13.2: Capacitores y Cálculo

Los capacitores no tienen una “resistencia” estable como lo hacen los conductores. Sin embargo, existe una relación matemática definida entre voltaje y corriente para un condensador, de la siguiente manera:

La letra minúscula “i” simboliza la corriente instantánea, lo que significa la cantidad de corriente en un punto específico en el tiempo. Esto contrasta con la corriente constante o la corriente promedio (letra mayúscula “I”) durante un período de tiempo no especificado. La expresión “dv/dt” es una que se toma prestada del cálculo, es decir, la tasa instantánea de cambio de voltaje a lo largo del tiempo, o la tasa de cambio de voltaje (voltios por segundo aumentan o disminuyen) en un punto específico en el tiempo, el mismo punto específico en el tiempo en el que se hace referencia a la corriente instantánea. Por cualquier razón, la letra v se suele utilizar para representar voltaje instantáneo en lugar de la letra e. Sin embargo, no sería incorrecto expresar la tasa de cambio de voltaje instantánea como “de/dt” en su lugar.

En esta ecuación vemos algo novedoso en nuestra experiencia hasta ahora con los circuitos eléctricos: la variable del tiempo. Al relacionar las cantidades de voltaje, corriente y resistencia a una resistencia, no importa si estamos tratando con mediciones tomadas durante un período de tiempo no especificado (E=IR; V=IR), o en un momento específico en el tiempo (e=ir; v=ir). La misma fórmula básica es cierta, porque el tiempo es irrelevante para el voltaje, la corriente y la resistencia en un componente como una resistencia.

En un condensador, sin embargo, el tiempo es una variable esencial, ya que la corriente está relacionada con la rapidez con la que cambia el voltaje con el tiempo. Para entender esto a fondo, pueden ser necesarias algunas ilustraciones. Supongamos que íbamos a conectar un condensador a una fuente de voltaje variable, construida con un potenciómetro y una batería:

Si el mecanismo del potenciómetro permanece en una sola posición (el limpiaparabrisas está estacionario), el voltímetro conectado a través del condensador registrará un voltaje constante (invariable) y el amperímetro registrará 0 amperios. En este escenario, la tasa instantánea de cambio de voltaje (dv/dt) es igual a cero, debido a que la tensión no cambia. La ecuación nos dice que con 0 voltios por segundo de cambio para un dv/dt, debe haber cero corriente instantánea (i). Desde una perspectiva física, sin cambio de voltaje, no hay necesidad de ningún movimiento de electrones para sumar o restar carga de las placas del condensador, y así no habrá corriente.

Ahora, si el limpiaparabrisas del potenciómetro se mueve lenta y constantemente en la dirección “hacia arriba”, gradualmente se impondrá un voltaje mayor a través del condensador. Por lo tanto, la indicación del voltímetro aumentará a una velocidad lenta:

Si asumimos que el limpiaparabrisas del potenciómetro se está moviendo de tal manera que la tasa de aumento de voltaje a través del condensador es constante (por ejemplo, el voltaje aumenta a una tasa constante de 2 voltios por segundo), el término dv/dt de la fórmula será un valor fijo. Según la ecuación, este valor fijo de dv/dt, multiplicado por la capacitancia del condensador en Faradios (también fijo), da como resultado una corriente fija de alguna magnitud. Desde una perspectiva física, un voltaje creciente a través del condensador exige que haya un diferencial de carga creciente entre las placas. Por lo tanto, para una tasa de aumento de voltaje lenta y constante, debe haber una tasa de carga lenta y constante que se construye en el condensador, lo que equivale a una velocidad de flujo lenta y constante de electrones, o corriente. En este escenario, el condensador está actuando como carga, con electrones entrando a la placa negativa y saliendo de lo positivo, acumulando energía en el campo eléctrico.

Si el potenciómetro se mueve en la misma dirección, pero a una velocidad más rápida, la tasa de cambio de voltaje (dv/dt) será mayor y así será la corriente del condensador:

Cuando los estudiantes de matemáticas primero estudian cálculo, comienzan explorando el concepto de tasas de cambio para diversas funciones matemáticas. La derivada, que es el primer y más elemental principio de cálculo, es una expresión de la tasa de cambio de una variable en términos de otra. Los estudiantes de cálculo tienen que aprender este principio mientras estudian ecuaciones abstractas. Puedes aprender este principio mientras estudias algo con lo que te puedes relacionar: ¡circuitos eléctricos!

Para poner esta relación entre voltaje y corriente en un condensador en términos de cálculo, la corriente a través de un condensador es la derivada de la tensión a través del condensador con respecto al tiempo. O, dicho en términos más simples, la corriente de un condensador es directamente proporcional a la rapidez con la que cambia el voltaje a través de él. En este circuito donde la tensión del condensador se establece por la posición de una perilla giratoria en un potenciómetro, podemos decir que la corriente del condensador es directamente proporcional a la rapidez con la que giramos la perilla.

Si tuviéramos que mover el limpiaparabrisas del potenciómetro en la misma dirección que antes (“arriba”), pero a ritmos variables, obtendríamos gráficas que se veían así:

Observe cómo en cualquier momento dado, la corriente del condensador es proporcional a la velocidad de cambio o pendiente de la gráfica de voltaje del condensador. Cuando la línea gráfica de voltaje está subiendo rápidamente (pendiente pronunciada), la corriente también será grande. Donde la parcela de voltaje tiene una pendiente leve, la corriente es pequeña. En un lugar de la gráfica de voltaje donde se nivela (pendiente cero, lo que representa un periodo de tiempo en el que el potenciómetro no se estaba moviendo), la corriente cae a cero.

Si tuviéramos que mover el limpiaparabrisas del potenciómetro en la dirección “hacia abajo”, el voltaje del condensador disminuiría en lugar de aumentar. Nuevamente, el condensador reaccionará ante este cambio de voltaje produciendo una corriente, pero esta vez la corriente estará en la dirección opuesta. Un voltaje decreciente del condensador requiere que se reduzca el diferencial de carga entre las placas del condensador, y la única manera que puede suceder es si los electrones invierten su dirección de flujo, el condensador se descarga en lugar de cargar. En esta condición, con los electrones saliendo de la placa negativa y entrando en el positivo, el condensador actuará como fuente, como una batería, liberando su energía almacenada al resto del circuito.

Nuevamente, la cantidad de corriente a través del condensador es directamente proporcional a la tasa de cambio de voltaje a través de él. La única diferencia entre los efectos de un voltaje decreciente y un voltaje creciente es la dirección del flujo de electrones. Para la misma tasa de cambio de voltaje a lo largo del tiempo, ya sea aumentando o disminuyendo, la magnitud de la corriente (amperios) será la misma. Matemáticamente, una tasa de cambio de voltaje decreciente se expresa como una cantidad negativa dv/dt. Siguiendo la fórmula i = C (dv/dt), esto dará como resultado una cifra de corriente (i) que igualmente es negativa en signo, indicando una dirección de flujo correspondiente a la descarga del condensador.