6.2.3: Parábolas con cualquier vértice

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Parábolas con vértice a (h, k)

Tu tarea es encontrar el foco de la parábola\(\ (x+4)^{2}=-12(y-5)\). Dices que el foco es (−4, 5). Banu dice que el foco es (0, −3). Carlos dice que el foco es (−4, 2). ¿Cuál de ustedes es correcto?

Parábolas con vértice a (h, k)

Ya aprendiste que las parábolas no siempre tienen su vértice en (0, 0). En este concepto, abordaremos las parábolas donde está el vértice (h, k), aprenderemos a encontrar el foco, la directrix y la gráfica.

Recordemos que la ecuación de una parábola es\(\ x^{2}=4 p y\) o\(\ y^{2}=4 p x\) y el vértice está en el origen. También, recordemos que la forma de vértice de una parábola es\(\ y=a(x-h)^{2}+k\). Combinando los dos, podemos encontrar la forma de vértice para cónicas.

\ (\\ begin {aligned}
y &=a (x-h) ^ {2} +k\ text {y} x^ {2} =4 p y & &\ text {Resuelve el primero para} (x-h) ^ {2}\\
(x-h) ^ {2} &=\ frac {1} {a} (y-k) &\ text {Encontramos que} 4 p=\ frac {1} {a}\\
(x-h) ^ {2} &=4 p (y-k) & &
\ end { alineado}\)

Si la parábola es horizontal, entonces la ecuación lo será\(\ (y-k)^{2}=4 p(x-h)\). Observe, que aunque se cambie la orientación, los\(\ k\) valores\(\ h\) y permanecen con los\(\ y\) valores\(\ x\) y, respectivamente.

Encontrar el foco y la directrix son un poco más complicados. Utilice la tabla extendida a continuación para ayudarle a encontrar estos valores.

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Observe que la forma en que encontramos el foco y la directrix no cambia si\(\ p\) es positiva o negativa.

Analicemos la ecuación\(\ (y-1)^{2}=8(x+3)\). Encontraremos el vértice, el eje de simetría, el enfoque y la directrix. Entonces, determinaremos si la función se abre arriba, abajo, izquierda o derecha.

Primero, porque\(\ y\) es cuadrada, sabemos que la parábola se abrirá a la izquierda o a la derecha. Podemos concluir que la parábola se abrirá a la derecha porque 8 es positivo, es decir, eso\(\ p\) es positivo. A continuación, encuentra el vértice. Usando la ecuación general,\(\ (y-k)^{2}=4 p(x-h)\), el vértice es (−3, 1) y el eje de simetría es\(\ y=1\). \(\ 4 p=8\)Enfrentando, tenemos eso\(\ p=2\). Sumando\(\ p\) al\(\ x\) -valor del vértice, obtenemos el foco, (−1, 1). Restando\(\ p\) del\(\ x\) -valor del vértice, obtenemos la directrix,\(\ x=−5\).

Vamos a graficar la parábola del problema anterior. Trazar el vértice, el eje de simetría, el enfoque y la directrix.

Primero, graficar todos los valores críticos que encontramos anteriormente. Luego, determina un conjunto de puntos simétricos que están en la parábola para asegurarte de que tu curva sea correcta. Si\(\ x=5\), entonces\(\ y\) es -7 o 9. Esto significa que los puntos (5, −7) y (5, 9) están ambos en la parábola.

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Es importante señalar que las parábolas con orientación horizontal no son funciones porque no pasan la prueba de línea vertical.

El vértice de una parábola es (−2, 4) y la directrix es y=7. Encontremos la ecuación de la parábola.

Primero, determinemos la orientación de esta parábola. Debido a que la directrix es horizontal, sabemos que la parábola se abrirá hacia arriba o hacia abajo (ver tabla/imágenes arriba). También sabemos que la directrix está por encima del vértice, haciendo que la parábola se abra hacia abajo y\(\ p\) será negativa (traza esto en un plano x−y si no está seguro).

Para encontrar\(\ p\), podemos usar el vértice,\(\ (h,k)\) y la ecuación para una directrix horizontal,\(\ y=k−p\).

\ (\\ begin {aligned}
7 &=4-p\\
3 &=-p\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ text {Recuerda,} p\ text {es negativo debido a la orientación hacia abajo de la parábola.} \\
-3 &=p
\ final {alineado}\)

Ahora, usando la forma general,\(\ (x-h)^{2}=4 p(y-k)\), podemos encontrar la ecuación de esta parábola.

\ (\\ comenzar {alineado}
(x- (-2)) ^ {2} &=4 (-3) (y-4)\\
(x+2) ^ {2} &=-12 (y-4)
\ final {alineado}\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que determinara qué estudiante es correcto.

Solución

Esta parábola es de la forma\(\ (x-h)^{2}=4 p(y-k)\). De la mesa anterior en esta lección, podemos ver que el foco de una parábola de esta forma es\(\ (h, k+p)\). Entonces ahora tenemos que encontrar h, k, y p.

Si comparamos\(\ (x+4)^{2}=-12(y-5)\) con\(\ (x-h)^{2}=4 p(y-k)\), vemos que:

\(\ 4=-h \text { or } h=-4\)
\(\ -12=4 p \text { or } p=-3\)
\(\ 5=k\)

De estos hechos podemos encontrar\(\ k+p=5+(-3)=2\).

Por lo tanto, el foco de la parábola es\(\ (−4,2)\) y Carlos es correcto.

Ejemplo 2

Encuentra el vértice, foco, eje de simetría y directrix de\(\ (x+5)^{2}=2(y+2)\).

Solución

El vértice es\(\ (-5,-2)\) y la parábola se abre porque\(\ p\) es positiva y\(\ x\) está cuadrada.

\(\ 4 p=2\), haciendo\(\ p=\frac{1}{2}\). El foco es\(\ (-5,-2+2)\) o\(\ (-5,0)\), el eje de simetría es\(\ x=-5\), y la directrix es\(\ y=-2-\frac{1}{2}\) o\(\ y=-2 \frac{1}{2}\).

Ejemplo 3

Grafica la parábola del Ejemplo 2.

Solución

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Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (−5, −1) y foco (−8, −1).

Solución

El vértice es (−5, −1), así\(\ h=−5\) y\(\ k=−1\). El foco es (−8, −1), lo que significa que esa parábola será horizontal. Esto lo sabemos porque los valores y del vértice y el foco son ambos -1. Por lo tanto,\(\ p\) se suma o resta a\(\ h\).

\(\ (h+p, k) \rightarrow(-8,-1)\)podemos inferir eso\(\ h+p=-8 \rightarrow-5+p=-8\) y\(\ p=-3\)

Por lo tanto, la ecuación es\(\ (y-(-1))^{2}=4(-3)(x-(-5)) \rightarrow(y+1)^{2}=-12(x+5)\)

Revisar

Encuentra el vértice, foco, eje de simetría y directrix de las parábolas a continuación.

\(\ (x+1)^{2}=-3(y-6)\)
\(\ (x-3)^{2}=y-7\)
\(\ (y+2)^{2}=8(x+1)\)
\(\ y^{2}=-10(x-3)\)
\(\ (x+6)^{2}=4(y+8)\)
\(\ (y-5)^{2}=-\frac{1}{2} x\)
Grafica la parábola de #1.
Grafica la parábola de #2.
Grafica la parábola de #4.
Grafica la parábola de #5.

Encuentra la ecuación de la parábola dado el vértice y ya sea el foco o directrix.

vértice: (2, −1), enfoque: (2, −4)
vértice: (−3, 6), directrix: x = 2
vértice: (6, 10), directrix: y = 9.5
Enfoque de desafío: (−1, −2), directrix: x = 3
Extensión Reescribe la ecuación de la parábola, x ² − 8x + 2y + 22 = 0, en forma estándar completando el cuadrado. Entonces, encuentra el vértice.

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.2.

El vocabulario

Término	Definición
Forma de vértice	La forma de vértice de una parábola es\(\ (x-h)^{2}=4 p(y-k)\) o\(\ (y-k)^{2}=4 p(x-h)\) dónde\(\ (h,k)\) está el vértice.

Atribuciones de imagen

[Figura 1]
Crédito: Holly Fischer
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_Main_Layers_of_the_Eye.png