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1.10:1.10 Continuidad y Discontinuidad

Última actualización

30 oct 2022
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- 1.9:1.9 Asintotas y Comportamiento Final
- 1.11:1.11 Composición de la función

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La continuidad es una propiedad de las funciones que se pueden dibujar sin levantar el lápiz. Algunas funciones, como las funciones recíprocas, tienen dos partes distintas que están desconectadas. Las funciones que están desconectadas son discontinuas. ¿Cuáles son las tres formas en que las funciones pueden ser discontinuas y cómo surgen?

Continuidad y Discontinuidad de Funciones

Las funciones que se pueden dibujar sin levantar el lápiz se denominan funciones continuas. Definirás continuo de una manera matemáticamente más rigurosa después de estudiar los límites.

Existen tres tipos de discontinuidades: Removible, Salto e Infinito.

Discontinuidades removibles

Las discontinuidades removibles ocurren cuando una función racional tiene un factor con un $x$ que existe tanto en el numerador como en el denominador. Las discontinuidades removibles se muestran en una gráfica mediante un círculo hueco que también se conoce como agujero. A continuación se muestra la gráfica de $f(x)=\frac{(x+2)(x+1)}{x+1} .$ Aviso que se ve igual a $y=x+2$ excepción del agujero en $x=-1$ . Al graficar la función, debe cancelar el factor removible, graficar como de costumbre y luego insertar un agujero en el punto apropiado al final. Hay un agujero en $x=-1$ porque cuando $x=-1, f(x)=\frac{0}{0}$ .

Las discontinuidades removibles se pueden “rellenar” si se hace de la función una función por partes y se define una parte de la función en el punto donde se encuentra el agujero. En el ejemplo anterior, para hacer $f(x)$ continuo podrías redefinirlo como:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+2)(x+1)}{x+1}, & x \neq-1 \\ 1, & x=-1\end{array}\right.$

Discontinuidades de salto

Las discontinuidades de salto ocurren cuando una función tiene dos extremos que no se encuentran aunque el agujero esté lleno. Para satisfacer la prueba de línea vertical y asegurarse de que la gráfica sea realmente la de una función, solo se puede llenar uno de los puntos finales. A continuación se muestra un ejemplo de una función con una discontinuidad de salto.

Discontinuidades infinitas

Las discontinuidades finitas ocurren cuando una función tiene una asíntota vertical en uno o ambos lados. Esto se muestra en la gráfica de la función a continuación $x=1$ .

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente se le preguntó cómo las funciones pueden ser discontinuas. Hay tres formas en que las funciones pueden ser discontinuas. Cuando una función racional tiene una asíntota vertical como resultado de que el denominador es igual a cero en algún momento, tendrá una discontinuidad infinita en ese punto. Cuando el numerador y denominador de una función racional tengan uno o más de los mismos factores, habrá discontinuidades removibles correspondientes a cada uno de estos factores. Finalmente, cuando las diferentes partes de una función por partes no “coinciden”, habrá una discontinuidad de salto.

Ejemplo 2

Identificar gráficamente la discontinuidad de la función por partes.

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-4 & x<1 \\ -1 & x=1 \\ -\frac{1}{2} x+1 & x>1\end{array}\right.$

Hay una discontinuidad de salto en $x=1$ . La función por partes describe una función en tres partes; una parábola a la izquierda, un solo punto en el medio y una línea a la derecha.

Ejemplo 3

Describir la continuidad o discontinuidad de la función $f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ .

La función parece oscilar infinitamente a medida que se $x$ acerca a cero. Una cosa que la gráfica no logra mostrar es que 0 claramente no está en el dominio. El gráfico no dispara al infinito, ni tiene un simple agujero o discontinuidad de salto. Se requiere de Cálculo y Análisis Real para exponer con mayor precisión lo que está sucediendo.

Ejemplo 4

Describa las discontinuidades de la función a continuación.

Hay una discontinuidad de salto en $x=-1$ y una discontinuidad infinita en $x=2$ .

Ejemplo 5

Describa las discontinuidades de la función a continuación.

Hay discontinuidades de salto en $x=-2$ y $x=4$ . Hay una discontinuidad removible en $x=2$ . Hay una discontinuidad infinita en $x=0$ .

Revisar

Describa las discontinuidades en las siguientes funciones:

1. $y=x$

2. $y=x^{2}$

3. $y=x^{3}$

4. $y=\sqrt{x}$

5. $y=\frac{1}{x}$

6. $y=e^{x}$

7. $y=\ln (x)$

8. $y=\frac{1}{1+e^{-x}}$

10.

11.

12. $f(x)$ tiene una discontinuidad de salto en $x=3$ , una discontinuidad removible en $x=5$ , y otra discontinuidad de salto en $x=6$ . Dibuja una imagen de una gráfica que podría ser $f(x)$ .

13. $g(x)$ tiene una discontinuidad de salto a $x=-2,$ una discontinuidad infinita en $x=1,$ y otra discontinuidad de salto en $x=3$ . Dibuja una imagen de una gráfica que podría ser $g(x)$ .

14. $h(x)$ tiene una discontinuidad removible en $x=-4,$ una discontinuidad de salto en $x=1$ , y otra discontinuidad de salto en $x=7$ . Dibuja una imagen de una gráfica que podría ser $h(x)$ .

15. $j(x)$ tiene una discontinuidad infinita a $x=0,$ una discontinuidad removible en $x=1$ , y una discontinuidad de salto en $x=4 .$ Dibuja una imagen de una gráfica que podría ser $j(x)$ .