3.1: Suma, resta, multiplicación y división Propiedades de igualdad
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Concepto: Sabemos que esto es una verdadera afirmación:\(5=5\)
El enunciado seguirá siendo cierto si realizamos la misma operación en ambos lados de la ecuación.
- Sumar 4 en ambos lados de la ecuación para obtener:\[\begin{align*} 5+4 &=5+4 \\[4pt] 9 &=9 \end{align*}\]
- Restar 10 en ambos lados de la ecuación original para obtener:\[\begin{align*} 5-10&=5-10 \\ -5&=-5 \end{align*}\]
- Multiplique por 2 en ambos lados de la ecuación original para obtener:\[ \begin{align*} 5\cdot 2&=5\cdot 2 \\ 10&= 10 \end{align*} \]
- Dividir por 15 en ambos lados de la ecuación original para obtener:\[\begin{align*} \frac{5}{15}&= \frac{5}{15}\\ \frac{1}{3}&=\frac{1}{3} \end{align*}\]
Utilizamos las Propiedades de Suma, Resta, Multiplicación y División de Igualdad para resolver ecuaciones para una variable especificada o desconocida.
Proceso para resolver una ecuación lineal básica en una variable
- Aislar la variable “deshaciendo” la operación sobre la variable, es decir, aplicando la operación opuesta en ambos lados de la ecuación usando las Propiedades de Igualdad
Resolver para x:\(x+2=9\)
Solución
Ya que 2 se está sumando a x, para aislar la x, necesitamos “deshacer” la suma de 2, lo contrario de sumar 2 es restar 2, así que usando la Propiedad de Resta de Igualdad, restemos 2 en ambos lados de la ecuación para obtener:
\[x+2-2=9-2\]
\[x=7\]
Resolver para x:\(x-7=13\)
Solución
Ya que 7 se está restando de x, para aislar la x, necesitamos “deshacer” la resta de 7, lo contrario de restar 7 es sumar 7, así que usando la Propiedad de Suma de Igualdad, agreguemos 7 en ambos lados de la ecuación para obtener:
\[x-7+7=13+7\]
\[x=20\]
Resolver para x:\(3x=12\)
Solución
Como x se está multiplicando por 3, para aislar la x, necesitamos “deshacer” la multiplicación por 3, lo contrario de multiplicar por 3 es dividir por 3, así que usando la Propiedad de División de Igualdad, dividamos por 3 en ambos lados de la ecuación para obtener:
\[\frac{3x}{3}=\frac{12}{3}\]
\[x=\frac{12}{3}=4\]
Resolver para x:\(\frac{x}{8}=2\)
Solución
Ya que x se está dividiendo por 8, para aislar la x, necesitamos “deshacer” la división por 8. Lo opuesto a dividir por 8 es multiplicar por 8, así que usando la Propiedad de Multiplicación de Igualdad, multipliquemos por 8 en ambos lados de la ecuación para obtener:
\[\frac{x}{8}\cdot 8=2\cdot 8\]
\[\frac{x}{8}\cdot \frac{8}{1}=2\cdot 8\]
\[x=16\]
Resolver para x:\(\frac{1}{2}x=5\)
Solución
Podemos abordar este problema en un par de formas diferentes,
Opción 1: Leer el problema ya que x se está multiplicando por ½, de ahí que podamos dividir ambos lados por ½ para aislar la variable, x.
\[\frac{\frac{1}{2}x}{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{5}{\left(\frac{1}{2}\right)}\]
\[x=\frac{5}{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{5}{1}\cdot \frac{2}{1}=\frac{10}{1}=10\]
Opción 2: Reescribir el problema o pensar en el problema como siendo leído ya que x se está dividiendo por 2 ya que ½\(x\) es equivalente a\(\frac{x}{2}\), así podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por 2 para aislar\(x\):
\[\frac{1}{2}x=5\]
\[\frac{x}{2}=5\]
\[\frac{x}{2}\cdot 2=5\cdot 2\]
\[x=10\]
Del mismo modo, si tenemos una fracción por una variable, digamos x, entonces podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por el recíproco de la fracción (voltear la fracción de tal manera que el numerador se convierta en denominador, y el denominador se convierta en el numerador):
Resolver para x:\(\frac{2}{3}x=7\)
Solución
\[\frac{2}{3}x=7\]
\[\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot \frac{2}{3}x=\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot 7\]
\[x=\frac{3}{2}\cdot \frac{7}{1}=\frac{21}{2}\]
Proceso para resolver una ecuación lineal en una variable con múltiples operaciones
Al resolver una ecuación lineal con múltiples operaciones, invertimos el orden de las operaciones porque estamos “deshaciendo” las operaciones originales.
Ejemplo:
1. Resolver para x:\(2x+5=15\)
Estado de orden de operaciones para realizar multiplicación, luego suma, así que al resolver, invertiremos este orden así que primero “desharemos” la suma, luego “desharemos” la multiplicación
\[2x+5=15\nonumber \]
Paso 1: “Deshacer la suma en 5” restando 5 en ambos lados de la ecuación
\[2x+5-\boldsymbol{5}=15-\boldsymbol{5} \nonumber \]
\[2x=10\nonumber \]
Paso 2: “Deshacer la multiplicación por 2” dividiendo por 2 en ambos lados de la ecuación
\[\frac{2x}{\boldsymbol{2}}=\frac{10}{\boldsymbol{2}}\nonumber \]
\[x=5 \nonumber \]
Podemos verificar nuestra respuesta sustituyendo el valor de x en la ecuación original y verificando que la ecuación es verdadera:\(2\left(5\right)+5=10+5=15 \, ✓\)
2. Resolver para x:\(\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}=\frac{2}{7}\)
\[\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}=\frac{2}{7}\nonumber \]
Paso 1: Restar\(\frac{1}{5}\) en ambos lados de la ecuación
\[\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}-\boldsymbol{\frac{1}{5}}=\frac{2}{7}-\boldsymbol{\frac{1}{5}}\nonumber \]
\[\frac{2}{3}x=\frac{2}{7}-\frac{1}{5} \nonumber \]
Paso 2: Encuentra una pantalla LCD para restar las fracciones del lado derecho:
\[\frac{2}{3}x=\frac{2}{7}\cdot \frac{5}{5}-\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{7}\nonumber \]
\[\frac{2}{3}x=\frac{10}{35}-\frac{7}{35} \nonumber \]
\[\frac{2}{3}x=\frac{3}{35}\nonumber \]
Paso 3: Multiplicar ambos lados de la ecuación por el recíproco de los\(\frac{2}{3}\) cuales sería\(\frac{3}{2}\):
\[\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot \frac{2}{3}x=\boldsymbol{\frac{3}{2}}\cdot \frac{3}{35}\nonumber \]
\[x=\frac{9}{70}\nonumber \]
Proceso para resolver ecuaciones lineales con paréntesis
Cuando una ecuación contiene paréntesis, podemos borrar los paréntesis usando la propiedad distributiva.
Propiedad Distributiva:\(a\left(b+c\right)=ab+ac\)
Ejemplos
1. Resolver para m:\(5\left(m+3\right)-2\left(7-m\right)=12\)
Paso 1: Aplicar la propiedad distributiva para borrar los paréntesis:
\[5m+5\left(3\right)-2\left(7\right)-2(-m)=12 \nonumber \]
\[5m+15-14+2m=12 \nonumber \]
Paso 2: Combina términos similares
\[5m+2m+15-14+1=12\nonumber \]
\[7m+1=12 \nonumber \]
Paso 3: Aísle la variable restando 1 en ambos lados, luego dividiendo ambos lados por 7
\[7m+1-\boldsymbol{1}=12-\boldsymbol{1}\nonumber \]
\[7m=11\nonumber \]
\[\frac{7m}{\boldsymbol{7}}=\frac{11}{\boldsymbol{7}}\nonumber \]
\[m=\frac{11}{7}\nonumber \]
2. Resolver para x:\(-7\left(3-x\right)+11=2\left(x-3\right)\)
Paso 1: borre los paréntesis usando la propiedad distributiva
\[-21+7x+11=2x-6 \nonumber \]
Paso 2: Combina términos similares
\[-10+7x=2x-6 \nonumber \]
Paso 3: Aísle la variable restando\(2x\) en ambos lados de la ecuación y sumando 10 en ambos lados de la ecuación
\[-10+\boldsymbol{10}+7x-\boldsymbol{2x}=2x-\boldsymbol{2x}-6+\boldsymbol{10}\nonumber \]
\[5x=4\nonumber\]
Ahora, divide ambos lados por 5:
\[\frac{5x}{\boldsymbol{5}}=\frac{4}{\boldsymbol{5}}\nonumber \]
\[x=\frac{4}{5}\nonumber \]