16.4: Cálculos de Voltaje y Corriente

Hay una manera segura de calcular cualquiera de los valores en un circuito de CC reactivo a lo largo del tiempo.

Cálculo de valores en un circuito de CC reactivo

El primer paso es identificar los valores de inicio y final para cualquier cantidad a la que el condensador o inductor se oponga al cambio; es decir, cualquier cantidad que el componente reactivo esté tratando de mantener constante. Para capacitores, esta cantidad es voltaje; para inductores, esta cantidad es corriente. Cuando el interruptor en un circuito está cerrado (o abierto), el componente reactivo intentará mantener esa cantidad en el mismo nivel que estaba antes de la transición del interruptor, de manera que ese valor se utilizará para el valor de “inicio”. El valor final de esta cantidad es cualquiera que sea esa cantidad después de un tiempo infinito. Esto se puede determinar analizando un circuito capacitivo como si el condensador fuera un circuito abierto, y un circuito inductivo como si el inductor fuera un cortocircuito porque así es como se comportan estos componentes cuando han alcanzado la “carga completa”, después de un tiempo infinito.

Cálculo de la Constante de Tiempo de un Circuito

El siguiente paso es calcular la constante de tiempo del circuito: la cantidad de tiempo que tarda en que los valores de voltaje o corriente cambien aproximadamente 63 por ciento desde sus valores iniciales hasta sus valores finales en una situación transitoria. En un circuito RC en serie, la constante de tiempo es igual a la resistencia total en ohmios multiplicada por la capacitancia total en faradios. Para un circuito L/R en serie, es la inductancia total en henrys dividida por la resistencia total en ohmios. En cualquier caso, la constante de tiempo se expresa en unidades de segundos y se simboliza por la letra griega “tau” (τ):

La subida y caída de valores de circuito como voltaje y corriente en respuesta a un transitorio es, como se mencionó anteriormente, asintótica. Siendo así, los valores comienzan a cambiar rápidamente poco después del transitorio y se establecen con el tiempo. Si se traza en una gráfica, el acercamiento a los valores finales de voltaje y corriente forma curvas exponenciales.

Como se dijo anteriormente, una constante de tiempo es la cantidad de tiempo que tarda cualquiera de estos valores en cambiar alrededor del 63 por ciento de sus valores iniciales a sus valores (finales) finales. Por cada constante de tiempo, estos valores se mueven (aproximadamente) 63 por ciento más cerca de su eventual meta. La fórmula matemática para determinar el porcentaje preciso es bastante simple:

La letra e representa la constante de Euler, que es aproximadamente 2.7182818. Se deriva de técnicas de cálculo, después de analizar matemáticamente el enfoque asintótico de los valores del circuito. Después del valor de tiempo de una constante de tiempo, el porcentaje de cambio del valor inicial al valor final es:

Después de dos constantes de tiempo, el porcentaje de cambio del valor inicial al valor final es:

Después de diez constantes de tiempo, el porcentaje es:

Cuanto más tiempo transcurre desde la aplicación transitoria de voltaje de la batería, mayor será el valor del denominador en la fracción, lo que hace que sea un valor menor para toda la fracción, lo que hace que un total general (1 menos la fracción) se acerque al 1, o 100 por ciento.

Fórmula de Constante de Tiempo Universal

Podemos hacer una fórmula más universal a partir de esta para la determinación de los valores de voltaje y corriente en circuitos transitorios, multiplicando esta cantidad por la diferencia entre los valores del circuito final y de arranque:

Analicemos el aumento de voltaje en el circuito de resistencia-condensador en serie que se muestra al comienzo del capítulo.

Tenga en cuenta que estamos eligiendo analizar el voltaje porque esa es la cantidad que los capacitores tienden a mantenerse constantes. Aunque la fórmula funciona bastante bien para la corriente, los valores de inicio y final de la corriente se derivan realmente del voltaje del condensador, por lo que calcular el voltaje es un método más directo. La resistencia es de 10 kΩ y la capacitancia es de 100 µF (microfaradios). Dado que la constante de tiempo (τ) para un circuito RC es producto de resistencia y capacitancia, obtenemos un valor de 1 segundo:

Si el condensador arranca en un estado totalmente descargado (0 voltios), entonces podemos usar ese valor de voltaje para un valor de “arranque”. El valor final, por supuesto, será el voltaje de la batería (15 voltios). Nuestra fórmula universal para voltaje de condensador en este circuito se ve así:

Entonces, después de 7.25 segundos de aplicar voltaje a través del interruptor cerrado, nuestro voltaje del condensador habrá aumentado en:

Desde que empezamos a una tensión de condensador de 0 voltios, este incremento de 14.989 voltios significa que tenemos 14.989 voltios después de 7.25 segundos.

La misma fórmula también funcionará para determinar la corriente en ese circuito. Como sabemos que un condensador descargado inicialmente actúa como un cortocircuito, la corriente de arranque será la cantidad máxima posible: 15 voltios (de la batería) divididos por 10 kΩ (la única oposición a la corriente en el circuito al inicio):

También sabemos que la corriente final será cero, ya que el condensador eventualmente se comportará como un circuito abierto, lo que significa que eventualmente no fluirán electrones en el circuito. Ahora que conocemos tanto los valores de corriente inicial como final, podemos usar nuestra fórmula universal para determinar la corriente después de 7.25 segundos de cierre del interruptor en el mismo circuito RC:

Tenga en cuenta que la cifra obtenida para el cambio es negativa, ¡no positiva! Esto nos dice que la corriente ha disminuido en lugar de incrementarse con el paso del tiempo. Desde que comenzamos a una corriente de 1.5 mA, esta disminución (-1.4989 mA) significa que tenemos 0.001065 mA (1.065 µA) después de 7.25 segundos.

También podríamos haber determinado la corriente del circuito a tiempo=7.25 segundos restando el voltaje del condensador (14.989 voltios) del voltaje de la batería (15 voltios) para obtener la caída de voltaje a través de la resistencia de 10 kΩ, luego calculando la corriente a través de la resistencia (y todo el circuito en serie) con la Ley de Ohm (I=E/R). De cualquier manera, debemos obtener la misma respuesta:

Uso de la fórmula de constante de tiempo universal para analizar circuitos inductivos

La fórmula de constante de tiempo universal también funciona bien para analizar circuitos inductivos. Vamos a aplicarlo a nuestro ejemplo de circuito L/R al inicio del capítulo:

Con una inductancia de 1 henry y una resistencia en serie de 1 Ω, nuestra constante de tiempo es igual a 1 segundo:

Debido a que se trata de un circuito inductivo, y sabemos que los inductores se oponen al cambio de corriente, configuraremos nuestra fórmula de constante de tiempo para los valores iniciales y finales de corriente. Si empezamos con el interruptor en la posición abierta, la corriente será igual a cero, por lo que cero es nuestro valor de corriente inicial. Después de que el interruptor se haya dejado cerrado durante mucho tiempo, la corriente se asentará a su valor final, igual al voltaje de la fuente dividido por la resistencia total del circuito (I=E/R), o 15 amperios en el caso de este circuito.

Si quisiéramos determinar el valor de la corriente a 3.5 segundos, aplicaríamos la fórmula de constante de tiempo universal como tal:

Dado que nuestra corriente de arranque era cero, esto nos deja en una corriente de circuito de 14.547 amperios a 3.5 segundos de tiempo.

La determinación del voltaje en un circuito inductivo se logra mejor calculando primero la corriente del circuito y luego calculando las caídas de voltaje a través de las resistencias para encontrar lo que queda por caer a través del inductor. Con solo una resistencia en nuestro circuito de ejemplo (que tiene un valor de 1 Ω), esto es bastante fácil:

Restado de nuestro voltaje de batería de 15 voltios, esto deja 0.453 voltios a través del inductor a tiempo=3.5 segundos.

REVISIÓN

• Fórmula de constante de tiempo universal:

• Para analizar un circuito RC o L/R, siga estos pasos:

(1): Determine la constante de tiempo para el circuito (RC o L/R).

(2): Identificar la cantidad a calcular (cualquiera que sea la cantidad cuyo cambio se oponga directamente por el componente reactivo. Para los condensadores esto es voltaje; para inductores esto es corriente).

(3): Determinar los valores inicial y final para esa cantidad.

(4): Conecte todos estos valores (Final, Inicio, tiempo, constante de tiempo) en la fórmula de constante de tiempo universal y resuelva el cambio en la cantidad.

(5): Si el valor inicial era cero, entonces el valor real en el tiempo especificado es igual al cambio calculado dado por la fórmula universal. Si no es así, agrega el cambio al valor inicial para averiguar dónde te encuentras.