamente no lineal: para duplicar la intensidad percibida de un sonido, la potencia sonora real debe multiplicarse por un factor de diez. Relacionar la pérdida de potencia de la señal telefónica en términos de la escala logarítmica “bel” tiene mucho sentido en este contexto: una pérdida de potencia de 1 bel se traduce en una pérdida de sonido percibida de 50 por ciento, o 1/2. Una ganancia de potencia de 1 bel se traduce en una duplicación en la intensidad percibida del sonido.

## Otros ejemplos de escala logarítmica: Escala Richter y pH químico

Una analogía casi perfecta a la escala bel es la escala de Richter utilizada para describir la intensidad del terremoto: un sismo de 6.0 Richter es 10 veces más potente que un terremoto de 5.0 Richter; un terremoto de 7.0 Richter 100 veces más potente que un terremoto de 5.0 Richter; un terremoto de Richter 4.0 es 1/10 tan poderoso como un 5.0 Richter terremoto, y así sucesivamente. La escala de medición para el pH químico es igualmente logarítmica, una diferencia de 1 en la escala equivale a una diferencia de diez veces en la concentración de iones de hidrógeno de una solución química. Una ventaja de usar una escala de medición logarítmica es el tremendo rango de expresión que brinda un lapso relativamente pequeño de valores numéricos, y es esta ventaja la que asegura el uso de números de Richter para terremotos y pH para la actividad de iones de hidrógeno.

## Uso del Bel para expresar ganancias y pérdidas del sistema

Otra razón para la adopción del bel como unidad de ganancia es la simple expresión de las ganancias y pérdidas del sistema. Consideremos el último ejemplo del sistema (Figura anterior) donde se conectaron dos amplificadores en tándem para amplificar una señal. La ganancia respectiva para cada amplificador se expresó como una relación, y la ganancia global para el sistema fue el producto (multiplicación) de esas dos relaciones:

Si estas cifras representaran ganancias de potencia, podríamos aplicar directamente la unidad de bels a la tarea de representar la ganancia de cada amplificador, y del sistema en conjunto. (Figura abajo)

La ganancia de potencia en bels es aditiva: 0.477 B + 0.699 B = 1.176 B.

La inspección minuciosa de estas cifras de ganancia en la unidad de “bel” produce un descubrimiento: son aditivas. Las cifras de ganancia de relación son multiplicativas para los amplificadores por etapas, pero las ganancias expresadas en bels se suman en lugar de multiplicarse para igualar la ganancia general del sistema. El primer amplificador con su ganancia de potencia de 0.477 B se suma a la ganancia de potencia del segundo amplificador de 0.699 B para hacer un sistema con una ganancia de potencia global de 1.176 B.

Recalculando para decibelios en lugar de bels, notamos el mismo fenómeno. (Figura abajo)

La ganancia de las etapas del amplificador en decibelios es aditiva: 4.77 dB + 6.99 dB = 11.76 dB.

Para quienes ya están familiarizados con las propiedades aritméticas de los logaritmos, esto no es una sorpresa. Es una regla elemental del álgebra que el antilogaritmo de los valores logaritmos de la suma de dos números es igual al producto de los dos números originales. En otras palabras, si tomamos dos números y determinamos el logaritmo de cada uno, luego sumamos esas dos cifras logaritmos juntas, luego determinamos el “antilogaritmo” de esa suma (elevar el número base del logaritmo —en este caso, 10—a la potencia de esa suma), el resultado será el mismo que si simplemente hubiéramos multiplicado los dos números originales juntos. Esta regla algebraica forma el corazón de un dispositivo llamado regla de cálculo, una computadora analógica que podría, entre otras cosas, determinar los productos y cocientes de números por adición (sumando longitudes físicas marcadas en escalas deslizantes de madera, metal o plástico). Dada una tabla de cifras logaritmos, se podría utilizar el mismo truco matemático para realizar multiplicaciones y divisiones de otro modo complejas al tener que hacer únicamente sumas y restas, respectivamente. Con la llegada de los dispositivos de calculadora digital de alta velocidad, portátiles, esta elegante técnica de cálculo prácticamente desapareció del uso popular. Sin embargo, aún es importante entender cuando se trabaja con escalas de medición que son de naturaleza logarítmica, como las escalas bel (decibelios) y Richter.

Al convertir una ganancia de potencia de unidades de bels o decibelios a una relación sin unidades, se utiliza la función matemática inversa de logaritmos comunes: potencias de 10, o el antilogarítmico.

Convertir decibelios en relaciones sin unidades para ganancia de potencia es muy similar, solo se incluye un factor de división de 10 en el término exponente:

Ejemplo: La potencia en un amplificador es de 1 Watt, la salida de energía es de 10 Watts. Encuentra la ganancia de potencia en dB.

Ejemplo: Encuentre la relación de ganancia de potencia A P (relación) = (P O/P I) para una ganancia de potencia de 20 dB.

Debido a que el bel es fundamentalmente una unidad de ganancia o pérdida de potencia en un sistema, las ganancias y pérdidas de voltaje o corriente no se convierten en bels o dB de la misma manera. Al usar bels o decibelios para expresar una ganancia distinta a la potencia, ya sea voltaje o corriente, debemos realizar el cálculo en términos de cuánta ganancia de potencia habría para esa cantidad de ganancia de voltaje o corriente. Para una impedancia de carga constante, una ganancia de voltaje o corriente de 2 equivale a una ganancia de potencia de 4 (2 2); una ganancia de voltaje o corriente de 3 equivale a una ganancia de potencia de 9 (3 2). Si multiplicamos ya sea voltaje o corriente por un factor dado, entonces la ganancia de potencia incurrida por esa multiplicación será el cuadrado de ese factor. Esto se relaciona de nuevo con las formas de la Ley de Joule donde la potencia se calculó a partir de voltaje o corriente, y resistencia:

Así, al traducir una relación de ganancia de voltaje o corriente en una ganancia respectiva en términos de la unidad bel, debemos incluir este exponente en la (s) ecuación (s):

El mismo requisito de exponente es válido cuando se expresan ganancias de voltaje o corriente en términos de decibelios:

Sin embargo, gracias a otra propiedad interesante de logaritmos, podemos simplificar estas ecuaciones para eliminar al exponente al incluir el “2” como factor multiplicador para la función logaritmo. Es decir, en lugar de tomar el logaritmo del cuadrado de la ganancia de voltaje o corriente, simplemente multiplicamos la cifra del logaritmo de la ganancia de voltaje o corriente por 2 y el resultado final en bels o decibelios será el mismo:

El proceso de convertir las ganancias de voltaje o corriente de bels o decibelios en relaciones sin unidades es casi el mismo que para las ganancias de potencia:

Estas son las ecuaciones utilizadas para convertir las ganancias de voltaje o corriente en decibelios en relaciones sin unidades:

Si bien el bel es una unidad escalada naturalmente para la potencia, se ha inventado otra unidad logarítmica para expresar directamente las ganancias/pérdidas de voltaje o corriente, y se basa en el logaritmo natural más que en el logaritmo común como lo son los bels y los decibelios. Llamado el neper, su símbolo de unidad es “N p; aunque, se puede encontrar “n” minúscula.

Para bien o para mal, ni el neper ni su primo atenuado, el decineper, se utiliza popularmente como unidad en aplicaciones de ingeniería estadounidenses.

Ejemplo: El voltaje en un amplificador de línea de audio de 600 Ω es de 10 mV, el voltaje a través de una carga de 600 Ω es de 1 V. Encuentra la ganancia de potencia en dB.

Ejemplo: Encuentre la relación de ganancia de voltaje A V (relación) = (V O/V I) para un amplificador de ganancia de 20 dB que tiene una impedancia de entrada y salida de 50 Ω.

## Una revisión del decibelio

• Las ganancias y pérdidas pueden expresarse en términos de una relación sin unidades, o en la unidad de bels (B) o decibelios (dB). Un decibelio es literalmente un deci -bel: una décima parte de bel.
• El bel es fundamentalmente una unidad para expresar ganancia o pérdida de poder. Para convertir una relación de potencia en belios o decibelios, utilice una de estas ecuaciones:

• Cuando se utiliza la unidad del bel o decibelio para expresar una relación de voltaje o corriente, se debe fundir en términos de una relación de potencia equivalente. Prácticamente, esto significa el uso de diferentes ecuaciones, con un factor de multiplicación de 2 para el valor logaritmo correspondiente a un exponente de 2 para la relación de ganancia de voltaje o corriente:

• Para convertir una ganancia de decibelios en una ganancia de relación sin unidades, use una de estas ecuaciones:

• Una ganancia (amplificación) se expresa como una cifra positiva de bel o decibelios. Una pérdida (atenuación) se expresa como una cifra de bel o decibelios negativos. La ganancia de unidad (sin ganancia ni pérdida; relación = 1) se expresa como cero belios o cero decibelios.
• Al calcular la ganancia general para un sistema amplificador compuesto por múltiples etapas de amplificador, las relaciones de ganancia individuales se multiplican para encontrar la relación de ganancia general. Las cifras de Bel o decibelios para cada etapa del amplificador, por otro lado, se suman para determinar la ganancia general.

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