4.2: Aritmética con notación científica

Los beneficios de la notación científica no terminan con facilidad de escritura y expresión de precisión. Dicha notación también se presta bien a problemas matemáticos de multiplicación y división. Digamos que queríamos saber cuántos electrones fluirían más allá de un punto en un circuito que transportaba 1 amperio de corriente eléctrica en 25 segundos. Si conocemos el número de electrones por segundo en el circuito (que hacemos), entonces todo lo que tenemos que hacer es multiplicar esa cantidad por el número de segundos (25) para llegar a una respuesta de electrones totales:

(6,250,000,000,000,000,000 electrones por segundo) x (25 segundos) =

156,250,000,000,000,000,000 electrones que pasan en 25 segundos

Usando notación científica, podemos escribir el problema así:

(6.25 x 10 ¹⁸ electrones por segundo) x (25 segundos)

Si tomamos el “6.25” y lo multiplicamos por 25, obtenemos 156.25. Entonces, la respuesta podría escribirse como:

156.25 x 10 ¹⁸ electrones

Sin embargo, si queremos mantener la convención estándar para la notación científica, debemos representar los dígitos significativos como un número entre 1 y 10. En este caso, diríamos “1.5625” multiplicado por alguna potencia de diez. Para obtener 1.5625 de 156.25, tenemos que saltarnos el punto decimal dos lugares a la izquierda. Para compensar esto sin cambiar el valor del número, tenemos que elevar nuestro poder por dos muescas (10 a la potencia 20 en lugar de 10 a la 18):

1.5625 x 10 ²⁰ electrones

¿Y si quisiéramos ver cuántos electrones pasarían en 3,600 segundos (1 hora)? Para facilitar nuestro trabajo, también podríamos poner el tiempo en notación científica:

(6.25 x 10 ¹⁸ electrones por segundo) x (3.6 x 10 ³ segundos)

Para multiplicar, debemos tomar los dos conjuntos significativos de dígitos (6.25 y 3.6) y multiplicarlos juntos; y necesitamos tomar las dos potencias de diez y multiplicarlas juntas. Tomando 6.25 veces 3.6, obtenemos 22.5. Tomando 10 ¹⁸ veces 10 ³, obtenemos 10 ²¹ (los exponentes con números de base comunes suman). Entonces, la respuesta es:

22.5 x 10 ²¹ electrones

.. o más adecuadamente..

2.25 x 10 ²² electrones

Para ilustrar cómo funciona la división con notación científica, podríamos imaginar ese último problema “al revés” para averiguar cuánto tiempo tardaría en pasar tantos electrones a una corriente de 1 amperio:

(2.25 x 10 ²² electrones)/(6.25 x 10 ¹⁸ electrones por segundo)

Al igual que en la multiplicación, podemos manejar los dígitos significativos y las potencias de diez en pasos separados (recuerde que resta los exponentes de las potencias divididas de diez):

(2.25/6.25) x (10 ²²/10 ¹⁸)

Y la respuesta es: 0.36 x 10 ⁴, o 3.6 x 10 ³, segundos. Se puede ver que llegamos a la misma cantidad de tiempo (3600 segundos). Ahora, tal vez se esté preguntando cuál es el punto de todo esto cuando tenemos calculadoras electrónicas que pueden manejar las matemáticas automáticamente. Bueno, allá por los días de científicos e ingenieros que usaban computadoras analógicas de “regla de cálculo”, estas técnicas eran indispensables. La aritmética “dura” (tratar con las cifras de dígitos significativos) se realizaría con la regla de cálculo mientras que las potencias de diez podrían calcularse sin ninguna ayuda en absoluto, no siendo más que simple suma y resta.

Revisar

• Los dígitos significativos son representativos de la precisión del mundo real de un número.
• La notación científica es un método “taquigráfico” para representar números muy grandes y muy pequeños en forma fácil de manejar.
• Al multiplicar dos números en notación científica, se pueden multiplicar las dos cifras de dígitos significativos y llegar a una potencia de diez sumando exponentes.
• Al dividir dos números en notación científica, puede dividir las dos cifras de dígitos significativos y llegar a una potencia de diez restando exponentes.