16.7: Circuitos Complejos
- Page ID
- 155676
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)¿Qué hacemos si nos encontramos con un circuito más complejo que las simples configuraciones en serie que hemos visto hasta ahora? Tomemos este circuito como ejemplo:
La fórmula simple de constante de tiempo (τ=RC) se basa en una resistencia en serie simple conectada al condensador. Para el caso, la fórmula de constante de tiempo para un circuito inductivo (τ=L/R) también se basa en la suposición de una resistencia en serie simple. Entonces, ¿qué podemos hacer en una situación como esta, donde las resistencias están conectadas de manera serie-paralela con el condensador (o inductor)?
La respuesta proviene de nuestros estudios en análisis de redes. El teorema de Thevenin nos dice que podemos reducir cualquier circuito lineal a un equivalente de una fuente de voltaje, una resistencia en serie y un componente de carga a través de un par de simples pasos. Para aplicar el Teorema de Thevenin a nuestro escenario aquí, consideraremos el componente reactivo (en el circuito de ejemplo anterior, el condensador) como la carga y lo eliminaremos temporalmente del circuito para encontrar el voltaje Thevenin y la resistencia Thevenin. Luego, una vez que hayamos determinado los valores del circuito equivalente a Thevenin, volveremos a conectar el condensador y resolveremos los valores de voltaje o corriente a lo largo del tiempo como lo hemos estado haciendo hasta ahora.
Después de identificar el condensador como la “carga”, lo retiramos del circuito y resolvemos el voltaje a través de los terminales de carga (suponiendo, por supuesto, que el interruptor esté cerrado):
.png)
Este paso del análisis nos dice que el voltaje a través de los terminales de carga (igual que el de la resistencia R2) será de 1.8182 voltios sin carga conectada. Con un poco de reflexión, debería quedar claro que este será nuestro voltaje final a través del condensador, ya que como un condensador completamente cargado actúa como un circuito abierto, dibujando corriente cero. Utilizaremos este valor de voltaje para nuestro voltaje de fuente de circuito equivalente Thevenin.
Ahora, para resolver nuestra resistencia Thevenin, necesitamos eliminar todas las fuentes de energía en el circuito original y calcular la resistencia como se ve desde los terminales de carga:
Redibujando nuestro circuito como equivalente a Thevenin, obtenemos esto:
Nuestra constante de tiempo para este circuito será igual a la resistencia Thevenin multiplicada por la capacitancia (τ=RC). Con los valores anteriores, calculamos:
Ahora, podemos resolver el voltaje a través del condensador directamente con nuestra fórmula universal de constante de tiempo. Calculemos para un valor de 60 milisegundos. Debido a que esta es una fórmula capacitiva, configuraremos nuestros cálculos para el voltaje:
Nuevamente, debido a que nuestro valor inicial para el voltaje del condensador se suponía que era cero, el voltaje real a través del condensador a 60 milisegundos es igual a la cantidad de cambio de voltaje desde cero, o 1.3325 voltios.
Podríamos ir un paso más allá y demostrar la equivalencia del circuito Thevenin RC y el circuito original a través del análisis por computadora. Utilizaré el programa de análisis SPICE para demostrar esto:
Comparison RC analysis
* first, the netlist for the original circuit:
v1 1 0 dc 20
r1 1 2 2k
r2 2 3 500
r3 3 0 3k
c1 2 3 100u ic=0
* then, the netlist for the thevenin equivalent:
v2 4 0 dc 1.818182
r4 4 5 454.545
c2 5 0 100u ic=0
* now, we analyze for a transient, sampling every .005 seconds
* over a time period of .37 seconds total, printing a list of
* values for voltage across the capacitor in the original
* circuit (between modes 2 and 3) and across the capacitor in
* the thevenin equivalent circuit (between nodes 5 and 0)
.tran .005 0.37 uic
.print tran v(2,3) v(5,0)
.end
time v(2,3) v(5)
0.000E+00 4.803E-06 4.803E-06
5.000E-03 1.890E-01 1.890E-01
1.000E-02 3.580E-01 3.580E-01
1.500E-02 5.082E-01 5.082E-01
2.000E-02 6.442E-01 6.442E-01
2.500E-02 7.689E-01 7.689E-01
3.000E-02 8.772E-01 8.772E-01
3.500E-02 9.747E-01 9.747E-01
4.000E-02 1.064E+00 1.064E+00
4.500E-02 1.142E+00 1.142E+00
5.000E-02 1.212E+00 1.212E+00
5.500E-02 1.276E+00 1.276E+00
6.000E-02 1.333E+00 1.333E+00
6.500E-02 1.383E+00 1.383E+00
7.000E-02 1.429E+00 1.429E+00
7.500E-02 1.470E+00 1.470E+00
8.000E-02 1.505E+00 1.505E+00
8.500E-02 1.538E+00 1.538E+00
9.000E-02 1.568E+00 1.568E+00
9.500E-02 1.594E+00 1.594E+00
1.000E-01 1.617E+00 1.617E+00
1.050E-01 1.638E+00 1.638E+00
1.100E-01 1.657E+00 1.657E+00
1.150E-01 1.674E+00 1.674E+00
1.200E-01 1.689E+00 1.689E+00
1.250E-01 1.702E+00 1.702E+00
1.300E-01 1.714E+00 1.714E+00
1.350E-01 1.725E+00 1.725E+00
1.400E-01 1.735E+00 1.735E+00
1.450E-01 1.744E+00 1.744E+00
1.500E-01 1.752E+00 1.752E+00
1.550E-01 1.758E+00 1.758E+00
1.600E-01 1.765E+00 1.765E+00
1.650E-01 1.770E+00 1.770E+00
1.700E-01 1.775E+00 1.775E+00
1.750E-01 1.780E+00 1.780E+00
1.800E-01 1.784E+00 1.784E+00
1.850E-01 1.787E+00 1.787E+00
1.900E-01 1.791E+00 1.791E+00
1.950E-01 1.793E+00 1.793E+00
2.000E-01 1.796E+00 1.796E+00
2.050E-01 1.798E+00 1.798E+00
2.100E-01 1.800E+00 1.800E+00
2.150E-01 1.802E+00 1.802E+00
2.200E-01 1.804E+00 1.804E+00
2.250E-01 1.805E+00 1.805E+00
2.300E-01 1.807E+00 1.807E+00
2.350E-01 1.808E+00 1.808E+00
2.400E-01 1.809E+00 1.809E+00
2.450E-01 1.810E+00 1.810E+00
2.500E-01 1.811E+00 1.811E+00
2.550E-01 1.812E+00 1.812E+00
2.600E-01 1.812E+00 1.812E+00
2.650E-01 1.813E+00 1.813E+00
2.700E-01 1.813E+00 1.813E+00
2.750E-01 1.814E+00 1.814E+00
2.800E-01 1.814E+00 1.814E+00
2.850E-01 1.815E+00 1.815E+00
2.900E-01 1.815E+00 1.815E+00
2.950E-01 1.815E+00 1.815E+00
3.000E-01 1.816E+00 1.816E+00
3.050E-01 1.816E+00 1.816E+00
3.100E-01 1.816E+00 1.816E+00
3.150E-01 1.816E+00 1.816E+00
3.200E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.250E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.300E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.350E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.400E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.450E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.500E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.550E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.600E-01 1.818E+00 1.818E+00
3.650E-01 1.818E+00 1.818E+00
3.700E-01 1.818E+00 1.818E+00
En cada paso en el camino del análisis, los condensadores en los dos circuitos (circuito original versus circuito equivalente Thevenin) están a igual voltaje, demostrando así la equivalencia de los dos circuitos.
Revisar
- Para analizar un circuito RC o L/R más complejo que la serie simple, convierta el circuito en un equivalente Thevenin tratando el componente reactivo (condensador o inductor) como la “carga” y reduciendo todo lo demás a un circuito equivalente de una fuente de voltaje y una resistencia en serie. Luego, analice lo que sucede en el tiempo con la fórmula de constante de tiempo universal.