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# 5.1: Representación de valores digitales y analógicos - Muestreo y Cuantización

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Esta sección introduce al alumno al muestreo y cuantificación. Aquí es donde las señales se representan en valores horizontales y verticales (ejes).

### Señales analógicas y digitales

La digitalización de una señal analógica implica dos operaciones:

1. Muestreo, y
2. Cuantización

Las señales analógicas consisten en valores continuos para ambos ejes. Considera una señal eléctrica cuyo eje horizontal representa el tiempo en segundos y cuyo eje vertical representa la amplitud en voltios. El eje horizontal tiene un rango de valores de cero a infinito con cada valor posible en el medio. Esto hace que el eje horizontal sea continuo. El eje vertical también es continuo permitiendo que la amplitud de la señal asuma cualquier valor de cero a infinito. Por cada valor posible en el tiempo hay un valor correspondiente en amplitud para la señal analógica.

Una señal analógica existe a lo largo de un intervalo de tiempo continuo y/o toma un rango continuo de valores. Una señal sinusoidal (también llamada tono puro en acústica) tiene ambas propiedades.

Fig. 1: Señal analógica. Esta señal$$v(t)=\cos (2\pi ft)$$ podría ser una perfecta grabación analógica de un tono puro de frecuencia$$f$$ Hz. Si$$f=440$$ Hz, este tono es la nota musical$$A$$ por encima del medio$$C$$, a la que las orquestas suelen afinar sus instrumentos. El periodo$$T=1/f$$ es la duración de una oscilación completa.

En realidad, las grabaciones eléctricas sufren de ruido que degrada inevitablemente la señal. Cuanto más se transfiere una grabación de un formato analógico a otro, más pierde fidelidad al original.

Fig. 2: Señal analógica ruidosa. El ruido degrada la señal sinusoidal en la Fig. 1. A menudo es imposible recuperar la señal original exactamente de la versión ruidosa.

Las señales digitales por otro lado tienen valores discretos tanto para el eje horizontal como para el vertical. Los ejes ya no son continuos como lo fueron con la señal analógica. En esta discusión, el tiempo

se utilizará como la cantidad para el eje horizontal y los voltios se utilizarán para el eje vertical.

Una señal digital es una secuencia de símbolos discretos. Si estos símbolos son ceros y unos, los llamamos bits. Como tal, una señal digital no es continua en el tiempo ni continua en su rango de valores. Y, por lo tanto, no pueden representar perfectamente las señales analógicas arbitrarias. Por otro lado, las señales digitales son resilientes frente al ruido.

Fig. 3: Transmisión analógica de una señal digital. Considere una señal digital 100110 convertida a una señal analógica para transmisión de radio. La señal recibida sufre de ruido, pero dada la suficiente duración de bit Tb, sigue siendo fácil leer la secuencia original 100110 perfectamente.

Las señales digitales pueden almacenarse en medios digitales (como un disco compacto) y manipularse en sistemas digitales (como el circuito integrado en un reproductor de CD). Esta tecnología digital permite una variedad de procesamiento digital no disponible para los sistemas analógicos. Por ejemplo, la señal musical codificada en un CD incluye datos adicionales utilizados para la corrección digital de errores. En caso de que el CD esté rayado y parte de la señal digital se corrompe, el reproductor de CD aún puede reconstruir los bits faltantes exactamente a partir de los datos de corrección de errores. Para proteger la integridad de los datos a pesar de estar almacenados en un dispositivo dañado, es común convertir señales analógicas en señales digitales mediante pasos llamados muestreo y cuantificación.

### Introducción al muestreo

La motivación para el muestreo y la cuantificación es la necesidad de almacenar una señal en formato digital. Para convertir una señal analógica en una señal digital, la señal analógica debe ser muestreada y cuantificada. El muestreo toma la señal analógica y discretiza el eje de tiempo. Después del muestreo, el eje de tiempo consiste en puntos discretos en el tiempo en lugar de valores continuos en el tiempo. La señal resultante después del muestreo se denomina señal discreta, señal muestreada o señal de tiempo discreto. La señal resultante después del muestreo no es una señal digital. Aunque el eje horizontal tiene valores discretos, el eje vertical no está discretizado. Esto significa que para cualquier punto discreto en el tiempo, hay un número infinito de valores permitidos para que la señal asuma en amplitud. Para que la señal sea una señal digital, ambos ejes deben ser discretos.

El muestreo es el proceso de grabar una señal analógica en momentos discretos regulares de tiempo. La frecuencia de muestreo fs es el número de muestras por segundo. El intervalo de tiempo entre muestras

se llama intervalo de muestreo$$T_s=1/fs$$.

Fig. 4: Muestreo. La señal$$v(t)=\cos (2\pi ft)$$ en la Fig. 1 es muestreada uniformemente con 3 intervalos de muestreo dentro de cada periodo de señal$$T$$. Por lo tanto, el intervalo de muestreo$$T_s=T/3$$ y la frecuencia de muestreo$$f_s=3f$$. Otra forma de ver eso$$f_s=3f$$ es notar que hay tres muestras en cada periodo de señal$$T$$.

Para expresar las muestras de la señal analógica$$v(t)$$, utilizamos la notación$$v[n]$$ (con corchetes), donde los valores enteros de$$n$$ indexar las muestras. Normalmente, la$$n = 0$$ muestra se toma desde el punto de$$t=0$$ tiempo de la señal analógica. En consecuencia, la$$n=1$$ muestra debe provenir del punto$$t=T_s$$ temporal, exactamente un intervalo de muestreo posterior; y así sucesivamente. Por lo tanto, la secuencia de muestras se puede escribir como$$v[0] = v(0), v[1] = v[T_s], v[2] = v(2T_s)$$,...

$$v[n] = v(nT_s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{for integer } n .........................................1$$

En el ejemplo de la Fig. 4,$$v(t) = \cos (2 \pi ft)$$ se muestrea con intervalo de muestreo$$T_s = T/3$$

para producir lo siguiente$$v[n]$$.

$$\begin{array} {rclcl} {v[n]} & = & {\cos (2 \pi fn/T_s)} & \ \ \ \ \ \ \ & {\text{by substituting } t = nT_s .................................2} \\ {} & = & {\cos (2 \pi fn T/3)} & \ \ \ \ \ \ \ & {\text{since } T_s = T/3 .............................3} \\ {} & = & {\cos (2 \pi n/3)} & \ \ \ \ \ \ \ & {\text{since } T = 1/f .............................4} \end{array}$$

Esta expresión para$$v[n]$$ evalúa los valores de muestra representados en la Fig. 4 como se muestra a continuación.

$$v[0] = \cos (0) = 1$$

$$v[1] = \cos (2\pi 3) = -0.5$$

$$v[2] = \cos (4 \pi 3) = -0.5$$

$$v[3] = \cos (2\pi) = 1$$

Fig. 5: Muestras. Las muestras de la Fig. 4 se muestran como la secuencia$$v[n]$$ indexada por valores enteros de$$n$$.

### Cuantización

Dado que una señal discreta tiene puntos discretos en el tiempo pero aún tiene valores continuos en amplitud, la amplitud de la señal debe ser discretizada para almacenarla en formato digital. Los valores de la amplitud deben redondearse a valores discretos. Si el eje vertical se divide en pequeñas ventanas de amplitudes, entonces cada valor que se encuentre dentro de esa ventana se redondeará (o cuantificará) al mismo valor.

Por ejemplo, considere una forma de onda con tamaños de ventana de 0.5 voltios comenzando en —4 voltios y terminando en +4 voltios. En un punto discreto en el tiempo, cualquier amplitud entre 4.0 voltios y 3.5 voltios se registrará como 3.75 voltios. En este ejemplo se eligió el centro de cada ventana de 0.5 voltios (o región de cuantificación) para que fuera el voltaje de cuantificación para esa región.

En este ejemplo el rango dinámico de la señal es de 8 voltios. Dado que cada región de cuantificación es de 0.5 voltios, hay 16 regiones de cuantificación incluidas en el rango dinámico. Es importante que haya 16 regiones de cuantificación en el rango dinámico. Dado que un número binario representará el valor de la amplitud, es importante que el número de regiones de cuantificación sea una potencia de dos. En este ejemplo, se requerirán 4 bits para representar cada uno de los 16 valores posibles en la amplitud de la señal.

Una secuencia de muestras como v [n] en la Fig. 5 no es una señal digital porque los valores de muestra pueden tomar potencialmente un rango continuo de valores. Para completar la conversión de analógico a digital, cada valor de muestra se mapea a un nivel discreto (representado por una secuencia de bits) en un proceso llamado cuantificación. En un cuantificador de bits B, cada nivel de cuantificación se representa con B bits, de manera que el número de niveles es igual a 2B

Fig. 6: Cuantificación de 3 bits. Superpuesto sobre las muestras$$v[n]$$ de la figura 5 hay un cuantificador de 3 bits con 8 niveles de cuantificación uniformemente espaciados. El cuantificador aproxima cada valor de muestra$$v[n]$$ a su valor de nivel más cercano (mostrado a la izquierda), produciendo la secuencia cuantificada$$vQ[n]$$. En última instancia, la secuencia se$$vQ[n]$$ puede escribir como una secuencia de bits usando las representaciones de 3 bits que se muestran a la derecha.

Observe que la cuantificación introduce un error de cuantificación entre las muestras y sus versiones cuantificadas dadas por$$e[n]=v[n]−vQ[n]$$. Si una muestra se encuentra entre niveles de cuantificación, el error de cuantificación absoluto máximo$$|e[n]|$$ es la mitad del espaciado entre esos niveles. Para el cuantificador en la Fig. 6, el error máximo entre niveles es 0.15 ya que el espaciado es uniformemente 0.3. Obsérvese, sin embargo, que si la muestra sobrepasa el nivel más alto o infravalora el nivel más bajo en más de 0.15, el error de cuantificación absoluto será esa diferencia mayor que 0.15.

La siguiente tabla completa el ejemplo de cuantificación en la Fig. 6 para$$n=0, 1, 2, 3$$. Las representaciones de 3 bits en la fila final se pueden concatenar finalmente en la señal digital 110001001110.

 Secuencia $$n = 0$$ $$n = 1$$ $$n = 2$$ $$n = 3$$ Muestras$$v[n]$$ 1 -0.5 -0.5 1 Muestras cuantificadas$$vQ[n]$$ 0.9 -0.6 -0.6 0.9 0.1 0.1 0.1 0.1 Representaciones de 3 bits 110 1 1 110

### Conclusión

Esta sección ha hecho que los alumnos aprendan cómo se pueden digitalizar los datos analógicos (continuos)

### Evaluación

1. ¿Cuál es la diferencia entre datos analógicos y digitales?

Los datos analógicos son continuos, permitiendo un número infinito de valores posibles. Los datos digitales son discretos, lo que permite un conjunto finito de valores

2. ¿Por qué es difícil guardar las ondas sonoras analógicas en un formato digital?

Los datos analógicos son continuos, la conversión de datos continuos en valores discretos puede perder parte de la precisión

3. Diferenciar entre anlog y datos digitales

Analógico se refiere a circuitos en los que cantidades como voltaje o corriente varían a una tasa continua. Cuando giras el dial de un potenciómetro, por ejemplo, cambias la resistencia por una velocidad que varía continuamente. La resistencia del potenciómetro puede ser cualquier valor entre el mínimo y el máximo permitido por el bote. En la electrónica digital, las cantidades se cuentan en lugar de medirse. Hay una distinción importante entre contar y medir. Cuando cuentas algo, obtienes un resultado exacto. Cuando se mide algo, se obtiene un resultado aproximado.

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