1.2.3: Funciones crecientes y decrecientes

Aumentando y disminuyendo

Es importante poder distinguir entre cuándo las funciones están aumentando y cuándo están disminuyendo. En los negocios esto podría significar la diferencia entre ganar dinero y perder dinero. En física podría significar la diferencia entre acelerar y desacelerar.

¿Cómo decides cuándo una función está aumentando o disminuyendo?

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Funciones crecientes y decrecientes

El aumento de medias coloca en la gráfica donde la pendiente es positiva.

[Figura1]

La definición formal de un intervalo creciente es: un intervalo abierto en el eje x de (a, d) donde cada b, c∈ (a, d) con b<c tiene f (b) ≤f (c).

[Figura2]

Se dice que un intervalo aumenta estrictamente si f (b) <f (c) se sustituye en la definición.

Las medias decrecientes colocan en la gráfica donde la pendiente es negativa. La definición formal de decreciente y estrictamente decreciente son idénticas a la definición de aumentar con el signo de desigualdad invertido.

[Figura3]

Una función se llama monotónica si la función solo va en una dirección y nunca cambia entre aumentar y disminuir.

Fuera de las funciones básicas, las funciones monótonamente crecientes son:

\(\ f(x)=x, f(x)=x^{3}, f(x)=\sqrt{x}, f(x)=e^{x}, f(x)=\ln x, f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

Las únicas funciones básicas que no están aumentando monótonamente son:

\(\ f(x)=x^{2}, f(x)=|x|, f(x)=\frac{1}{x}, f(x)=\sin x\)

Identificar analíticamente dónde las funciones están aumentando y disminuyendo a menudo requiere Cálculo. Para Precálculo, será suficiente para poder identificar intervalos gráficamente y a través de tu conocimiento de cómo son las funciones padre.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Solución

Anteriormente, se le preguntó cómo determinar si una función está aumentando o disminuyendo. Incrementar es donde la función tiene una pendiente positiva y decreciente es donde la función tiene una pendiente negativa. Un error común es mirar la función de cuadratura y ver dos curvas que aumentan simétricamente lejos de cero. En cambio, siempre debes leer las funciones de izquierda a derecha y dibujar líneas de pendiente y decidir si son positivas o negativas.

Ejemplo 2

Estimar donde la siguiente función es creciente y decreciente.

[Figura4]

Solución

Incrementando: x∈ (−∞, −1.5) (1.5, ∞).

Disminuyendo: x∈ (−1.5,1.5)

Ejemplo 2

Estimar donde la siguiente función es creciente y decreciente.

[Figura5]

Solución

Incrementando x∈ (−∞, −4) (−4, −2.7) (−1,2) (2, ∞).

Decreciendo x∈ (−2.7, −1)

Ejemplo 3

Estimar los intervalos donde la función está aumentando y disminuyendo.

[Figura6]

Solución

Incrementando: x∈ (−∞, −4) (−2,1.5)

Disminuyendo: x∈ (−4, −2) (1.5, ∞)

Observe que se utilizan intervalos abiertos porque en x=−4, −2,1.5 la pendiente de la función es cero. Aquí es donde la pendiente pasa de ser positiva a negativa. La razón por la que se utilizan paréntesis abiertos es porque la función en realidad no está aumentando o disminuyendo en esos puntos específicos.

Ejemplo 4

Una función continua tiene un máximo global en el punto (3, 2), un mínimo global en (5, -12) y no tiene extremos relativos u otros lugares con una pendiente de cero. ¿Cuáles son los intervalos crecientes y decrecientes para esta función?

Solución

Incrementando x∈ (−∞ ,3) (5, ∞).

Decreciendo x∈ (3,5)

Nota: Las coordenadas y no se utilizan en los intervalos. Un error común es querer usar las coordenadas y.

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Revisar

Utilice la gráfica a continuación para 1-2.

[Figura7]

1. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está aumentando.

2. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está disminuyendo.

Utilice la gráfica de abajo para 3-4.

[Figura8]

3. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está aumentando.

4. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está disminuyendo.

Utilice la gráfica de abajo para 5-6.

[Figura9]

5. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está aumentando.

6. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está disminuyendo.

Utilice la gráfica de abajo para 7-8.

[Figura10]

7. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está aumentando.

8. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está disminuyendo.

Utilice la gráfica de abajo para 9-10.

[Figura11]

9. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está aumentando.

10. Identificar los intervalos (si los hay) donde la función está disminuyendo.

11. Dar un ejemplo de una función monótonamente creciente.

12. Dé un ejemplo de una función monótonamente decreciente.

13. Una función continua tiene un máximo global en el punto (1, 4), un mínimo global en (3, -6) y no tiene extremos relativos u otros lugares con una pendiente de cero. ¿Cuáles son los intervalos crecientes y decrecientes para esta función?

14. Una función continua tiene un máximo global en el punto (1, 1) y no tiene otros extremos o lugares con una pendiente de cero. ¿Cuáles son los intervalos crecientes y decrecientes para esta función?

15. Una función continua tiene un mínimo global en el punto (5, -15) y no tiene otros extremos o lugares con una pendiente de cero. ¿Cuáles son los intervalos crecientes y decrecientes para esta función?

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Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.7.

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vocabulario

Término	Definición
Continuo	La continuidad para un punto existe cuando los límites de los lados izquierdo y derecho coinciden con la función evaluada en ese punto. Para que una función sea continua, la función debe ser continua en cada punto de un dominio ininterrumpido.
Función	Una función es una relación donde solo hay una salida por cada entrada. En otras palabras, por cada valor de x, solo hay un valor para y.
Máximo Global	El máximo global de una función es el valor más grande de toda la función. Simbólicamente, es el punto más alto de toda la gráfica.
Mínimo Global	El mínimo global de una función es el valor más pequeño de toda la función. Simbólicamente, es el punto más bajo de toda la gráfica.
aumentando	Una función aumenta a lo largo de un intervalo si sus valores y son cada vez mayores a lo largo del intervalo. La gráfica irá hacia arriba de izquierda a derecha a lo largo del intervalo.
Notación de intervalos	La notación de intervalo es la notación [a, b), donde se define una función entre a y b. Use (o) para indicar que el valor final no está incluido y [o] para indicar que el valor final está incluido. Nunca use [o] con infinito o infinito negativo.
monótona	Una función es monótona si no cambia entre aumentar y disminuir en cualquier punto.
Extremos relativos	Los extremos relativos de una función son los puntos de la función con valores y que son los más altos o más bajos de un vecindario local de la función.
estrictamente	Estrictamente es un adjetivo que altera aumentando y disminuyendo para excluir cualquier planitud o periodos donde los valores y se mantienen constantes.

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Atribuciones de imagen

1. [Figura 1]
   Crédito: Fundación CK-12
   Licencia: CC BY-SA
2. [Figura 2]
   Crédito: Fundación CK-12
   Licencia: CC BY-SA
3. [Figura 3]
   Crédito: Fundación CK-12
   Licencia: CC BY-SA
4. [Figura 4]
   Crédito: Fundación CK-12
   Fuente: https://www.flickr.com/photos/davidstanleytravel/8227858392/in/photolist-dx4VDs-nKC9j9-My5FPU-9rfFDj-rXVj6c-G9QvSn-FTuBdG-NVoCS3-8qRnga-4ykGxj-jeRZix-Nm65u9-MuS8RM-MtrYpq-nRand5-LSSMHM-GjMCi9-aaGbZM-opao7s-2Cact-FbjHE8-5nGfWn-pniMjM-6C6LQc-xzgo7p-4jAyjp-dQwCx8-Nh11cH-qrnGo4-qq1pzb-j5K9gk-9Pu1uQ-8BxKVf-5J85eG-j5LB AG-CFH4YL-5NLVFJ-Jetveb-PSNJ1-K2FTUM-SNGP1K-DBMAU6-HMPbwh-Pk7mb-6r8ppi-AB6AUH-KZx648-4OYMEC-9NHJGZ-NY57L3
   Licencia: CC BY-SA
5. [Figura 5]
   Crédito: Fundación CK-12
   Fuente: https://www.flickr.com/photos/davidstanleytravel/8227858392/in/photolist-dx4VDs-nKC9j9-My5FPU-9rfFDj-rXVj6c-G9QvSn-FTuBdG-NVoCS3-8qRnga-4ykGxj-jeRZix-Nm65u9-MuS8RM-MtrYpq-nRand5-LSSMHM-GjMCi9-aaGbZM-opao7s-2Cact-FbjHE8-5nGfWn-pniMjM-6C6LQc-xzgo7p-4jAyjp-dQwCx8-Nh11cH-qrnGo4-qq1pzb-j5K9gk-9Pu1uQ-8BxKVf-5J85eG-j5LB AG-CFH4YL-5NLVFJ-Jetveb-PSNJ1-K2FTUM-SNGP1K-DBMAU6-HMPbwh-Pk7mb-6r8ppi-AB6AUH-KZx648-4OYMEC-9NHJGZ-NY57L3
   Licencia: CC BY-SA
6. [Figura 6]
   Crédito: Fundación CK-12
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7. [Figura 7]
   Crédito: Fundación CK-12
   Licencia: CC BY-SA
8. [Figura 8]
   Crédito: Fundación CK-12
   Licencia: CC BY-SA
9. [Figura 9]
   Crédito: Fundación CK-12
   Licencia: CC BY-SA
10. [Figura 10]
    Crédito: Fundación CK-12
    Licencia: CC BY-SA
11. [Figura 11]
    Crédito: Fundación CK-12
    Licencia: CC BY-SA