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# 14.6: Ondas estacionarias y resonancia

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Siempre que haya un desajuste de impedancia entre la línea de transmisión y la carga, se producirán reflexiones. Si la señal incidente es una forma de onda continua de CA, estas reflexiones se mezclarán con más de la forma de onda incidente que se aproxima para producir formas de onda estacionarias llamadas ondas estacionarias.

La siguiente ilustración muestra cómo una forma de onda incidente en forma de triángulo se convierte en una reflexión de imagen especular al llegar al final sin terminar de la línea. La línea de transmisión en esta secuencia ilustrativa se muestra como una sola línea gruesa en lugar de un par de cables, en aras de la simplicidad. La onda incidente se muestra viajando de izquierda a derecha, mientras que la onda reflejada viaja de derecha a izquierda: (Figura abajo)

La onda incidente refleja el final de la línea de transmisión sin terminar.

Si sumamos las dos formas de onda juntas, encontramos que se crea una tercera forma de onda estacionaria a lo largo de la longitud de la línea: (Figura a continuación)

La suma de las ondas incidentes y reflejadas es una onda estacionaria.

Esta tercera onda “estacionaria”, de hecho, representa el único voltaje a lo largo de la línea, siendo la suma representativa de las ondas de voltaje incidentes y reflejadas. Oscila en magnitud instantánea, pero no se propaga por la longitud del cable como las formas de onda incidentes o reflejadas que lo causan. Observe los puntos a lo largo de la longitud de línea que marcan los puntos “cero” de la onda estacionaria (donde las ondas incidentes y reflejadas se cancelan entre sí), y cómo esos puntos nunca cambian de posición: (Figura abajo)

La onda estacionaria no propaga a lo largo de la línea de transmisión.

Las olas estacionarias son bastante abundantes en el mundo físico. Considere una cuerda o cuerda, sacudida en un extremo y atada en el otro (solo se muestra un medio ciclo de movimiento de la mano, moviéndose hacia abajo): (Figura abajo): (Figura abajo)

Ondas de pie sobre una soga.

Tanto los nodos (puntos de poca o ninguna vibración) como los antinodos (puntos de máxima vibración) permanecen fijos a lo largo de la longitud de la cuerda o cuerda. El efecto es más pronunciado cuando el extremo libre se sacude a la frecuencia justa. Las cuerdas arrancadas exhiben el mismo comportamiento de “onda estacionaria”, con “nodos” de máxima y mínima vibración a lo largo de su longitud. La principal diferencia entre una cuerda arrancada y una cuerda sacudida es que la cuerda arrancada suministra su propia frecuencia de vibración “correcta” para maximizar el efecto de onda estacionaria: (Figura abajo)

El viento que sopla a través de un tubo abierto también produce ondas estacionarias; esta vez, las olas son vibraciones de moléculas de aire (sonido) dentro del tubo en lugar de vibraciones de un objeto sólido. Si la onda estacionaria termina en un nodo (amplitud mínima) o un antinodo (amplitud máxima) depende de si el otro extremo del tubo está abierto o cerrado: (Figura abajo)

Ondas sonoras de pie en tubos abiertos.

Un extremo de tubo cerrado debe ser un nodo de onda, mientras que un extremo de tubo abierto debe ser un antinodo. Por analogía, el extremo anclado de una cuerda vibratoria debe ser un nodo, mientras que el extremo libre (si lo hay) debe ser un antinodo.

Observe cómo hay más de una longitud de onda adecuada para producir ondas estacionarias de aire vibratorio dentro de un tubo que coinciden con precisión con los puntos finales del tubo. Esto es cierto para todos los sistemas de onda estacionaria: las ondas estacionarias resonarán con el sistema para cualquier frecuencia (longitud de onda) correlacionada con los puntos nodo/antinodo del sistema. Otra forma de decir esto es que existen múltiples frecuencias resonantes para cualquier sistema que soporte ondas estacionarias.

Todas las frecuencias más altas son múltiplos enteros de la frecuencia más baja (fundamental) para el sistema. La progresión secuencial de armónicos de una frecuencia resonante a la siguiente define las frecuencias armónicas para el sistema: (Figura a continuación)

Armónicos (armónicos) en tuberías abiertas

Las frecuencias reales (medidas en Hertz) para cualquiera de estos armónicos o armónicos dependen de la longitud física del tubo y de la velocidad de propagación de las ondas, que es la velocidad del sonido en el aire.

Debido a que las líneas de transmisión soportan ondas estacionarias, y obligan a estas ondas a poseer nodos y antinodos según el tipo de impedancia de terminación en el extremo de carga, también exhiben resonancia a frecuencias determinadas por la longitud física y la velocidad de propagación. La resonancia de línea de transmisión, sin embargo, es un poco más compleja que la resonancia de cuerdas o de aire en tubos, porque debemos considerar tanto las ondas de voltaje como las ondas de corriente.

Esta complejidad se hace más fácil de entender a través de la simulación por computadora. Para comenzar, examinemos una fuente, una línea de transmisión y una carga perfectamente coincidentes. Todos los componentes tienen una impedancia de 75 Ω: (Figura abajo)

Usando SPICE para simular el circuito, especificaremos la línea de transmisión (t1) con una impedancia característica de 75 Ω (z0=75) y un retardo de propagación de 1 microsegundo (td=1u). Este es un método conveniente para expresar la longitud física de una línea de transmisión: la cantidad de tiempo que tarda una onda en propagarse por toda su longitud. Si se tratara de un cable real de 75 Ω, tal vez un cable coaxial tipo “RG-59B/U”, el tipo comúnmente utilizado para la distribución de televisión por cable, con un factor de velocidad de 0.66, tendría aproximadamente 648 pies de largo. Dado que 1 µs es el período de una señal de 1 MHz, elegiré barrer la frecuencia de la fuente de CA de (casi) cero a esa cifra, para ver cómo reacciona el sistema cuando se expone a señales que van desde CC a 1 longitud de onda.

Aquí está el netlist SPICE para el circuito que se muestra arriba:

Ejecutando esta simulación y trazando la caída de impedancia de la fuente (como una indicación de la corriente), la tensión de la fuente, la tensión de extremo fuente de la línea y la tensión de carga, vemos que la tensión de la fuente, que se muestra como vm (1) (magnitud de voltaje entre el nodo 1 y el punto de tierra implícito del nodo 0) en el gráfica gráfica: registra un voltaje constante de 1 voltios, mientras que cualquier otro voltaje registra un constante de 0.5 voltios: (Figura a continuación)

Sin resonancias en una línea de transmisión coincidente.

En un sistema donde todas las impedancias están perfectamente emparejadas, no puede haber ondas estacionarias, y por lo tanto no hay “picos” o “valles” resonantes en la parcela de Bode.

Ahora, cambiemos la impedancia de carga a 999 MΩ, para simular una línea de transmisión de extremo abierto. (Figura abajo) Definitivamente deberíamos ver algunas reflexiones en la línea ahora ya que la frecuencia se barre de 1 MHz a 1 MHz: (Figura a continuación)

Línea de transmisión abierta.

Resonancias en línea de transmisión abierta.

Aquí, tanto el voltaje de suministro vm (1) como el voltaje de extremo de carga vm (3) de la línea permanecen estables a 1 voltio. Los otros voltajes caen y alcanzan el pico a diferentes frecuencias a lo largo del rango de barrido de 1 MHz a 1 MHz. Hay cinco puntos de interés a lo largo del eje horizontal del análisis: 0 Hz, 250 kHz, 500 kHz, 750 kHz y 1 MHz. Investigaremos cada uno con respecto a voltaje y corriente en diferentes puntos del circuito.

A 0 Hz (en realidad 1 MHz), la señal es prácticamente CC, y el circuito se comporta mucho como lo haría dado una fuente de batería de CC de 1 voltio. No hay corriente de circuito, como lo indica la caída de voltaje cero a través de la impedancia de la fuente (fuente Z: vm (1,2)), y la tensión de fuente completa presente en el extremo fuente de la línea de transmisión (voltaje medido entre el nodo 2 y el nodo 0: vm (2)). (Figura abajo)

A f=0: entrada: V=1, I=0; final: V=1, I=0.

A 250 kHz, vemos voltaje cero y corriente máxima en el extremo fuente de la línea de transmisión, pero aún voltaje completo en el extremo de carga: (Figura a continuación)

A f=250 kHz: entrada: V=0, I=13.33 mA; final: V=1 I=0.

Quizás te estés preguntando, ¿cómo puede ser esto? ¿Cómo podemos obtener voltaje de fuente completo en el extremo abierto de la línea mientras hay voltaje cero en su entrada? La respuesta se encuentra en la paradoja de la onda estacionaria. Con una frecuencia de fuente de 250 kHz, la longitud de la línea es precisamente la correcta para que 1/4 de longitud de onda se ajuste de extremo a extremo. Con el extremo de carga de la línea en circuito abierto, no puede haber corriente, pero habrá voltaje. Por lo tanto, el extremo de carga de una línea de transmisión de circuito abierto es un nodo de corriente (punto cero) y un antinodo de voltaje (amplitud máxima): (Figura a continuación)

El extremo abierto de la línea de transmisión muestra el nodo actual, el antinodo de voltaje en el extremo abierto.

A 500 kHz, exactamente la mitad de una onda estacionaria descansa sobre la línea de transmisión, y aquí vemos otro punto en el análisis donde la corriente fuente cae a la nada y la tensión de extremo fuente de la línea de transmisión vuelve a subir a voltaje completo: (Figura a continuación)

Onda estacionaria completa en línea de transmisión abierta de media onda.

A 750 kHz, la trama se parece mucho a que estaba a 250 kHz: cero voltaje fuente-fin (vm (2)) y corriente máxima (vm (1,2)). Esto se debe a que 3/4 de una onda se prepara a lo largo de la línea de transmisión, lo que resulta en que la fuente “vea” un cortocircuito donde se conecta a la línea de transmisión, aunque el otro extremo de la línea esté en circuito abierto: (Figura abajo)

Ondas estacionarias de 1 1/2 en línea de transmisión abierta de onda 3/4.

Cuando la frecuencia de suministro barre hasta 1 MHz, existe una onda estacionaria completa en la línea de transmisión. En este punto, el extremo fuente de la línea experimenta las mismas amplitudes de voltaje y corriente que el extremo de carga: voltaje completo y corriente cero. En esencia, la fuente “ve” un circuito abierto en el punto donde se conecta a la línea de transmisión. (Figura abajo)

Ondas estacionarias dobles en línea de transmisión abierta de onda completa.

De manera similar, una línea de transmisión cortocircuitada genera ondas estacionarias, aunque las asignaciones de nodos y antinodos para voltaje y corriente se invierten: en el extremo cortocircuitado de la línea, habrá cero voltaje (nodo) y corriente máxima (antinodo). Lo que sigue es la simulación SPICE (Figura de circuito a continuación e ilustraciones de lo que sucede (Figura 2a-abajo en resonancias) en todas las frecuencias interesantes: 0 Hz (Figura abajo), 250 kHz (Figura abajo), 500 kHz (Figura abajo), 750 kHz (Figura abajo), y 1 MHz (Figura abajo). El puente de cortocircuito es simulado por una impedancia de carga de 1 µΩ: (Figura abajo)

Línea de transmisión en cortocircuito.

Resonancias en línea de transmisión en cortocircuito At f=0 Hz: entrada: V=0, I=13.33 mA; final: V=0, I=13.33 mA.
Patrón de onda estacionaria de media onda en línea de transmisión en cortocircuito de 1/4 de onda.
Patrón de onda estacionaria de onda completa en línea de transmisión en cortocircuito de media onda.

Pattern de onda de pie de 1 1/2 en línea de transmisión en cortocircuito de 3/4 de onda.

Ondas estacionarias dobles en línea de transmisión en cortocircuito de onda completa.

En ambos ejemplos de circuitos, una línea de circuito abierto y una línea cortocircuitada, la reflexión de energía es total: el 100% de la onda incidente que llega al final de la línea se refleja de nuevo hacia la fuente. Sin embargo, si la línea de transmisión se termina en alguna impedancia que no sea una abierta o una corta, las reflexiones serán menos intensas, como lo será la diferencia entre los valores mínimo y máximo de voltaje y corriente a lo largo de la línea.

Supongamos que íbamos a terminar nuestra línea de ejemplo con una resistencia de 100 Ω en lugar de una resistencia de 75 Ω. (Figura abajo) Examine los resultados del análisis SPICE correspondiente para ver los efectos del desajuste de impedancia a diferentes frecuencias de fuente: (Figura a continuación)

Línea de transmisión terminada en una falta de coincidencia

Resonancias débiles en una línea de transmisión no coincidente

Si realizamos otro análisis SPICE, esta vez imprimiendo resultados numéricos en lugar de trazarlos, podemos descubrir exactamente lo que está sucediendo en todas las frecuencias interesantes: (DC, Figura abajo; 250 kHz, Figura abajo; 500 kHz, Figura abajo; 750 kHz, Figura abajo; y 1 MHz, Figura abajo).

En todas las frecuencias, el voltaje de la fuente, v (1), permanece estable a 1 voltio, como debería. El voltaje de carga, v (3), también permanece estable, pero a un voltaje menor: 0.5714 voltios. Sin embargo, tanto el voltaje de entrada de línea (v (2)) como el voltaje caído a través de la impedancia de 75 Ω de la fuente (v (1,2), lo que indica la corriente extraída de la fuente) varían con la frecuencia.

A f=0 Hz: entrada: V=0.57.14, I=5.715 mA; final: V=0.5714, I=5.715 mA.

A f=250 kHz: entrada: V=0.4286, I=7.619 mA; final: V=0.5714, I=7.619 mA.

A f=500 kHz: entrada: V=0.5714, I=5.715 mA; final: V=5.714, I=5.715 mA.

A f=750 kHz: entrada: V=0.4286, I=7.619 mA; final: V=0.5714, I=7.619 mA.

A f=1 MHz: entrada: V=0.5714, I=5.715 mA; final: V=0.5714, I=0.5715 mA.

En armónicos impares de la frecuencia fundamental (250 kHz, Figura 3a-arriba y 750 kHz, Figura anterior) vemos diferentes niveles de voltaje en cada extremo de la línea de transmisión, ya que en esas frecuencias las ondas estacionarias terminan en un extremo en un nodo y en el otro extremo en un antinodo. A diferencia de los ejemplos de líneas de transmisión de circuito abierto y cortocircuitado, los niveles de voltaje máximo y mínimo a lo largo de esta línea de transmisión no alcanzan los mismos valores extremos de 0% y 100% de voltaje fuente, pero aún tenemos puntos de voltaje “mínimo” y “máximo”. (Figura 6th-anterior) Lo mismo es cierto para la corriente: si la impedancia de terminación de la línea no coincide con la impedancia característica de la línea, tendremos puntos de corriente mínima y máxima en ciertas ubicaciones fijas en la línea, correspondientes a los nodos y antinodos de la onda de corriente estacionaria, respectivamente.

Una forma de expresar la severidad de las ondas estacionarias es como una relación de amplitud máxima (antinodo) a amplitud mínima (nodo), para voltaje o para corriente. Cuando una línea termina por un abierto o un corto, esta relación de onda estacionaria, o SWR se valora en infinito, ya que la amplitud mínima será cero, y cualquier valor finito dividido por cero da como resultado un cociente infinito (en realidad, “indefinido”). En este ejemplo, con una línea de 75 Ω terminada por una impedancia de 100 Ω, la SWR será finita: 1.333, calculada tomando la tensión máxima de línea a 250 kHz o 750 kHz (0.5714 voltios) y dividiendo por la tensión mínima de línea (0.4286 voltios).

La relación de onda estacionaria también se puede calcular tomando la impedancia de terminación de la línea y la impedancia característica de la línea, y dividiendo el mayor de los dos valores por el menor. En este ejemplo, la impedancia de terminación de 100 Ω dividida por la impedancia característica de 75 Ω produce un cociente de exactamente 1.333, coincidiendo muy estrechamente con el cálculo anterior.

Una línea de transmisión perfectamente terminada tendrá un SWR de 1, ya que el voltaje en cualquier ubicación a lo largo de la línea será el mismo, e igualmente para la corriente. Nuevamente, esto generalmente se considera ideal, no solo porque las ondas reflejadas constituyen energía no entregada a la carga, sino porque los altos valores de voltaje y corriente creados por los antinodos de las ondas estacionarias pueden sobretensionar el aislamiento de la línea de transmisión (alto voltaje) y los conductores (alta corriente). respectivamente.

Además, una línea de transmisión con una alta SWR tiende a actuar como antena, irradiando energía electromagnética lejos de la línea, en lugar de canalizarla toda a la carga. Esto suele ser indeseable, ya que la energía radiada puede “acoplarse” con conductores cercanos, produciendo interferencia de señal. Una nota interesante a este punto es que las estructuras de antena, que normalmente se asemejan a líneas de transmisión abiertas o cortocircuitadas, a menudo están diseñadas para operar a altas relaciones de onda estacionaria, por la razón misma de maximizar la radiación y recepción de la señal.

La siguiente fotografía (Figura abajo) muestra un conjunto de líneas de transmisión en un punto de unión en un sistema transmisor de radio. Los grandes tubos de cobre con tapas aislantes cerámicas en los extremos son líneas de transmisión coaxiales rígidas de 50 Ω de impedancia característica. Estas líneas transportan energía de RF desde el circuito transmisor de radio a un pequeño refugio de madera en la base de una estructura de antena, y desde ese refugio a otros refugios con otras estructuras de antena:

Cables coaxiales flexibles conectados a líneas rígidas.

El cable coaxial flexible conectado a las líneas rígidas (también de impedancia característica de 50 Ω) conduce la potencia de RF a redes capacitivas e inductivas de “fase” dentro del refugio. El tubo de plástico blanco que une dos de las líneas rígidas entre sí lleva gas de “llenado” de una línea sellada a la otra. Las líneas están llenas de gas para evitar que se acumule humedad en su interior, lo que sería un problema definitivo para una línea coaxial. Tenga en cuenta las “correas” planas de cobre utilizadas como cables puente para conectar los conductores de los cables coaxiales flexibles a los conductores de las líneas rígidas. ¿Por qué correas planas de cobre y no alambres redondos? Debido al efecto piel, que hace que la mayor parte del área transversal de un conductor redondo sea inútil a frecuencias de radio.

Al igual que muchas líneas de transmisión, estas funcionan en condiciones de bajo SWR. Sin embargo, como veremos en la siguiente sección, el fenómeno de las ondas estacionarias en las líneas de transmisión no siempre es indeseable, ya que puede explotarse para realizar una función útil: la transformación de impedancia.

## Revisar

• Las ondas estacionarias son ondas de voltaje y corriente que no se propagan (es decir, son estacionarias), sino que son el resultado de la interferencia entre ondas incidentes y reflejadas a lo largo de una línea de transmisión.
• Un nodo es un punto en una onda estacionaria de amplitud mínima.
• Un antinodo es un punto en una onda estacionaria de amplitud máxima.
• Las ondas estacionarias solo pueden existir en una línea de transmisión cuando la impedancia de terminación no coincide con la impedancia característica de la línea. En una línea perfectamente terminada, no hay ondas reflejadas, y por lo tanto no hay ondas estacionarias en absoluto.
• A ciertas frecuencias, los nodos y antinodos de las ondas estacionarias se correlacionarán con los extremos de una línea de transmisión, resultando en resonancia.
• El punto resonante de frecuencia más baja en una línea de transmisión es donde la línea tiene un cuarto de longitud de onda. Los puntos resonantes existen en cada frecuencia armónica (entero múltiple) de la fundamental (cuarto de longitud de onda).
• La relación de onda estacionaria, o SWR, es la relación entre la amplitud máxima de onda estacionaria y la amplitud mínima de onda estacionaria. También se puede calcular dividiendo la impedancia de terminación por la impedancia característica, o viceversa, lo que siempre produce el mayor cociente. Una línea sin ondas estacionarias (perfectamente emparejada: carga Z a Z 0) tiene un SWR igual a 1.
• Las líneas de transmisión pueden sufrir daños por las altas amplitudes máximas de las ondas estacionarias. Los antinodos de voltaje pueden romper el aislamiento entre los conductores y los antinodos actuales pueden sobrecalentar los conductores.

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